В данной публикации мы рассмотрим, чему равняется радиус сферы (шара), описанной около куба, а также как его можно вычислить, если известна длина ребра куба.
Примечание: Напомним, что вокруг любого куба можно описать шар.
Для начала начертим рисунок.
На данном чертеже:
- все 8 вершин куба касаются шара – это их общие точки;
- центр шара – точка O, которая также является точкой пересечения диагоналей куба.
Радиус шара (R), описанного вокруг куба, равняется половине его диагонали, т.е.:
Примечание: все диагонали куба равны.
Чтобы было понятнее, выполним диагональное сечение, т.е. отсечем часть шара вместе со вписанным в него кубом по диагонали куба (линия отреза проходит через точку O).
Таким образом, мы получим прямоугольник с описанной вокруг окружностью, радиус которой равняется половине диагонали прямоугольника.
Примечание: Диагонали прямоугольника равны между собой и одновременно являются диагоналями куба.
Формула расчета радиуса описанного шара через ребро куба
Если известна длина ребра куба (примем ее за “a”), радиус описанного вокруг него шара (R) вычисляется следующим образом:
Если описать вокруг куба сферу, то ее диаметр будет соединять противоположные вершины куба, образуя диагональ куба. Таким образом, радиус описанной сферы куба равен половине диагонали, следовательно, сама диагональ куба равна удвоенному радиусу описанной сферы. (рис.2.3)
D=2R
Так как эта же диагональ связывает теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике диагональ стороны куба и ребро куба, то становится возможным вычислить и их через радиус описанной сферы куба, используя формулы диагонали.
D=a√3
a=D/√3=2R/√3
a^2+d^2=D^2
(2R/√3)^2+d^2=(2R)^2
d^2=(8R^2)/3
d=√(8/3) R
Чтобы вычислить площадь грани куба, нужно рассмотреть ее в плоскости. Стороной куба является квадрат, поэтому его площадь равна стороне квадрата, то есть ребру куба, во второй степени. Площадь боковой поверхности куба состоит из четырех боковых граней-квадратов, а площадь полной поверхности – из шести граней, поэтому для их вычисления нужно умножить площадь одной грани на их количество. Чтобы найти площади куба через радиус сферы, описанной вокруг него, нужно подставить вместо ребра куба удвоенный радиус, деленный на корень из трех.
S=a^2=(2R/√3)^2=(4R^2)/3
S_(б.п.)=4S=(16R^2)/3
S_(п.п.)=6S=(24R^2)/3
Объем куба, зная радиус описанной вокруг него сферы, вычисляется возведением в третью степень выражения для ребра куба.
V=a^3=(2R/√3)^3=(8R^3)/(3√3)
Периметр куба, как умноженное на 12 ребро куба, представлено через радиус описанной вокруг сферы окружности в виде отношения радиуса, умноженного на 24, к корню из трех.
P=12a=24R/√3
Чтобы вычислить радиус сферы, вписанной в куб, через радиус сферы, описанной около него, нужно разделить ребро куба на два, то есть разделить радиус описанной сферы на корень из трех.
r=a/2=2R/(2√3)=R/√3
Нахождение радиуса описанной вокруг куба сферы (шара)
В данной публикации мы рассмотрим, чему равняется радиус сферы (шара), описанной около куба, а также как его можно вычислить, если известна длина ребра куба.
Примечание: Напомним, что вокруг любого куба можно описать шар.
Для начала начертим рисунок.
На данном чертеже:
- все 8 вершин куба касаются шара – это их общие точки;
- центр шара – точка O, которая также является точкой пересечения диагоналей куба.
Радиус шара (R), описанного вокруг куба, равняется половине его диагонали, т.е.:
Примечание: все диагонали куба равны.
Чтобы было понятнее, выполним диагональное сечение, т.е. отсечем часть шара вместе со вписанным в него кубом по диагонали куба (линия отреза проходит через точку O).
Таким образом, мы получим прямоугольник с описанной вокруг окружностью, радиус которой равняется половине диагонали прямоугольника.
Примечание: Диагонали прямоугольника равны между собой и одновременно являются диагоналями куба.
Формула расчета радиуса описанного шара через ребро куба
Если известна длина ребра куба (примем ее за “a”), радиус описанного вокруг него шара (R) вычисляется следующим образом:
Радиус описанной сферы куба
Свойства
Если описать вокруг куба сферу, то ее диаметр будет соединять противоположные вершины куба, образуя диагональ куба. Таким образом, радиус описанной сферы куба равен половине диагонали, следовательно, сама диагональ куба равна удвоенному радиусу описанной сферы. (рис.2.3) D=2R
Так как эта же диагональ связывает теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике диагональ стороны куба и ребро куба, то становится возможным вычислить и их через радиус описанной сферы куба, используя формулы диагонали. D=a√3 a=D/√3=2R/√3 a^2+d^2=D^2 (2R/√3)^2+d^2=(2R)^2 d^2=(8R^2)/3 d=√(8/3) R
Чтобы вычислить площадь грани куба, нужно рассмотреть ее в плоскости. Стороной куба является квадрат, поэтому его площадь равна стороне квадрата, то есть ребру куба, во второй степени. Площадь боковой поверхности куба состоит из четырех боковых граней-квадратов, а площадь полной поверхности – из шести граней, поэтому для их вычисления нужно умножить площадь одной грани на их количество. Чтобы найти площади куба через радиус сферы, описанной вокруг него, нужно подставить вместо ребра куба удвоенный радиус, деленный на корень из трех. S=a^2=(2R/√3)^2=(4R^2)/3 S_(б.п.)=4S=(16R^2)/3 S_(п.п.)=6S=(24R^2)/3
Объем куба, зная радиус описанной вокруг него сферы, вычисляется возведением в третью степень выражения для ребра куба. V=a^3=(2R/√3)^3=(8R^3)/(3√3)
Периметр куба, как умноженное на 12 ребро куба, представлено через радиус описанной вокруг сферы окружности в виде отношения радиуса, умноженного на 24, к корню из трех. P=12a=24R/√3
Чтобы вычислить радиус сферы, вписанной в куб, через радиус сферы, описанной около него, нужно разделить ребро куба на два, то есть разделить радиус описанной сферы на корень из трех. r=a/2=2R/(2√3)=R/√3
Как найти радиус окружности описанной вокруг грани куба
Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.
Свойства куба:
1. В кубе $6$ граней и все они являются квадратами.
2. Противоположные грани попарно параллельны.
3. Все двугранные углы куба – прямые.
4. Диагонали равны.
5. Куб имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
6. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра
7. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра.
Пусть $а-$длина ребра куба, $d-$диагональ куба, тогда справедливы формулы:
Площадь полной поверхности: $S_<п.п>=6а^2=2d^2$
Радиус сферы, описанной около куба: $R=/<2>$
Радиус сферы, вписанной в куб: $r=/<2>$
При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.
При увеличении всех линейных размеров куба в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.
Прямоугольный параллелепипед
Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.
1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).
Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
$с$-высота(она же боковое ребро);
$S_<п.п>$-площадь полной поверхности;
$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.
Пирамида
Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) – треугольники, имеющие общую вершину.
Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.
Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.
$h_a$ – высота боковой грани (апофема)
В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:
- Для равностороннего треугольника $S=√3>/<4>$, где $а$ – длина стороны.
- Квадрат $S=a^2$, где $а$ – сторона квадрата.
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
- Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
- Найти объем каждого параллелепипеда.
- Сложить объемы.
Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.
– Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:
Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.
– Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
[spoiler title=”источники:”]
http://geleot.ru/education/math/geometry/calc/cube/radius_of_sphere
http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/kub
[/spoiler]
Перед тем, как смело броситься на амбразуру решения задачи по нахождению радиуса сферы, нужно узнать, что вообще такое сфера и шар. Стереометрия говорит нам, что сфера – это поверхность, состоящая из массы точек пространства, которые находятся на одном расстоянии от центра. Эта точка – центр сферы, а радиус сферы (R) – это расстояние, на которое каждая точка удалена от центра сферы. Шар – это тело, которое ограничено поверхностью сферы.
Безусловно, способ определения того самого радиуса сферы будет зависеть от данных, которые у нас есть.
Способ 1. Определение радиуса сферы при помощи площади ее поверхности
Допустим, нам дана сфера вместе с площадью её поверхности. В таком случае мы будем использовать формулу площади её поверхности для того, чтобы вычислить радиус.
где S – это площадь поверхности сферы, число Пи = 3,14.
Способ 2. Определение радиуса сферы при помощи объема шара
Если нам дан объём шара, ограниченного сферой, то радиус находится так:
где V – это объём шара, число Пи = 3,14.
Способ 3. Альтернативные формулы определения радиуса сферы
В случае, если наша сфера вписана в правильный многогранник или описана вокруг него, можно воспользоваться следующим рядом формул.
Формула 1. Сфера вписана в правильный тетраэдр
Для сферы, которая вписана в правильный тетраэдр:
где a – длина ребра тетраэдра (AS = SB = AB = BC = SC = AC = a).
Формула 2. Сфера описана около правильного тетраэдра
Для сферы, которая описана около правильного тетраэдра:
где a – длина ребра тетраэдра (AS = SB = AB = BC = SC = AC = a).
Формула 3. Сфера вписана в куб
Для сферы, которая вписана в куб:
где a – длина ребра куба.
Формула 4. Сфера описана около куба
Для сферы, которая описана около куба:
где a – длина ребра куба.
Предмет: Геометрия,
автор: PUTEMUP
Ответы
Автор ответа: Аноним
8
Ответ:5√3.
Объяснение:
Найдем радиус сферы вписанной в куб.
S сферы=4π*r².
4πr²=100π.
r²=100/4.
r=5.
Сторона куба.
5*2=10.
Диагональ основания куба. 10√2. ( пояснение √( 10²+10²)=10√2 ).
Найдем диагональ куба.
Катеты: 10; 10√2.
Диагональ 10√3.
Радиус сферы ,описанной около куба.
10√3/2.=5√3.
Предыдущий вопрос
Следующий вопрос
Интересные вопросы
Предмет: Русский язык,
автор: 197007fijn
где подчеркивать букву “п” поставте
3 года назад
Предмет: Литература,
автор: Jorik153
Сочинение.
Сравнение “Грозы” и “Леди Макбет”.
3 года назад
Предмет: Информатика,
автор: eugeniodepez
ПРОШУ ТОЛЬКО ОТВЕТ И ЧТОБ БЫЛО ПРАВИЛЬНО
3 года назад
Предмет: Математика,
автор: dekvas2288
фото в описании,дам 13 баллов!
6 лет назад
Предмет: Математика,
автор: vanilka8
Срочно помогите.
В лекционном зале библиотеки 126 мест. Количество мест в каждом ряду на 5 больше количества рядов. Сколько рядов в этом лекционном зале?
6 лет назад
