Как найти радиус шара зная площадь сферы

1. 

   1

   Вычислите радиус по диаметру. Радиус равен половине диаметра, поэтому используйте формулу г = D/2. Эта такая же формула, которая используется при вычислении радиуса и диаметра круга.^[1]
   

   • Например, дан шар с диаметром 16 см. Радиус этого шара: r = 16/2 = 8 см. Если диаметр равен 42 см, то радиус равен 21 см (42/2=21).

2. 

   2

   Вычислите радиус по длине окружности. Используйте формулу: r = C/2π. Так как длина окружности C = πD = 2πr, то разделите формулу для вычисления длины окружности на 2π и получите формулу для нахождения радиуса.^[2]
   

   • Например, дан шар с длиной окружности 20 см. Радиус этого шара: r = 20/2π = 3,183 см.
   • Такая же формула используется при вычислении радиуса и длины окружности круга.

3. 

   3

   Вычислите радиус по объему шара. Используйте формулу: r = ((V/π)(3/4))^1/3.^[3]
   Объем шара вычисляется по формуле V = (4/3)πr³. Обособив r на одной стороне уравнения, вы получите формулу ((V/π)(3/4))³ = г, то есть для вычисления радиуса объем шара делим на π, результат умножаем на 3/4, а полученный результат возводим в степень 1/3 (или извлекаем кубический корень).^[4]
   

   • Например, дан шар с объемом 100 см³. Радиус этого шара вычисляется так:
     • ((V/π)(3/4))^1/3 = r
     • ((100/π)(3/4))^1/3 = r
     • ((31,83)(3/4))^1/3 = r
     • (23,87)^1/3 = r
     • 2,88 см = r

4. 

   4

   Вычислите радиус по площади поверхности. Используйте формулу: г = √(A/(4 π)). Площадь поверхности шара вычисляется по формуле А = 4πr². Обособив r на одной стороне уравнения, вы получите формулу √(A/(4π)) = r, то есть, чтобы вычислить радиус, нужно извлечь квадратный корень из площади поверхности, деленной на 4π. Вместо того чтобы извлекать корень, выражение (A/(4π)) можно возвести в степень 1/2.^[5]
   

   • Например, дан шар с площадью поверхности 1200 см³. Радиус этого шара вычисляется так:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95,49) = r
     • 9,77 см = r

   Реклама

1. 

   1

   Запомните основные величины, которые имеют отношение к вычислению радиуса шара. Радиус шара – это отрезок, который соединяет центр шара с любой точкой на его поверхности. Радиус шара можно вычислить по данным значениям диаметра, длины окружности, объема или площади поверхности.

   • Диаметр (D) – это отрезок, который соединяет две точки на поверхности шара и проходит через его центр (то есть это наибольшее расстояние между противоположными точками, лежащими на поверхности шара). Диаметр равен удвоенному радиусу.
   • Длина окружности (С) представляет собой длину окружности большого круга, то есть круга, который образует секущая плоскость, проходящая через центр шара.
   • Объем (V) – это значение трехмерного пространства, занимаемого шаром.^[6]
     
   • Площадь поверхности (А) – это значение двумерного (плоского) пространства, ограниченного поверхностью шара.
   • Пи (π) – это постоянная, которая равна отношению длины окружности к ее диаметру. Первыми десятью цифрами этой постоянной являются 3,141592653, но зачастую число Пи округляется до 3,14.

2. 

   2

   Воспользуйтесь значениями данных величин, чтобы найти радиус. Радиус можно вычислить по данным значениям диаметра, длины окружности, объема и площади поверхности. Более того, указанные величины можно найти по данному значению радиуса. Чтобы вычислить радиус, просто преобразуйте формулы для нахождения указанных величин. Ниже приведены формулы (в которых присутствует радиус) для вычисления диаметра, длины окружности, объема и площади поверхности.

   • D = 2г. Как и в случае круга, диаметр шара в два раза больше его радиуса.
   • C = πD = 2πr. Как и в случае круга, длина окружности шара равна произведению π на диаметр шара. Так как диаметр вдвое больше радиуса, то длина окружности шара равна удвоенному произведению π на радиус шара.
   • V = (4/3)πr³. Объем шара равен произведению 4/3 на π и на радиус в кубе.^[7]
     
   • А = 4πr². Площадь поверхности шара равна учетверенному произведению π на радиус в квадрате. Так как площадь круга равна πr², то площадь поверхности шара в четыре раза больше площади круга, который образует секущая плоскость, проходящая через центр шара.

   Реклама

1. 

   1

   Найдите координаты (х,у,z) центра шара. Радиус шара равен расстоянию между его центром и любой точкой, лежащей на поверхности шара. Если известны координаты центра шара и любой точки, лежащей на его поверхности, можно найти радиус шара по специальной формуле, вычислив расстояние между двумя точками. Сначала найдите координаты центра шара. Имейте в виду, что так как шар является трехмерной фигурой, то точка будет иметь три координаты (х,у,z), а не две (х,у).

   • Рассмотрим пример. Дан шар с центром с координатами (4,-1,12). Воспользуйтесь этими координатами, чтобы найти радиус шара.

2. 

   2

   Найдите координаты точки, лежащей на поверхности шара. Теперь нужно найти координаты (х,у,z) любой точки, лежащей на поверхности шара. Так как все точки, лежащие на поверхности шара, расположены на одинаковом расстоянии от центра шара, для вычисления радиуса шара можно выбрать любую точку.

   • В нашем примере допустим, что некоторая точка, лежащая на поверхности шара, имеет координаты (3,3,0). Вычислив расстояние между этой точкой и центром шара, вы найдете радиус.

3. 

   3

   Вычислите радиус по формуле d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²). Узнав координаты центра шара и точки, лежащей на его поверхности, вы можете найти расстояние между ними, которое равно радиусу шара. Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²), где d – расстояние между точками, (x₁,y₁,z₁) – координаты центра шара, (x₂,y₂,z₂) – координаты точки, лежащей на поверхности шара.

   • В рассматриваемом примере вместо (x₁,y₁,z₁) подставьте (4,-1,12), а вместо (x₂,y₂,z₂) подставьте (3,3,0):
     • d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²)
     • d = √((3 – 4)² + (3 – -1)² + (0 – 12)²)
     • d = √((-1)² + (4)² + (-12)²)
     • d = √(1 + 16 + 144)
     • d = √(161)
     • d = 12,69. Это искомый радиус шара.

4. 

   4

   Имейте в виду, что в общих случаях r = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²). Все точки, лежащие на поверхности шара, расположены на одинаковом расстоянии от центра шара. Если в формуле для нахождения расстояния между двумя точками “d” заменить на “r”, получится формула для вычисления радиуса шара по известным координатам (x₁,y₁,z₁) центра шара и координатам (x₂,y₂,z₂) любой точки, лежащей на поверхности шара.

   • Возведите обе стороны этого уравнения в квадрат, и получите r² = (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)². Отметьте, что это уравнение соответствует уравнению сферы r² = x² + y² + z² с центром с координатами (0,0,0).

   Реклама

Советы

• Не забывайте про порядок выполнения математических операций. Если вы не помните этот порядок, а ваш калькулятор умеет работать с круглыми скобками, пользуйтесь ими.
• В этой статье рассказывается о вычислении радиуса шара. Но если вы испытываете затруднения с изучением геометрии, лучше начать с вычисления величин, связанных с шаром, через известное значение радиуса.
• π (Пи) – это буква греческого алфавита, которая обозначает постоянную, равную отношению диаметра круга к длине его окружности. Число Пи является иррациональным числом, которое не записывается как отношение действительных чисел. Существует множество приближений, например, отношение 333/106 позволит найти число Пи с точностью до четырех цифр после десятичной запятой. Как правило, пользуются приблизительным значением числа Пи, которое равно 3,14.

Реклама

1. 

   1

   Find the radius if you know the diameter. The radius is half the diameter, so use the formula r = D/2. This is identical to the method used for calculating the radius of a circle from its diameter.^[1]
   

   • If you have a sphere with a diameter of 16 cm, find the radius by dividing 16/2 to get 8 cm. If the diameter is 42, then the radius is 21.

2. 

   2

   Find the radius if you know the circumference. Use the formula C/2π. Since the circumference is equal to πD, which is equal to 2πr, dividing the circumference by 2π will give the radius.^[2]
   

   • If you have a sphere with a circumference of 20 m, find the radius by dividing 20/2π = 3.183 m.
   • Use the same formula to convert between the radius and circumference of a circle.

   Advertisement

3. 

   3

   Calculate the radius if you know the volume of a sphere. Use the formula ((V/π)(3/4))^1/3.^[3]
   The volume of a sphere is derived from the equation V = (4/3)πr³. Solving for the r variable in this equation gets ((V/π)(3/4))^1/3 = r, meaning that the radius of a sphere is equal to the volume divided by π, times 3/4, all taken to the 1/3 power (or the cube root.)^[4]
   

   • If you have a sphere with a volume of 100 inches³, solve for the radius as follows:
     • ((V/π)(3/4))^1/3 = r
     • ((100/π)(3/4))^1/3 = r
     • ((31.83)(3/4))^1/3 = r
     • (23.87)^1/3 = r
     • 2.88 in = r

4. 

   4

   Find the radius from the surface area. Use the formula r = √(A/(4π)). The surface area of a sphere is derived from the equation A = 4πr². Solving for the r variable yields √(A/(4π)) = r, meaning that the radius of a sphere is equal to the square root of the surface area divided by 4π. You can also take (A/(4π)) to the 1/2 power for the same result.^[5]
   

   • If you have a sphere with a surface area of 1,200 cm², solve for the radius as follows:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95.49) = r
     • 9.77 cm = r

Advertisement

1. 

   1

   Identify the basic measurements of a sphere. The radius (r) is the distance from the exact center of the sphere to any point on the surface of the sphere. Generally speaking, you can find the radius of a sphere if you know the diameter, the circumference, the volume, or the surface area.

   • Diameter (D): the distance across the sphere – double the radius. Diameter is the length of a line through the center of the sphere: from one point on the outside of the sphere to a corresponding point directly across from it. In other words, the greatest possible distance between two points on the sphere.
   • Circumference (C): the one-dimensional distance around the sphere at its widest point. In other words, the perimeter of a spherical cross-section whose plane passes through the center of the sphere.
   • Volume (V): the three-dimensional space contained inside the sphere. It is the “space that the sphere takes up.”^[6]
     
   • Surface Area (A): the two-dimensional area on the outside surface of the sphere. The amount of flat space that covers the outside of the sphere.
   • Pi (π): a constant that expresses the ratio of the circle’s circumference to the circle’s diameter. The first ten digits of Pi are always 3.141592653, although it is usually rounded to 3.14.

2. 

   2

   Use various measurements to find the radius. You can use the diameter, circumference, volume, and surface area to calculate the radius of a sphere. You can also calculate each of these numbers if you know the length of the radius itself. Thus, to find the radius, try reversing the formulas for these components’ calculations. Learn the formulas that use the radius to find diameter, circumference, volume, and surface area.^[7]
   

   • D = 2r. As with circles, the diameter of a sphere is twice the radius.
   • C = πD or 2πr. As with circles, the circumference of a sphere is equal to π times the diameter. Since the diameter is twice the radius, we can also say that the circumference is twice the radius times π.
   • V = (4/3)πr³. The volume of a sphere is the radius cubed (times itself twice), times π, times 4/3.
   • A = 4πr². The surface area of a sphere is the radius squared (times itself), times π, times 4. Since the area of a circle is πr², it can also be said that the surface area of a sphere is four times the area of the circle formed by its circumference.

Advertisement

1. 

   1

   Find the (x,y,z) coordinates of the central point of the sphere. One way to think of the radius of a sphere is as the distance between the point at the center of the sphere and any point on the surface of the sphere. Because this is true, if you know the coordinates of the point at the center of the sphere and of any point on the surface, you can find the radius of the sphere simply by calculating the distance between the two points with a variant of the basic distance formula. To begin, find the coordinates of the sphere’s center point. Note that because spheres are three-dimensional, this will be an (x,y,z) point rather than an (x,y) point.

   • This process is easier to understand by following along with an example. For our purposes, let’s say that we have a sphere centered around the (x,y,z) point (4, -1, 12). In the next few steps, we’ll use this point to help find the radius.

2. 

   2

   Find the coordinates of a point on the surface of the sphere. Next, you’ll need to find the (x,y,z) coordinates of a point on the surface of the sphere. This can be any point on the surface of the sphere. Because the points on the surface of a sphere are equidistant from the center point by definition, any point will work for determining the radius.

   • For our example problem, let’s say that we know that the point (3, 3, 0) lies on the surface of the sphere. By calculating the distance between this point and the center point, we can find the radius.

3. 

   3

   Find the radius with the formula d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²).^[8]
   Now that you know the center of the sphere and a point on the surface, calculating the distance between the two will find the radius. Use the three-dimensional distance formula d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²), where d equals distance, (x₁,y₁,z₁) equals the coordinates of the center point, and (x₂,y₂,z₂) equals the coordinates of the point on the surface to find the distance between the two points.

   • In our example, we would plug in (4, -1, 12) for (x₁,y₁,z₁) and (3, 3, 0) for (x₂,y₂,z₂), solving as follows:
     • d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²)
     • d = √((3 – 4)² + (3 – -1)² + (0 – 12)²)
     • d = √((-1)² + (4)² + (-12)²)
     • d = √(1 + 16 + 144)
     • d = √(161)
     • d = 12.69. This is the radius of our sphere.

4. 

   4

   Know that, in general cases, r = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²).^[9]
   In a sphere, every point on the surface of the sphere is the same distance from the center point. If we take the three-dimensional distance formula above and replace the “d” variable with the “r” variable for radius, we get a form of the equation that can can find the radius given any center point (x₁,y₁,z₁) and any corresponding surface point (x₂,y₂,z₂).

   • By squaring both sides of this equation, we get r² = (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)². Note that this is essentially equal to the basic sphere equation r² = x² + y² + z² which assumes a center point of (0,0,0).

Advertisement

Advertisement

Video

• This article was published on demand. However, if you are trying to get to grips with solid geometry for the first time, it’s arguably better to start the other end: calculating the properties of the sphere from the radius.

• The order in which the operations are performed matters. If you are uncertain how priorities work, and your calculating device supports parentheses, then make sure to use them.

• π or pi is a Greek letter that represents the ratio of the diameter of a circle to its circumference. It’s an irrational number and cannot be written as a ratio of 2 integers. Many approximations exist, 333/106 gives pi to four decimal places. Today most people memorize the approximation 3.14 which is usually sufficiently accurate for everyday purposes.

Show More Tips

Did this summary help you?