Радиус окружности шестиугольника с учетом периметра Калькулятор
| Search | ||
| Дом | математика ↺ | |
| математика | Геометрия ↺ | |
| Геометрия | 2D геометрия ↺ | |
| 2D геометрия | Шестиугольник ↺ | |
| Шестиугольник | Радиус шестиугольника ↺ | |
| Радиус шестиугольника | Круговой радиус шестиугольника ↺ |
|
✖Периметр шестиугольника — это общая длина всех граничных линий шестиугольника.ⓘ Периметр шестиугольника [P] |
+10% -10% |
|
✖Радиус окружности шестиугольника — это радиус описанной окружности шестиугольника или окружности, содержащей шестиугольник со всеми вершинами, лежащими на этой окружности.ⓘ Радиус окружности шестиугольника с учетом периметра [rc] |
⎘ копия |
Радиус окружности шестиугольника с учетом периметра Решение
ШАГ 0: Сводка предварительного расчета
ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок
Периметр шестиугольника: 36 метр –> 36 метр Конверсия не требуется
ШАГ 2: Оцените формулу
ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода
6 метр –> Конверсия не требуется
9 Круговой радиус шестиугольника Калькуляторы
Радиус окружности шестиугольника с учетом периметра формула
Окружность шестиугольника = Периметр шестиугольника/6
rc = P/6
Что такое шестиугольник?
Правильный шестиугольник определяется как равносторонний и равноугольный шестиугольник. Просто это шестисторонний правильный многоугольник. Он бицентрический, что означает, что он одновременно циклический (имеет описанную окружность) и тангенциальный (имеет вписанную окружность). Общая длина сторон равна радиусу описанной окружности или описанной окружности, которая равна 2/sqrt(3), умноженной на апофему (радиус вписанной окружности). Все внутренние углы равны 120 градусов. Правильный шестиугольник имеет шесть вращательных симметрий.
Радиус описанной окружности
Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.
Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):
где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.
у остроугольного треугольника — внутри треугольника;
у прямоугольного — на середине гипотенузы;
у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.
Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника
Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:
Окружность, описанная около многоугольника
Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
Радиус описанной около многоугольника окружности находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.
Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.
Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника
Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника
где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.
Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.
Радиус описанной окружности правильного треугольника
Формула радиуса описанной окружности для правильного треугольника
Если без иррациональности в знаменателе —
У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:
Радиус описанной окружности квадрата
Формула радиуса описанной окружности для квадрата
Если без иррациональности в знаменателе —
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника
Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника
Как найти радиус окружности
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.
Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.
Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.
Возможно тебе интересно узнать – как найти длину окружности?
Формула радиуса окружности
Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.
Если известна площадь круга
R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.
Если известна длина
R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Если известен диаметр окружности
R = D : 2, где D — диаметр.
Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.
Если известна диагональ вписанного прямоугольника
R = d : 2, где d — диагональ.
Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:
d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.
Если известна сторона описанного квадрата
R = a : 2, где a — сторона.
Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.
Если известны стороны и площадь вписанного треугольника
R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.
Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника
R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.
Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.
Если известна площадь сектора и его центральный угол
R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.
Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.
Если известна сторона вписанного правильного многоугольника
R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.
В правильном многоугольнике все стороны равны.
Скачать онлайн таблицу
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.
Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.
Формулы вычисления радиуса описанной окружности
Произвольный треугольник
Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:
где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.
Равносторонний треугольник
Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:
где a – сторона треугольника.
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.
Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:
Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:
Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.
Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:
Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.
[spoiler title=”источники:”]
http://skysmart.ru/articles/mathematic/radius-okruzhnosti
[/spoiler]
Шестиугольник является правильным многоугольником, так как у него все стороны и углы равны. А значит, около любого шестиугольника можно описать окружность.
Точка O –центр правильного многоугольника, также является центром описанной вокруг него окружности.
Центр правильного многоугольника равноудален от его вершин. Отрезок, соединяющий центр с вершинами называется радиусом правильного многоугольника и также является радиусом описанной около него окружности.
Формула радиуса описанной окружности около шестиугольника
Существует классическая формула для нахождения радиуса описанной окружности около правильного многоугольника
Для правильного шестиугольника n=6, тогда угол будет равен 
По тригонометрической таблице sin(30°)=
Тогда формула радиуса описанной окружности около шестиугольника имеет следующий вид
Радиус описанной окружности около шестиугольника равен его стороне
Пример расчета радиуса окружности описанной около шестиугольника
Найдите радиус окружности описанной около правильного шестиугольника, если радиус вписанной окружности в него равен
Радиус описанной окружности около шестиугольника имеет вид R = a
Применив формулу радиуса вписанной окружности в шестиугольник, получаем: 
Выразим сторону шестиугольника: 
Выразим радиус описанной окружности через радиус вписанной: 
Чем он отличается от неправильного?
Во-первых, шестиугольником является фигура с 6 вершинами. Во-вторых, он может быть выпуклым или вогнутым. Первый отличается тем, что четыре вершины лежат по одну сторону от прямой, проведенной через две другие.
В-третьих, правильный шестиугольник характеризуется тем, что все его стороны равны. Причем каждый угол фигуры тоже имеет одинаковое значение. Чтобы определить сумму всех его углов, потребуется воспользоваться формулой: 180º * (n — 2). Здесь n — число вершин фигуры, то есть 6. Простой расчет дает значение в 720º. То есть каждый угол равен 120 градусам.
В повседневной деятельности правильный шестиугольник встречается в снежинке и гайке. Химики видят ее даже в молекуле бензола.
Свойства простые и интересные
Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:
Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:
- диаметр описанной окружности;
- диаметр вписанной окружности;
- площадь;
- периметр.
Описанная окружность и возможность построения
Вокруг гексагона можно описать окружность, и притом только одну. Поскольку фигура эта правильная, то можно поступить довольно просто: от двух соседних углов провести внутрь биссектрисы. Они пересекутся в точке О, и образуют вместе со стороной между ними треугольник.
Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ — равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.
После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису. Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС — очередным радиусом, через который идет та же окружность. Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:
Читать также: Зажим для троса duplex
R=а.
Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.
Ну а площадь этой окружности будет стандартная:
S=πR²
Вписанная окружность
Центр описанной окружности совпадет с центром вписанной. Чтобы в этом убедиться, можно провести из точки О перпендикуляры к сторонам шестиугольника. Они будут являться высотами тех треугольников, из которых составлен гексагон. А в равнобедренном треугольнике высота является медианой по отношению к стороне, на которую она опирается. Таким образом, эта высота не что иное, как серединный перпендикуляр, являющийся радиусом вписанной окружности.
Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:
h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2
А поскольку R=a и r=h, то получается, что
r=R(√3)/2.
Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.
Ее площадь будет составлять:
S=3πa²/4,
то есть три четверти от описанной.
Периметр и площадь
С периметром все ясно, это сумма длин сторон:
P=6а, или P=6R
А вот площадь будет равна сумме всех шести треугольников, на которые можно разбить гексагон. Поскольку площадь треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту, то:
S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или
S=3R²(√3)/2
Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:
Занимательные построения
В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:
Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников — равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам — ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:
- Высота АВС из вершины В будет равна половине стороны шестиугольника, поскольку sin30°=1/2. Желающим убедиться в этом можно посоветовать пересчитать по теореме Пифагора, она здесь подходит как нельзя лучше.
- Сторона АС будет равна двум радиусам вписанной окружности, что опять-таки вычисляется по той же теореме. То есть АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
- Треугольники АВС, СДЕ и АЕF равны по двум сторонам и углу между ними, и отсюда вытекает равенство сторон АС, СЕ и ЕА.
Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:
- Угол АВF равен углу ВАС. Таким образом, получившийся треугольник с основанием АВ и безымянной вершиной напротив него — равнобедренный.
- Все такие же треугольники, основанием которых служит сторона гексагона, равны по стороне и прилегающей к ней углам.
- Треугольники при вершинах гексагона являются равносторонними и равными, что вытекает из предыдущего пункта.
- Углы новообразованного шестиугольника равняются 360-120-60-60=120°.
Таким образом, фигура отвечает признакам правильного шестиугольника — у нее шесть равных сторон и углов. Из равенства треугольников при вершинах легко вывести длину стороны нового гексагона:
Читать также: Способы защиты от химической коррозии
d=а(√3)/3
Она же будет радиусом описанной вокруг него окружности. Радиус вписанной будет вдвое меньше стороны большого шестиугольника, что было доказано при рассмотрении треугольника АВС. Его высота составляет как раз половину стороны, следовательно, вторая половина — это радиус вписанной в маленький гексагон окружности:
r₂=а/2
Площадь нового шестиугольника можно посчитать так:
Получается, что площадь гексагона внутри звезды Давида в три раза меньше, чем у большого, в который вписана звезда.
Введенные обозначения
Традиционно сторона правильной геометрической фигуры обозначается латинской буквой «а». Для решения задач требуются еще площадь и периметр, это S и P соответственно. В правильный шестиугольник бывает вписана окружность или описана около него. Тогда вводятся значения для их радиусов. Обозначаются они соответственно буквами r и R.
В некоторых формулах фигурируют внутренний угол, полупериметр и апофема (являющаяся перпендикуляром к середине любой стороны из центра многоугольника). Для них используются буквы: α, р, m.
Формулы, которые описывают фигуру
Для расчета радиуса вписанной окружности потребуется такая: r = (a * √3) / 2, причем r = m. То есть такая же формула будет и для апофемы.
Поскольку периметр шестиугольника — это сумма всех сторон, то он определится так: P = 6 * a. С учетом того, что сторона равна радиусу описанной окружности, для периметра существует такая формула правильного шестиугольника: P = 6 * R. Из той, что приведена для радиуса вписанной окружности, выводится зависимость между а и r. Тогда формула принимает такой вид: Р = 4 r * √3.
Для площади правильного шестиугольника может пригодиться такая: S = p * r = (a2 * 3 √3) / 2.
Формулы для правильного многоугольника
Правильный многоуг-к, как и любая другая плоская фигура, имеет площадь (она обозначается буквой S) и периметр (обозначается как Р). Длина стороны многоуг-ка традиционно обозначается буквой an, где n– число сторон у многоуг-ка. Например a4– это сторона квадрата, a6– сторона шестиугольника. Наконец, мы выяснили, что для каждого правильного многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность. Радиус описанной окружности обозначается большой буквой R, а вписанной – маленькой буквой r.
Оказывается, все эти величины взаимосвязаны друг с другом.
для многоуг-ка, в который вписана окружность. Подходит она и для правильного многоуг-ка.
Для вывода остальных формул правильного многоугольника построим n-угольники соединим две его вершины с центром:
Теперь можно найти и ∠А1ОН1, рассмотрев ∆А1ОН1:
Теперь у нас есть формула, связывающая друг с другом Rи r. Наконец, прямо из определения периметра следует ещё одна формула:
С их помощью, зная только один из параметров правильного n-угольника, легко найти и все остальные параметры (если известно и число n).
Задание. Докажите, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности.
Решение. Запишем следующую формулу:
Это равенство как раз и надо было доказать в этом задании.
Задание. Около окружности описан квадрат. В свою очередь и около квадрата описана окружность радиусом 4. Найдите длину стороны квадрата и радиус вписанной окружности.
Решение. Запишем формулу:
Задание. Вычислите площадь правильного многоугольника с шестью углами, длина стороны которого составляет единицу.
Решение.
Найдем периметр шестиугольника:
Задание. Около правильного треугольника описана окружность. В ту же окружность вписан и квадрат. Какова длина стороны этого квадрата, если периметр треугольника составляет 18 см?
Решение. Зная периметр треуг-ка, легко найдем и его сторону:
Далее вычисляется радиус описанной около треугольника окружности:
Задание. Необходимо изготовить болт с шестигранной головкой, причем размер под ключ (так называется расстояние между двумя параллельными гранями головки болта) должен составлять 17 мм. Из прутка какого диаметра может быть изготовлен такой болт, если диаметр прутков измеряется целым числом?
Решение. Здесь надо найти диаметр окружности, описанной около шестиугольника. Ранее мы уже доказывали, что у шестиугольника длина этого радиуса совпадает с длиной его стороны:
Осталось найти сторону шестиугольника. Для этого соединим две его вершины (обозначим их А и С) так, как это показано на рисунке:
Отрезок АС как раз и будет расстоянием между двумя параллельными гранями, что легко доказать. Каждый угол шестиугольника будет составлять 120°:
В частности ∠АВС = 120°. Так как АВ = ВС, то ∆АВС – равнобедренный, и углы при его основании одинаковы:
Аналогично можно показать, что и ∠ACD – прямой. Таким образом, АС перпендикулярен сторонам AF и CD, а значит является расстоянием между ними, и по условию равно 17 мм:
AC = 17 мм
∆АВС – равнобедренный. Опустим в нем высоту НВ, которая одновременно будет и медианой. Тогда АН окажется вдвое короче АС:
AH = AC/2 = 17/2 = 8,5 мм
Теперь сторону АВ можно найти из ∆АВН, являющегося прямоугольным:
Здесь мы округлили ответ до ближайшего большего целого числа, так как по условию можно использовать лишь пруток с целым диаметром.
Ответ: 20 мм.
|
Периметр шестиугольника так же вычисляется как и периметр треугольника, четырехугольника… Периметр- это сумма длин всех сторон геометрической фигуры. Измеряйте длину каждой стороны вашего шестиугольника, запишите данные и сложите их. система выбрала этот ответ лучшим
Невозмутимый Дождь 2 года назад Шестиугольник обладает периметром, который исчисляется по такой же формуле, по которой учащийся ищет периметры пятиугольников или треугольников. Но в формуле, касающейся шестиугольника, учитывается число его сторон, равное шести. При равенстве сторон длина одной стороны умножается на 6. Например: длина одной стороны – 3 сантиметра. 3 X 6 = 18. Получается, периметр шестиугольника равен 18-ти сантиметрам при условии, если его каждая сторона равна 3-ем сантиметрам. Если у шестиугольника разные стороны, то предыдущий способ вычисления периметра не подойдет. Здесь просто нужно сложить все стороны. К примеру, стороны шестиугольника равны 2,3,4,5,6,7 сантиметрам. Тогда делаем так: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27. То есть периметр нашего неправильного шестиугольника будет равен 27-ми сантиметрам.
З В Ё Н К А 2 года назад Периметры шестиугольников представляют собой суммы всех отрезков, каждый из которых равен длине одной из их сторон. Таким образом, мы должны будем условно обозначить для удобства каждый угол такого шестиугольника. Например, буквами. Это сделано будет для того, чтобы измерять и суммировать отрезки, не путая их. Теперь по формуле типа “а + б + в + г… = P” мы ищем число, которое будет соответствовать периметру данной шестиугольной геометрической фигуры. Шесть углов – это шесть сторон. Следовательно, у нам должно быть ровно шесть слагаемых. На рисунке вы видите шестиугольник, правильным не являющийся:
Например:
Прежде всего вспомним, что периметр любого многоугольника представлется собой сумму длин всех его сторон. Это самая простая и универсальная формула, которая подходит для вычисления периметра фигур, начиная от тругольника и заканчивая n-угольником. Квадраты, ромбы, равносторонние и равнобедренные треугольники, прямоугольники и так далее тоже относятся к многоугольникам. В каждом из вышеприведенных примеров, так же как и в правильных многоульниках, формулу для вычисления периметра можно “усовершенствовать”. В нашем случае, при условии, что шестиугольник является правильным, формула будет выглядеть следующим образом: P=6*a, где a – длина одной стороны.
Если шестиугольник правильный, то для получения периметра надо умножить одну сторону на шесть. P = 6a. Также вокруг правильного шестиугольника можно нарисовать окружность. Радиус описанной окружности будет равен стороне. Потому, если по данным задачи известен радиус, то используем в формуле его. P = 6R. Если же по заданию окружность не описанная, а вписанная, то можно определить сторону правильно шестиугольника, исходя из радиуса. А уже после рассчитать периметр. a = 2r/√3. Если шестиугольник неправильный, то стороны будут отличаться и данные формулы применять нельзя. Тогда исходим уже из исходящих данных.
ИнгаМус 8 лет назад Чтобы найти периметр шестиугольника, помню еще с уроков математики, надо знать длину каждой его стороны. Или просто измерить каждую его сторону. А затем надо сложить все полученные измерения и мы получим периметр.
Анна Сергеевна 1984 8 лет назад Чтобы найти периметр многоугольника, нужно сложить длины его сторон.
Валерий Альбертович 2 года назад Шестиугольники бывают разные, как и способы найти их периметры. Если речь идёт про правильный шестиугольник, то периметр будет вычисляться как длина стороны, умноженная на количество сторон, то есть в случае шестиугольника: P = 6*a, где а – сторона шестиугольника Если же шестиугольник, к примеру, неправильный, то достаточно просто сложить все его стороны, тогда получится периметр (это относится ко всем периметрам).
bezdelnik 8 лет назад Шестиугольники могут быть разными: выпуклыми, с прямолинейными сторонами или с криволинейными, правильными у которого все стороны равны или неправильными. Периметр любого многоугольника равен сумме длин всех его сторон. Определенный ответ можно дать только о периметре правильного выпуклого прямолинейного шестиугольника вписанного в окружность с радиусом равным 1. Периметр такого шестиугольника равен 6-ти радиусам.
валентин1943 8 лет назад Периметр правильного шестиугольника равен трём его центральным хордам, соединяющим противоположные вершины(или трём диаметрам описывающей шестигранник окружности).Если этот шестигранник неправильный и находится на пересеченной местности, то можно пройтись по его сторонам с шагомером.
anna95 2 года назад Периметр шестиугольника можно найти так же как и у любой другой геометрической фигуры. Нужно измерить все его стороны и просто сложить, получившаяся сумма и будет периметром шестиугольника. Здесь ничего сложного нет. Знаете ответ? |
