Как найти радиус шестиугольника если известна сторона

Радиус описанной окружности шестиугольника, формула

Для расчета радиуса описанной окружности шестиугольника используем формулу радиуса описанной окружности правильного многоугольника

[R = frac{a}{2 sin(frac{360°}{12})} = frac{a}{2 sin(30°)} = a]

(a – сторонa правильного шестиугольника; R – радиус описанной окружности правильного шестиугольника)
Также можно пойти другим путем. Если соединить все вершины правильного шестиугольника через центр, станет видно, что правильный шестиугольник состоит из 6-ти правильных треугольников, т.е.

[R = frac{a}{2 sin(π/6)} = a]

Вычислить, найти радиус описанной окружности шестиугольника по формуле (2)

Радиус описанной окружности шестиугольника	стр. 253

Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник

Радиус описанной окружности шестиугольника

Если у шестиугольника как углы, так и стороны равны, соответственно, это — правильный многоугольник, вокруг которого можно описать лишь одну окружность. Все вершины шестиугольника лежат на описанной вокруг него окружности. У правильного шестиугольника центр расположен на равном расстоянии от его вершин. Центр шестиугольника и центр описанной окружности совпадают. Линия, которая соединяет центр с вершинами, считается радиусом как многоугольника, так и описанной окружности. В правильном шестиугольнике сторона и радиус равны. Отсюда, R описанной окружности равняется его стороне или диагонали, поделенной пополам:

В данном выражении:
а — величина стороны шестиугольника;
R — величина радиуса;
d — диагональ.

Онлайн калькулятор поможет быстро и правильно найти величину радиуса, для этого вам нужно лишь занести исходные данные.

Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

, где — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Радиус такой окружности равен .

. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Правильный шестиугольник и его свойства

Определение

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.

Замечание

Т.к. сумма всех углов (n) –угольника равна (180^circ(n-2)) , то каждый угол правильного (n) –угольника равен [alpha_n=dfracn cdot 180^circ]

Пример

Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен (dfrac <4-2>4cdot 180^circ=90^circ) ;

каждый угол правильного шестиугольника равен (dfrac<6-2>6cdot 180^circ=120^circ) .

Теоремы

1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствия

1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.

2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.

Теорема

Если (a) – сторона правильного (n) –угольника, (R) и (r) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: [begin S&=dfrac n2ar\ a&=2Rcdot sindfrac<180^circ>n\ r&=Rcdot cosdfrac<180^circ>n end]

Свойства правильного шестиугольника

1. Сторона равна радиусу описанной окружности: (a=R) .

2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.

3. Все углы правильного шестиугольника равны (120^circ) .

4. Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна (dfrac<3sqrt<3>><2>a^2) .

5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу (r) вписанной в правильный шестиугольник окружности.

6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный (60^circ) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).

Замечание

В общем случае правильный (n) -угольник инвариантен относительно поворота на угол (dfrac<360^circ>) .

[spoiler title=”источники:”]

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/pravilnyj-shestiugolnik-i-ego-ploshhad/

http://shkolkovo.net/theory/77

[/spoiler]

Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника

Содержание:

• Что такое окружность, описанная около правильного шестиугольника
• Как найти радиус, формула
• Свойства окружности, описанной около шестиугольника
• Площадь круга, ограниченного описанной окружностью
• Пример расчета радиуса окружности, описанной около шестиугольника

Что такое окружность, описанная около правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник — выпуклый шестиугольник, у которого все стороны и углы равны.

Описанная около многоугольника окружность — это окружность, которая содержит все вершины выпуклого многоугольника. Ее центром является точка пересечения срединных перпендикуляров к сторонам многоугольника, обычно её обозначают прописной буквой О.

Как найти радиус, формула

Для расчетов используем формулу радиуса окружности, описанной около правильного многоугольника.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Формула 1

(R=frac a{2sinleft(frac{360^0}{2n}right)})

где R — радиус описанной окружности правильного многоугольника,

а — длина стороны многоугольника,

n — количество сторон (или вершин) многоугольника.

Подставим в формулу значение n=6. 

(R=frac a{2sinleft(frac{360^0}{2n}right)}=R=frac a{2sinleft(frac{360^0}{2·6}right)}=frac a{2sinleft(frac{360^0}{12}right)}=frac a{2sin30^0}.)

Так как (sin30^0=frac12), то (R=frac a{2sin30^0}=frac a{2·frac12}=frac a1). Получаем формулу радиуса окружности, описанной около правильного шестиугольника:

Формула 2

R=a

где R — радиус описанной окружности,

а — сторона правильного шестиугольника.

Примечание 1

Эту же формулу модно найти и другим способом. Биссектрисы углов правильного шестиугольника разбивают его на шесть равных равносторонних треугольников. Точка пересечения биссектрис у правильного шестиугольника совпадает с точкой пересечения срединных перпендикуляров и является центром описанной окружности. Расстояние между центром окружности и вершиной шестиугольника равно радиусу описанной окружности и стороне равностороннего треугольника. Этот отрезок также равен стороне шестиугольника.

Свойства окружности, описанной около шестиугольника

1. У правильного шестиугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
2. Диаметр описанной окружности совпадает с большей диагональю правильного шестиугольника и равен его удвоенной стороне.

Площадь круга, ограниченного описанной окружностью

Чтобы вычислить площадь круга, ограниченного описанной окружностью правильного шестиугольника, используем стандартную формулу площади круга.

Формула 3

(S=π·r^2)

где S — площадь круга,

π — коэффициент, число π,

r — радиус круга.

Так как радиус круга равен стороне правильного шестиугольника, около которого описана окружность, получаем формулу:

Формула 4

(S=π·а^2)

где S — площадь круга,

π — коэффициент, число π,

а — сторона правильного шестиугольника.

Пример расчета радиуса окружности, описанной около шестиугольника

Задача

Дано: около правильного шестиугольника описана окружность. Меньшая диагональ правильного шестиугольника равна (5sqrt3 см.)

Найти: радиус описанной окружности.

Решение: Обозначим сторону правильного шестиугольника как а. Тогда его меньшая диагональ будет (аsqrt3 см). Следовательно, а=5 см. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника равен его стороне. R=5 см.

Ответ: 5 см.

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так