Как найти радиус сходимости комплексного ряда - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Степенные ряды с комплексными членами и их свойства

Круг сходимости степенного ряда

Степенным рядом называется функциональный ряд (3.1), члены которого образованы степенями z^n или (z-z_0)^n , то есть ряд вида

$sum_{n=0}^{infty}c_n(z-z_0)^n= c_0+ c_1(z-z_0)+ ldots+ c_n(z-z_0)^n+ldots~~(3.9)$

или

$sum_{n=0}^{infty}c_nz^n= c_0+c_1z+c_2z^2+ ldots+ c_nz_n+ldots~~~~~~~~(3.10)$

Ряд (3.9) называется рядом по степеням разности (z-z_0) ; ряд (3.10) — рядом по степеням . Очевидно, один ряд к другому можно преобразовать простой заменой.

Особенностью степенного ряда, как частного вида ряда (3.1), является аналитичность его членов во всей комплексной плоскости. Другая особенность связана с видом его области сходимости. В общем случае функционального ряда, областью сходимости может быть множество произвольного вида (см. примеры 3.1-3.5). Это и вся плоскость, и плоскость с выколотой точкой, и круг, и внешность круга, и полуплоскость, и кольцо, и пустое множество (ряд расходится всюду). В случае степенного ряда последнего случая быть не может — ряд имеет хотя бы одну точку сходимости. Так, ряд (3.9), очевидно, сходится в точке z_0 , а ряд (3.10) — в точке z=0 .

В примере 3.1 определялась область сходимости степенных рядов вида (3.10). Кроме двух тривиальных случаев области сходимости — вся плоскость и только одна точка, в двух других областью сходимости оказывается круг, как и для ряда вида (3.9) из примера 3.4, п.”а”. Полученный результат не является случайным. Действительно, областью сходимости степенного ряда является круг. При этом область сходимости, состоящую из одной точки, можно рассматривать как круг радиуса R=0 , а в случае сходимости ряда во всей комплексной плоскости как круг радиуса R=infty . Доказательство этого утверждения получается из основной теоремы теории степенных рядов — теоремы Абеля, которая формулируется и доказывается так же, как и в действительной области.

Теорема Абеля о сходимости ряда

Теорема 3.3 (теорема Абеля). Если степенной ряд (3.10) сходится в точке z_0ne0 , то он сходится, и притом абсолютно, для любого , удовлетворяющего неравенству |z|<|z_0| .

Как следствие этой теоремы устанавливается существование положительного числа , такого, что ряд (3.10) при |z|<R сходится, а при |z|>R расходится, т.е. окружность |z|=R разделяет плоскость на две части: внутри окружности ряд сходится, вне — расходится. Радиус этой окружности — число — называется радиусом сходимости, круг |z|<R — кругом сходимости ряда.

Формула Коши-Адамара

Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле Коши-Адамара

$R=dfrac{1}{varlimsuplimits_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|c_n|}},.$

(3.11)

Здесь $varlimsuplimits_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|c_n|}=ell$ — верхний предел последовательности $a_n=sqrt[LARGE{n}]{|c_n|}$ . Он всегда существует (конечный или бесконечный), и притом единственный. В случае ell=+infty полагают R=0 , а в случае ell=0 полагают R=infty .

Замечания 3.1

1. Для ряда (3.9) имеем такое же утверждение: он сходится в круге |z-z_0|<R , где радиус сходимости определяется по формуле (3.11).

2. Радиус сходимости ряда можно определить иначе. Например, найти область сходимости ряда, используя формулы (3.8), а затем — радиус. Так, в примере 3.1 рассматриваются степенные ряды. Для первого из этих рядов найдена область сходимости |z|<1 , поэтому R=1 , для второго из |z|<2 получаем R=2 . Для двух других рядов имеем соответственно R=0 и R=infty .

Пример 3.8. Доказать, что для ряда $sum_{n=0}^{infty}c_nz^n$ , где c_nne0 для любого , радиус сходимости можно определить по формулам:

$R=frac{1}{limlimits_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|c_n|}},qquad R=lim_{ntoinfty} left|frac{c_n}{c_{n+1}}right|.$

(3.12)

Решение

Найдем область сходимости ряда, используя формулы (3.8):

$|f(z)= lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|u_n(z)|}= lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|c_nz^n|}= |z|cdot lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|c_n|},.$

Если $lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|c_n|}=0$ , то неравенство |f(z)|<1 выполняется при любом , т.е. ряд сходится всюду и R=infty . Если $lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|c_n|}=infty$ , то неравенство не выполняется ни для какого значения zne0 и ряд сходится только в одной точке z=0 , то есть R=0 .

В случае, когда предел является конечным и не равен нулю, обозначим его ell , то есть $lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|c_n|}=ell$ . Тогда неравенство |f(z)|<1 , то есть |z|cdotell<1 , выполняется для , удовлетворяющих условию $|z|<frac{1}{ell}$ , а это есть круг сходимости, следовательно, $R= frac{1}{ell}$ . Первая из формул (3.12) доказана. Аналогично доказывается вторая.

Пример 3.9. Найти области сходимости комплексных рядов $sum_{n=1}^{infty} frac{z^n}{n^2},~ sum_{n=1}^{infty}frac{z^n}{n},~ sum_{n=1}^{infty}z^n$ .

Решение

Радиус сходимости каждого из рядов R=1 , так как для первого ряда $c_n=frac{1}{n^2}$ и согласно (3.12) $R=lim_{ntoinfty} left|frac{(n+1)^2}{n^2}right|=1$ ; для второго ряда имеем $c_n=frac{1}{n}$ и $R=lim_{ntoinfty} left|frac{n+1}{n}right|=1$ ; для третьего из c_n=1 получаем $R=lim_{ntoinfty}frac{1}{sqrt[LARGE{n}]{n}}=1$ . Поэтому областью сходимости каждого из этих рядов является круг |z|<1 .

Исследуем сходимость рядов на границе круга сходимости — на окружности |z|=1 , или, что то же, $z=e^{ivarphi}$ .

Для первого ряда в точках границы, т.е. при |z|=1 , получаем абсолютно сходящиеся ряды, так как $sum_{n=1}^{infty}frac{|z|^n}{n^2}= sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$ , а ряд $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$ сходится. Следовательно, ряд $sum_{n=1}^{infty}frac{z^n}{n^2}$ сходится во всех граничных точках. Поэтому он сходится абсолютно — круге |z|leqslant1 .

Ряд $sum_{n=1}^{infty}z^n$ на границе расходится (см. пример 3.1, п.”а”).

Ряд $sum_{n=1}^{infty}frac{z^n}{n}$ , очевидно, расходится в точке z=1 (точке границы $z=e^{ivarphi}$ при varphi=0 ) как гармонический ряд $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}$ и сходится в точке z=-1 (точке $z=e^{ivarphi}$ при varphi=pi ) как знакочередующийся ряд $sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^n}{n}$ . Заметим, что сходимость последнего ряда неабсолютная. Можно показать, что ряд расходится на границе $z=e^{ivarphi}$ только при varphi=0 , то есть , а во всех других точках границы, т.е. при varphine0 , он сходится.

Заметим, что данные в примере ряды могут быть получены один из другого с помощью дифференцирования или интегрирования. Так, из ряда $sum_{n=1}^{infty} frac{z^n}{n^2}$ получаем дифференцированием ряд $sum_{n=1}^{infty} frac{z^{n-1}}{n}$ или $frac{1}{z}sum_{n=1}^{infty} frac{z^n}{n}$ , а из ряда $sum_{n=1}^{infty} frac{z^n}{n}$ также дифференцированием — ряд $sum_{n=1}^{infty}z^{n-1}$ или $frac{1}{z}sum_{n=1}^{infty}z^n$ .

Пример 3.10. Найти радиус сходимости рядов: а) $sum_{n=0}^{infty} 3^n(z-1)^n$ ; б) $sum_{n=0}^{infty} frac{z^{2n}}{3^n}$ .

Решение

Свойства степенных рядов

1. Если Rne0 , т.е. ряд (3.10) сходится в круге |z|<R , то, используя признак Вейерштрасса, нетрудно установить, что ряд сходится равномерно в круге |z|leqslant r , где — любое положительное, меньшее число, 0<r< R . Это означает, что степенной ряд сходится равномерно внутри круга сходимости.

2. В силу аналитичности членов степенного ряда и свойств равномерно сходящихся рядов получаем (см. теорему 3.2), что внутри круга сходимости сумма степенного ряда есть функция аналитическая.

3. Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз внутри круга сходимости.

Последнее свойство означает, что ряд, полученный из ряда $sum_{n=0}^{infty}c_nz^n$ дифференцированием, т.е. ряд $sum_{n=0}^{infty}(c_nz^n)'= sum_{n=1}^{infty}nc_nz^{n-1}$ или, что удобнее, $sum_{n=0}^{infty}(n+1)c_{n+1}z^n$ , и ряд, полученный интегрированием, т.е. ряд $sum_{n=0}^{infty}int c_nz^{n}dz= sum_{n=0}^{infty} frac{c_nz^{n+1}}{n+1}$ , сходятся внутри круга сходимости исходного ряда, а потому их радиусы сходимости не меньше радиуса сходимости исходного ряда.

Покажем, что радиус сходимости при дифференцировании и интегрировании не меняется. Обозначим радиус сходимости данного степенного ряда $sum_{n=0}^{infty}c_nz^n$ через $R=frac{1}{ell}$ , где $ell= varlimsuplimits_{ntoinfty} sqrt[LARGE{n}]{|c_n|}$ . Рассмотрим ряд, членами которого являются производные от членов данного ряда, т.е. ряд, полученный почленным дифференцированием: $sum_{n=0}^{infty} (n+1)c_{n+1}z^n$ . Общий член этого ряда $(n+1)c_{n+1}z^n$ запишем в виде a_nz^n , где $a_n=(n+1)c_{n+1}$ , а $c_{n+1}$ — коэффициент исходного ряда. Радиус сходимости полученного ряда определим по формуле Коши-Адамара, т.е. $R_1= frac{1}{ell_1}$ , где

$ell_1=varlimsuplimits_{ntoinfty} sqrt[LARGE{n}]{|c_{n+1}|(n+1)}= varlimsuplimits_{ntoinfty} left(sqrt[LARGE{n}]{|c_{n+1}|}cdot sqrt[LARGE{n}]{n+1}right)= varlimsuplimits_{ntoinfty} sqrt[LARGE{n}]{|c_{n+1}|}= varlimsuplimits_{ntoinfty} sqrt[LARGE{n}]{|c_{n}|}=ell,.$

Следовательно, R_1=R . Здесь использован известный предел $lim_{ntoinfty} sqrt[LARGE{n}]{an+b}=1$ , частный случай которого $lim_{ntoinfty} sqrt[LARGE{n}]{n}=1$ был использован при решении примера 3.3. Так как ряд $sum_{n=0}^{infty}c_nz^n$ получается из ряда $sum_{n=0}^{infty}(n+1)c_{n+1}z^n$ интегрированием, то из доказанного следует, что при интегрировании ряда радиус сходимости не изменяется.

Пример 3.11. Найти суммы следующих рядов с комплексными членами:

а) $sum_{n=0}^{infty}z^n$ ; б) $sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{2^{n+1}}$ ; в) $sum_{n=1}^{infty}nz^n$ ; г) $sum_{n=1}^{infty}z^n$ .

Решение

Действия над степенными рядами

Кроме упомянутых выше свойств дифференцирования и интегрирования степенных рядов внутри круга сходимости как рядов, равномерно сходящихся, они обладают в круге сходимости общими свойствами сходящихся, в частности абсолютно сходящихся, рядов: ряды можно складывать и перемножать, т.е. рассматривать сумму и произведение рядов; можно также рассматривать их отношение — деление рядов.

Рассмотрим подробнее арифметические действия над степенными рядами. Обозначим R_1 и R_2 — радиусы сходимости двух рядов $sum_{n=0}^{infty} a_nz^n$ и $sum_{n=0}^{infty}b_nz^n$ .

1. В общей области сходимости, т.е. в круге |z|<r , где r= min(R_1,R_2) , можно рассматривать сумму (разность) рядов: ряд $sum_{n=1}^{infty} c_nz^n,~ c_n=a_npm b_n$ . Радиус сходимости полученного ряда не меньше rcolon, Rgeqslant r . Сумма нового ряда равна S_1pm S_2 , где S_1 и S_2 — суммы рядов — слагаемых.

2. В круге |z|<r можно рассматривать произведение рядов:

$begin{aligned}sum_{n=0}^{infty} a_nz^ncdot sum_{n=0}^{infty} b_nz^n&= bigl(a_0+a_1z+a_2z^2+ldots+ a_nz^n+ldotsbigr)cdot bigl(b_0+b_1z+b_2z^2+ldots+ b_nz^n+ldots bigr)=\ &=a_0b_0+ z(a_0b_1+a_1b_0)+ z^2(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+ ldots+ c_nz^n+ldots end{aligned}$

Получаем ряд $sum_{n=1}^{infty}c_nz^n$ , где $c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+ ldots+ a_kb_{n-k}+ ldots+a_nb_0$ . или $c_n=sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$ . Радиус сходимости полученного ряда не меньше r,~ Rgeqslant r , его сумма равна S_1cdot S_2 , где S_1 n S_2 — суммы рядов — сомножителей.

3. В некоторой окрестности точки z_0=0 можно рассматривать отношение рядов $sum_{n=0}^{infty}a_nz^n$ (делимое) и $sum_{n=0}^{infty}b_nz^n$ (делитель) при условии b_0ne0 . Частным этих рядов будет ряд $sum_{n=0}^{infty}c_nz^n$ , такой, что выполняется равенство $sum_{n=0}^{infty} a_nz^n= sum_{n=0}^{infty}b_nz^ncdot sum_{n=0}^{infty}c_nz^n$ Коэффициенты c_n определяются, как и в случае многочленов, методом неопределенных коэффициентов или делением “углом”.

Замечание 3.2. При сложении и умножении рядов, как отмечено выше, может получиться ряд, сходящийся в большей области, чем общая часть кругов сходимости двух исходных рядов: Rgeqslant r,~ r=min(R_1,R_2) .

Приведем пример, подтверждающий это свойство. При сложении рядов $sum_{n=0}^{infty}! left(frac{(-1)^{n+1}}{3^n}-1right)!z^n$ и $sum_{n=1}^{infty}! left(frac{(-1)^n}{2^n}+ 1right)!z^n$ , для которых, как нетрудно проверить, имеем R_1=R_2=1 , получим ряд $sum_{n=0}^{infty}! left(frac{(-1)^{n}}{2^n}-frac{(-1)^{n}}{3^n}right)!z^n$ . Радиус сходимости этого ряда R=2 .

Рассмотренные арифметические операции- над рядами используются при решения задач разложения функции в степенные ряды: функций вида

$f(z)= f_1(z)+ f_2(z),qquad f(z)=f_1(z)cdot f_2(z),qquad f(z)=frac{f_1(z)}{f_2(z)},.$

Подстановка ряда в ряд

4. Еще одно действие — подстановка ряда в ряд связано с разложением в ряд сложной функции. Пусть ряд $sum_{n=0}^{infty}c_nu^n$ сходится в круге |u|<R , его сумма равна S_1=f(u) ; а ряд $sum_{n=0}^{infty}b_nz^n$ в круге |z|<r и его сумма в этом круге равна S_2=varphi(z) . Тогда в некоторой окрестности точки z_0=0 , т.е. в круге |z|<rho , можно рассматривать ряд $sum_{n=0}^{infty}c_n left(sum_{n=0}^{infty} b_nz^nright)^n$ . Заметим, что для возможности выполнения этого действия требуется, чтобы имело место условие varphi(0)= 0 , то есть b_0=0 ,в противном случае, как правило, не удается привести подобные члены. Поэтому записываем ряд в виде

$sum_{n=0}^{infty}c_n left(sum_{n=0}^{infty} b_nz^nright)^n= c_0+ c_1 bigl(b_1z+ b_2z^2+ldotsbigr)+ c_2 bigl(b_1z+b_2z^2+ldotsbigr)^2+ ldots+c_n bigl(b_1z+ b_2z^2+ ldotsbigr)^n+ldots$

Произведя действия возведения в степень (как умножение ряда на ряд) и приведение подобных членов, можно записать любое число членов ряда:

c_0+c_1b_1z+ z^2 bigl(c_1b_2+c_2b_1^2bigr)+ z^3 bigl(c_1b_3+2c_1b_1b_2+ c_3b_1^3bigr)+ldots

Суммой нового ряда будет функция f(varphi(z)) .

Обобщение свойств степенных рядов

Обобщим свойства степенных рядов и действия над ними в виде утверждения.

Утверждение 3.1

1. Степенной ряд $sum_{n=0}^{infty}c_nz^n$ сходится в круге |z|<R ; ряд $sum_{n=0}^{infty}c_n(z-z_0)^n$ сходится в круге |z-z_0|<R .

2. Радиус сходимости ряда определяется по формулам (3.11) и (3.12).

3. На границах круга сходимости могут быть как точки сходимости, так и точки расходимости ряда.

4. Внутри круга сходимости ряд сходится равномерно; для ряда (3.10) это круг |z|leqslant r , для (3.9): |z-z_0|leqslant r , где — любое число, 0<r<R .

5. Сумма степенного ряда внутри круга сходимости — функция аналитическая.

6. Внутри круга сходимости ряд можно интегрировать почленно и дифференцировать почленно любое число раз. Радиус сходимости ряда при этом не меняется. Сходимость в отдельных точках границы может измениться.

Ряды с комплексными членами по целым степеням

Рассмотрим два ряда $sum_{n=0}^{infty}a_n(z-z_0)^n$ и $sum_{n=1}^{infty} frac{b_n}{(z-z_0)^n}$ . Первый ряд — степенной и, если он сходится не только в одной точке z_0 , но и не всюду, то сходится в круге |z-z_0|<r . Второй ряд — не степенной, но, после замены $frac{1}{z-z_0}=w$ , получим степенной ряд $sum_{n=1}^{infty}b_nw^n$ , область сходимости которого: |w|<r_1ne0 . Поэтому для ряда $sum_{n=1}^{infty} frac{b_n}{(z-z_0)^n}$ имеем $left|frac{1}{z-z_0}right|<r_1$ , или $|z-z_0|>frac{1}{r_1}=R$ .

Если r<R , то исходные ряды имеют общую область сходимости — кольцо r<|z-z_0|<R . Для каждого , принадлежащего этому кольцу, получаем два сходящихся числовых ряда, которые, по свойству сходящихся числовых рядов, можно складывать. Следовательно, в области r<|z-z_0|<R можно рассматривать ряд вида

$sum_{n=0}^{infty}a_n(z-z_0)^n+sum_{n=1}^{infty} frac{b_n}{(z-z_0)^n}= sum_{n=-infty}^{infty} c_n(z-z_0)^n.$

(3.14)

Ряд (3.14) — ряд по целым степеням, он состоит из двух частей: первое слагаемое $sum_{n=0}^{infty} a_n(z-z_0)^n$ составляют члены ряда с положительными степенями; второе слагаемое $sum_{n=1}^{infty} frac{b_n}{(z-z_0)^n}$ — с отрицательными. Вторую часть можно записать в виде $sum_{n=-infty}^{-1} b_{-n}(z-z_0)^n$ , после чего становится понятней возможность записи суммы двух рядов в виде одного ряда, а именно по формуле (3.14), где полагаем c_n=a_n для ngeqslant0 и $c_n=b_{-n}$ для n<0 .

Используя для составляющих ряда (3.14) — рядов $sum_{n=0}^{infty}a_n(z-z_0)^n$ и $sum_{n=1}^{infty} b_nw^n$ свойства степенных рядов (см. утверждение 3.1), можно сформулировать следующее утверждение для рядов по целым степеням.

Утверждение 3.2

1. Ряд $sum_{n=-infty}^{infty}c_n(z-z_0)^n$ сходится в кольце r<|z-z_0|<R .
2. В кольце r_1leqslant |z-z_0|leqslant R_1 , где r_1>r,~ R_1<R , ряд сходится равномерно.
3. В кольце сумма ряда (3.14) — функция аналитическая и ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз.

Пример 3.12. Найти кольцо сходимости и сумму ряда $sum_{n=1}^{infty} frac{z^n}{3^n}+ sum_{n=-infty}^{-1}frac{z^n}{2^n}$ .

Решение

Запишем ряд в виде $sum_{n=1}^{infty} !left(frac{z^n}{3^n}+ frac{2^n}{z^n}right)$ и, повторяя решение примера 3.4, находим кольцо сходимости ряда 2<|z|<3 . Сумму ряда S(z) можно записать в виде S(z)= S_1(z)+ S_2(z) , где S_1 -сумма ряда $sum_{n=1}^{infty} !left(frac{z}{3} right)^n$ , S_2 — ряда $sum_{n=1}^{infty}!left(frac{2}{z}right)^n$ . Для нахождения суммы этих рядов применим формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Получаем $S_1=frac{frac{z}{3}}{1-frac{z}{3}}$ для |z|<3 и $S_2=frac{frac{2}{z}}{1-frac{2}{z}}$ для |z|>2 . Окончательный ответ:

$S(z)= frac{z}{3-z}+frac{2}{z-2}= frac{z^2-4z+6}{(z-2)(3-z)},.$

Заметим, что функция S(z) является аналитической всюду, кроме точек z=2 и z=3 , суммой данного ряда она является только в кольце 2<|z|<z .

Отметим также, что в данном ряде отсутствует свободный член. Ряд $sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{3^n}+ sum_{n=-infty}^{-1}frac{z^n}{2^n}$ , где свободный член равен 1 (при n=0 ), очевидно, сходится в том же кольце, а сумма его равна

$S(z)=S_1(z)+S_2(z)= frac{1}{1-frac{z}{3}}+frac{2}{z-2}= frac{z}{(3-z)(z-2)},.$

Она действительно отличается только на величину свободного члена, т.е. на единицу от найденной выше.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Определение.
Степенным
рядом с комплексными членами называется
ряд вида ,

где
– постоянные комплексные числа
(коэффициенты ряда),
– фиксированное комплексное число (центр
круга сходимости). Для любого численного
значения z
ряд превращается в числовой ряд с
комплексными членами, сходящийся или
расходящийся. Если ряд сходится в точке
z,
то эта точка называется точкой сходимости
ряда. Степенной ряд имеет по меньшей
мере одну точку сходимости – точку .
Совокупность точек сходимости называется
областью сходимости ряда.

Как и для степенного
ряда с действительными членами, все
содержательные сведения о степенном
ряде содержатся в теореме Абеля.

Теорема
Абеля. Если
степенной ряд сходится в точке ,
то

он абсолютно
сходится в любой точке круга ;
Если этот ряд
расходится в точке ,
то он расходится в любой точке z,
удовлетворяющей неравенству
(т.е. находящейся дальше от точки ,
чем ).

Доказательство
дословно повторяет доказательство
раздела 18.2.4.2.
Теорема Абеля
для ряда с действительными членами.

Из теоремы Абеля
следует существование такого
неотрицательного действительного числа
R,
что ряд абсолютно сходится в любой
внутренней точке круга радиуса R
с центром в точке ,
и расходится в любой точке вне этого
круга. Число R
называется радиусом
сходимости,
круг – кругом
сходимости.
В точках границы этого круга – окружности

радиуса R
с центром в точке
– ряд может и сходиться, и расходиться.
В этих точках ряд из модулей имеет вид
.
Возможны такие случаи:

1. Ряд
сходится. В этом случае в любой точке
окружности
ряд сходится абсолютно.

2. Ряд
расходится, но его общий член .
В этом случае в некоторых точках
окружности ряд может сходиться условно,
в других – расходиться, т.е. каждая точка
требует индивидуального исследования.

3. Ряд
расходится, и его общий член
не стремится к нулю при .
В этом случае ряд расходится в любой
точке граничной окружности.

Примеры.

1. .
Ряд из модулей: .
Признак Даламбера: .
Радиус и круг сходимости определены.
На границе круга сходимости – окружности

– ряд из модулей
сходится, следовательно, исходный ряд
абсолютно сходится в любой точке этой
окружности.

2. .
Ряд из модулей: .
Признак Коши: .

На границе круга
ряд из модулей имеет вид
.
Предел общего члена ,
поэтому ряд расходится в любой точке
граничной окружности.

3. .
Ряд из модулей: .
Признак Даламбера: .
На границе круга сходимости ряд из
модулей
расходится (интегральный признак Коши),
однако общий член ,
поэтому в различных точках ряд может и
сходиться, и расходится. Так, в точке

ряд имеет вид
и, как ряд Лейбница, сходится условно;
в точке
ряд имеет вид ,
следовательно, расходится.

19.4. Элементарные функции комплексной переменной.

1. Степенная
функция ,

– натуральное. Определена, однозначна
и аналитична на всей плоскости С.
Действительно, при n=1

(или, непосредственно, ).
Далее,
дифференцируема как произведение
дифференцируемых функций. Её производная

отлична от нуля при ,
следовательно, отображение
при
конформно в этих точках. (Углы с вершиной
в точке
увеличиваются в n
раз). Отображение неоднолистно при
на всей плоскости С;
для его однолистности в некоторой
области
необходимо, чтобы область помещалась
в некоторый сектор раствора .

2. Показательная
функция .
Определим эту функцию предельным
соотношением .
Докажем, что этот предел существует при
:
,
модуль этого числа обозначим :
,
аргумент –:

(при достаточно больших n
дробь
лежит в правой полуплоскости). ,
следовательно, существует .

При мнимом
отсюда следует, что ,
теперь формула Эйлера окончательно
доказана.

Кратко перечислим
свойства этой функции.

1. Функция
аналитична на всей плоскости С,
и
(доказано в разделе 19.3.3.
Примеры вычисления производных).

2.
(проверяется непосредственно).

3. Функция
периодическая, с мнимым основным периодом

()

Из этого свойства
следует, что для однолистности отображения

необходимо, чтобы область D
не содержала пары точек, связанных
соотношением ,
такой областью является, например,
полоса ,
преобразуемая в плоскость С
с выброшенной положительной полуосью.

3. Тригонометрические
функции.
Определим эти функции соотношениями
,
.
Все свойства этих функций следуют из
этого определения и свойств показательной
функции. Эти функции периодичны с
периодом ,
первая из них четна, вторая – нечетна,
для них сохраняются обычные формулы
дифференцирования
,
сохраняются обычные тригонометрические
соотношения (
– проверяется непосредственно, ,
формулы сложения и т.д.)

4. Гиперболические
функции. Эти
функции определяются соотношениями ,
.
Из определений следует связь
тригонометрических и гиперболических
функций: ,
.

5. Функция
.
Это n-значная
функция (раздел 19.1.3),
все значений которой даются формулами
,
.
Функция

определяется равенством
.

6. Логарифмическая
функция

определяется при
как функция, обратная показательной:

,
если .
Если ,
то последнее равенство означает, что
,
откуда .
Таким образом,
– функция многозначная (бесконечнозначная);
её значение при
называется главным и обозначается :
.
Так, ,
где k
– произвольное целое число.

7. Общая показательная

и общая степенная
(а,
z
– произвольные комплексные числа,
)
функции определяются соотношениями
,
и,следовательно,
бесконечнозначны.

8. Обратные
тригонометрические и обратные
гиперболические функции
определяются так же, как и в действительном
случае (,
если ,
например), и выражаются через .
Найдём, например, .
По определению, это такое число w,
что ,
или
.
Так как,
получаем две серии значений: ,

Соседние файлы в папке lekciiTFKP

Источник

Степенные ряды

3 раздела

от теории до практики

2 примера

Примеры решения задач

видео

Примеры решения задач

Радиус и круг сходимости степенного ряда.

Начать изучение
Регулярные функции.

Начать изучение
Свойства степенных рядов.

Начать изучение

Радиус и круг сходимости степенного ряда.

Функциональные ряды вида
$$
sum_{n=0}^{infty}c_{n}(zeta — a)^{n},label{ref1}
$$
где (c_{n} (n = 1, 2, ldots)) и (a) — заданные комплексные числа, (zeta) — комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа (c_{n}) — коэффициентами степенного ряда eqref{ref1}.

Полагая в eqref{ref1} (z = zeta — a), получим ряд
$$
sum_{n=0}^{infty}c_{n}z^{n},label{ref2}
$$
исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда eqref{ref1}.

Теорема 1 (Абеля).

Если степенной ряд eqref{ref2} сходится при (z = z_{0} neq 0), то он сходится, и притом абсолютно, при любом (z) таком, что (|z| < |z_{0}|); а если этот ряд расходится при (z = z_{1} neq 0), то он расходится при всяком (z), для которого (|z| > |z_{1}|).

Доказательство.

(circ) Пусть (K_{0} = {z: |z| < |z_{0}|}) — круг на комплексной плоскости с центром в точке (O) (рис. 43.1) радиуса (|z_{0}|), и пусть (z) — произвольная точка круга (K_{0}), то есть (|z| < |z_{0}|), и поэтому
$$
q = left|frac{z}{z_{0}}right| < 1,label{ref3}
$$

Рис. 43.1
Так как ряд eqref{ref2} сходится в точке (z_{0}), то должно выполняться условие
$$
lim_{n rightarrow infty}c_{n}z_{0}^{n} = 0,nonumber
$$
откуда следует ограниченность последовательности ({c_{n}z_{0}^{n}}), то есть
$$
exists M > 0: forall n in mathbb{N} rightarrow |c_{n}z_{0}^{n}| leq M.label{ref4}
$$
Используя неравенства eqref{ref3} и eqref{ref4}, получаем
$$
|c_{n}z^{n}| = |c_{n}z_{0}^{n}|left|frac{z}{z_{0}}right|^{n} leq M q^{n}, mbox{где} 0 leq q < 1.label{ref5}
$$
Так как ряд (displaystylesum_{n=0}^{infty}M q^{n}), где (0 leq q < 1), сходится, то по признаку сравнения сходится ряд (displaystylesum_{n=0}^{infty}|c_{n}z^{n}|), то есть ряд eqref{ref2} сходится абсолютно в каждой точке круга (K_{0}).
Пусть ряд eqref{ref2} расходится в точке (z_{1} neq 0). Тогда он должен расходиться в любой точке (tilde{z}) такой, что (|z_{1}| < |tilde{z}|), так как в противном случае по доказанному выше ряд eqref{ref2} сходился бы в точке (z_{1}). (bullet)

Следствие 1.

Если ряд eqref{ref2} сходится в точке (z_{0} neq 0), то в круге (K_{1} = {z: |z| < p}), где (p < |z_{0}|), этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

(circ) Если (z in K_{1}), то (|c_{n}z^{n}| leq M q_{1}^{n}), где (q_{1} = displaystylefrac{p}{|z_{0}|}) и поэтому (0 leq q_{1} < 1), причем (q_{1}) не зависит от (z). По признаку Вейерштрасса ряд eqref{ref2} сходится абсолютно и равномерно в круге (K_{1}). (bullet)

Следствие 2.

Если ряд eqref{ref2} сходится в точке (z_{0} neq 0), то ряды
$$
sum_{n = m}^{infty}c_{n}z^{n — m},quad m in mathbb{N},label{ref6}
$$
$$
sum_{n = 1}^{infty}nc_{n}z^{n — 1}label{ref7}
$$
сходятся абсолютно в круге (K_{0}), а в круге (K_{1}) — абсолютно и равномерно.

(circ) Для ряда eqref{ref6} в круге (K_{0}) выполняется неравенство
$$
|c_{n}z^{n — m}| leq frac{M}{|z_{0}|^{m}}q^{n — m}, 0 leq q < 1,nonumber
$$
в круге (K_{1}) — неравенство
$$
|c_{n}z^{n — m}| leq frac{M}{|z_{0}|^{m}}q_{1}^{n — m}, 0 leq q < 1,nonumber
$$
и (q_{1} = displaystylefrac{p}{|z_{0}|}) не зависит от (z). Для ряда eqref{ref7} в кругах (K_{0}) и (K_{1}) справедливы соответственно неравенства
$$
|nc_{n}z^{n — 1}| leq frac{M}{|z_{0}|}nq^{n — 1} qquad mbox{и}qquad |nc_{n}z^{n — 1}| leq frac{M}{|z_{0}|}nq_{1}^{n — 1}.nonumber
$$
Далее следует использовать сходимость рядов (displaystylesum_{n = 1}^{infty}Aq^{n}) и (displaystylesum_{n = 1}^{infty}Bnq^{n-1}), где (A > 0), (B > 0), (0 leq q < 1). (bullet)

Теорема 2.

Для всякого степенного ряда eqref{ref2} существует (R) ((R geq 0) — число или (+infty)) такое, что:

если (R neq 0) и (R neq +infty), то ряд eqref{ref2} абсолютно сходится в круге (K = {z: |z| < R}) и расходится вне круга (K); этот круг называют кругом сходимости ряда eqref{ref2}, а (R) — радиусом сходимости ряда;
если (R = 0), то ряд eqref{ref2} сходится в одной точке (z = 0);
если (R = +infty), то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Доказательство.

(circ) Пусть (D) — множество всех точек сходимости ряда eqref{ref2}. Это непустое множество, так как в точке (z = 0) ряд eqref{ref2} сходится.

Если (D) — неограниченное множество, то ряд eqref{ref2} сходится в произвольной точке (tilde{z}) комплексной плоскости. В самом деле, возьмем точку (z_{0} in D) такую, что (|tilde{z}| < |z_{0}|). Тогда по теореме Абеля ряд eqref{ref2} будет сходиться в точке (tilde{z}).

Пусть (D) — ограниченное множество. Если (D) состоит из одной точки (z = 0), то ряд eqref{ref2} сходится при (z = 0) и расходится при (z neq 0). В этом случае (R = 0). Если (D) содержит хотя бы одну точку, отличную от (z = 0), то, обозначив (R = sup_{z in D} |z|), докажем, что ряд eqref{ref2} сходится в круге (K = {z: |z| < R}) и расходится в каждой точке, лежащей вне этого круга. Пусть (tilde{z}) — произвольная точка круга (K), тогда (|tilde{z}| < R). По определению точной верхней грани
$$
exists z_{1} in D: |tilde{z}| < |z_{1}| < R.nonumber
$$

Так как ряд eqref{ref2} сходится в точке (z_{1}), то по теореме Абеля он абсолютно сходится в точке (tilde{z}). Итак, в каждой точке, лежащей внутри круга (K), ряд eqref{ref2} абсолютно сходится.

Пусть точка (z’) лежит вне круга (K), то есть (|z’| > R). Тогда (z’ in D) (по определению точной верхней грани), и поэтому ряд eqref{ref2} расходится в точке (z’). (bullet)

Замечание 1.

На границе круга (K) ряд eqref{ref2} может как сходиться, так и расходиться. В любом меньшем круге (K_{1} = {z: |z| leq p < R}) ряд eqref{ref2} сходится абсолютно и равномерно.

Теорема 3 (Абеля).

Если (R) — радиус сходимости степенного ряда eqref{ref2}, причем (0 < R < +infty), и если этот ряд сходится при (z = R), то он сходится равномерно на отрезке ([0, R]), а его сумма непрерывна на этом отрезке.

Доказательство.

(circ) Теорема приводится без доказательства. (bullet)

Теорема 4.

Если существует конечный или бесконечный (displaystylelim_{n rightarrow infty} sqrt[n]{|c_{n}|}), то для радиуса (R) сходимости ряда eqref{ref2} справедлива формула
$$
frac{1}{R} = lim_{n rightarrow infty} sqrt[n]{|c_{n}|},label{ref8}
$$
а если существует конечный или бесконечный (displaystylelim_{n rightarrow infty} left|frac{c_{n}}{c_{n + 1}}right|), то
$$
R = lim_{n rightarrow infty} left|frac{c_{n}}{c_{n + 1}}right|,label{ref9}
$$

Доказательство.

(circ) Докажем формулу eqref{ref8}. Обозначим (rho = displaystylelim_{n rightarrow infty} sqrt[n]{|c_{n}|}).

Пусть (0 < rho < +infty) и пусть (z_{0}) — произвольная точка круга (K = {z: |z| < 1/rho}), тогда (|z_{0}| < 1/rho) и
$$
lim_{n rightarrow infty} sqrt[n]{|c_{n}z_{0}^{n}|} = |z_{0}| lim_{n rightarrow infty} sqrt[n]{|c_{n}|} = |z_{0}| rho < 1.nonumber
$$
По признаку Коши ряд (displaystylesum_{n=0}^{infty}c_{n}z_{0}^{n}) абсолютно сходится. Так как (z_{0}) — произвольная точка крута (K), то ряд eqref{ref2} абсолютно сходится в этом круге.Пусть точка (tilde{z}) лежит вне круга (K). Тогда (|tilde{z}| > 1/rho), и поэтому (displaystylelim_{n rightarrow infty} sqrt[n]{|c_{n}tilde{z}^{n}|}). Следовательно, ряд (displaystylesum_{n=0}^{infty}c_{n}tilde{z}^{n}) расходится при (|tilde{z}| > 1/rho).Таким образом, если правая часть равенства eqref{ref8} — положительное число, то ряд eqref{ref2} сходится в круге (K) и расходится вне этого круга. Следовательно, (1/rho) — радиус сходимости ряда eqref{ref2}.
Если (rho = 0), то (displaystylelim_{n rightarrow infty} sqrt[n]{|c_{n}z^{n}|} = |z|rho = 0) для любой точки (z) комплексной плоскости, и поэтому ряд eqref{ref2} сходится при любом (z). Это означает, что радиус сходимости ряда (R = +infty) . И в этом случае формула eqref{ref8} верна, если считать, что (1/rho = 0).
Если (rho = +infty), то для любой точки (z neq 0) имеем (displaystylelim_{n rightarrow infty} sqrt[n]{|c_{n}z^{n}|} = |z| lim_{n rightarrow infty} sqrt[n]{|c_{n}|} = +infty), и поэтому ряд eqref{ref2} при (z neq 0) расходится. Это означает, что (R = 0).Аналогично можно доказать формулу eqref{ref9}, используя признак Д’Аламбера сходимости рядов. (bullet)

Замечание 2.

Пределы eqref{ref8} и eqref{ref9} могут не существовать. Однако имеется универсальная формула для вычисления радиуса сходимости (R) степенного ряда eqref{ref2}, а именно формула
$$
frac{1}{R} = overline{lim_{n rightarrow infty}} sqrt[n]{|c_{n}|},label{ref10}
$$
которую называют формулой Коши-Адамара.

Напомним, что символом (displaystyleoverline{lim_{n rightarrow infty}} x_{n}) обозначается точная верхняя грань множества всех частичных пределов последовательности ({x_{n}}).

Например, если (x_{n} = 1 + (-1)^{n}), то (displaystyleoverline{lim_{n rightarrow infty}}x_{n} = 2).

Пример 1.

Найти радиус сходимости (R) степенного ряда (displaystylesum_{n=0}^{infty}c_{n}z^{n}),

(c_{n} = displaystylefrac{a^{n}}{n!}, a > 0;)
(c_{n} = displaystylefrac{(1 + i)^{n}}{n3^{n}};)
(c_{n} = displaystylefrac{n^{n}}{e^{n}n!}.)

Решение.

(vartriangle) Так как (displaystylefrac{c_{n}}{c_{n + 1}} = frac{n + 1}{a} rightarrow +infty), тo при (n rightarrow infty), то по формуле eqref{ref9} находим (R = +infty).
В этом случае (c_{n} = displaystylefrac{(sqrt{2})^{n}}{n3^{n}}), и поэтому (displaystylesqrt[n]{|c_{n}|} rightarrow frac{sqrt{2}}{3}) при (n rightarrow infty), так как (sqrt[n]{n} rightarrow 1) при (n rightarrow infty). По формуле eqref{ref8} находим (R = displaystylefrac{3}{sqrt{2}}).
Так как (c_{n + 1} = displaystyle c_{n}left(frac{n + 1}{n}right)^{n}frac{1}{e}), то (displaystylefrac{c_{n}}{c_{n + 1}} = frac{e}{displaystyleleft(1 + frac{1}{n}right)^{n}} rightarrow 1) при (n rightarrow infty), и по формуле eqref{ref9} находим (R = 1). (blacktriangle)

Пример 2.

Найти радиус сходимости (R) степенного ряда (displaystylesum_{n=0}^{infty}2^{n}z^{5n}).

Решение.

(vartriangle) Обозначим (2z^{5} = t). Тогда (displaystylesum_{n=0}^{infty}2^{n}z^{5n} = sum_{n=0}^{infty}t^{n}), причем ряд (sum_{n=0}^{infty}t^{n}) сходится, если (|t| < 1), и расходится, если (|t| > 1). Поэтому ряд (displaystylesum_{n=0}^{infty}2^{n}z^{5n}) сходится, если (2|z|^{5} < 1), то есть при (|z| < displaystylefrac{1}{sqrt[5]{2}}), и расходится при (|z| > displaystylefrac{1}{sqrt[5]{2}}). Итак, радиус сходимости (R = displaystylefrac{1}{sqrt[5]{2}}). Тот же результат следует из формулы eqref{ref10}, так как
$$
overline{lim_{n rightarrow infty}} sqrt[n]{|c_{n}|} = lim_{n rightarrow infty} sqrt[5n]{2^{n}} = sqrt[5]{2}. blacktrianglenonumber
$$

Для степенного ряда (displaystylesum_{n=0}^{infty}c_{n}(z — a)^{n}) круг сходимости (K) имеет вид (K = {z: |z — a| < R}). Например, степенной ряд (displaystylesum_{n=0}^{infty}n_{2}(z — 1)^{n}) сходится в круге (K = {z: |z — 1| < 1}) и расходится вне этого круга.

Для степенного ряда вида
$$
sum_{n=0}^{infty}a_{n}(x — x_{0})^{n},label{ref11}
$$
где (a_{n} (n = 0, 1, 2, …)), (x_{0}) — заданные действительные числа, (x) — действительное переменное, существует, согласно теореме 2, такое (R) ((R geq 0) — число или (+infty)), что при (R neq 0, +infty) ряд eqref{ref11} сходится, если (|x — x_{0}| < R), и расходится, если (|x — x_{0}| > R). Интервал ((x_{0} — R, x_{0} + R)) называют интервалом сходимости, a (R) — радиусом сходимости ряда eqref{ref11}. Радиус сходимости ряда eqref{ref11} совпадает с радиусом сходимости ряда (displaystylesum_{n=0}^{infty}a_{n}(z — x_{0})^{n}), где (z) — комплексное переменное. При (R = 0) ряд eqref{ref11} сходится лишь в точке (x = x_{0}), а при (R = +infty) — на всей числовой прямой.

Регулярные функции.

Введем понятие функции комплексного переменного. Пусть каждой точке (z in E), где (E) — множество точек комплексной плоскости, поставлено в соответствие комплексное число (w). Тогда говорят, что на множестве (E) определена функция комплексного переменного, и пишут (w = f(z)), где символом (f) обозначено правило (закон), определяющее это соответствие.

Понятия предела, непрерывности, производной для функции комплексного переменного вводятся по аналогии с соответствующими понятиями для функции действительного переменного. Если
$$
forall varepsilon > 0 exists delta = delta_{varepsilon} > 0: forall z: |z — a| < delta_{varepsilon} rightarrow |f(z) — f(a)| < varepsilon,nonumber
$$
то функцию (f(z)) называют непрерывной в точке (a).

Отметим еще, что понятие равномерной сходимости ряда (displaystylesum_{n=0}^{infty}u_{n}(z)) с комплексными членами формально вводится так же, как и для рядов с действительными членами, а сумма равномерно сходящегося ряда, составленного из непрерывных функций комплексного переменного, есть непрерывная функция.

Введем важное для функций комплексного переменного понятие регулярности.

Определение.

Функция комплексного переменного (f(z)) называется регулярной (однозначной аналитической, голоморфной) в точке (a), если она определена в некоторой окрестности точки (a) и представима в некотором круге (|z — a| < rho), (rho > 0), сходящимся к (f(z)) степенным рядом
$$
f(z) = sum_{n=0}^{infty}c_{n}(z — a)^{n}.label{ref12}
$$

Отметим, что любой многочлен, то есть функция вида (P(z) = displaystylesum_{k = 0}^{infty}a_{k}z^{k}), является регулярной функцией в каждой точке комплексной плоскости.

Рациональная функция (f(z) = displaystylefrac{P_{n}(z)}{Q_{m}(z)}), где (P_{n}) и (Q_{m}) — многочлены степени (n) и (m) соответственно, регулярна в каждой точке (a), в которой (Q_{m} neq 0). Если многочлены (P_{n}) и (Q_{m}) не имеют общих корней и если (z = z_{0}) — корень многочлена (Q_{m}(z)), то (displaystylelim_{z rightarrow z_{0}}f(z) = infty), а точку (z_{0}) называют полюсом функции (f(z)). Полюсы — один из типов особых точек функций комплексного переменного.

В теории функций комплексного переменного доказывается, что на границе круга сходимости степенного ряда (displaystylesum_{n=0}^{infty}c_{n}(z — a)^{n}) лежит хотя бы одна особая точка его суммы (f(z)) и что радиус сходимости этого ряда равен расстоянию от точки (a) до ближайшей к (a) особой точки функции (f(z)).

В частности, если (f(z) = displaystylefrac{P_{n}(z)}{Q_{m}(z)}), причем многочлены (P_{n}) и (Q_{m}) не имеют общих корней, то радиус сходимости (R) степенного ряда (displaystylesum_{n=0}^{infty}c_{n}(z — a)^{n}) равен расстоянию от точки (a) до ближайшего к этой точке корня многочлена (Q_{m}(z)), то есть
$$
R = min_{1 leq k leq m} |z_{k} — a|,nonumber
$$
где (z_{k} (k = overline{1, m})) — корни многочлена (Q_{m}(z)) (предполагается, что (a neq z_{k}), (k = overline{1, m})).

Например, если (f(z) = displaystylefrac{2z}{(z-3)(z^{2} + 1)}), то корнями многочлена ((z-3)(z^{2} + 1)) являются числа (z_{1} = 3), (z_{2} = i), (z_{3} = -i). Поэтому радиус сходимости (R) степенного ряда (displaystylesum_{n=0}^{infty}c_{n}(z-1)^{2}) равен наименьшему из чисел (|3-1|, |i-1|, |i+1|), то есть равен (sqrt{2}).

Теорема 5.

Функция (f(z)), регулярная в точке (a), единственным образом представляется рядом eqref{ref12}.

Доказательство.

(circ) Пусть функция (f(z)) имеет два представления в виде степенного ряда eqref{ref12} в круге (K = {z: |z — a| < rho}), где (rho > 0), то есть
$$
f(z) = sum_{n=0}^{infty}c_{n}(z — a)^{n} = sum_{n=0}^{infty}tilde{c}_{n}(z — a)^{n}.label{ref13}
$$
Докажем, что (c_{n} = tilde{c}_{n}) для (n = 0, 1, 2, …)

По условию ряды (displaystylesum_{n=0}^{infty}c_{n}(z — a)^{n}) и (displaystylesum_{n=0}^{infty}tilde{c}_{n}(z — a)^{n}) сходятся в круге (K), и поэтому (см. следствие 1 из теоремы 1) эти ряды сходятся равномерно в круге (K_{1} = {z: |z — a| leq rho_{1} < rho}), а их общая сумма -непрерывная в круге (K_{1}) функция. В частности, функция (f(z)) непрерывна в точке (a). Подходя к пределу при (z rightarrow a) в равенстве eqref{ref13}, получаем (c_{0} = tilde{c}_{0}). Отбрасывая одинаковые слагаемые (c_{0}) и (tilde{c}_{0}) в равенстве eqref{ref13}, получаем после деления на (z — a) равенство
$$
c_{1} + c_{2}(z — a) + c_{3}(z — a)^{2} + ldots = tilde{c}_{1} + tilde{c}_{2}(z — a) + tilde{c}_{3}(z — a)^{2} + ldots,label{ref14}
$$
которое справедливо в круге (K) с выколотой точкой (а). Ряды в левой и правой частях eqref{ref14} сходятся равномерно в круге (K_{1}) (следствие 2 из теоремы 1), а их общая сумма непрерывна в круге (K_{1}). Переходя в равенстве eqref{ref14} к пределу при (z rightarrow a), получаем (c_{1} = tilde{c}_{1}). Справедливость равенства (c_{n} = tilde{c}_{n}) при любом (n) устанавливается с помощью индукции. (bullet)

Свойства степенных рядов.

Теорема 6.

Степенные ряды
$$
sum_{n=0}^{infty}c_{n}z^{n},label{ref15}
$$
$$
sum_{n=0}^{infty}frac{c_{n}}{n + 1}z^{n + 1},label{ref16}
$$
$$
sum_{n=0}^{infty}nc_{n}z^{n — 1}label{ref17}
$$
имеют один и тот же радиус сходимости.

Доказательство.

(circ) Пусть (R), (R_{1}) и (R_{2}) — радиусы сходимости рядов eqref{ref15}, eqref{ref16} и eqref{ref17} соответственно, (K), (K_{1}) и (K_{2}) — круги сходимости этих рядов. Докажем, что
$$
R_{1} = R = R_{2}.label{ref18}
$$

Так как (displaystylefrac{1}{n + 1} leq 1 leq n) для любого (n in mathbb{N}), то
$$
left|frac{c_{n}}{n + 1}z^{n + 1}right| leq |z| cdot |c_{n}z^{n}| leq |z|^{2} cdot |nc_{n}z^{n — 1}|.label{ref19}
$$
Неравенства eqref{ref19} справедливы при любом (n in mathbb{N}) и при любом (z).

Пусть (z = z_{0} in K_{2}) и (z_{0} neq 0). Тогда по теореме 2 ряд eqref{ref17} сходится абсолютно в точке (z_{0}), а из правого неравенства eqref{ref19} в силу теоремы сравнения следует абсолютная сходимость ряда eqref{ref15} в точке (z_{0}). Итак, если (z_{0} in K_{2}), то (z_{0} in K_{1}), и поэтому
$$
R_{2} leq R.label{ref20}
$$
Аналогично, если (z = z_{0} neq 0) и (z_{0} in K), то из левого неравенства eqref{ref19} следует, что ряд eqref{ref16} абсолютно сходится в точке (z_{0}). Таким образом, если (z_{0} in K), то (z_{0} in K_{1}) и поэтому
$$
R leq R_{1}.label{ref21}
$$
Из eqref{ref20} и eqref{ref21} получаем двойное неравенство
$$
R_{1} leq R leq R_{2}.label{ref22}
$$
Докажем, что
$$
R_{1} leq R_{2}.label{ref23}
$$
Пусть (z_{0} in K_{1}) и (z_{0} neq 0). Тогда (|z_{0}| < R_{1}), и ряд eqref{ref16} абсолютно сходится в точке (z_{0}) (теорема 2). Выберем (rho) так, чтобы выполнялись неравенства
$$
|z_{0}| < rho < R_{1}.label{ref24}
$$
Запишем следующее равенство:
$$
|nc_{n}z_{0}^{n — 1}| = left|frac{c_{n}rho^{n + 1}}{n + 1}right|left(frac{|z_{0}|}{rho}right)^{n + 1} frac{n(n + 1)}{|z_{0}|^{2}}.label{ref25}
$$
Так как (rho in K) в силу условия eqref{ref24}, то ряд eqref{ref16} сходится при (z = rho), и поэтому
$$
exists m > 0: forall n in mathbb{N} rightarrow left|frac{c_{n}rho^{n + 1}}{n + 1}right| leq M.label{ref26}
$$
Обозначим (displaystylefrac{|z_{0}|}{rho} = q). Тогда (0 < q < 1), так как (z_{0} neq 0), и выполняется условие eqref{ref24}. Из равенства eqref{ref25} в силу условия eqref{ref26} следует, что
$$
|nc_{n}z_{0}^{n — 1}| leq frac{M}{|z_{0}|^{2}}n(n + 1)q^{n + 1}, 0 < q < 1.label{ref27}
$$
Так как ряд (displaystylesum_{n = 1}^{infty}frac{M}{|z_{0}|^{2}}n(n + 1)q^{n + 1}), где (0 < q < 1), сходится по признаку Д’Аламбера, то из eqref{ref27} следует абсолютная сходимость ряда eqref{ref17} в точке (z_{0}). Итак, если (z_{0} in K_{1}), то (z_{0} in K_{2}), откуда получаем
$$
R_{1} leq R_{2}.label{ref28}
$$
Из неравенств eqref{ref22} и eqref{ref28} следует равенство eqref{ref18}. (bullet)

Обратимся теперь к степенным рядам вида eqref{ref11}, где коэффициенты ряда — действительные числа, а переменное (x) принимает действительные значения.

Теорема 7.

Если ряд
$$
sum_{substack{k = 0} }^{infty}a_{k}(x — x_{0})^{k} = f(x)label{ref29}
$$
имеет радиус сходимости (R > 0), то:

в интервале сходимости ((x_{0} — R, x_{0} + R)) функция (f) имеет производные любого порядка, получаемые почленным дифференцированием ряда eqref{ref29};
внутри интервала сходимости этот ряд можно почленно интегрировать, то есть для любого (x in (x_{0} — R, x_{0} + R)) справедливо равенство
$$
intlimits_{x_{0}}^x f(t) dt = sum_{substack{k = 0} }^{infty}a_{k}frac{(x — x_{0})^{k + 1}}{k + 1}.label{ref30}
$$

Доказательство.

(circ) Рассмотрим ряд
$$
sum_{k = 1}^{infty} k a_{k} (x — x_{0})^{k — 1}.label{ref31}
$$
составленный из производных членов ряда eqref{ref29}. По теореме 6 ряд eqref{ref31} имеет тот же радиус сходимости, что и ряд eqref{ref29}, а по следствию 1 из теоремы 1 ряд eqref{ref31} сходится равномерно на отрезке (Delta_{rho} = [x_{0} — rho, x_{0} + rho]), где (rho) — произвольное число такое, что (0 < rho < R).

В силу теоремы о почленном дифференцировании рядов ряд eqref{ref29} можно почленно дифференцировать на (Delta_{rho}), а значит, и в любой точке (x in (x_{0} — R, x_{0} + R)), то есть справедливо равенство
$$
f'(x) = sum_{k = 1}^{infty} k a_{k} (x — x_{0})^{k — 1},quad x in (x_{0} — R, x_{0} + R).label{ref32}
$$
По индукции доказывается, что
$$
f^{(n)}(x) = sum_{k = n}^{infty} a_{k} k(k — 1)ldots(k — (n -1))(x — x_{0})^{k — n}.label{ref33}
$$
где (n in mathbb{N}), (x in (x_{0} — R, x_{0} + R)), то есть ряд eqref{ref29} можно почленно дифференцировать любое число раз.

Справедливость равенства eqref{ref30} следует из теоремы о почленном интегрировании функциональных рядов. (bullet)

Следствие.

Коэффициенты ряда eqref{ref29}, имеющего радиус сходимости (R > 0), выражаются формулами
$$
a_{0} = f(x_{0}),quad a_{n} = frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!},quad n in mathbb{N}.label{ref34}
$$

(circ) Формулы eqref{ref34} получаются из равенств eqref{ref29} и eqref{ref33} при (x = x_{0}). (bullet)

Замечание 3.

Из формул eqref{ref34} следует единственность разложения функции (f(x)) в степенной ряд вида eqref{ref29}.

Источник

Введение

Теория функций комплексной переменной (ТФКП) дошла до наших дней почти в том виде, в котором оставил нам ее создатель великий французский математик Огюстен Коши (1789–1857 гг.).

ТФКП как продолжает, так и расширяет идеи математического анализа функций действительной переменной. Обычные определения, известные из алгебры чисел и математического анализа функций действительной переменной, остаются почти без изменений, но их содержание меняется весьма существенным образом. Хорошо известно, что уже обычные простейшие операции над действительными числами могут вывести за пределы их области. И решения большинства алгебраических уравнений не могут быть выражены только обычными действительными числами. Поэтому приходится расширять область действительных чисел, а таким расширением этой области и является область комплексных чисел.

Основное понятие комплексного анализа аналитическая функция. Это понятие позволяет доказать теоремы о существовании производных любого порядка от этих функций, о независимости интегралов от формы пути интегрирования. Позволяет сравнительно единообразно вычислять сложные интегралы с помощью вычетов и многое другое.

В данных методических указаниях изложены основные вопросы теории функций комплексной переменной в соответствии с действующими рабочими программами для студентов всех направлений подготовки бакалавров инженерно-технических специальностей вуза.

Каждый из выделенных параграфов содержит краткое изложение основных теоретических сведений, практическое руководство по решению стандартных математических задач. В конце предлагаются варианты заданий для расчетно-графической работы.

1. Функциональные ряды в комплексной области.
Степенные ряды

Пусть – последовательность функций, определенных на множестве . Функциональным рядом в комплексной области называется выражение

, (1)

где . Функции , называются членами ряда. Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке , если сходится числовой ряд . Функциональный ряд (1) называется абсолютно сходящимся в точке , если сходится числовой ряд . Множество точек, в которых функциональный ряд (1) сходится, называется областью сходимости ряда, а функция , – суммой функционального ряда (1).

Функциональный ряд вида

, (2)

где , комплексные постоянные, – комплексная переменная, называется степенным рядом в комплексной области. Числа называются коэффициентами ряда, – его центром.

Область определения степенного ряда – вся комплексная плоскость. Очевидно, что в точке ряд (2) сходится. Следовательно, область сходимости любого степенного ряда состоит, по крайней мере, из одной точки.

Теорема 1 (Абеля). Если степенной ряд (2) сходится в точке , то он сходится абсолютно при любом , удовлетворяющем условию .

Областью сходимости ряда (2) является круг с центром в точке . Радиус сходимости степенного ряда может быть найден по формулам:

(3)

, (4)

если указанные пределы существуют.

Если , то круг сходимости – вся конечная комплексная плоскость.

Если , то круг вырождается в точку , а в его внешности, т. е. во всей комплексной плоскости, кроме точки , ряд расходится.

На окружности ряд (2) может вести себя по-разному: может сходиться во всех точках окружности, расходиться во всех точках, может в одних сходиться, а в других расходиться.

Пример 1.1. Найти радиус сходимости степенного ряда: .

Решение. Воспользуемся формулой (3). Имеем

Пример 1.2. Найти круг сходимости степенного ряда: .

Решение. Воспользуемся формулой (4). Имеем

, ,

Следовательно, – круг сходимости данного ряда.

2. Разложение функций в ряд Тейлора

Теорема 2 (о разложении аналитической функции в степенной ряд). Пусть – аналитическая функция в области , и – расстояние от до границы . Тогда в круге функция разлагается в степенной ряд

, где , (5)

называемый рядом Тейлора функции . При этом коэффициенты ряда удовлетворяют соотношениям

(6)

при любых , .

Первый отличный от нуля член ряда Тейлора называется главным членом разложения в ряд Тейлора, а его степень – порядком главного члена.

Из этой теоремы следует еще одно определение аналитической функции.

Функция называется аналитической в точке , если она разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности точки .

Функция называется аналитической в области , если она разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности каждой точки .

Ряды Тейлора некоторых элементарных функций:

, ; (7)

, ; (8)

, ; (9)

, ; (10)

, ; (11)

, . (12)

Формула (12) называется суммой бесконечной геометрической прогрессии и является следствием (11) при .

Пример 2.1. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Найдем коэффициенты ряда Тейлора, пользуясь формулой (5):

Таким образом

Поскольку функция аналитична на всей комплексной плоскости, то по теореме 2 этот ряд сходится также при всех .

Пример 2.2. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Преобразуем данную функцию:

Обозначим и воспользуемся разложением (12) для функции при . Получим:

Из условия следует, что полученный ряд сходится при , т. е. при .

Пример 2.3. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Найдем нули знаменателя дроби: , . Так как , , то данная функция аналитична в круге как частное двух аналитических функций. Представим данную функцию в виде суммы простейших дробей:

Каждое слагаемое разложим в ряд по степеням , пользуясь формулой (12):

, ,

, .

Складывая полученные разложения и учитывая аналитичность функции в круге , получаем:

, .

Пример 2.4. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Преобразуем данную функцию и воспользуемся разложением (9):

Полученный ряд сходится на всей комплексной плоскости, так как ряд (9) сходится при всех .

3. Ряд Лорана

Рядом Лорана называется выражение

, (13)

где , . Ряд Лорана называется сходящимся на множестве , если на этом множестве сходятся оба функциональных ряда:

(14)

. (15)

Суммой ряда Лорана (13) называется сумма , где и – суммы рядов (14) и (15) соответственно. Ряд (14) называется главной, а ряд (15) – правильной частью ряда Лорана. Ряд Лорана называется абсолютно сходящимся на множестве , если на этом множестве абсолютно сходятся ряды (14) и (15).

Ряды Лорана позволяют изучать функции, аналитические в кольцах , где , .

Теорема 3 (о сходимости ряда Лорана). Ряд Лорана сходится абсолютно внутри кольца , где – радиус сходимости степенного ряда (15), а – радиус сходимости степенного ряда

, (16)

если .

Теорема 4 (Лорана). Функция , аналитическая в кольце , представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана

где

, (17)

, .

Главная часть ряда Лорана сходится во внешности круга с центром в точке и радиусом , где , как и в случае степенных рядов, может быть найден (если существуют соответствующие пределы) по формулам:

(18)

или

. (19)

При эта область вырождается в в несобственную точку , а при – во всю плоскость, за исключением, возможно, .

Пример 3.1. Найти область сходимости ряда .

Решение. Найдем круг сходимости правильной части ряда, т. е. ряда . Воспользуемся формулой (4). Так как

то это круг . Для ряда

представляющего собой главную часть данного ряда,

поэтому его область сходимости . Исходный ряд сходится в кольце .

Пример 3.2. Разложить функцию в ряд Лорана в кольце .

Решение. Записав функцию в виде

замечаем, что данная функция является аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением точек и , в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Эти точки лежат на границе данного кольца (рис. 1).

Рис. 1

Это означает, что в самом кольце функция аналитическая и, следовательно, по теореме 4 разлагается в ряд Лорана с центром в точке . Для получения этого разложения представим функцию в виде

, где , .

Функция аналитична в большем круге . Разложим ее в ряд Тейлора с центром в точке . Преобразуем следующим образом:

Положим и воспользуемся разложением (12). Получим:

, .

Функция также разлагается в ряд по положительным степеням , но этот ряд сходится лишь в круге , а мы хотим разложить функцию вне этого круга. Нужно получить разложение этой функции по отрицательным степеням. Преобразуем функцию следующим образом:

Положим и воспользуемся разложением (12). Получим:

Этот ряд сходится при , т. е. при . Окончательно получаем:

, .

Пример 3.3. Найти все возможные разложения в ряд Лорана по степеням функции .

Решение. Данная функция является аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением точек и , в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Следовательно, по теореме 4 она разлагается в ряд Лорана в любом кольце с центром в точке , не содержащем точку . Получаем два кольца: и . Найдем разложение функции в ряд Лорана в кольце . Имеем

В кольце :

Таким образом, получены два разложения данной функции в ряд Лорана по степеням :

, ,

, .

4. Изолированные особые точки аналитических функций

Точка называется правильной точкой функции , если функция аналитична в этой точке. Если функция не является аналитической в точке , но аналитична в некоторой ее проколотой окрестности , то точка называется изолированной особой точкой функции .

Так как проколотую окрестность точки можно рассматривать как частный случай кольца, то функция разлагается в нем в ряд Лорана по степеням . В зависимости от вида этого ряда различают три типа изолированных особых точек.

Изолированная особая точка для функции называется

1) устранимой, если указанный ряд Лорана содержит только правильную часть:

;

2) полюсом, если главная часть ряда Лорана содержит лишь конечное число членов:

причем , . Число называется порядком полюса, при полюс называется простым.

3) существенно особой, если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов:

причем для бесконечного числа отрицательных номеров .

Во многих вопросах комплексного анализа удобно рассматривать расширенную комплексную плоскость, т. е. плоскость, дополненную символической точкой .

Точка называется изолированной особой точкой функции , если аналитична в области (в окрестности бесконечно удаленной точки). В этом случае точка является изолированной особой точкой функции . Точка называется устранимой особой точкой, полюсом порядка или существенно особой точкой функции в зависимости от того, является ли точка устранимой особой точкой, полюсом порядка или существенно особой точкой функции .

Разложим функцию в ряд Лорана в кольце

и произведем замену переменной . Получим ряд

который называется рядом Лорана функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Ряд называется главной, а ряд – правильной частью ряда Лорана функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Если главная часть разложения отсутствует, то точка является устранимой особой точкой. В этом случае полагают по определению и говорят, что является правильной точкой функции . При этом, если является нулем порядка функции , то говорят, что является нулем порядка функции .

Теорема 5 (о связи между нулем и полюсом). Точка является полюсом порядка функции тогда и только тогда, когда она является нулем порядка функции .

Теорема 6 (о существенно особой точке). Если существует окрестность существенно особой точки аналитической функции , в которой , то точка является существенно особой и для функции .

Теорема 7 (Сохоцкого). Если – существенно особая точка функции , то для любого существует последовательность точек , , сходящаяся к точке , такая что .

Функция, аналитическая на всей комплексной плоскости, называется целой. Целая функция, для которой точка является существенно особой точкой, называется целой трансцендентной. Функция, аналитическая в области всюду, кроме полюсов, называется мероморфной в .

На практике при определении вида особых точек часто бывает полезен следующий простой факт:

если – нуль порядка аналитической функции , а функция аналитична в точке и , то – полюс порядка функции .

Пример 4.1. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция представляет собой частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций, поэтому ее особыми точками могут быть только нули знаменателя. Найдем их:

, , .

Причем они являются простыми нулями.

Так как числитель ни в одной из этих точек не обращается в нуль, то по теореме 5 точки , , являются простыми полюсами исходной функции.

Пример 4.2. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция как частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций может иметь особой точкой только нуль знаменателя, т. е. . Однако точка является также и нулем числителя. Поэтому для выяснения вида особенности разложим функцию в ряд Лорана по степеням :

Ряд не содержит отрицательных степеней , поэтому – устранимая особая точка.

Пример 4.3. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция определена и дифференцируема на всей комплексной плоскости, за исключением точки . Это изолированная особая точка. Запишем ряд Лорана для функции в окрестности точки , пользуясь разложением (7) для функции , полагая :

Ряд содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями. Поэтому точка – существенно особая.

Пример 4.4. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция есть частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций. Поэтому ее особыми точками являются нули знаменателя:

, .

Так как числитель дроби в нуль не обращается, то эти точки являются полюсами. Определим порядки полюсов по порядкам нулей функции

Вычислим:

, , ,

, , .

Следовательно, точки () являются нулями второго порядка функции и, по теореме 5, полюсами второго порядка функции .

Вид изолированной особенности характеризует поведение функции в окрестности этой особенности:

если – устранимая особая точка функции , то существует конечный предел функции в точке ;

если – полюс, то при

если же – существенно особая точка, то указанного предела не существует.

Эти свойства являются характеристическими, т. е. справедливы и обратные утверждения.

Пример 4.5. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид, используя характеристические свойства особых точек.

Решение. Единственная особая точка данной функции – (см. пример 4.2). Так как

,

т. е. функция имеет конечный предел в точке , то является устранимой особой точкой данной функции.

5. Вычеты и их применение

Пусть – изолированная особая точка однозначной аналитической функции и – окружность такая, что в замкнутом круге нет других особых точек функции , кроме точки . Интеграл от функции по такой окружности , деленный на , называется вычетом функции в точке и обозначается .

Таким образом, по определению

.

Вычислять вычеты, исходя из определения, довольно трудно. Поэтому на практике применяются следующие утверждения:

Теорема 8 (о вычете относительно изолированной особой точки). Вычет функции в изолированной особой точке равен коэффициенту при в разложении функции в ряд Лорана в окрестности точки :

.

Если точка – полюс, то для определения вычета иногда можно и не находить разложение функции в ряд Лорана. Имеются более простые способы.

Теорема 9 (о вычете относительно полюса). Пусть – полюс порядка функции . Тогда

. (20)

Следствие. Если – простой полюс функции , то

. (21)

Вычисление вычета в простом полюсе еще более упрощается, если имеет вид:

,

где , , . Тогда

. (22)

Пример 5.1. Вычислить вычеты функции относительно каждой из ее особых точек.

Решение. В примере 4.3 установлено, что точка – существенно особая точка данной функции, и получено разложение функции в ряд Лорана в окрестности этой точки:

,

следовательно,

.

Пример 5.2. Вычислить вычеты функции относительно каждой из ее особых точек.

Решение. Особыми точками данной функции являются нули знаменателя – простой полюс и – полюс второго порядка. Найдем вычет относительно точки по формуле (21):

.

Для определения вычета относительно точки воспользуемся формулой (20) при :

.

Теория вычетов находит широкое применение благодаря следующему утверждению:

Теорема 10 (о вычетах). Пусть функция является аналитической в области всюду, за исключением конечного числа точек , . Пусть замкнутый контур содержится в области и не проходит через особые точки. Тогда интеграл от функции по контуру равен сумме вычетов функции относительно всех особых точек (), заключенных внутри , умноженной на :

.

Теорема 11 (о вычетах на расширенной комплексной плоскости). Пусть функция является аналитической на расширенной комплексной плоскости, кроме конечного числа точек , , ,…, . Тогда

.

Пример 5.3. Вычислить интеграл .

Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются точки , , . Из них внутри окружности лежат только две: и . Поэтому по теореме 10

.

Обе эти точки являются для данной функции простыми полюсами. Воспользуемся формулой (22):

,

.

Следовательно,

.

Пример 5.4. Вычислить интеграл .

Решение. Внутри окружности лежат восемь полюсов второго порядка, а вне ее – простой полюс и . По формуле (21) найдем вычет в точке :

.

Для определения вычета в точке найдем несколько членов разложения подынтегральной функции в ряд Лорана в окрестности этой точки. Введем новую переменную , тогда

.

Так как функция аналитична в круге , то ее можно разложить в этом круге в степенной ряд:

, .

Тогда

,

или

, .

В полученном разложении коэффициент при равен нулю, т. е. . Значит по теореме 11

.

Варианты заданий для РГР

Задание 1. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости полученного ряда.

1. а) , ; б) , .

2. а) , ; б) , .

3. а) , ; б) , .

4. а) , ; б) , .

5. а) , ; б) , .

6. а) , ; б) , .

7. а) , ; б) , .

8. а) , ; б) , .

9. а) , ; б) , .

10. а) , ; б) , .

11. а) , ; б) , .

12. а) , ; б) , .

13. а) , ; б) , .

14. а) , ; б) , .

15. а) , ; б) , .

16. а) , ; б) , .

17. а) , ; б) , .

18. а) , ; б) , .

19. а) , ; б) , .

20. а) , ; б) , .

21. а) , ; б) , .

22. а) , ; б) , .

23. а) , ; б) , .

24. а) , ; б) , .

25. а) , ; б) , .

26. а) , ; б) , .

27. а) , ; б) , .

28. а) , ; б) , .

29. а) , ; б) , .

30. а) , ; б) , .

Задание 2. Разложить функцию в ряд Лорана в указанном кольце.

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , ;

9. , ;

10. , ;

11. , ;

12. , ;

13. , ;

14. , ;

15. , ;

16. , ;

17. , ;

18. , ;

19. , ;

20. , ;

21. , ;

22. , ;

23. , ;

24. , ;

25. , ;

26. , ;

27. , ;

28. , ;

29. , ;

30. , .

Задание 3. Найти все возможные разложения функции в ряд Лорана по степеням .

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , ;

9. , ;

10. , ;

11. , ;

12. , ;

13. , ;

14. , ;

15. , ;

16. , ;

17. , ;

18. , ;

19. , ;

20. , ;

21. , ;

22. , ;

23. , ;

24. , ;

25. , ;

26. , ;

27. , ;

28. , ;

29. , ;

30. , .

Задание 4. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Задание 5. Вычислить вычеты функции относительно каждой из ее особых точек.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Задание 6. Вычислить интеграл.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Литература

1. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

2. Леонтьева Т. А. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: Научный мир. 2004.

3. Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексного переменного (с элементами операционного исчисления). – М.: Лань, 2002.

4. Морозова В. Д. Теория функций комплексного переменного. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2009.

5. Пантелеев А. В., Якимова А. С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. – М.: Вузовская книга, 2012.

6. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике, 1, 2 часть. – М.: 2004.

7. Письменный Д. Т. Сборник задач по высшей математике, 1, 2 часть. – М.: 2004.

8. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

9. Шабунин М. И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2006.

Антоненкова О. Е., Часова Н. А.

МАТЕМАТИКА

Теория функций
комплексной переменной

Методические указания и задания к расчетно-графической работе
для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения

Формат Объем Тираж Заказ

Брянск, Станке Димитрова 3, Редакционно-издательский отдел

Отпечатано: Печатный цех БГИТА

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Источник

Рассмотрим две комплексные переменные величиныИ, где

– действительные переменные,– мнимая единица. Если каж

Дому значению переменнойИз некоторого множества соответствует единственное значение переменной, то говорят, что w есть функция от:

ЗдесьИ– действительные функции отЗадание одной

Функции от одной комплексной переменной означает задание двух действительных функций от двух действительных переменных.

Комплексным функциональным рядом называется ряд

(24.32)

Члены которого являются функциями комплексной переменной.

Значения z, при которых ряд (24.32) сходится, называются точками сходимости. Множество всех точек сходимости называется областью сходимости этого ряда. Для каждого числа z из области сходимости

Где. – частная сумма ряда (24.32), а– его сумма.

Ряд (24.32) сходится, если сходится ряд из модулей его членов.

Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида

(24.33)

Где– комплексная переменная,– данное комплексное число, коэффициенты– данные комплексные числа.

В частном случае, приПолучаем комплексный степенной ряд, располо-

Жейный по степеням

(24.34)

Для каждогостепенного ряда (24.33) существует круг радиусаС центром в точке, внутри которого данный ряд сходится, а вне его расхо

Дится (т. е. при|. Этот круг называется кругом сходимости. Его радиус

Называется радиусом сходимости степенного ряда (, если степенной ряд сходится во всей плоскости,, если он сходится лишь в центре круга, в точке). Во всех точках внутри круга сходимости степенной ряд абсолютно сходится.

При отыскании радиуса сходимости степенного ряда могут применяться признаки сходимости Д’Аламбера и Коши. В частности, радиус сходимости степенного ряда (24.33) можно вычислить по формуле

(24.35)

Показательная и тригонометрические функции комплексной переменной определяются формулами

(24.36)

(24.37)

(24.38)

Ряды в правых частях формул (24.36) – (24.38) сходятся при всех комплексных

Связь между этими функциями устанавливают формулы Эйлера:

(24.39)

Отметим, что

(24.40)

(24.41)

Где

Вторая из формул (24.40) означает, что функцияИмеет период, Формула (24.41) представляет комплексное числоВ показательной форме (-модуль,– аргумент).

Пример 24.25. Найти область сходимости рядаи его сумму.

Составим ряд из модулей членов данного ряда:

Полученный ряд является рядом с действительными членами, он представляет собой геометрический ряд. Следовательно, этот ряд сходится, когда, т. е. в круге радиусаС центром в начале координат. Таким образом, данный ряд также сходится в круге, который и является его областью сходимости.

Так как частная сумма ряда выражается формулой

ИПриТо сумма ряда

Итак, получено следующее разложение:

Пример 24.26. Найти область сходимости ряда Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда

Этот ряд является геометрическим. Так как, то ряд сходится при

Т. е. при, или при

Итак, областью сходимости является множество точек, лежащих вне круга радиусаС центром в начале координат.

Пример 24.27. Найти радиус сходимости степенного ряда

Поскольку, то

Итак, радиус сходимости данного ряда

Пример 24.28. Найти область сходимости ряда ПосколькуТо

Данный ряд сходится на всей комплексной плоскости.

Пример 24.29. Найти сумму

Используя третью го формул (24.39), получаем, поэтому

Суммируя геометрические прогрессии, находим

Разделив почленно первую дробь на, вторую на, получим

Итак,

Пример 24.30. С помощью разложения ) получить следующие:

Первое разложение получено в пример 24.25. Подставив в него выражение Найдем

Преобразуем левую часть данного равенства:

Следовательно,

Откуда

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то соответствующее дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то соответствующее дифференциальное уравнения называется уравнением с частными производными. В главах 25 и 27 рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка в общем визе можно записать так:

Где– независимая переменная;– искомая функция переменной ее производные;– заданная функция своих аргументов.

Отметим, что функция F может не содержать некоторых своих аргументов, но непременно должна зависеть от(когца речь идет об уравнении и-го порядка).

Если данное уравнение разрешимо относительно производной п-го порядка, его можно представить в виде

ФункцияОпределенная и непрерывно дифференцируемая п раз в ин

ТервалеНазывается решением дифференциального уравнения в этом ин

Тервале, если она обращает данное уравнение в тождество, т. е.

Для всех

График решения дифференциального уравнения п-то порядка называется интегральной линией (или интегральной кривой).

Термин «дифференциальное уравнение» принадлежит Лейбницу (1676, опубликовано в 1684 г.). Начало исследований по дифференциальным уравнениям восходит ко временам Лейбница, Ньютона, в работах которых исследовались первые задачи, приводящие к таким уравнениям. Лейбниц, Ньютон, братья Я. и И. Бернулли разрабатывали методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве универсального способа использовались разложения интегралов дифференциальных уравнений в степенные ряды. Некоторые классы уравнений были приведены к к уравнению с разделяющимися переменными.

Возникновение теории дифференциальных уравнений в частных производных было связано с расширением в XVIII в. области приложений математического анали – ) за. Оно стимул ировалось теми задачами естествознания, механики, физики, в которых появилась необходимость в функциях нескольких переменных.

Первые примеры интегрирования уравнений с частными производными даны в работах Эйлера (1734). Теорию уравнений с частными производными интенсивно развивали Эйлер, Д’Аламбер, Д. Бернулли,. Новые иаеи в этой области в конце XVIII в. предложены в сочинениях Лагранжа, Лапласа, Монжа.

В 1807 г. Фурье вывел уравнение теплопроводности и для его решения разработал метод разделения переменных, названный его именем. Решением задач, возникавших в теории теплопроводности занимались многие математики, в том числе Гаусс, Пуассон, Грин, М. В. Остроградский и др.

Глава 25

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию этой переменной и ее производную. Если– функция независимой переменнойТо в общем

Виде уравнение записывается так:

Если это уравнение разрешимо относительноТо

ОткудаИли в более общем виде

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , обращающая уравнение в тождество. В случае, если эта функция задана в неявном виде, решение называют интегралом. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция, где— произвольная постоянная, – обращающая данное

Уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде, называется общим

Интегралом этого уравнения.

Геометрически общее решение (и общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящее от одного параметра С.

Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении, где– число. Аналогично определяется частный интеграл