Как найти радиус сходимости ряда маклорена - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Брука Тейлора^[1] — его использовали ещё в XIV веке в Индии^[2], а также в XVII веке Грегори и Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами.
В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является ряд Фантапье.

Определение[править | править код]

1. Многочленом Тейлора функции f(x) вещественной переменной , дифференцируемой раз в точке , называется конечная сумма

${displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{k}{frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+ldots +{frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}$

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:

при

верно ${displaystyle f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)cdot h+O(h^{2})approx f(a)+f'(a)cdot h=f(a)+f'(a)cdot (x-a)}$

При записи суммы использованы обозначение ${displaystyle f^{(0)}(x)=f(x)}$ и соглашение о произведении по пустому множеству: 0!=1 , ${displaystyle (x-a)^{0}=1}$ .

2. Рядом Тейлора в точке функции f(x) вещественной переменной , бесконечно дифференцируемой в окрестности точки , называется формальный степенной ряд

${displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{+infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=sum _{n=0}^{+infty }varphi _{n}(x;a)}$

с общим членом ${displaystyle varphi _{n}(x;a)={frac {f^{(n)}(a)}{n!}}cdot (x-a)^{n}}$

, зависящим от параметра

Другими словами, рядом Тейлора функции f(x) в точке называется ряд разложения функции по положительным степеням двучлена :

${displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+ldots +{frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+ldots ,}$

.^[3]

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции f(x) в окрестности точки не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки .

3. Рядом Тейлора в точке функции f(z) комплексной переменной ,
удовлетворяющей в некоторой окрестности точки условиям Коши — Римана,
называется степенной ряд

${displaystyle f(z)=sum _{n=0}^{+infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}}$

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса R>0 , что в ${displaystyle D_{R}={zin mathbb {C} :|z-z_{0}|<R}subseteq U}$ ряд сходится к функции f(z) .

4. В случае a=0 ряд

${displaystyle f(x)=sum _{n=0}^{+infty }{frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}}$

называется рядом Маклорена.

Аналитическая функция[править | править код]

1. Функция f(x) вещественной переменной называется аналитической в точке x=a , если существуют такой радиус R>0 и такие коэффициенты ${displaystyle c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f),}$ , , что f(x) может быть представлена в виде сходящегося на интервале степенного ряда:
${displaystyle sum limits _{k=0}^{+infty }{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}},}$ ,
то есть ${displaystyle lim _{nto +infty },sum limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}=f(x)}$ .

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд ${displaystyle sum limits _{k=0}^{+infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}}$ на любом компактном подмножестве области сходимости ${displaystyle D_{R}={zin mathbb {C} :|z-z_{0}|<R}}$ допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в -ю производную функции ${displaystyle sum limits _{k=0}^{+infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}}$ подставить , то получится ${displaystyle {c_{k}}cdot k!}$ .

Таким образом, для аналитической в точке функции f(z) для некоторого R>0 всюду в ${displaystyle D_{R}={zin mathbb {C} :|z-z_{0}|<R}}$ является верным представление ${displaystyle f(z)=sum _{k=0}^{+infty }{frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(z-a)^{k}}$ .

Следствие. Функция f(x) вещественной переменной является аналитической в точке тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром на некотором открытом интервале, содержащем точку .

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке функции f(x) вещественного переменного её ряд Тейлора ${displaystyle sum _{k=0}^{+infty }{frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}$ сходиться к f(x) всюду на каком-нибудь интервале , то есть представима ли f(x) этим рядом?

Ответ: нет.
Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности
.

Примеры. Функции вещественной переменной ${displaystyle f_{2}(x)=left{{begin{array}{ll}{e^{-{frac {1}{x^{2}}}}},&xneq 0\0,&x=0end{array}}right.,}$ ,
${displaystyle f_{+}(x)=left{{begin{array}{ll}{e^{-{frac {1}{x}}}},&x>0\0,&xleq 0end{array}}right.,}$ ,
${displaystyle f_{rm {v}}(x)=left{{begin{array}{ll}{e^{-{frac {1}{|x|}}}},&xneq 0\0,&x=0end{array}}right.,}$
являются бесконечно дифференцируемыми в точке , причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром тождественно равны нулю.
Однако, для любого R>0 в окрестности точки a=0 найдутся точки,
в которых функции отличны от .
Таким образом, эти функции не являются в точке a=0 аналитическими.

Доказательство

Доказательство проведём для функции ${displaystyle f(x)=f_{2}(x)=left{{begin{array}{ll}{e^{-{frac {1}{x^{2}}}}},&xneq 0\0,&x=0end{array}}right.,}$ , предложенной Огюстеном Луи Коши.

Функция ${displaystyle exp left(-{frac {1}{z^{2}}}right)}$ , является аналитической функцией комплексной переменной
для всех .

Для z neq 0 очевидно, что
${displaystyle {frac {d}{dz}}exp left(-{frac {1}{z^{2}}}right)=exp left(-{frac {1}{z^{2}}}right)cdot left({frac {2}{z^{3}}}right)}$ .

Функция f(x) для — это «исправленная» функция
${displaystyle exp left(-{frac {1}{x^{2}}}right)}$ , ,
дополненная пределами слева ${displaystyle lim _{xto 0,x<0}exp left(-{frac {1}{x^{2}}}right)=0}$
и справа ${displaystyle lim _{xto 0,x>0}exp left(-{frac {1}{x^{2}}}right)=0}$ в точке x=0 .

Найдём производную функции f(x) в точке x=0 .
По определению:
${displaystyle f'(0)=lim _{Delta xto 0,Delta xin mathbb {R} setminus {0}}{frac {f(0+Delta x)-f(0)}{Delta x}}=lim _{hto 0,hin mathbb {R} setminus {0}}{frac {f(h)-0}{h}}={frac {0}{0}}=lim _{hto 0,hin mathbb {R} setminus {0}}{frac {f'(h)}{h'}}=lim _{hto 0,hin mathbb {R} setminus {0}}{frac {2f(h)}{{h}^{3}}}}$ .

Поскольку для выполняется
${displaystyle 0<e^{-{frac {1}{x^{2}}}}<e^{-{frac {1}{x}}}}$ ,
то
докажем, что для произвольного верно ${displaystyle lim _{xto 0,x>0}{frac {e^{-{frac {1}{x}}}}{x^{alpha }}}=0}$ .

Применение правила Лопиталя непосредственно к частям

${displaystyle lim _{xto 0,x>0}e^{-{frac {1}{x}}}=lim _{xto 0,x>0}x^{alpha }=0}$

не приводит к результату.

Выполним замену переменной: ${displaystyle {frac {1}{x}}=t}$ :

${displaystyle lim _{xto 0,x>0}{frac {e^{-{frac {1}{x}}}}{x^{alpha }}}=lim _{tto +infty }{frac {t^{alpha }}{e^{t}}}={frac {+infty }{+infty }}=lim _{tto +infty }{frac {alpha t^{alpha -1}}{e^{t}}}}$ .

Пусть .
Применяя правило Лопиталя раз, в числителе получим либо (при ) константу , либо (при ) бесконечно малую ${displaystyle alpha (alpha -1)ldots (alpha -k+1)t^{alpha -k}}$ :

${displaystyle lim _{tto +infty }{frac {t^{alpha }}{e^{t}}}={frac {+infty }{+infty }}=ldots =lim _{tto +infty }{frac {alpha (alpha -1)ldots (alpha -k+1)t^{alpha -k}}{e^{t}}}=0}$

Таким образом,

${displaystyle f'(0)=lim _{hto 0,hin mathbb {R} setminus {0}}{frac {2f(h)}{{h}^{3}}}=0}$

Найдём (для xneq 0 ) несколько начальных
производных функции f(x) :

${displaystyle f'(x)={frac {2f(x)}{x^{3}}}}$

${displaystyle f''(x)=left({frac {2f(x)}{x^{3}}}right)'=2left({f'(x){frac {1}{x^{3}}}+f(x)left({frac {1}{x^{3}}}right)'}right)=2left({{frac {2f(x)}{x^{3}}}{frac {1}{x^{3}}}+f(x)left({frac {1}{x^{3}}}right)'}right)=2f(x)left({{frac {2}{x^{6}}}-{frac {3}{x^{4}}}}right)}$

${displaystyle f'''(x)=left({2f(x)left({{frac {2}{x^{6}}}-{frac {3}{x^{4}}}}right)}right)'=4f(x)left({{frac {2}{x^{9}}}-{frac {3}{x^{7}}}+{frac {6}{x^{5}}}-{frac {6}{x^{7}}}}right)}$

И так далее. Во всех случаях, очевидно,
получается произведение f(x)
на сумму целых отрицательных степеней
.
Конечная сумма
бесконечно малых является бесконечно малой.
Таким образом,
${displaystyle lim _{xto 0,xin mathbb {R} setminus {0}}f^{(k)}(x)=0}$ .

Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные f(x) в точке x=0 ,
обнаруживаем, что все производные в
точке x=0 равны нулю.

Область сходимости ряда Тейлора[править | править код]

Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке ) для случая комплексной переменной
и интервал (с центром в точке ) — для случая вещественной переменной.

1. Например, функция ${displaystyle f(x)={frac {1}{1-x}}}$ может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: ${displaystyle {frac {1}{1-x}}=sum limits _{k=0}^{infty }{x^{k}}}$ (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция ${displaystyle {frac {1}{1-x}}}$ определена для всех действительных чисел, кроме точки , то ряд ${displaystyle sum limits _{k=0}^{infty }{x^{k}}}$ сходится только при условии .

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

${displaystyle R=lim _{kto infty }left|{dfrac {dfrac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{dfrac {{f^{(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}right|=lim _{kto infty }left|{{frac {{f^{(k)}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}right|}$

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию ${displaystyle e^{x}}$ . Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен ${displaystyle R=lim _{kto infty }left|{{frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}right|=lim _{kto infty }(k+1)=infty }$ . Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси для любого параметра .

4. От параметра — точки разложения ряда Тейлора — зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного ) в ряд Тейлора функцию ${displaystyle f(x)={frac {1}{1-x}}}$ : ${displaystyle f(x)={frac {1}{1-x}}={frac {1}{1-a}}sum limits _{k=0}^{infty }{{left({frac {x-a}{1-a}}right)}^{k}}}$ .

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента , при любых значениях (кроме a=1 ) имеет один и тот же вид.

Действительно,

${displaystyle {frac {1}{1-a}}sum limits _{k=0}^{infty }{{left({frac {x-a}{1-a}}right)}^{k}}={frac {1}{1-a}}cdot {frac {1}{1-left({dfrac {x-a}{1-a}}right)}}={frac {1}{1-x}}}$

Область сходимости ряда может быть задана неравенством ${displaystyle left|{frac {x-a}{1-a}}right|<1}$ . И теперь эта область зависит от . Например, для a=0 ряд сходится при . Для ряд сходится при .

Формула Тейлора[править | править код]

Предположим, что функция f(x) имеет все производные до n+1 -го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку x=a . Найдем многочлен ${displaystyle {P_{n}}(x)}$ степени не выше , значение которого в точке x=a равняется значению функции f(x) в этой точке, а значения его производных до -го порядка включительно в точке x=a равняются значениям соответствующих производных от функции f(x) в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид ${displaystyle {P_{n}}(x)=sum limits _{k=0}^{n}{{frac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{{(x-a)}^{k}}}}$ , то есть это -я частичная сумма ряда Тейлора функции f(x) . Разница между функцией f(x) и многочленом ${displaystyle {P_{n}}(x)}$ называется остаточным членом и обозначается ${displaystyle {R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)}$ . Формула ${displaystyle f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)}$ называется формулой Тейлора^[4]. Остаточный член дифференцируем n+1 раз в рассматриваемой окрестности точки . Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении.
Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена[править | править код]

В форме Лагранжа:

${displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1} over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+theta (x-a)]qquad p=n+1;qquad 0<theta <1}$

В форме Коши:

${displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1}(1-theta )^{n} over n!}f^{(n+1)}[a+theta (x-a)]qquad p=1;qquad 0<theta <1}$

В интегральной форме:

${displaystyle R_{n}(x)={1 over n!}int limits _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t),dt}$

Ослабим предположения:

В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):

${displaystyle R_{n}(x)=o[(x-a)^{n}]}$

Критерий аналитичности функции[править | править код]

Основной источник: ^[5]

Предположим, что некоторую функцию f(x) нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке x=a . Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке , и её ряд Тейлора с параметром может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка x=a , потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции f(x) только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку . Пусть ряд Тейлора с параметром такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех из окрестности по формуле Тейлора можно записать ${displaystyle lim _{nto infty }R_{n}(x)=lim _{nto infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x)-lim _{nto infty }P_{n}(x)}$ , где ${displaystyle lim _{nto infty }P_{n}(x)}$ — ряд Тейлора.

Очевидно, что функция f(x) является аналитической в точке тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки существует непрерывная область такая, что для всех xin X остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом : ${displaystyle lim _{nto infty }R_{n}(x)=0}$ .

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию ${displaystyle e^{x}}$ . Её ряд Тейлора сходится на всей оси для любых параметров . Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках .

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид ${displaystyle {R_{n}}(x)={frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{xi _{n}}}}$ , где $xi _{n}$ — некоторое число, заключенное между и (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,

${displaystyle lim _{nto infty }{R_{n}}(x)=lim _{nto infty }{frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{xi _{n}}}leq Mcdot lim _{nto infty }{frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}=0}$

Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых и .

Ряды Маклорена некоторых функций[править | править код]

Гиперболические функции^[6]^[10]:

Обратные гиперболические функции^[6]^[11]:

Формула Тейлора для функции двух переменных[править | править код]

Пусть функция f(x,y) имеет непрерывные производные до (n+1) -го порядка включительно в некоторой окрестности точки .
Введём дифференциальный оператор

$mathrm{T}=(x-x_0)dfrac {partial} {partial x}+(y-y_0)dfrac {partial} {partial y}$

Тогда разложение (формула Тейлора) функции f(x,y) по степеням ${displaystyle (x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q}}$ для в окрестности точки будет иметь вид

$f(x,y)=sumlimits_{k=0}^n dfrac {mathrm{T}^k f(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),$

где — остаточный член в форме Лагранжа:

$R_n(x,y)=dfrac {mathrm{T}^{(n+1)} f(xi,zeta)} {(n+1)!}, xi in [x_0,x], zeta in [y_0,y]$

Следует иметь в виду, что операторы ${displaystyle {dfrac {partial }{partial x}}}$ и ${displaystyle {dfrac {partial }{partial y}}}$
в ${displaystyle mathrm {T} ^{k}}$ действуют только на функцию f(x,y) , но не на (x-x_0) и/или ${displaystyle (y-y_{0})}$ .

Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе .

В случае функции одной переменной ${displaystyle mathrm {T} =(x-x_{0}){dfrac {d}{dx}},}$ .

Формула Тейлора многих переменных[править | править код]

Для получения формулы Тейлора функции переменных , которая в некоторой окрестности точки ${displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}$ имеет непрерывные производные до (m+1) -го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

${displaystyle mathrm {T} =(x_{1}-a_{1}){dfrac {partial }{partial x_{1}}}+(x_{2}-a_{2}){dfrac {partial }{partial x_{2}}}+...+(x_{n}-a_{n}){dfrac {partial }{partial x_{n}}}.}$

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням ${displaystyle (x_{i}-a_{i})^{k_{i}}}$ в окрестности точки ${displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}$ имеет вид

${displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=sum limits _{k=0}^{m}{dfrac {mathrm {T} ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{k!}}+R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n}),}$

где — остаточный член порядка (m+1) .

Для функции переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки ${displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}$ , ряд Тейлора имеет вид:

${displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=sum limits _{k=0}^{infty }{frac {1}{k!}}sum limits _{i_{1}=1}^{n}sum limits _{i_{2}=1}^{n}...sum limits _{i_{k}=1}^{n}{frac {partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{partial x_{i_{1}}partial x_{i_{2}}...partial x_{i_{k}}}}(x_{i_{1}}-a_{1})(x_{i_{2}}-a_{2})...(x_{i_{n}}-a_{n})}$ .

В другой форме ряд Тейлора можно записать таким образом:

${displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=sum limits _{k=0}^{infty }overbrace {sum limits _{k_{1}=0}sum limits _{k_{2}=0}...sum limits _{k_{n}=0}} ^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}=k}{dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!}}{dfrac {partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{partial x_{1}^{k_{1}}partial x_{2}^{k_{2}}...partial x_{n}^{k_{n}}}}(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n})^{k_{n}}}$ .

Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменных[править | править код]

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных , и в окрестности точки (0,0,0) до второго порядка малости. Оператор будет иметь вид

$mathrm{T}= x dfrac {partial} {partial x}+ y dfrac {partial} {partial y}+ z dfrac {partial} {partial z}.$

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

${displaystyle f(x,y,z)=sum limits _{k=0}^{2}{dfrac {mathrm {T} ^{k}f_{0}}{k!}}+R_{2}(x,y,z)=}$

${displaystyle =left(1+T+{frac {T^{2}}{2}}right)f_{0}+R_{2}(x,y,z);}$

Учитывая, что

$T^2 = x^2 dfrac {partial^2} {partial x^2}+ y^2 dfrac {partial^2} {partial y^2}+ z^2 dfrac {partial^2} {partial z^2} + 2xy dfrac {partial^2} {partial x partial y} + 2xz dfrac {partial^2} {partial x partial z}+ 2yz dfrac {partial^2} {partial y partial z},$

получим

${displaystyle f(x,y,z)=f_{0}+x{dfrac {partial f_{0}}{partial x}}+y{dfrac {partial f_{0}}{partial y}}+z{dfrac {partial f_{0}}{partial z}}+{frac {x^{2}}{2}}{dfrac {partial ^{2}f_{0}}{partial x^{2}}}+{frac {y^{2}}{2}}{dfrac {partial ^{2}f_{0}}{partial y^{2}}}+{frac {z^{2}}{2}}{dfrac {partial ^{2}f_{0}}{partial z^{2}}}+}$

${displaystyle +xy{dfrac {partial ^{2}f_{0}}{partial xpartial y}}+xz{dfrac {partial ^{2}f_{0}}{partial xpartial z}}+yz{dfrac {partial ^{2}f_{0}}{partial ypartial z}}+R_{2}(x,y,z).}$

Например, при $f(x,y,z)=e^{x+y+z}$ ,

${displaystyle f(x,y,z)=1+x+y+z+{frac {x^{2}}{2}}+{frac {y^{2}}{2}}+{frac {z^{2}}{2}}+xy+xz+yz+R_{2}(x,y,z).}$

Примечания[править | править код]

↑ Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200—1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329—332.
↑ Gupta R. C. The Madhava-Gregory series, Math. Education 7 (1973), B67-B70.
↑ Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу» — С. 371
↑ Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. — Мифрил, 1996. — С. Том 1, глава 4, параграф 6.
↑ Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — тринадцатое. — МОСКВА “НАУКА”, 1985. — С. Том 2, глава 16, параграф 16.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963.
↑ Цукер Р. Тригонометрические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 37—43. — 832 с. — 50 000 экз.
↑ Цукер Р. Обратные тригонометрические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 44—47. — 832 с. — 50 000 экз.
↑ При значении x, близком к 1, эта расчётная формула сходится медленно, т.е. даёт большую погрешность при приближении функции суммой первых нескольких членов ряда. Поэтому можно воспользоваться формулой $arcsin x = arccos sqrt{1-x^2},$ где
↑ Цукер Р. Гиперболические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 48—49. — 832 с. — 50 000 экз.
↑ Цукер Р. Обратные гиперболические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 50—53. — 832 с. — 50 000 экз.

Литература[править | править код]

Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. В 2 т. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1967. — Т. 1: Начала теории. — 486 с.
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. — пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10—24.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. — Изд. 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — 432 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. — Изд. 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 2. — 560 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. — Изд. 8-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. I. — 680 с. — ISBN ISBN 5-9221-0156-0.

Источник

Лекция 16. Ряды Тейлора и Маклорена

16.1. Разложение элементарных
функций в ряды Тейлора и

Маклорена

Покажем,
что если произвольная функция

задана на множестве

, в окрестности точки

имеет множество производных и является
суммой степенного ряда:

то
можно найти коэффициенты этого ряда.

Подставим
в степенной ряд
.
Тогда
.

Найдем
первую производную функции
:

При
:
.

Для
второй производной получим:

При
:
.

Продолжая
эту процедуру n
раз получим:
.

Таким
образом, получили степенной ряд вида:

который
называется рядом Тейлора
для функции

в окресности точки
.

Частным
случаем ряда Тейлора является ряд
Маклорена
при
:

Остаток
ряда Тейлора (Маклорена) получается
отбрасыванием от основных рядов n
первых членов и обозначается как
.
Тогда функцию

можно записать как сумму n
первых членов ряда

и остатка
:,

то
есть

Остаток
обычно

выражают разными формулами.

Одна
из них в форме Лагранжа:

,
где
.

Заметим,
что на практике чаще используется
ряд Маклорена. Таким
образом, для того, чтобы записать функцию

в виде суммы степенного ряда
необходимо:

1)
найти коэффициенты ряда Маклорена
(Тейлора);

2)
найти область сходимости полученного
степенного ряда;

3)
доказать, что данный ряд сходится
к функции
.

Теорема
1
(необходимое и достаточное условие
сходимости ряда Маклорена). Пусть радиус
сходимости ряда
.
Для того, чтобы этот ряд сходился
в интервале

к функции
,
необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось условие:
в указанном интервале.

Теорема
2. Если производные любого порядка
функции

в некотором промежутке

ограниченны по абсолютной величине
одним и тем же числом M,
то есть
,
то в этом промежутке функцию

можно разложить в ряд
Маклорена.

Пример
1. Разложить в
ряд Тейлора в окрестности
точки

функцию
.

Решение.

Находим
значение функции и ее производных при
.

, ;

………………………………………………………………………………………………………………………

, ;

Подставляем
эти значения в ряд. Получаем:

или

Область сходимости
.

Пример
2. Разложить
функцию

в ряд Тейлора в окрестности
точки
.

Решение:

Находим
значение функции и ее производных при
.

, ;

………..……………………………

, .

Подставляем
эти значения в ряд. Получаем:

или

Найдем
область сходимости этого ряда. По
признаку Даламбера ряд сходится,
если

Следовательно,
при любом

этот предел менее 1, а
потому область сходимости ряда будет:
.

Рассмотрим
несколько примеров разложения
в ряд Маклорена основных элементарных
функций. Напомним, что ряд Маклорена:

сходится
на интервале

к функции
.

Отметим,
что для разложения функции
в ряд необходимо:

а)
найти коэффициенты ряда Маклорена для
данной функции;

б)
вычислить радиус сходимости
для полученного ряда;

в)
доказать, что полученный ряд сходится
к функции
.

Пример
3. Рассмотрим функцию

Решение.

Вычислим
значение функции и ее производных при
.

Тогда числовые коэффициенты ряда
имеют вид:

для
любого n. Подставим найденные
коэффициенты в ряд Маклорена и получим:

Найдем
радиус сходимости полученного ряда, а
именно:

Следовательно,
ряд сходится на
интервале
.

Этот
ряд сходится к функции

при любых значениях
,
потому что на любом
промежутке

функция

и ее производные по
абсолютной величине
ограничены числом
.

Пример
4. Рассмотрим
функцию
.

Решение.

Найдем
значение функции и ее производных при

Нетрудно
заметить, что производные четного
порядка,
а производные нечетного
порядка
.
Подставим найденные коэффициенты в ряд
Маклорена и получим
разложение:

Найдем
интервал сходимости данного ряда. По
признаку Даламбера:

для
любого
.
Следовательно, ряд сходится
на интервале
.

Этот
ряд сходится к функции

,
потому что все ее производные
ограничены единицей.

Пример
5.
.

Решение.

Найдем
значение функции и ее производных при

Таким
образом, коэффициенты данного ряда:

и
,
следовательно:

Аналогично
с предыдущим рядом область сходимости

.
Ряд сходится к функции

,
потому что все ее
производные ограничены единицей.

Обратим
внимание, что функция

нечетная и разложение
в ряд по нечетным
степеням, функция

– четная и разложение в ряд по четным
степеням.

Пример
6. Биномиальный
ряд :.

Решение.

Найдем
значение функции и ее производных при

Отсюда
видно, что:

Подставим
эти значения коэффициентов в ряд
Маклорена и получим разложение данной
функции в степенной ряд:

Найдем
радиус сходимости этого ряда:

Следовательно,
ряд сходится на интервале
.
В предельных точках при

и

ряд может сходится или нет в зависимости
от показателя степени
.

Исследованный
ряд сходится на интервале

к функции
,
то есть сумма ряда

при
.

Пример
7. Разложим в
ряд Маклорена функцию
.

Решение.

Для
разложения в ряд этой
функции используем биномиальный ряд
при
.
Получим:

На
основе свойства степенных рядов
(степенной ряд можно интегрировать в
области его сходимости) найдем интеграл
от левой и правой частей данного ряда:

Найдем
область сходимости данного ряда:
,

то
есть областью сходимости данного ряда
является интервал
.
Определим сходимость ряда на концах
интервала. При

получим числовой ряд с общим членом
.
Этот ряд является гармоничным рядом,
то есть расходится. При

получим числовой ряд с общим членом
.

Ряд
по признаку Лейбница сходится. Таким
образом, областью сходимости данного
ряда является промежуток
.

16.2. Применение
степенных рядов степеней в приближенных
вычислениях

В
приближенных вычислениях степенные
ряды играют исключительно большую роль.
С их помощью составлены таблицы
тригонометрических функций, таблицы
логарифмов, таблицы значений других
функций, которые используют в разных
областях знаний, например в теории
вероятностей и математической статистике.
Кроме того, разложение
функций в степенной ряд полезно для их
теоретического исследования. Главным
вопросом при использовании степенных
рядов в приближенных вычислениях
является вопрос оценки погрешности при
замене суммы ряда суммой его первых n
членов.

Рассмотрим
два случая:

функция
разложена в знакочередующийся ряд;
функция
разложена в знакопостоянный ряд.

Вычисление с помощью знакочередующихся
рядов

Пусть
функция

разложена в знакочередующийся степенной
ряд. Тогда при вычислении этой функции
для конкретного значения

получаем числовой ряд, к которому можно
применить признак Лейбница. В соответствии
с этим признаком, если сумму ряда заменить
суммой его первых n членов, то
абсолютная погрешность не превышает
первого члена остатка этого ряда, то
есть:.

Пример
8. Вычислить

с точностью до 0,0001.

Решение.

Будем
использовать ряд Маклорена для
,
подставив значение угла в радианах:

Если
сравнить первый и второй члены ряда с
заданной точностью, то:
.

Третий
член разложения:

меньше
заданной точности вычисления.
Следовательно, для вычисления

достаточно оставить два члена ряда, то
есть

Таким
образом
.

Пример
9. Вычислить

с точностью 0,001.

Решение.

Будем
использовать формулу биномиального
ряда. Для этого запишем

в виде:
.

В
этом выражении
,

Сравним
каждый из членов ряда с точностью,
которая задана. Видно, что
.
Следовательно, для вычисления

достаточно оставить три члена ряда.

или

Вычисление с помощью
знакоположительных
рядов

Пример
10. Вычислить
число

с точностью до 0,001.

Решение.

В
ряд для функцїї
подставим
.
Получим:

Оценим
погрешность, которая возникает при
замене суммы ряда суммой первых

членов. Запишем очевидное неравенство:

то
есть 2<<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,

По
условию задачи нужно найти n
такое, чтобы выполнялось неравенство:

или
.

Легко
проверить, что при n
= 6:
.

Следовательно,

Отсюда

Пример
11. Вычислить

с точностью 0,0001.

Решение.

Заметим,
что для вычисления логарифмов можно
было бы применить ряд для функции
,
но этот ряд очень медленно сходится и
для достижения заданной точности нужно
было бы взять 9999 членов! Поэтому для
вычисления логарифмов, как правило,
используется ряд для функции
,
который сходится на интервале
.

Вычислим

с помощью этого ряда. Пусть
,
тогда
.

Следовательно,

или

Для
того, чтобы вычислить

с заданной точностью, возьмем сумму
первых четырех членов:
.

Остаток
ряда

отбросим. Оценим погрешность. Очевидно,
что

или .

Отсюда

Таким
образом, в ряду, который был использован
для вычисления, достаточно было взять
только четыре первые
слагаемые вместо 9999 в ряду для функции

Вопросы для самодиагностики

1.
Что такое ряд Тейлора?

2.
какой вид имеел ряд Маклорена?

3.
Сформулировать теорему о разложении
функции в ряд Тейлора.

4.
Записать разложение в ряд Маклорена
основных функций.

5.
Указать области сходимости рассмотренных
рядов.

6.
Как выполнить оценку погрешности в
приближенных вычислениях с помощью
степенных рядов?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Степенные ряды и их свойства
- Свойства степенных рядов
Формула Тейлора и ее остаточный член
- Ряд Тейлора
- Единственность разложения функции в степенной ряд
- Ряды Тейлора для некоторых элементарных функций
Элементарные функции в области комплексных чисел
Примеры практического применения степенных рядов
- Вычисление значений функций
- Вычисление определенных интегралов
- Решение дифференциальных уравнений
Дополнение к степенным рядам
Решение степенных рядов
- Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- Равномерная сходимость степенного ряда и непрерывность его суммы
- Интегрирование степенных рядов
- Дифференцирование степенных рядов
- Ряд Тейлора
- Условия разложимости функции в ряд Тейлора
- Ряды Тейлора элементарных функций
Степенные ряды основные определения и свойства с подробным объяснением и теорией
- Функциональные ряды
- Сходимость степенных рядов
  - Теорема Н.Абеля
  - Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- Свойства степенных рядов
- Разложение функции в степенные ряды
  - Ряды Тейлора и Маклорена
  - Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
- Некоторые приложения степенных рядов
  - Приближенное вычисление определенных интегралов
  - Приближенное решение дифференциальных уравнений
  - Способ последовательного дифференцирования
  - Способ неопределенных коэффициентов

Функциональные ряды и их область сходимости:

Пусть — некоторая последовательность функций.

Определение:

Выражение вида

называется функциональным рядом.

Если в ряде (1) положить то получим числовой ряд

Определение:

Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке , если числовой ряд (2) полученный из ряда (1) подстановкой , является сходящимся рядом. При этом называется точкой
сходимости ряда.

Пример:

Функциональный ряд

сходится в точке . В самом деле, подставляя в (3) получим числовой ряд

который, как известно, сходится. Данный функциональный ряд расходится в точке , так как числовой ряд

является расходящимся.

Определение:

Множество всех точек сходимости функционального ряда (1) называется областью сходимости ряда.

Как правило, область сходимости функционального ряда является некоторым промежутком числовой прямой.

Так, область сходимости функционального ряда (3) совпадает с интервалом . В самом деле, при получаем числовой ряд

который является рядом геометрической прогрессии со знаменателем и, следовательно, сходится; если же , то ряд (4) расходится.

Сумма функционального ряда (1) зависит от взятой точки x области сходимости, следовательно, сумма ряда (1) является некоторой функцией . Область определения суммы ряда совпадает с областью сходимости данного ряда. Говорят также, что ряд (1) сходится к функции и что для функции имеет место разложение

в области сходимости ряда (1).

Например, ряд (3) является рядом геометрической
прогрессии со знаменателем следовательно, для сумма ряда (3) равна функции Таким образом, для имеет место разложение

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

По признаку Даламбера имеем

Следовательно, ряд сходится на всей числовой прямой.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

Очевидно, что для любого фиксированного существует такой номер N, что следовательно, общий член ряда не стремится к нулю, т. е. ряд расходится на всей числовой прямой.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Очевидно, что при любом Так как ряд

сходится, то по признаку сравнения при любом x ряд

также сходится. Следовательно, данный ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем Следовательно, этот ряд сходится при т. е. при Отсюда получаем, что область сходимости этого ряда состоит из двух интервалов Как и в случае числовых рядов, для
функционального ряда (1) можно составить последовательность
частичных сумм

где В каждой точке x из области сходимости ряда (1) его сумма равняется пределу последовательности частичных сумм при :

Ряд

называется остатком ряда (1). Область сходимости ряда (6) совпадает с областью сходимости ряда (1), сумму ряда. (6) тоже называют остатком ряда (1), причем в этом случае

откуда при . Кроме того, из (7) получаем

т. е. представляет собой абсолютную погрешность приближения . Как известно, для конечных сумм имеют место следующие свойства: сумма непрерывных функций
является непрерывной функцией; производная суммы равна сумме производных слагаемых; интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых. Для функциональных рядов (бесконечных сумм) эти свойства, вообще говоря, не имеют места. В результате почленного
дифференцирования (интегрирования) функционального ряда можно получить ряд, сумма которого отлична от производной (интеграла) суммы данного ряда или даже расходящийся ряд.

Степенные ряды и их свойства

Определение:

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где x — независимая переменная, постоянные коэффициенты.

Коэффициенты степенного ряда могут быть действительными или комплексными числами. Ограничимся изучением степенных рядов с действительными коэффициентами.

Если произвести замену , то степенной ряд примет вид

Следовательно, при изучении степенных рядов мы можем ограничиться степенными рядами вида

1. Область сходимости степенного ряда. Переходим теперь к выяснению структуры области сходимости степенного ряда. Заметим вначале, что любой степенной ряд сходится в точке . В самом деле, если подставить в (1) , получим значение Таким
образом, точка входит в области сходимости любого степенного ряда.

Основную роль в определении структуры области сходимости и характера сходимости степенного ряда (1) играет следующая лемма.

Лемма Абеля:

1) Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении , то он абсолютно сходится при любом значении x, для которого

2) Если степенной ряд (1) расходится при некотором значении то он расходится при любой значении x, для которого

Доказательство:

1) Пусть степенной ряд (1) сходится в точке следовательно, числовой ряд

является сходящимся. Тогда общий член ряда (2) стремится к нулю при . Отсюда следует, что последовательность

ограничена, т. е. существует такое число M, что для всех

Пусть теперь причем . Мы должны показать, что ряд

сходится. Перепишем ряд (4) в виде

и рассмотрим ряд из модулей членов ряда (5):

В силу неравенства (3) члены ряда (6) меньше соответствующих членов ряда

При ряд (7) является рядом геометрической прогрессии со знаменателем и, следовательно, сходится. Тогда, по признаку сравнения рядов, ряд (6) также сходится, а это означает, что ряд (5) или» что то же самое, (4) сходится абсолютно, что и требовалось доказать.

2) Пусть в точке степенной ряд (1) расходится и Мы должны доказать, что при ряд (1) расходится. Допустим противное, что ряд (1) сходится в точке Но тогда, так как , по доказанной первой части данный ряд сходится в точке — получили противоречие. Лемма доказана полностью.

Теорема:

О структуре области сходимости степенного ряда. Если степенной ряд (1) имеет как отличные от нуля точки сходимости, так и точки расходимости, то существует такое число , что ряд (1) абсолютно сходится при всех x из интервала ,
т. е. для которых , и расходится при всех x, для которых .

Доказательство:

Пусть — точка сходимости ряда (1). Тогда по Лемме Абеля все точки интервала являются точками абсолютной сходимости ряда. Если в точке ряд расходится, то он расходится на полупрямой и на полупрямой (рис. 125). Поэтому интуитивно ясно
(строгое доказательство мы здесь опускаем), что существует такая точка , что при ряд сходится, а при ряд расходится.

Заметим, что сходимость в точках зависит от конкретного ряда.

Доказанная теорема позволяет дать полное описание области сходимости ряда (1), поэтому эту теорему называют теоремой о структуре области сходимости степенного ряда.

Рассмотрим случаи:

1. Ряд (1) сходится только при . Область сходимости состоит из одной точки .

2. Ряд (1) не имеет точек расходимости. Область сходимости совпадает со всей числовой прямой ;

3. Ряд (1) имеет как отличные от нуля точки сходимости, так и точки расходимости. В зависимости от данного ряда, область сходимости является одним из промежутков

Независимо от того, какой именно случай имеет место, интервал называется интервалом сходимости ряда. Следовательно, область сходимости степенного ряда либо совпадает с его интервалом сходимости, либо получается из этого интервала добавлением одной или обеих граничных точек.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. В случае 1 будем считать , в случае 2 , случаю 3 соответствует значение

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

Пусть x — некоторое фиксированное число, отличное от нуля. Тогда существует такой номер N что при n > N выполняется неравенство nx > 1. Следовательно, , т. е. общий член ряда не стремится к нулю. Таким образом, в каждой точке ряд расходится.

Итак, область сходимости данного ряда состоит только из нулевой точки, т. е. R = 0.

Для многих, встречающихся на практике, степенных рядов радиус сходимости можно определить применением признака Даламбера к, ряду

составленному из модулей членов ряда (1). Рассмотрим случай, когда все ; если некоторые коэффициенты равны нулю, например, если x входит только в четных или только в нечетных степенях, то радиус сходимости можно определить, аналогично оперируя с двумя
соседними членами ряда. Для нашего случая имеем:

Пусть предел существует:

Тогда

По признаку Даламбера ряд (8) сходится, если

и расходится, если из соотношения (9) при получаем

Таким образом, ряд (8) сходится, а следовательно, ряд (1) сходится абсолютно, если

Отсюда для радиуса сходимости при получаем соотношение

Если ; тогда по признаку Даламбера ряд сходится для любого x, т. е. . В случае ряд расходится для любого , следовательно, .

Из (10) получаем следующую формулу для вычисления радиуса сходимости:

т. е.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

По формуле (11) имеем

Данный ряд сходится только в точке .

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

т. е. R = 2, ряд сходится в интервале . Исследуем ряд на сходимость в концах интервала. При x = 2

получаем числовой ряд

или

т е. гармонический ряд, который расходится. При приходим к ряду

который по признаку Лейбница сходится.

Итак, областью сходимости будет промежуток .

Область сходимости степенного ряда можно определить и применяя непосредственно признак Даламбера. Так, для ряда примера 3 имеем

Следовательно, ряд сходится для тех значений x для которых и мы приходим к тому же интервалу После этого надо проверить сходимость на концах интервала.

Пример:

Найти радиус сходимости ряда

Решение:

К этому ряду формула (11)
неприменима, так как отсутствуют нечетные степени переменной Применяем
непосредственно признак Даламбера:

при любом x т. е. ряд сходится на всей числовой прямой.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

Так как , то формула (5) неприменима Применяем признак Даламбера:

Следовательно, ряд сходится для.

Проверим сходимость на концах интервала. При

получаем ряд

или

Так как ряд

сходится и то по признаку сравнения сходится и ряд (12)

Таким образом, область сходимости данного ряда совпадает с отрезком .

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

Применим признак Даламбера:

Следовательно, ряд сходится при

Проверим сходимость на концах полученного интервала.

При получаем ряд

т. е.

который, очевидно, расходится. При получаем ряд

т. е.

который также расходится._Следовательно, областью сходимости будет .

Свойства степенных рядов

В отличие от функционального ряда общего вида, степенные ряды обладают рядом свойств, которые имеют место для обычных многочленов (конечных сумм одночленов вида ). Сформулируем основные свойства степенных рядов.

Свойство:

Сумма степенного ряда (1) является непрерывной функцией в области сходимости ряда.

Свойство:

Если ряд (1) сходится к функции , т. e.

то для любого отрезка содержащегося в области сходимости ряда (1),

Другими словами, степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку, содержащемуся в области сходимости.

Заметим, что полученный ряд (14) является числовым рядом. Например, так как ряд

имеет область сходимости , то его можно интегрировать на отрезке

Учитывая, что

получаем

откуда

с абсолютной погрешностью

Интегрирование степенных рядов можно использовать для получения разложения в степенной ряд функций вида если известно разложение (13)

функции в степенной ряд. Для этого достаточно степенной ряд (13) интегрировать на отрезке для любого x из области сходимости ряда (13) (тогда, как известно, и весь отрезок принадлежит области сходимости):

Полученный ряд (16), в отличие от ряда (14), является функциональным, даже степенным рядом (так как все интегралы, входящие в (16), имеют переменный верхний предел), и имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (13).

Таким образом, из свойства 2 получаем: если для функции в некотором интервале имеет место разложение (13), то для функции имеет место о разложение (16) в том же интервале.

Пример:

Заменяя в (15) x на—x, получаем ряд

областью сходимости которого является промежуток . Интегрируя ряд (17) на отрезке , получаем

или

Полученный ряд (18) представляет собой разложение функции в степенной ряд в промежутке . Отсюда, например, при получаем

Пример:

Заменяя в (17) x на получим разложение

в промежутке . Интегрируя ряд (19) на отрезке

получаем

Подставляя в (20) х = 1 и учитывая, что получим ряд

который может быть использован для приближенного вычисления числа .

Свойство:

Если ряд (1) сходится к функции т. е. имеет место равенство (7), то ряд

составленный из производных членов ряда (1), имеет тот же радиус сходимости и сходится к производной функции т. е.

Другими словами, степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой внутренней точке из области его сходимости.

Пример:

Дифференцируя почленно равенство (17), получим

или

Замечание:

Если степенной ряд имеет вид

то подстановкой он приводится к степенному ряду вида (1). Интервалом сходимости степенного ряда (22) будет .

Пример:

Найти область сходимости степенного ряда

Решение:

Здесь

Следовательно, ряд сходится при т. е.
при

Проверкой убеждаемся, что данный ряд сходится на концах интервала . Следовательно, областью сходимости является отрезок .

Формула Тейлора и ее остаточный член

Пусть функция определена в точке и имеет в некоторой окрестности этой точки все производные до (n + 1)-го порядка включительно. Тогда для функции можно составить выражение

которое называется многочленом Тейлора степени n для функции в точке . Из (1) видно, что при

. Подсчеты показывают, что для многих функций, встречающихся в математике, физике, технике и других областях, многочлены Тейлора для значений x, близких к , принимают значения, близкие к . Обозначив абсолютную погрешность, т. е. разность , через , получим
формулу , или

Отсюда

Формула (2) называется формулой Тейлора для функции в точке .

Функция называется остаточным членом формулы Тейлора, Известны различные выражения для остаточного члена .

Следующая формула выражает остаточный член в форме Лагранжа:

где t — некоторая точка интервала при и интервала при .

Учитывая (3), формулу Тейлора (2) можно писать в виде

Если , то формула Тейлора (4) принимает вид

где , причем t и x одного знака.

Формула (5) известна под названием формулы Маклорена.

Пример:

Найти формулу Маклорена для функции с остаточным членом в форме Лагранжа для n = 4.

Решение:

Находим производные до порядка 4 + 1 = 5 включительно:

При n = 4 из (5) имеем:

Для нашего случая

аналогично, Следовательно,

или

где и x — одного знака.

Ряд Тейлора

Дана функция , которая имеет производные любого порядка в точке . Тогда можно составить ряд

Ряд (1) называется рядом Тейлора для функции в точке . Функция называется порождающей для ряда Тейлора (1).

Сходимость ряда Тейлора к порождающей функции. Вообще говоря, составленный ряд (1) для функции может быть расходящимся, может сходиться в некотором промежутке, но его сумма необязательно должна равняться порождающей функции . Поэтому очень важно знать условия, при которых ряд (1) сходится к порождающей его функции . Приводим необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции.

Теорема:

Ряд Тейлора (1) сходится к порождающей функции в некоторой окрестности точки тогда и только тогда, когда остаточный член в формуле Тейлора для функции в каждой точке этой окрестности стремится к нулю.

Доказательство:

Легко видеть, что n-я частичная сумма ряда (1) совпадает с многочленом Тейлора степени для функции Пусть теперь ряд (1) сходится к функции в некоторой окрестности точки т. е. Тогда

Обратно, пусть Тогда

Теорема доказана.

Следующая теорема дает только достаточное условие сходимости ряда Тейлора к порождающей функции и может быть применена при разложении функций.

Теорема:

Если все производные функции ограничены в некоторой окрестности точки то для любого x из этой окрестности ряд Тейлора функции сходится к функции , т. е. имеет место
разложение

Доказательство:

В силу теоремы 1 достаточно показать, что Из условия нашей теоремы следует существование такого числа M, что для любого n

для любого x из рассматриваемой окрестности. Беря остаточный член в форме Лагранжа (формула (3) предыдущего параграфа), имеем:

Осталось показать, что Для этого заметим, что ряд

сходится при любом x: (это можно проверить по признаку Даламбера; см. пример 2 § 1). Следовательно, его общий член стремится к нулю,
т. е. Отсюда получаем и тогда из теоремы 1 следует требуемое равенство (2).

Единственность разложения функции в степенной ряд

Теорему об единственности разложений функций в степенных рядах можно сформулировать следующим образом.

Теорема:

Если функция разлагается в некотором промежутке в степенной ряд

то это разложение единственно и совпадает с рядом Тейлора функции в точке , т. е.

Доказательство:

Почленным дифференцированием из (4) получаем:

Подставляя в формулу (4) и в полученные формулы для производных функции , получим:

Из этих соотношений найдем, что

Следовательно, ряд (4) совпадает с рядом Тейлора (1) функции в точке . Теорема доказана.

Если в (1) взять то получаем ряд

который является частным случаем ряда Тейлора и известен под названием ряда Маклорена для функции . Из формулу (2) при получаем разложение функции в ряд Маклорена:

Ряды Тейлора для некоторых элементарных функций

Рассмотрим разложение в ряд Тейлора некоторых элементарных функций. При этом ограничимся частным случаем , т. е. рядами Маклорена, которые чаще используются на практике.

Для разложения некоторой функции в ряд Маклорена надо вычислить значения всех производных данной функции при и воспользоваться формулой (5) предыдущего параграфа.

1. Разложение функции . Заметим, что и, вообще, Отсюда

Таким образом, функции сопоставляется ряд

Покажем, что равна сумме этого ряда. Для данного x найдем интервал , содержащий число x и обозначим . Тогда для любой производной функции имеем

Отсюда по теореме 3 § 4 сумма ряда равна порождающей его функции, т. е.

Разложение функции

Найдем производные данной функции:

Вычислим значения функции и ее производных для

Вообще, если n четное, т. е. где

то

если n нечетное, то рассмотрим случаи:

Для первого случая имеем:

Для второго случая имеем:

Учитывая далее, что производные функции sin x ограничены на всей числовой прямой,

по теореме 3 § А получаем

Отбросив члены с нулевыми коэффициентами, получим

Разложение функции

Повторяя рас суждения и выкладки, аналогичные случаю функции , получим . Отсюда при нечетном n, т. е. при , получим для четного n рассмотрим отдельно случаи при имеем при имеем

Следовательно,

Заметим, что согласно теореме 2 § 4 функции , sin x; и cos x; разлагаются в свои ряды Маклорена на всей числовой оси.

Разложение функции , где — произвольное действительное число

Имеем:

и, вообще,

Отсюда

и, вообще,

следовательно, функции сопоставляется следующий ряд Маклорена:

По признаку Даламбера найдем область сходимости полученного ряда (4):

Следовательно, ряд сходится при , т. е. в интервале , и расходится при .

Примем без доказательства, что ряд (4) сходится к порождающей функции в интервале сходимости .Таким образом,

для

Более того, можно показать, что при разложение (5) верно и в обоих концах интервала , т. е. имеет место на отрезке , а при — в правом конце, т. е. на полуинтервале .

Ряд (5) называется биномиальным рядом.

Если — натуральное число, , то все члены формулы (5), начиная с — го, равны нулю, так как содержат множитель . В этом случае биномиальный ряд (5) представляет собой известную формулу бинома Ньютона:

Указанный в этом параграфе метод разложения функций в степенной ряд может быть применен к произвольной функции. Однако в отдельных случаях вычисления и обоснование сходимости могут оказаться очень громоздкими. Разложения некоторых функций в ряд можно получить, выполняя те или иные преобразования

над имеющимися разложениями. Так, в примерах 7, 8, 9 § 2 получены разложения для функций , при помощи замены переменной, интегрирования и дифференцирования степенных рядов. Заметим, например, что разложение (3) функции cos x можно получить путем почленного дифференцирования
из разложения (2) функции sin x.

Элементарные функции в области комплексных чисел

Как мы отметили, можно рассматривать степенные ряды не только с действительными, но и с комплексными значениями коэффициентов и переменной x.

Степенные ряды представляют собой удобное средство для определения функций от комплексного переменного Так, имея разложение показательной функции

на действительной оси, распространяем эту формулу на комплексной плоскости, т. е. для показательной функции от комплексного переменного z принимается следующее определение:

Показательной функцией от комплексной переменной называется функция, заданная формулой

Аналогично, тригонометрические функции sin z и cos z для комплексного переменного определяются по формулам:

Можно показать, что по формулам (7), (8) и (9) функции определены для всех , т. е. что соответствующие ряды сходятся на всей комплексной плоскости.

Используя определения (7), (8), (9) функций можно вывести формулу Эйлера (см. § 8

гл. 9). Полагая в формуле (7) где — действительное число, получим

или

Отделяя действительные и мнимые части, находим

Так как в правой части (10) в скобках стоят соответственно разложения в ряды cos и sin , то получаем формулу Эйлера

Примеры практического применения степенных рядов

Вычисление значений функций

Пример:

Вычислить число e, т. е. значение функции при x = 1, с точностью до 0,001 (если известно, что e < 3).

Решение:

Имеем.

Тогда

причем абсолютная погрешность этого приближения равна

где При x = 1 получаем

При этом

где Но так как то

Число n определим из неравенства

Имеем:

Достаточно взять n = 6, так как

Следовательно,

Пример:

Вычислить sin 18° с четырьмя верными десятичными знаками.

Решение:

По формуле (2) § 5 имеем

Так как угол 18° в радианной мере (с точностью до ) равен 0,3142, то

Так как мы имеем знакочередующийся ряд, то при замене его суммы некоторой частичной суммой абсолютная погрешность не превышает модуля первого отброшенного члена. Непосредственной проверкой убеждаемся, что следовательно, достаточно
ограничиться двумя членами:

Вычисление определенных интегралов

Пример:

Вычислить интеграл

с точностью до. 0,0001.

Решение:

Из формулы (2) § 5 делением обеих частей на x находим

Это разложение, как и разложение для sin x, имеет место на всей числовой оси, поэтому его можно почленно интегрировать:

При x = 1 имеем

Полученный ряд является знакочередующимся рядом. Так как

то достаточно взять

Вычисляя промежуточные результаты с пятью десятичными знаками, получим окончательный результат с четырьмя верными десятичными знаками:

Пример:

Вычислить интеграл с точностью до 0,0001.

Решение:

Заменяя в разложении 2 § 5 x на , получаем

Отсюда

При x = 1 поручаем знакочередующийся ряд:

Приближение

имеет границу абсолютной погрешности

Таким образом, вычисляя промежуточные результаты с пятью десятичными знаками, получим окончательный результат с четырьмя верными десятичными знаками:

Замечание. Интегралы, рассмотренные в примерах 3 и 4, как мы знаем, не берутся в элементарных функциях. Однако изложенный метод вычисления интегралов оказывается удобным и в тех случаях, когда интегралы выражаются; через элементарные функции.

Пример:

Вычислить интеграл

Заметим что

Однако практическое применение этого результата приводит к громоздким вычислениям. Намного проще вычисляется данный интеграл при помощи степенных рядов.

Решение:

Заменяя в известном разложении

x на получаем

Так как отрезок содержится в интервале сходимости полученного ряда, то этот ряд можно почленно интегрировать в пределах от 0 до :

Учитывая, что полученный ряд знакочередующийся, получаем, что приближение

имеет границу абсолютной погрешности

В действительности, все цифры верные.

Решение дифференциальных уравнений

Пусть дано некоторое дифференциальное уравнение

Требуется найти его решение, удовлетворяющее
начальным условиям:

Изложим схему получения искомого решения в виде ряда Тейлора.

Подставляя значения (2) в уравнение (1), получим уравнение

из которого можно определить значение n-й производной

Дифференцируя равенство (1), получим уравнение, которое помимо будет содержать и производную :

Подставляя в (4) значения (2) и (3), получим уравнение

из которого можно определить значение (n+1)-й производной. Продолжая так и далее, находим последовательно значения всех производных искомой функции y в точке x = . По этим данным можно написать разложение искомого решения у в ряд Тейлора в точке Таким образом, решение уравнения (1) получается в виде степенного ряда.

Пример:

Найти решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

Решение:

Из (5) находим

Дифференцируя (5), получаем

Отсюда

Дифференцируя (6), находим

Отсюда

Дифференцируя (7), находим

откуда

Аналогично:

и т. д. Поскольку , получаем разложение решения в ряд Маклорена:

т. е.

Пример:

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

Решение:

Из (8) имеем: Дифференцируя (8), находим

Из (9) имеем Дифференцируем (9):

отсюда Дифференцируем (10):

отсюда и т. д. Следовательно, искомое решение записывается в виде ряда Тейлора в точке :

Дополнение к степенным рядам

Смотрите также:

Решение задач по высшей математике

Решение степенных рядов

Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

или вида

где коэффициенты — постоянные.

Ряд (2) формальной заменой сводится к ряду (1). Степенной ряд (1) всегда сходится в точке х = 0, а ряд (2) — в точке Х0, и их сумма в этих точках равна

Пример:

Ряды

являются степенными рядами.

Выясним вид области сходимости степенного ряда.

Теорема:

Абель. Если степенной ряд

сходится при то он сходится абсолютно для всех х таких, что если степенной ряд расходится при х = x2, то он расходится при любом х, для которого

Пусть степенной ряд

сходится при т. е. сходится числовой ряд

Отсюда следует, что

а значит, существует число М > 0 такое, что для всех n. Рассмотрим ряд

где и оценим его общий член. Имеем

где Но ряд

составлен из членов геометрической прогрессии со знаменателем и значит, сходится. На основании признака сравнения ряд сходится в любой точке х, для которой Следовательно, степенной ряд абсолютно сходится для

Пусть теперь степенной ряд

расходится при х = х2. Допустим, что этот ряд сходится для |х| > |х2|. По доказанному он должен сходиться и при х = х2, так как |х2| < |х|, что противоречит условию расходимости ряда при х = х2.

Теорема Абеля дает возможность установить характер области сходимости степенного ряда

Пусть в точке ряд сходится. Тогда ряд будет абсолютно сходиться в интервале Если в некоторой точке х2 (здесь ряд расходится, то он будет расходиться и в бесконечных интервалах В этих условиях на оси Ох существуют две точки (симметричные относительно начальной точки О), которые отделяют интервалы расходимости от интервала сходимости. Имеет место следующая теорема.

Теорема:

Пусть степенной ряд

сходится в точке Тогда либо этот ряд абсолютно сходится в каждой точке числовой прямой, либо существует число R > 0 такое, что ряд сходится абсолютно при |х| < R и расходится при |х| > R.

Определение:

Интервалом сходимости степенного ряда

называется интервал (-R, R), где R > 0, такой, что в каждой точке (-R, R) ряд абсолютно сходится, а в точках х таких, что |х| > R, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание:

Что касается концов интервала сходимости ( -R, R ), то возможны следующие три случая: 1) степенной ряд сходится как в точке х = -R , так и в точке х = R , 2) степенной ряд расходится в обеих точках, 3) степенной ряд сходится водном конце интервала сходимости и расходится в другом.

Замечание:

Степенной ряд

где имеет тот же радиус сходимости, что и ряд

но его интервалом сходимости является интервал

При условии существования конечного предела

радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле

Для доказательства формулы (3) рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

Применяя к этому ряду признак Даламбера, находим

Отсюда следует, что ряд (4) будет сходиться, если т. е. степенной ряд сходится абсолютно для всех х таких, что и расходится при По определению радиуса сходимости получаем, что т. е.

Радиус сходимости степенного ряда можно находить также по формуле

если существует конечный предел

Формулу (5) легко получить, используя признак Коши. Если степенной ряд

сходится только в точке х = 0, то говорят, что его радиус сходимости R = 0 (это возможно, например, при

Если степенной ряд сходится во всех точках числовой оси, то полагают (это имеет место, например, при

Областью сходимости степенного ряда

может оказаться либо интервал , либо отрезок либо один из полуинтервалов Если то областью сходимости ряда будет вся числовая ось, т. е. интервал Для отыскания области сходимости степенного ряда

нужно сначала вычислить его радиус сходимости R (например, по одной из приведенных выше формул) и тем самым найти интервал сходимости в котором рад абсолютно сходится, затем — исследовать «сходимость рада в концах интервала сходимости — в точках

Пример:

Найти область сходимости степенного ряда

1) Для нахождения радиуса сходимости R данного ряда удобно применить формулу (3). Так как то будем иметь

Ряд сходится абсолютно на интервале — 1 < х < 1.

2) Исследуем сходимость ряда (6) в концах интервала сходимости. Положив х = -1, получим числовой ряд

расходимость которого очевидна (не выполнен необходимый признак сходимости: При х = 1 получим числовой ряд

не существует, а значит, этот ряд расходится.

Итак, область сходимости ряда (6) есть интервал -1 < х < 1.

Пример:

Найти область сходимости ряда

1) Радиус сходимости находим по формуле (3). Имеем

Ряд (7) сходится абсолютно на интервале

2) При х = -4 получим числовой ряд

который расходится (гармонический ряд). При х = 0 будем иметь числовой ряд

сходящийся условно.

Таким образом, ряд (7) сходится в области

Пример:

Найти интервал сходимости ряда

Так как то для нахождения радиуса сходимости применим формулу (5):

Это означает, что данный ряд сходится при всех значениях х, т.е. областью сходимости является интервал

Пример:

Найти интервал сходимости ряда

то получим

Равенство R = 0 означает, что ряд (8) сходится только в точке x = 0, т. е. область сходимости данного степенного ряда состоит из одной точки х = 0.

Равномерная сходимость степенного ряда и непрерывность его суммы

Теорема:

Степенной ряд

сходится абсолютно и равномерно на любом отрезке [-а, а], а > 0, содержащемся в интервале сходимости ряда (-R, R), R > 0.

Пусть 0 < а < R. Тогда для всех х, удовлетворяющих условию | и для любого n = 0, 1, 2, … будем иметь Но так как числовой ряд сходится, то по признаку Вейерштрасса данный степенной ряд сходится на отрезке [-a, а] абсолютно и равномерно.

Теорема:

Сумма степенного ряда

непрерывна в каждой точке х его интервала сходимости (-R, R), R > 0.

Любую точку х из интервала сходимости (-R, R) можно заключить в некоторый отрезок [-а, а], 0 < |х| < а < R, на котором данный ряд сходится равномерно. Так как члены ряда непрерывны, то его сумма S(х) будет непрерывной на отрезке [-а, а], а значит, и в точке х.

Интегрирование степенных рядов

Теорема:

О почленном интегрировании степенного ряда. Степенной ряд

можно интегрировать почленно в его интервале сходимости (-R, R), R > 0, причем радиус сходимости ряда, полученного почленным интегрированием, также равен R. В частности, для любого х из интервала (-R, R) справедлива формула

Любую точку х из интервала сходимости (-R, R) можно заключить в некоторый отрезок [-а, а], где 0 < |x| < а < R. На этом отрезке данный ряд будет сходиться равномерно, а так как члены ряда непрерывны, то его можно почленно интегрировать, например, в пределах от 0 до х. Тогда, согласно теореме 4 главы XVIII,

Найдем радиус сходимости R’ полученного ряда

при дополнительном условии существования конечного предела Имеем

Итак, радиус сходимости степенного ряда при интегрировании не меняется.

Замечание:

Утверждение теоремы остается справедливым и при

Дифференцирование степенных рядов

Теорема:

О почленном дифференцировании степенного ряда. Степенной ряд

можно дифференцировать почленно в любой точке х его интервала сходимости (-R, R), R > 0, при этом выполняется равенство

Пусть R — радиус сходимости ряда

a — радиус сходимости ряда

Предположим, что существует (конечный или бесконечный) предел

Найдем радиус R’ ряда

Имеем

Тем самым, радиусы сходимости рядов (1) и (2) равны. Обозначим сумму ряда (2) через

Ряды (1) и (2) равномерно сходятся на любом отрезке [-а, а], где 0 < а < R. При этом все члены ряда (2) непрерывны и являются производными соответствующих членов ряда (1). Поэтому, согласно теореме 5 главы XVIII, на отрезке [-а, а] выполняется равенство В силу произвольности а последнее равенство выполнено и на интервале (-R, R).

Следствие:

Степенной ряд

можно почленно дифференцировать сколько угодно раз в любой точке х его интервала сходимости (-R, R), причем радиусы сходимости всех получаемых рядов будут равны R.

Ряд Тейлора

Определение:

Будем говорить, что функция f(х) разлагается в степенной ряд на интервале (-R, R), если на этом интервале указанный ряд сходится и его сумма равна f(х):

Докажем сначала, что функция f(x) не может иметь двух различных разложений в степенной ряд вида (1).

Теорема:

Если функция f(х) на интервале (-R, R) разлагается в степенной ряд (1), то это разложение единственно, т. е. коэффициенты ряда (1) по его сумме определяются однозначно.

Пусть функция f(х) в интервале (-R, R) разложена в сходящийся степенной ряд

Дифференцируя этот ряд почленно n раз, найдем

При x = 0 получаем

(здесь

Таким образом, коэффициенты степенного ряда (1) формулой (2) определяются однозначно.

Замечание:

Если функция f(x) разложена в степенной ряд по степеням разности

то коэффициенты сn этого ряда определяются формулами

Пусть функция f(x) при х = Хо имеет производные всех порядков f'(xо), f»(х0), … , является бесконечно дифференцируемой в точке Xо. Составим для этой функции формальный степенной ряд

вычислив его коэффициенты по формуле (3).

Определение:

Рядом Тейлора функции f(х) относительно точки х0 называется степенной ряд вида

Коэффициенты этого ряда

называются коэффициентами Тейлора функции f(х). При X0 = 0 ряд Тейлора

называют рядом Маклорена.

Из теоремы 5 вытекает следующее утверждение.

Теорема:

Если на интервале функция f(х) разлагается в степенной ряд

то этот ряд является рядом Тейлора функции f(х).

Пример:

Рассмотрим функцию

и найдем ее производные.

Для эта функция имеет производные всех порядков, которые находятся по обычным правилам

где — многочлен степени Зn относительно

Покажем теперь, что в точке х = 0 данная функция также имеет производные любого порядка, причем все они равны нулю. Исходя из определения производной, имеем

(при вычислении предела мы применили правило Лопиталя). Аналогичным образом можно доказать, что

Тем самым, заданная функция имеет на числовой оси производные всех порядков,

Построим формальный ряд Тейлора исходной функции относительно точки Xо = 0. Имеем

Очевидно, что сумма S(x) этого ряда тождественно равна нулю, в то время как сама функция f(x) тождественно равной нулю не является.

Про этот пример стоит вспомнить при обсуждении комплексного анализа (аналитичности): функция, внешне совершенно благопристойная, проявляет на действительной оси капризный характер, являющийся следствием неприятностей на мнимой оси.

Формально построенный в примере для заданной бесконечно дифференцируемой функции ряд сходится, но его сумма не совпадает со значениями этой функции при . В связи с этим возникает естественный вопрос: каким условиям должна удовлетворять функция f(х) на интервале чтобы ее можно было разложить в сходящийся к ней ряд Тейлора?

Условия разложимости функции в ряд Тейлора

Для простоты будем рассматривать степенной ряд вида

т. е. ряд Маклорена.

Теорема:

Для того чтобы функцию f(x) можно было разложить в степенной ряд

на интервале (-R, R), необходимо и достаточно, чтобы на этом интервале функция f(х) имела производные всех порядков и чтобы в ее формуле Тейлора

остаточный член Rn(x) стремился к нулю при (-R, R).

Необходимость:

Пусть на интервале (-R,R), R > 0, функция f(х) разложима в степенной ряд

т. е. ряд (2) сходится и его сумма равна f(х). Тогда по теореме 4 и следствию из нее функция f(х) имеет на интервале (-R, R) производные всех порядков. По теореме 5 (формула (2)) коэффициенты ряда (2) имеют вид

т. е. мы можем написать равенство

В силу сходимости этого ряда на интервале (-R, R) его остаток

стремится к нулю при (-R, R).

Достаточность:

Пусть функция f(х) на интервале (-R, R) имеет производные всех порядков и в ее формуле Тейлора остаточный член для любого Поскольку

при Поскольку в квадратных скобках записана n-я частичная сумма ряда Тейлора, то формула (4) означает, что ряд Тейлора функции f(х) сходится на интервале (-R, R) и его суммой является функция f(х).

Достаточные условия разложимости функции в степенной ряд, удобные для практического применения, описываются следующей теоремой.

Теорема:

Для того, чтобы функцию f(х) на интервале (-R, R) можно разложить в степенной ряд

достаточно, чтобы функция f(х) имела на этом интервале производные всех порядков и чтобы существовала постоянная М > 0 такая, что

для всех n = 0, 1, 2,… и для всех

Пусть функция f(х) имеет на интервале (-R, R) производные всех порядков. Тогда для нее можно формально написать ряд Тейлора

Докажем, что он сходится к функции f(х). Для этого достаточно показать, что остаточный член

в формуле Тейлора (1) стремится к нулю при для всех В самом деле, учитывая, что будем иметь

для n = 0, 1,… и для всех Числовой ряд

сходится в силу признака Даламбера:

Поэтому

в силу необходимого признака сходимости. Из неравенства (3) получаем

для всех

Продолжение примера 1. Хотя функция из примера 1 и имеет на числовой оси производные всех порядков, универсальной постоянной М, ограничивающей их абсолютные величины, не существует,

при

Ряды Тейлора элементарных функций

Рассмотрим разложения в ряд

основных элементарных функций.

Эта функция имеет производные всех порядков на интервале (-а, а), где а > 0 — любое число, причем

Следовательно, показательная функция разлагается в ряд Тейлора на любом интервале (-а, а) и, тем самым, на всей оси Ох. Так как то получаем ряд

Радиус сходимости этого ряда

Если в разложении (1) заменить х на —х, то будем иметь

Данная функция имеет производные любого порядка, причем

для n = 0, 1, 2,… и Тем самым, по теореме 8 функция sin а: разлагается в сходящийся к ней на интервале ряд Тейлора. Так как

то этот ряд имеет следующий вид

Радиус сходимости ряда

Аналогично получаем, что

любое действительное число.

Эта функция удовлетворяет соотношению

и условию f(0) = 1.

Будем искать степенной ряд, сумма которого S(х) удовлетворяет соотношению (4) и условию S(0) = 1. Положим

Отсюда находим

Подставляя соотношения (5) и (6) в формулу (4), будем иметь

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, получим

откуда находим

Подставляя эти значения коэффициентов в соотношение (5), получим ряд

Найдем радиус сходимости ряда (7) в случае, когда а не является натуральным числом. Имеем

Итак, ряд (7) сходится при |х|< 1,т.е. на интервале (-1,1).

Докажем, что сумма S(х) ряда (7) на интервале (-1,1) равна Для этого рассмотрим отношение

Так как S(х) удовлетворяет соотношению (4), т. е.

то для производной функции получаем:

для (-1,1). Отсюда следует, что

на (-1, 1). В частности, при х = 0 имеем

и значит,

где -1 < х < 1.

Полученный ряд называется биномиальным, а его коэффициенты — биномиальными коэффициентами.

Замечание. В случае, если а — натуральное число (a = n), функция будет многочленом n-й степени, и

Отметим еще два разложения. При а = -1 будем иметь

Заменив x на -x в последнем равенстве, получим

Для получения разложения этой функции в ряд Тейлора по степеням х проинтегрируем равенство (9) в пределах от 0 до х, где (-1,1). Имеем

Равенство (11) справедливо в интервале -1 < х < 1. Заменяя в нем х на -х, получим ряд

где -1 < х < 1.

Можно доказать, что равенство (11) справедливо и для х = 1:

Пользуясь этой таблицей, можно получать разложения в степенной ряд более сложных функций. Покажем на примерах, как это делается.

Пример:

Разложить функцию

в степенной ряд в окрестности точки Хо = 2, т.е. по степеням разности х — 2.

Преобразуем данную функцию так, чтобы можно было использовать ряд (10) для функции Имеем

Заменяя в формуле (10) х на получим

Это разложение справедливо, когда выполнено любое из эквивалентных неравенств

Пример:

Разложить по степеням х функцию

используя формулу (10).

Разлагая знаменатель на множители, представим данную рациональную функцию в виде разности двух простейших дробей. Имеем

После простых преобразований получим

К каждому слагаемому в правой части равенства (13) применяем формулу (10), в результате чего получим степенные ряды

Ряд (14) сходится для а ряд (15) сходится для Оба ряда (14) и (15) будут сходиться одновременно для |x| < 1. Так как в интервале (-1,1) ряды (14) и (15) сходятся, то их можно почленно вычитать. В результате мы получим искомый степенной ряд

радиус сходимости которого равен R = 1.

Этот ряд сходится абсолютно для |x| < 1.

Пример:

Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки Xo = 0 функцию arcsin x.

Известно, что

Применим к функции формулу (8), заменяя в ней В результате для |-X2| = получаем

Интегрируя обе части последнего равенства от нуля до x (почленное интегирование законно, так как степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке с концами в точках 0 и x, лежащем в интервале (-1,1)), найдем

Тем самым, окончательно получаем, что

где -1 < x < 1 (R = 1).

Замечание:

Разложение в степенные ряды можно использовать для вычисления интегралов, не выражающихся в конечном виде через элементарные функции.

Приведем несколько примеров.

Пример:

Вычислить интеграл (интегральный синус)

Известно, что первообразная для функции не выражается через элементарные функции. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, пользуясь тем, что

Из равенства (16) находим

Заметим, что деление ряда (16) на t при t законно. Равенство (17) сохраняется и при t = 0, если считать, что при t = 0 отношение Тем самым, ряд (17) сходится при всех значениях t Интегрируя его почленно, получим

Полученный ряд — знакочередующийся, так что погрешность при замене его суммы частичной суммой оценивается просто.

Пример:

Вычислить интеграл

Здесь первообразная для подынтегральной функции также не является элементарной функцией. Для вычисления интеграла заменим в формуле

х на Получим

Проинтегрируем обе части этого равенства в пределах от 0 до х:

Этот ряд сходится при любых х (его радиус сходимости и является знакочередующимся при х > 0.

Степенные ряды основные определения и свойства с подробным объяснением и теорией

Функциональные ряды

Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным:

Придавая x определенное значение , мы получим числовой ряд

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда (62.1); если же ряд расходится — точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от х: S = S(x). Определяется она в области сходимости равенством

частичная сумма ряда.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем q = х. Следовательно, этот ряд сходится при |х| < 1, т.е. при всех сумма ряда равна

Пример:

Исследовать сходимость функционального ряда

Решение:

Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:

Так как при любом имеет место соотношение а ряд с общим членом сходится (обобщенный гармонический ряд, см. п. 60.4), то по признаку сравнения ряд (62.2) сходится при Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится при всех

Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т. е. так называемый степенной ряд

Действительные (или комплексные) числа называются коэффициентами ряда (62.3), — действительная переменная.

Ряд (62.3) расположен по степеням х. Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням , т. е. ряд вида

где — некоторое постоянное число.

Ряд (62.4) легко приводится к виду (62.3), если положить Поэтому при изучении степенных рядов можем ограничиться степенными рядами вида (62.3).

Сходимость степенных рядов

Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (62.3). Область сходимости степенного ряда (62.3) содержит по крайней мере одну точку: х = 0 (ряд (62.4) сходится в точке ).

Теорема Н.Абеля

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы.

Теорема:

Абель. Если степенной ряд (62.3) сходится при то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству

По условию ряд сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости Отсюда следует, что величинаограничена, т. е. найдется такое число М > 0, что для всех п выполняется неравенство

Пусть тогда величина и, следовательно,

т. е. модуль каждого члена ряда (62.3) не превосходит соответствующего члена сходящегося (q < 1) ряда геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при ряд (62.3) абсолютно сходящийся.

Следствие:

Если ряд (62.3) расходится при то он расходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству .

Действительно, если допустить сходимость ряда в точке , для которой , то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, для которых , и, в частности, в точке , что противоречит условию.

Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если есть точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала ряд (62.3) расходится.

Интервал и называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив , интервал сходимости можно записать в виде (—R;R). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. R > 0 — это такое число, что при всех х, для которых |х| < R, ряд (62.3) абсолютно сходится, а при |х| > R ряд расходится (см. рис. 259).

В частности, когда ряд (62.3) сходится лишь в одной точке то считаем, что R = 0. Если же ряд (62.3) сходится при всех значениях (т. е. во всех точках числовой оси), то считаем, что

Отметим, что на концах интервала сходимости (т. е. при х = R и при х = —R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (62.3) можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда

и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

По признаку Даламбера ряд сходится, если т. е. ряд сходится при тех значениях х, для которых

ряд, составленный из модулей членов ряда (62.3), расходится при тех значениях х, для которых Таким образом, для ряда (62.3) радиус абсолютной сходимости

Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно установить, что

Замечания. 1. Если то можно убедиться, что ряд (62.3) абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае Если

2.Интервал сходимости степенного ряда (62.4) находят из неравенства , имеет вид

3.Если степенной ряд содержит не все степени х, т. е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости (формулы (63.1) и (63.2)), а непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

Воспользуемся формулой (63.1):

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

Заданный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем:

Ряд абсолютно сходится, если Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При х = — 1 имеем ряд который сходится по

признаку Лейбница.

При х = 1 имеем ряд это тоже сходящийся лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок [-1; 1].

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

Находим радиус сходимости ряда по формуле (63.1):

Следовательно, ряд сходится при — 2 < х + 2 < 2, т. е. при — 4 < х < 0. При х = — 4 имеем ряд

который сходится по признаку Лейбница. При х = 0 имеем расходящийся ряд

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является полуотрезок [-4; 0).

Свойства степенных рядов

Сформулируем без доказательства основные свойства степенных рядов.

1. Сумма S(x) степенного ряда (62.3) является непрерывной функцией в интервале сходимости (—R; R).

2.Степенные ряды имеющие радиусы сходимости соответственно , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел .

3.Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда

при —R<x<R выполняется равенство

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда (63.3) при — R < а < х < R выполняется равенство (см. замечание 1, с. 416)

Ряды (63.4) и (63.5) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

Перечисленные свойства 1-4 остаются справедливыми и для степенных рядов вида (62.4).

Свойства степенных рядов широко используются в теоретических исследованиях и в приближенных вычислениях.

Разложение функции в степенные ряды

Ряды Тейлора и Маклорена

Для приложений важно уметь данную функцию f(х) разлагать в степенной ряд, т. е. функцию f(х) представлять в виде суммы степенного ряда.

Как известно (см. теорема 26.1), для любой функции f(х), определенной в окрестности точки и имеющей в ней производные до (п + 1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

где остаточный член в форме Лагранжа. Число с можно записать в виде где Формулу (64.1) кратко можно записать в виде

— многочлен Тейлора.

Если функция f(х) имеет производные любых порядков (т. е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки хо и остаточный член стремится к нулю при то из формулы Тейлора получается разложение функции f(х) по степеням , называемое рядом Тейлора:

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням х в так называемый ряд Маклорена:

Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции f(x); он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции f(x). Так, например, функция

имеет в точке х = 0 производные всех порядков, причем при всяком п (см. пример 19.5). Ряд Маклорена имеет вид

Он сходится, но его сумма S(x) в любой точке х равна нулю, а не f(x).

Пусть для функции f(х) составлен соответствующий ей ряд Тейлора.

Теорема:

Для того чтобы ряд Тейлора (64.2) функции f(х) сходился к f(х) в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (64.1) стремился к нулю при т. е. чтобы

Пусть ряд Тейлора (64.2) сходится к функции f(х) в некоторой окрестности точки , т. е. Так как п-я частичная сумма ряда (64.2) совпадает с многочленом Тейлора , т. е. , находим:

Обратно, пусть Тогда

Замечание:

Если ряд Тейлора (64.2) сходится к порождающей функции f(х), то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора, т. е. (Напомним, что a — сумма ряда Тейлора.)

Таким образом, задача разложения функции f(х) в степенной ряд сведена по существу к определению значений х, при которых Если сделать это не просто, то следует каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции.

На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.

Теорема:

Если модули всех производных функций f(х) ограничены в окрестности точки одним и тем же числом М > 0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции f(х) сходится к функции f(х), т. е. имеет место разложение (64.2).

Согласно теореме 64.1, достаточно показать, что

По условию теоремы 64.2 для любого п имеет место неравенство Тогда имеем:

Осталось показать, что Для этого рассмотрим ряд

то пo признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости,

Следовательно,

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Для разложения функции f(х) в ряд Маклорена (64.3) нужно:

а) найти производные

б) вычислить значения производных в точке

в) написать ряд (64.3) для заданной функции и найти его интервал сходимости;

г) найти интервал (—R;R), в котором остаточный член ряда Маклорена Если такой интервал существует, то в нем функция f(х) и сумма ряда Маклорена совпадают.

Замечание:

В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремится к нулю при

Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций (эти разложения следует запомнить):

Докажем формулу (64.4). Пусть

Имеем:

г) для всех имеем т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом .

Докажем формулу (64.5). Пусть

Имеем:

Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех

г) любая производная функции f(х) = sinx по модулю не превосходит единицы, Следовательно, по теореме 64.2 имеет место разложение (64.5).

Докажем формулу (64.6). Пусть

Формулу (64.6) можно доказать так же, как и формулу (64.5). Однако проще получить разложение функции cos х, воспользовавшись свойством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд (64.5), получим:

Докажем формулы (64.13), (64.14). Пусть

Заменив в формуле (64.4) х на — х, получим разложение функции :

справедливое для всех

Суммируя (и вычитая) почленно равенства (64.4) и (64.15), получим разложение гиперболического косинуса (синуса):

Формулы (64.13) и (64.14) доказаны. ■

Докажем формулу (64.7). Пусть

Имеем:

т. е. составленный для функции ряд сходится в интервале (—1; 1).

Можно показать, что и в данном случае, т.е. при остаточный член ) стремится к нулю при .

Ряд (64.7) называется биномиальным. Если то все члены ряда с (п + 1)-го номера равны 0, так как содержат множитель В этом случае ряд (64.7) представляет собой известную формулу бинома Ньютона:

Докажем формулу (64.8). Пусть

Формула (64.8) может быть получена разными способами:

1) пользуясь правилом разложения функции в ряд;

2) рассматривая ряд как ряд геометрической прогрессии, первый член которой равен единице и знаменатель q = х; известно (см. пример 62.1), что данный ряд сходится при и его сумма равна

3) воспользовавшись формулой (64.7): положив в ней и заменив х на -х, получим формулу (64.8).

Докажем формулу (64.9). Пусть Формула (64.9) также может быть доказана разными способами. Приведем один из них.

Рассмотрим равенство

справедливое для всех . Используя свойство 4 степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке

или

Можно показать, что это равенство справедливо и для х = 1. В

Докажем формулу (64.10). Пусть

Положив в формуле (64.7) а = —1 и заменив , получим равенство

Тогда

или

Можно показать, что равенство справедливо и при х = ±1, т. е. при всех х € [-1; 1].

Докажем формулу (64.12). Пусть

Положив в формуле (64.7) и заменив получим равенство

Тогда

или

Можно показать, что полученное равенство справедливо при всех

Ряды (64.4)-(64.14) в комбинации с правилами сложения, вычитания, умножения, дифференцирования, интегрирования степенных рядов (см. свойства степенных рядов) могут быть использованы при разложении (некоторых) других функций в ряд Маклорена (Тейлора).

Пример:

Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение:

Так как то, заменяя х на xln3 в разложении (64.4), получим:

Пример:

Выписать ряд Маклорена функции

Решение:

Так как

то, воспользовавшись формулой (64.9), в которой заменим х на (— получим:

или

Если

Пример:

Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение:

Воспользуемся формулой (64.8). Так как

то, заменив в формуле (64.8), получим:

или

где

Некоторые приложения степенных рядов

Приближенное вычисление значений функции:

Пусть требуется вычислить значение функции f(х) при заданной точностью

Если функцию f(х) в интервале (—R;R) можно разложить в степенной ряд

и то точное значение равно сумме этого ряда при , т. е.

а приближенное — частичной сумме , т.е.

Точность этого равенства увеличивается с ростом п. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е.

где

Таким образом, ошибку можно найти, оценив остаток ряда.

Для рядов лейбницевского типа

В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположительный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. И в качестве оценки берут величину остатка этого нового ряда.

Пример:

Найти sin 1 с точностью до 0,001.

Решение:

Согласно формуле (64.5),

Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить самостоятельно). Так как

то для нахождения sin 1 с точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых:

Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член (т.е. меньше, чем 0,0002). Вычисленное микрокалькулятором значение sin 1 примерно равно 0,84147.

Пример:

Вычислить число е с точностью до 0,001.

Решение:

Подставляя х = 1 в формулу (64.4), получим:

Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем п слагаемых и оценим ошибку

т.е. Остается подобрать наименьшее натуральное число it, чтобы выполнялось неравенство

Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется при Поэтому имеем:

Замечание:

Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена

где с находится между . В последнем примере Так как При п = 6 имеем:

Приближенное вычисление определенных интегралов

Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции (см. § 34) либо нахождение первообразной сложно.

Пусть требуется вычислить с точностью до Если подынтегральную функцию f(x) можно разложить в ряд по степеням х и интервал сходимости (-R; R) включит в себя отрезок [а; b], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций.

Пример:

Вычислить интеграл с точностью до

Решение:

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменяя в формуле (64.4):

Интегрируя обе части равенства (65.1) на отрезке , лежащем внутри интервала сходимости , получим:

Получили ряд лейбницевского типа. Так как

то с точностью до 0,001 имеем:

Замечание:

Первообразную F(x) для функции легко найти в виде степенного ряда, проинтегрировав равенство (65.1) в пределах от 0 до х:

Функции

играют очень важную роль в теории вероятностей. Первая — плотность стандартного распределения вероятностей, вторая — функция Лапласа

(или интеграл вероятностей). Мы получили, что о функция Лапласа представляется рядом

который сходится на всей числовой оси.

Приближенное решение дифференциальных уравнений

Если решение дифференциального уравнения не выражается че-1>ез элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядом Тейлора.

Познакомимся с двумя способами решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Пусть, например, требуется решить уравнение

удовлетворяющее начальным условиям

Способ последовательного дифференцирования

Решение у = у(х) уравнения (65.2) ищем в виде ряда Тейлора:

при этом первые два коэффициента находим из начальных условий (65.3). Подставив в уравнение (65.2) значения находим третий коэффициент: Значения находим путем последовательного дифференцирования уравнения (65.2) по х и вычисления производных при -Найденные значения производных (коэффициентов) подставляем в равенство (65.4). Ряд (65.4) представляет искомое частное решение уравнения (65.2) для тех значений х, при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального уравнения (65.2).

Рассмотренный способ применим и для построения общего решения уравнения (65.2), если рассматривать как произвольные постоянные.

Способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка.

Пример:

Методом последовательного дифференцирования найти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнения

Решение:

Будем искать решение уравнения в виде

Здесь Находим у»(—1), подставив х = — 1 в исходное уравнение: Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальное уравнение:

При х = — 1 имеем:

Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим:

Способ неопределенных коэффициентов

Этот способ приближенного решения наиболее удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Пусть, например, требуется решить уравнение

с начальными условиями

Предполагая, что коэффициенты и свободный член f(х) разлагаются в ряды по степеням , сходящиеся в некотором интервале , искомое решение у = у(х) ищем в виде степенного ряда

с неопределенными коэффициентами.

Коэффициенты определяются при помощи начальных условий

Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем ряд (65.6) два раза (каков порядок уравнения) и подставляем выражения для функции у и ее производных в уравнение (65.5), заменив в нем их разложениями. В результате получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффициенты. Построенный ряд (65.6) сходится в том же интервале и служит решением уравнения (65.5).

Пример:

Найти решение уравнения

используя метод неопределенных коэффициентов.

Решение:

Разложим коэффициенты уравнения в степенные ряды:

Ищем решение уравнения в виде ряда

Тогда

Из начальных условий находим: Подставляем полученные ряды в дифференциальное уравнение:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

Отсюда находим, что

Таким образом, получаем решение уравнения в виде

Решение заданий и задач по предметам:

Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат

Источник

Содержание:

Степенные ряды:

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Теперь перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности степенные функции

Такие ряды называются степенными, а числа

Область сходимости степенного ряда

Совокупность тех значений , при которых степенной ряд (14.1) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример:

Найти область сходимости степенного ряда

Решение:

Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем , который сходится при Отсюда , т.е. областью сходимости является интервал

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что . 2) Если степенной ряд расходится при то он расходится при всех значениях х таких, что .

1) По условию ряд (14.1) сходится при следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Отсюда следует, что последовательность ограничена, т.е. существует такое число что для всех п выполняется неравенство

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (14.1) который представим в виде

Члены ряда (14.3) согласно неравенству (14.2) меньше соответствующих членов ряда

представляющего геометрический ряд, который сходится, когда его знаменатель основании признака сравнения ряд (14.1) сходится.

2) По условию ряд (14.1) расходится при . Покажем, что он расходится для всех , удовлетворяющих условию Предположим противное, т.е. при ряд (14.1) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходиться и в точке (ибо ), что противоречит условию. Таким образом, для всех х таких, что ряд (14.1) расходится. ■

Из теоремы Абеля (см. рис. 14.1) следует, что существует такое число что при ряд сходится, а при — расходится.

Число получило название радиуса сходимости, а интервал — интервала сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при ряд может как сходиться, так и расходиться (см. рис. 14.1).

Найдем выражение радиуса сходимости степенного ряда (14.1) через его коэффициенты. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов

в котором все коэффициенты , по крайней мере начиная с некоторого номера , отличны от нуля. По признаку Даламбера ряд (14.4) сходится, если

будет меньше 1, т.е. Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости ряда (14.1), т.е.

Замечание. Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку , у других охватывает всю ось

Пример:

Найти область сходимости степенного ряда

Решение:

Найдем радиус сходимости ряда по формуле (14.5) т.е. интервал сходимости ряда

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. На левом конце при данный степенной ряд принимает вид этот ряд сходится по признаку Лейбница. На правом конце при получаем ряд представляющий обобщенный гармонический ряд (13.12) при у которого все члены с четными номерами равны нулю. Так как то этот ряд сходится.

Следует отметить, что сходимость ряда на левом конце ин-тервала сходимости при могла быть установлена с помощью достаточного признака сходимости знакопеременного ряда (см. § 13.4), так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. ряд сходится.

Итак, область сходимости данного ряда

Замечание. При исследовании сходимости на концах интервала сходимости для получающегося ряда с положительными членами применять признак Даламбера не имеет смысла, так как в этом случае всегда будем получать с нерешенным вопросом о сходимости ряда; в этом случае рекомендуется рассматривать другие признаки сходимости (например, признак сравнения, необходимый признак и т.д.).

Пример:

Найти области сходимости степенных рядов:

Решение:

а) Радиус сходимости ряда по (14.5)

т.е. область сходимости ряда

б) Задачу можно решать аналогично предыдущим. Решение упрощается, если заметить, что , т.е. необходимый признак сходимости не выполняется, и ряд расходится.

Итак, область сходимости ряда состоит из одной точки

Пример:

Найти область сходимости ряда

Решение:

Найти радиус сходимости по формуле (14.5) в данном случае не представляется возможным, так как коэффициенты ряда и т.д. равны нулю. Поэтому непосредственно применим признак Даламбера. Данный ряд будет абсолютно сходиться, если и расходиться, если Поэтому найдем

Следовательно, ряд сходится при или на интервале

Исследуем сходимость на концах интервала сходимости: при ряд принимает вид а при вид т.е. оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

Итак, область сходимости ряда

Свойства степенных рядов. Пусть функция является суммой степенного ряда, т.е. В подобных курсах математического анализа доказывается, что степенные ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы (многочлены): на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости функция является непрерывной, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке:

Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:

При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости

Определение степенного ряда и его сходимости

Понятое функциональной зависимости является одним из важнейших в математике. Всякая функция осуществляет некоторое соответствие между объектами, составляющими область задания этой функции, и объектами, составляющими область её значений. Так можно рассматривать функции, которые ставят в соответствие числам – ряды. Эти функции называются функциональными рядами, т.е. функциональный ряд это выражение

членами которого являются некоторые функции переменной х. Например, ряд

является функциональным рядом.

Придавая в выражении (29.1.1) переменной х некоторые значения мы будем получать числовые ряды

которые могут оказаться, как сходящимися, так и расходящимися.

В простейших случаях для определения сходимости ряда (29.1.1) можно применять к нему известные признаки сходимости числовых рядов, считая х фиксированным.

Определение 29.1.1. Совокупность всех значений переменной х, для которых соответствующие числовые ряды сходятся, называется областью сходимости функционального ряда (29.1.1). Определение 29.1.2. Функциональный ряд вида

где – действительные числа, независящие от переменной х, называется степенным относительно переменной х рядом. Числа называются коэффициентами этого ряда.

Если в ряде (29.1.2) сделать замену переменного, положив

, то получим ряд . В дальнейшем будем использовать букву x:

Очевидно, что исследование сходимости ряда (29.1.2) эквивалентно исследованию сходимости ряда (29.1.3). Примером степенного ряда может служить ряд

Сумма п первых членов ряда называется n -ой частичноной суммой ряда и обозначается , т.е.

Для степенного ряда можно составить последовательность частичных сумм Очевидно, что n-ые частичные суммы степенного ряда являются функциями.

Остатком степенного ряда после n -го его члена (или n -ым остатком) называется ряд, полученный из заданного исключением n его первых членов:

Определение 29.1.3. Степенной ряд называется сходящимся на некотором множестве, если он сходится в любой точке этого множества.

Степенной ряд называется абсолютно сходящимся на некотором множестве, если в каждой точке этого множества сходится ряд из модулей его членов:

Степенной ряд (29.1.3) при тех или иных конкретных значениях переменной x превращается в числовой ряд; так если , то получим числовой ряд:

Соответствующий числовой ряд а0 +о,л:0 +… сходится абсолютно, если сходится ряд составленный из модулей его членов.

Так как каждой точке сходимости ряда (29.1.3) ставится в соответствие определенное значение суммы (29.1.4), то сумма сходящегося на некотором множестве степенного ряда является функцией переменной x. Тогда Если обозначить сумму остатка через , то в области сходимости степенного ряда справедливо равенство:

Для сходящегося степенного ряда предел остатка равен нулю:

Степенные ряды можно складывать, вычитать, умножать. Пусть заданы два степенных ряда:

Сумма, разность и произведение заданных степенных рядов определяется формулами:

где

Например, сумма, разность и произведение степенных рядов:

имеет вид:

где

Радиус сходимости, интервал сходимости

Области сходимости степенных рядов устроены довольно просто. Они описываются следующей теоремой.

Теорема 29.2.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд

сходится при некотором , то он сходится абсолютно при всех значениях х, для которых

Если же степенной ряд (29.2.1) расходится при , то он расходится при всех значениях х, для которых.

Доказательство. Предположим сначала, что степенной ряд (29.2.1) сходится в точке . Это значит, что сходится числовой ряд

Тогда, в силу необходимого признака сходимости, и поэтому члены этого ряда ограничены, т.е. найдется такое К, что при любом номере . В силу этого для n -го члена ряда (29.2.1) получаем следующею оценку

Если , то ряд , являясь геометрической прогрессией со знаменателем сходится. Поэтому, в силу I признака сравнения и так как , сходится и ряд А это означает абсолютную сходимость ряда (29.2.1), при

Предположим теперь, что степенной ряд (29.2.1) расходится, при , т.е. расходится числовой ряд:

Возьмём тогда некоторое значение х, для которого и предположим, что ряд в этой точке

сходится. Но тогда из сходимости этого ряда, в силу первой части доказательства теоремы, вытекает сходимость ряда (29.2.2), что противоречит предположению, о его расходимости. Полученное противоречие означает, что для всех степенной ряд (29.2.1) расходится.

Если ряд (29.2.1) имеет вещественные коэффициенты и переменная х принимает только вещественные значения, то справедливо следующее определение, вытекающее из теоремы Абеля.

Определение 29.2.1. Величина (R-число или символ)

такая, что при всех х, у которых сходится, а при всех X у которых расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда (29.2.1).

Множество точек х удовлетворяющих соотношению , называется интервалом сходимости.

Итак, из определения 29.2.1 и теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда – является интервал сходимости. И если значение переменной х, принадлежит интервалу сходимости, то можно говорить о сумме степенного ряда (29.2.1) в точке. Таким образом, значение суммы степенного ряда зависит от значения переменной х, т.е. сумма степенного ряда сама является функцией переменной х. Эта функция ничем не отличается от обычной функции и, следовательно, можно говорить о дифференцировании, непрерывности, интегрируемости и других ее свойствах.

Свойства степенных рядов

Для степенных рядов справедливы следующие свойства:

1) Степенной ряд сходится равномерно внутри интервала сходимости.

2) Внутри интервала сходимости ряда сумма его является непрерывной функцией.

3) Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частичных сумм ряда сходится к интегралу от суммы ряда.

4) Если степенной ряд

имеет радиус сходимости R , то и ряд

получаемый в результате почленного дифференцирования ряда (29.2.3) также имеет радиус сходимости R. Производная суммы ряда (29.2.3) равна сумме ряда (29.2.4), т.е.

Вычисление интервала сходимости

Как уже было сказано в и. 2 областью сходимости степенного ряда является интервал сходимости. Более того, из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат (рис 29.1).

Действительно, если есть точка сходимости, то весь интервал заполнен точками абсолютной сходимости, что следует из теоремы Абеля. Если же – точка расходимости, то вся бесконечная полупрямая вправо от точки и вся полупрямая влево от точки – состоят из точек расходимости, в противном случае мы бы получили, что степенной ряд в точке или – сходится по теореме Абеля.

Заметим, что на концах интервала вопрос о сходимости или расходимости решается индивидуально в каждом конкретном случае. У некоторых рядов интервал сходимости может вырождаться в точку, у других охватывать всю ось Ох.

Укажем теперь способ вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

Пусть задан степенной ряд Составим ряд из модулей членов данного ряда и применим признак Д’Аламбера, т.е.

вычислим предел

Если этот предел меньше единицы, то, как следует из признака Д’Аламбера, ряд, составленный из модулей членов ряда (29.2.1) сходится, т.е. ряд сходится если

Если же , то ряд (29.2.1) расходится.

А это означает, что если , то степенной ряд (29.2.1) сходится абсолютно, а при . степенной ряд расходится.

Учитывая определение радиуса сходимости степенного ряда, получим, что радиус сходимости можно вычислить по формуле:

Рассуждая аналогичным образом можно получить еще одну формулу для определения радиуса сходимости:

Если степенной ряд содержит только четные или нечетные степени х, то применяем признак Д’Аламбсра или Коши к ряду, составленному из модулей членов данного ряда.

Пример №1

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

Решение:

Выпишем вначале значения

Для определения радиуса сходимости воспользуемся формулой (29.3.1):

Итак, степенной ряд сходится для |х| 1.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Пусть х =—1. Тогда получим знакочередующийся ряд который согласно признаку Лейбница сходится. Пусть х = 1. Получим числовой ряд который расходится, так как является гармоническим рядом.

Суммируя вышесказанное, получим интервал сходимости

Пример №2

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение:

Выпишем вначале значения

Для определения радиуса сходимости воспользуемся формулой (29.3.2):

Так как , то исследуемый ряд сходится для всех х.

Пример №3

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

Решение:

Выпишем вначале значения

Для определения радиуса сходимости воспользуемся формулой (29.3.1):

Так как радиус сходимости равен нулю, то ряд сходится только в одной точке x= 0.

Пример №4

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение:

Данный ряд содержит только четные степени (а- – 5), коэффициенты при нечетных степенях равны нулю. Поэтому воспользоваться формулами (29.3.1) и (29.3.2) не представляется возможным.

Считая х фиксированным, применим признак Д’Аламбера к ряду, составленному из модулей членов данного ряда. Выпишем значения

Тогда

так как

Ряд сходится, если или

Это значит, что ряд сходится в интервале

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. Пусть . Подставив это значение х в исследуемый ряд, получим числовой ряд:

который сходится, как ряд Дирихле, для которого а = 4. При получим тот же сходящийся числовой ряд. Следовательно, данный ряд сходится на отрезке

Пример №5

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение:

Выпишем значение и вычислим радиус сходимости данного ряда по формуле (29.3.2):

Так как , то данный ряд сходится в интервале

Исследуем его сходимость на концах интервала.

Пусть . Подставив это значение х в данный степенной ряд, получим числовой знакочередующийся ряд:

Предел общего члена полученного ряда не стремится к нулю:

Следовательно, данный ряд расходится. И при получим расходящийся числовой ряд: Следовательно, интервал сходимости данного ряда.

Ряды Тейлора и Маклорена

Как уже отмечалось, сумма сходящегося степенного ряда является некоторой функцией, определенной внутри интервала сходимости. В связи с этим мы рассмотрим задачу разложения некоторой функции в ряд, т.е. будем по заданной функции искать сходящийся ряд того или иного типа, сумма которого в интервале сходимости равнялась бы заданной функции.

Известно, что если функция f имеет на некотором отрезке производные всех порядков, то можно написать формулу Тейлора для любого значения n:

где заключено между и х. Формула (29.4.1) называется формулой Тейлора с оста точным членом в форме Лагранжа.

В формуле Тейлора обозначим:

пункта 27.2 (теорема 27.2.1) следует, что если

то степенной ряд

сходится и его суммой будет функция f(х), так как Следовательно,

Справедливо и обратное утверждение, что если степенной ряд (29.4.3) сходится, то выполняется (29.4.2).

Определение 29.4.1. Представление функции f в виде ряда

называется разложением этой функции в ряд Тейлора. Если же , то разложение в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена:

Следует заметить, что остаточный член в формуле Тейлора для функции J не обязательно является остатком ряда Тейлора для этой функции. Поэтому из сходимости ряда Тейлора для функции f , еще не следует сходимость именно к этой функции. При разложении функции в ряд Тейлора необходимо проверять условие (29.4.2). Однако сели разложение функции в какой-либо степенной ряд вообще возможно, то оно является разложением в ряд Тейлора, т.е. справедлива следующая теорема.

Теорема 29.4.1. Пусть

и стоящий справа ряд сходится в интервале к функции f . Тогда этот ряд является рядом Тейлора, т.е.

Доказательство. Так как степенной ряд в интервале сходимости можно почленно дифференцировать, то n-ую производную функции (29.4.4) можно представить в виде:

Полагая в последнем тождестве , получим (все другие слагаемые равны нулю). Откуда и следует (29.4.5).

Из доказанной теоремы вытекает, что в одной и той же области, для одной и той же функции существует единственное разложение.

На практике, для разложения функции в ряд Тейлора, удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 29.4.2. Если при любых х, удовлетворяющих неравенствупроизводные функции f(x) для любых п ограничены одним и тем же числом С > 0 т.е.

то ряд Тейлора, для этой функции, сходится в интервале и его сумма равна f(x).

Доказательство. Из условия теоремы следует, что функцию f можно представить формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, т.е.

Оценим остаток:

Переходя к пределу при, получим неравенство:

Воспользовавшись асимптотической формулой Стерлинга, получим:

так как стспснно-показательная функция и взрастает быстрее показательных функций

Тогда из неравенства (29.4.6) получим:. Слсдова-

сходится к функции f(х). Теорема доказана.

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

Из пункта 29.4 следует, что для того чтобы некоторая функция разлагалась в ряд Тейлора нужно, чтобы она имела производные любого порядка и чтобы либо (где С> 0 – произвольная постоянная), для любых n и . Рассмотрим разложение некоторых функций в ряд Маклорена.

1. Разложение функции.

Находим производные данной функции и их значения при х=0. Так как

и формула Маклорена для функции имеет вид:

где заключено между 0 и х.

Вычислим предел остаточного члена, для любого х:

Выражение как общий член сходящегося ряда . Множитель в выражении остаточного члена не превосходит при х > 0 , и единицы при х 0. Это означает, что остаточный член стремится к нулю при всех значениях x

Следовательно, ряд сходится при любом х и суммой его является функция . Итак, Заменяя х на -x, получим ряд —, интервалом сходимости для которого является вся числовая ось.

2. Разложение функций cos х и sin х. Для функции cos x имеем:

Следовательно,

и формула

Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа для функции cosx имеет вид:

Ясно, что для любого X

Поэтому, функция cos л- разлагается в ряд Маклорена вида:

Аналогично получается разложение в ряд Маклорена функции sinx:

3. Биномиальный ряд.

Найдем разложение в степенной ряд функции

где m -произвольное действительное число.

Дифференцируя равенство (29.5.1) n раз, получим:

Значения функции и се производных при х = 0 равны:

Следовательно, ряд Маклорена имеет вид:

Если m- целое, то выражение (29.5.2) содержит конечное число членов. Если же m- нецелое, то выражение (29.5.2)- бесконечный ряд, называемый биномиальным.

Определим вначале радиус сходимости этого ряда, для чего применим признак Д’Аламбсра к ряду, составленному из модулей его членов:

Следовательно, при |х| 1, биномиальный ряд абсолютно сходится, т.е. существует сумма S(x) этого ряда.

Покажем теперь, что ряд (29.5.2) сходится к функции ‘. Для этого продифференцируем ряд (29.5.2) , получим:

Умножим обе части (29.5.3) на и приведем подобные члены. Получим степенной ряд, в котором коэффициент при равен сумме двух слагаемых:

Эта сумма, как показано, равна произведению коэффициента при , ряда (29.5.2), на m . Следовательно, в интервале сходимости биномиального ряда, имеем равенство:

С другой стороны, вычисляя производную отношения

получим:-в силу (29.5.4).

Решая дифференциальное уравнение , последовательно получим:

Пусть x = 0, тогда S(0) = С. Из (29.5.2) следует, что S(0) = 1, тогда С = 1.

Следовательно,

Итак, разложение

имеет место при всех х, удовлетворяющих условию . Придавая m конкретные значения можно получать разложения различных функций в степенные ряды. В общем случае разложение (29.5.5) даст обобщение бинома Ньютона для какого угодно показателя m.

Применение рядов в приближенных вычислениях

Разложения функций в ряд Маклорена позволяют во многих случаях вычислить с большой степенью точности значения этих функций, заменяя ее конечным числом членов разложения. Чем меньше х, тем меньше членов можно брать в этом разложении для вычисления f(х) с желаемой точностью. Если х весьма мало, то достаточно ограничится первыми двумя членами, отбросив все остальные. Например, при х близких к нулю можно пользоваться следующими приближенными формулами:

Например, вычислим , до пяти знаков.

Имеем, Остаточный член

Так как близко к единице, то остальные члены в разложении не повлияют на первые пять знаков после запятой и их можно отбросить. Вычисление приводит к результату:

Иногда при вычислении значений функций удобно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов.

Например, известно, что

С другой стороны,

Следовательно,

В частности, при x = 0,1, получим:

Этот ряд знакочередующийся. Поэтому, его остаток не превосходит первого «отброшенного» члена. Удерживая в разложении первых два слагаемых, получим значение arctg 0,1 = 0,09967 с пятью верными знаками.

При помощи биномиальною ряда можно быстро и довольно точно вычислять значение корней из чисел.

Пример №6

Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение:

Представим, этот корень в виде

и воспользуемся разложением бинома:

следующим член , поэтому точность нужная получена.

В общем случае можно записать:

где , причем, так как всегда можно подобрать целое число а так, чтобы m -ая степень а была, по возможности, ближе к А.

Кроме того, биномиальный ряд является основой многих дальнейших разложений функций в ряды. Например, можно найти разложение в ряд Маклорена функции:

При помощи рядов можно вычислять определенные интегралы.

Например, вычислим интегральный синус:

Имеем

тогда

Подставляя вместо x, те или иные конкретные значения переменной, мы можем вычислять интересующие нас значения интегрального синуса.

При помощи разложении в степенные ряды можно приближенно интегрировать разнообразные дифференциальные уравнения.

Например, найдем решение уравнения при начальных условиях

Будем искать решение этого уравнения в виде степенного ряда: при начальных условиях . Тогда получим:

Вычислим первую и вторую производные от этого ряда:

и подставив у, в заданное уравнение:

приравняем коэффициенты при равных степенях .г, предварительно умножив правую часть на х:

Получаем систему уравнений, из которой находим:

Замечаем, что отличными от нуля будут лишь те коэффициенты, у которых индекс и степень делятся на 3. Получим решение заданного дифференциального уравнения в виде:

Заказать решение задач по высшей математике

Ряд Маклорена

Предположим, что функция , определенная и раз дифференцируемая в окрестности точки может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд

Выразим коэффициенты ряда через . Найдем производные функции , почленно дифференцируя ряд раз:

Полагая в полученных равенствах получим откуда

Подставляя значения коэффициентов получим ряд

называемый рядом Маклорена.

Следует отметить, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции , является расходящимся либо сходящимся не к функции .

Так же как и для числовых рядов, сумму ряда Маклорена можно представить в виде (13.9)

где — -я частичная сумма ряда; — -й остаток ряда.

Тогда на основании свойства 4 сходящихся рядов (см. §13.1) можно сформулировать теорему.

Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции , необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, т.е.

для всех значений из интервала сходимости ряда.

Можно доказать, что если функция разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное.

Замечание. Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора:

при

Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора.

где — остаточный член формулы Тейлора:

), записанный в форме Лагранжа.

Очевидно, что при выполнении условия (14.7) остаток ряда Тейлора равен остаточному члену формулы Тейлора.

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

По формуле (13.6)

Область сходимости ряда .

Очевидно, что производные четного порядка , а нечетного порядка . По формуле (14.6)

Область сходимости ряда

Рассматривая аналогично, получим

Область сходимости ряда

Интервал сходимости ряда (на концах интервала при сходимость ряда зависит от конкретных значений от).

Ряд (14.11) называется биномиальным. Если — целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при -й член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд. обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

Получить разложение для этой функции можно проще, не вычисляя непосредственно коэффициенты ряда (14.6) с помощью производных.

Рассмотрим геометрический ряд

со знаменателем который сходится при т.е. при к функции

Интегрируя почленно равенство (14.12) в интервале где , с учетом того, что получим

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть

Можно доказать, что ряды, приведенные в формулах (14.8) — (14.13), сходятся к функциям, для которых они составлены.

При разложении более сложных функций используют непосредственно формулу (14.6) либо таблицу простейших разложений (14.8) – (14.13).

Пример №7

Разложить в ряд функции:

Решение:

а) Так как по (14.8)

то, заменяя получим

и, наконец,

Область сходимости ряда

б) В разложении заменим получим

Теперь

Область сходимости ряда

Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определенных интегралов, которые являются «неберущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.

Пример №8

Вычислить приближенно с точностью до

Решение:

а) Для вычисления запишем ряд (14.8) при принадлежащем области сходимости

Взяв первые шесть членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница (см. § 13.4) для сходящегося знакочередующегося ряда мы допустим погрешность не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т.е.

б) Для вычисления запишем ряд (14.13) при входящем в область сходимости ряда

Если в качестве взять первые четыре члена, мы допустим погрешность

(Мы учли, что сумма сходящегося геометрического ряда в

скобках равна .) Итак, 1 -q 1-0,2

Следует отметить, что для вычисления логарифмов более удобным является ряд (14.14), который сходится быстрее ряда (14.13). Действительно, пусть тогда и согласно (14.14)

т.е. для вычисления с точностью до потребуется всего два члена. С помощью ряда (14.14) можно вычислять логарифмы любых чисел, в то время как с помощью ряда (14.13) -лишь логарифмы чисел, расположенных на промежутке

в) Представим в виде

Так как входит в область сходимости степенного ряда то при учитывая (14.11), получим

(Для обеспечения данной точности расчета необходимо взять 4 члена, так как по следствию из признака Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда погрешность )

г) Для вычисления запишем ряд (14.9) при принадлежащем области сходимости

(Необходимо взять два члена, так как при этом погрешность

д)«Точное» интегрирование здесь невозможно, так как интеграл «неберущийся». Заменив в разложении (14.8), получим

Умножая полученный ряд на

и почленно интегрируя в интервале принадлежащем интервалу сходимости ряда , получим

Оценка погрешности вычисления производится так же, как в примерах а), в) и г). ►

Пример №9

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Радиус сходимости ряда (14.15), заданного по степеням находится по той же формуле (14.5);

т.е. Интервал сходимости ряда (14.15) определяется из условия В данном примере интервал сходимости ряда есть или

Исследуем сходимость ряда (14.15) на концах этого интервала. При ряд принимает вид т.е. представляет сумму двух рядов. Первый, знакочередующийся ряд сходится (условно) (см. § 13.4), а второй ряд исследуем на сходимость с помощью признака Даламбера: т.е. ряд сходится, а следовательно, сходится и ряд (14.15) при

При ряд (14.15) имеет вид Первый из полученных рядов — гармонический — расходится, а второй — сходится на основании признака абсолютной сходимости, так как выше было показано, что ряд из абсолютных величин его членов сходится. Следовательно, ряд (14.15) при расходится. (Установить расходимость этого ряда с положительными членами при любом можно было и с помощью признака сравнения, так как его члены при превосходят члены расходящегося гармонического ряда, умноженные на

Итак, область сходимости степенного ряда (14.15)

Пример №10

Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение:

Первый способ. Применим метод непосредственного разложения по формуле (14.6).

Вначале найдем производные до «-го порядка и вычислим их значения при

При значения функции и ее производных:

и т.д. Теперь по формуле (14.6) запишем ряд

или

Второй способ. Учитывая, что используем готовое разложение (14.10) для функции (в котором вместо берем ), умножаем обе части полученного равенства на а затем прибавляем к ним Получим

или

т.е. то же разложение (14.16).

Третий способ. Разложение функции может быть осуществлено с помощью правила перемножения рядов. Если в некоторой окрестности точки имеют место разложения

то произведение функций разлагается в той же окрестности в степенной ряд

В частности, при получаем следующее правило возведения в квадрат степенного ряда:

Для функции имеющей разложение в ряд (14.9), т.е.

находим по формуле (14.17)

т.е. получили то же разложение (14.16).

Область сходимости ряда, как нетрудно убедиться, есть ►

Пример №11

Вычислить с точностью до

Решение:

Выражение данного интеграла в виде числового ряда находится

Вычисление интеграла свелось не к нахождению суммы сходящегося знакочередующегося ряда, при вычислении которой погрешность оценивается с помощью следствия из теоремы Лейбница, а к определению суммы ряда с положительными членами с неизвестной оценкой погрешности.

Поступим следующим образом. Предположим, что для оценки суммы ряда мы взяли членов (вместе с первым при ). Тогда погрешность вычисления суммы ряда будет определяться остатком ряда

ибо выражение в круглых скобках представляет сумму сходящегося геометрического ряда (13.5) при

При

(Легко вычислить, что при любых ) Итак, для обеспечения данной в условии точности вычисления интеграла необходимо взять первые 7 членов:

Элементы матричного анализа
Уравнение линии
Функции нескольких переменных
Комплексные числ
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Системы дифференциальных уравнений
Числовые ряды
Знакопеременные ряды

Источник

Идея представления функции в виде многочлена с остаточным слагаемым основана на разложении функции в степенной ряд.

Ряды Тейлора и Маклорена

Бесконечно дифференцируемую в точке x0x_0 функцию действительной переменной f(x)f(x) можно разложить в ряд по степеням двучлена (x−x0)(x-x_0):

f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n+…=f(x)=f(x_0)+dfrac{f{‘}(x_0)}{1!}(x-x_0) +dfrac{f{”}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +ldots =

=∑k=0∞f(k)(x0)k!(x−x0)k=sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

Этот ряд называют рядом Тейлора.

В случае x0=0x_0=0, полученный степенной ряд:

f(x)=f(0)+f′(0)1!x+f′′(0)2!(x−x0)2+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n+…=f(x)=f(0)+dfrac{f{‘}( 0)}{1!} x +dfrac{f{”}(0)}{2!}(x-x_0)^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +ldots =

=∑k=0∞f(k)(x0)k!(x−x0)k=sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k

называют рядом Маклорена.

Запишем разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена, укажем соответствующие интервалы сходимости и приведем примеры их определения.

Показательная функция:

ex=1+x1!+x22!+x33!+…+xnn!+…=∑k=1∞xnn!,∣x∣<∞e^x=1+dfrac{x}{1!} +dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^3}{3!}+ldots+dfrac{x^n}{n!}+ldots=sumlimits_{k=1}^{infty} dfrac{x^n}{n!},quad |x|<infty

Тригонометрические функции:

sin⁡x=x1!−x33!+x55!−x77!+…+(−1)n+1x2n−1(2n−1)!+…=∑k=1∞(−1)k+1x2k−1(2k−1)!,∣x∣<∞sin x=dfrac{x}{1!} -dfrac{x^3}{3!} +dfrac{x^5}{5!} -dfrac{x^7}{7!} +ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+ldots=sumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{ k +1}x^{2 k -1}}{(2 k -1)!},quad |x|<infty

cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+…+(−1)n+1x2n(2n)!+…=∑k=0∞(−1)kx2k(2k)!,∣x∣<∞cos x=1 -dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^4}{4!} -dfrac{x^6}{6!} +ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n}}{(2n)!}+ldots=sumlimits_{ k =0}^{infty} dfrac{(-1)^{k}x^{2 k }}{(2 k)!},quad |x|<infty

arctg⁡x=x−x33+x55−x77+…+(−1)nx2n+12n+1+…=∑k=0∞(−1)kx2k+12k+1,∣x∣≤1arctg x=x-dfrac{x^3}{3} +dfrac{x^5}{5} -dfrac{x^7}{7} +ldots+dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}+ldots=sumlimits_{ k =0}^{infty} dfrac{(-1)^{ k }x^{2 k +1}}{2 k +1},quad |x|le{1}

Логарифмическая функции:

ln⁡(1+x)=x1!−x22!+x33!−x44!+…+(−1)n+1xnn!+…=∑k=1∞(−1)k+1xkk!,x∈(−1;1]ln (1+x)=dfrac{x}{1!} -dfrac{x^2}{2!} +dfrac{x^3}{3!} -dfrac{x^4}{4!} +ldots+dfrac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n!}+ldots=sumlimits_{ k =1}^{infty} dfrac{(-1)^{ k +1}x^{ k }}{ k!},quad xin (-1;1]

Степенная функции:

(1+x)α=1+α1!x+α(α−1)2!x2+α(α−1)(α−2)3!x3+…+α(α−1)…(α−n+1)n!xn+…=(1+x)^alpha=1+dfrac{alpha }{1!}x+dfrac{alpha (alpha -1)}{2!}x^2 +dfrac{alpha (alpha -1)( alpha -2)}{3!} x^3 +ldots+dfrac{alpha (alpha -1) ldots ( alpha-n+1)} {n!} {x^n}+ldots=

=∑k=0∞α(α−1)…(α−k+1)k!xk=sumlimits_{ k =0}^{infty} dfrac{alpha (alpha -1) ldots ( alpha-k+1)}{ k!} {x^ k }

11−x=1+x+x2+…+xn+…=∑k=0∞xk,∣x∣<1dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+ldots+x^n+ldots =sumlimits_{ k =0}^{infty}x^{ k },quad |x|<1

Пример 1

Найдем для функции:

f(x)=sin⁡xf(x)=sin x

интервал сходимости ряда:

f(x)=sin⁡x==∑n=1∞(−1)n+1x2n−1(2n−1)!f(x)=sin x==sumlimits_{n=1}^{infty} dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}

Воспользуемся признаком Даламбера:

lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞∣x2n+1/(2n+1)!x2n−1/(2n−1)!∣=x2lim⁡n→∞12n(2n+1)=0limlimits_{n to infty } left | dfrac {a_{n+1}}{a_n} right | = limlimits_{n to infty } left | dfrac {x^{2n+1}/{(2n+1)!}}{ x^{2n-1}/{(2n-1)!}} right | =x^2 limlimits_{n to infty } dfrac {1} {2n(2n+1)}=0

Полученный результат говорит о том, что предел равен нулю для любого xx, и, следовательно, интервалом сходимости ряда является вся числовая ось.

Пример 2

Найдем интервал сходимости ряда для функции

f(x)=arctg⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1,∣x∣≤1f(x)=arctg x= sumlimits_{n=0}^{infty} dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}, quad |x|le{1}

Воспользовавшись признаком Даламбера применительно к степенному ряду, получаем:

lim⁡n→∞∣an+1an∣=lim⁡n→∞∣x2n+1/(2n+1)x2n−1/(2n−1)∣=x2lim⁡n→∞2n−12n+1=x2lim⁡n→∞2−1n2+1n=x2limlimits_{n to infty } left | dfrac {a_{n+1}}{a_n} right | = limlimits_{n to infty } left | dfrac {x^{2n+1}/(2n+1)}{ x^{2n-1}/(2n-1)} right | =x^2 limlimits_{n to infty } dfrac {2n-1} {2n+1}=x^2 limlimits_{n to infty } dfrac {2-dfrac{1}{n}}{2+dfrac{1}{n}}= x^2

Условие сходимости по этому признаку имеет вид:

x2<1x^2<1

В граничных точках x=±1x=pm1 получаем знакопеременный ряд вида:

∑n=0∞anx2n+1sumlimits_{n=0}^{infty} a_n x^{2n+1},

где ∣an∣=1n+1|a_n|=dfrac {1}{n+1}

Заметим, что

lim⁡n→∞∣an∣=0limlimits_{n to infty } |a_n|=0

и, согласно признаку Лейбница, знакопеременный ряд сходится. Таким образом, интервалом сходимости исходного ряда является: ∣x∣≤1|x| le 1.

Применение формулы и рядов Маклорена

Вычисление значений функций

Идея использования рядов для приближенного вычисления примечательна тем, что можно добиться требуемой точности, т.е. фактически найти требуемое значение со сколь угодно высокой точностью.

Пример

Вычислим значение числа ee с точностью до второго знака после запятой. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции f(x)=exf(x)=e^x при x=1x=1, вычислив сумму до шестого члена в разложении и с остаточным членом в форме Лагранжа:

e1=1+11!+12!+13!+14!+15!+ec6!,0≤c≤1e^1=1+dfrac {1}{1!} +dfrac {1}{2!} +dfrac {1}{3!} +dfrac {1}{4!} +dfrac {1}{5!} +dfrac {e^c}{6!},quad 0le c le 1

e1=16360!+ec6!≈2.716+ec6!,0≤c≤1e^1=dfrac {163}{60!} +dfrac {e^c}{6!}approx 2.716+dfrac {e^c}{6!},quad 0le c le 1

Учитывая, что ec6!<0.0014dfrac {e^c}{6!}<0.0014 получаем результат e≈2.72e approx 2.72

Вычисление пределов функций

На практике часто встречаются такие пределы, которые нельзя найти, используя первый и второй замечательные пределы, правило Лопиталя или другие способы вычислений. В этих случаях можно воспользоваться разложением элементарных функций в степенной ряд Маклорена и уже затем найти сам предел.

Пример

Вычислим:

lim⁡x→0e2x−1−2x−2x2x−sin⁡xlimlimits_{x to 0 } dfrac {e^{2x}-1-2x-2x^2}{x-sin {x}}

Заменим exe^x и sin⁡xsin{x} их разложениями в степенные ряды, находим:

lim⁡x→0e2x−1−2x−2x2x−sin⁡x=lim⁡x→0(1+2x+4×22!+8×33!+…)−1−2x−2x2x−(x−x33!+x55!−…)=limlimits_{x to 0 } dfrac {e^{2x}-1-2x-2x^2}{x-sin {x}}=limlimits_{x to 0 } dfrac {left( 1+2x+dfrac{4x^2}{2!}+dfrac{8x^3}{3!}+ldots right)-1-2x-2x^2}{x-left( x-dfrac{x^3}{3!}+dfrac{x^5}{5!}-ldots right)}=

=lim⁡x→08×33!+16×44!+…x33!−x55!+…=lim⁡x→083!+16×4!+…13!−x25!+…=8=limlimits_{x to 0 } dfrac {dfrac{8x^3}{3!}+dfrac{16x^4}{4!}+ldots} {dfrac{x^3}{3!} -dfrac{x^5}{5!}+ldots} = limlimits_{x to 0 } dfrac {dfrac{8}{3!}+dfrac {16x}{4!} +ldots} {dfrac{1}{3!} -dfrac{x^2}{5!}+ldots}=8

Вычисление определенных интегралов

Конечно, на практике лучше всего вычислять точное значение определенного интеграла. Но очень часто соответствующие неопределенные интегралы является «неберущимися». Поэтому для приближенного вычисления определенного интеграла используется разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

Пример

Вычислим с точностью до третьего знака после запятой:

∫01x3e−xdxdisplaystyle intlimits_0^1 sqrt[3] x e^{-x} dx

Для приближенного вычисления этого определенного интеграла используется разложение функции f(x)=sqrt[3]xe−xf(x)= sqrt[3] x e^{-x} в ряд Маклорена:

f(x)=sqrt[3]xe−x=x1/3−x4/3+12×7/3−16×10/3+…f(x)= sqrt[3] x e^{-x}=x^{1/3}-x^{4/3}+dfrac{1}{2}x^{7/3}-dfrac{1}{6}x^{10/3}+ldots

Интервал, заданный пределами интегрирования: 0≤x≤10 le x le 1 входит в радиус сходимости полученного ряда (−∞;+∞)(-infty;+infty).

Интегрируя почленно, получаем:

∫01f(x)=∫01×1/3dx−∫01×4/3dx+12∫01×7/3dx−16∫01×10/3dx+…=displaystyleintlimits_0^1 f(x)= intlimits_0^1 x^{1/3}dx-intlimits_0^1 x^{4/3}dx+dfrac{1}{2}intlimits_0^1 x^{7/3}dx-dfrac{1}{6}intlimits_0^1 x^{10/3}dx+ldots=

=34×4/3∣01−37×7/3∣01+32⋅10×10/3∣01−36⋅13×13/3∣01+…= dfrac{3}{4} Biggl. x^{4/3}Biggr |_0^1-dfrac{3}{7} Biggl. x^{7/3}Biggr |_0^1+dfrac{3}{2 cdot 10} Biggl. x^{10/3}Biggr |_0^1-dfrac{3}{6 cdot 13} Biggl. x^{13/3}Biggr|_0^1+ldots

и с учетом требуемой точности:

∫01x3e−xdx≈34−37+32⋅10−36⋅13≈928+29260≈197455≈0,433displaystyleintlimits_0^1 sqrt[3] x e^{-x} dx approx dfrac{3}{4}-dfrac{3}{7}+dfrac{3}{2 cdot 10}-dfrac{3}{6 cdot 13}approx dfrac{9}{28}+dfrac{29}{260} approx dfrac{197}{455} approx 0,433

Источник

Определение[править | править код]

Аналитическая функция[править | править код]

Область сходимости ряда Тейлора[править | править код]

Формула Тейлора[править | править код]

Различные формы остаточного члена[править | править код]

Критерий аналитичности функции[править | править код]

Ряды Маклорена некоторых функций[править | править код]

Формула Тейлора для функции двух переменных[править | править код]

Формула Тейлора многих переменных[править | править код]

Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменных[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Лекция 16. Ряды Тейлора и Маклорена

16.1. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и

Маклорена

16.2. Применение степенных рядов степеней в приближенных вычислениях

Вычисление с помощью знакочередующихся рядов

Вычисление с помощью знакоположительных рядов

Вопросы для самодиагностики

Степенные ряды и их свойства

Свойства степенных рядов

Формула Тейлора и ее остаточный член

Ряд Тейлора

Единственность разложения функции в степенной ряд

Ряды Тейлора для некоторых элементарных функций

Элементарные функции в области комплексных чисел

Примеры практического применения степенных рядов

Вычисление значений функций

Вычисление определенных интегралов

Решение дифференциальных уравнений

Дополнение к степенным рядам

Решение степенных рядов

Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Равномерная сходимость степенного ряда и непрерывность его суммы

Интегрирование степенных рядов

Дифференцирование степенных рядов

Ряд Тейлора

Условия разложимости функции в ряд Тейлора

Ряды Тейлора элементарных функций

Степенные ряды основные определения и свойства с подробным объяснением и теорией

Функциональные ряды

Сходимость степенных рядов

Теорема Н.Абеля

Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Свойства степенных рядов

Разложение функции в степенные ряды

Ряды Тейлора и Маклорена

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Некоторые приложения степенных рядов

Приближенное вычисление определенных интегралов

Приближенное решение дифференциальных уравнений

Способ последовательного дифференцирования

Способ неопределенных коэффициентов

Область сходимости степенного ряда

Определение степенного ряда и его сходимости

Радиус сходимости, интервал сходимости

Свойства степенных рядов

Вычисление интервала сходимости

Пример №1

Пример №2

Пример №3

Пример №4

Пример №5

Ряды Тейлора и Маклорена

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

Применение рядов в приближенных вычислениях

Пример №6

Ряд Маклорена

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

Пример №7

Применение рядов в приближенных вычислениях

Пример №8

Пример №9

Пример №10

Пример №11

Ряды Тейлора и Маклорена

Пример 1

Пример 2

Применение формулы и рядов Маклорена

Вычисление значений функций

16.1. Разложение элементарных
функций в ряды Тейлора и

16.2. Применение
степенных рядов степеней в приближенных
вычислениях

Вычисление с помощью знакочередующихся
рядов

Вычисление с помощью
знакоположительных
рядов