Как найти радиус сходимости степенных рядов

Пример 1.
Найти область сходимости степенного
ряда:

а)
; б);

в)
; г);

д)
.

а)
Найдем радиус сходимости R.
Так как
,,
то

.

Итак, ряд сходится
абсолютно для всех x,
удовлетворяющих неравенству
,
то есть интервал сходимости ряда.

Исследуем на
сходимость данный ряд на концах интервала
сходимости.

При получаем
числовой ряд
.
Этот ряд сходится, так как является
обобщенным гармоническим рядомпри.

При получаем
числовой ряд
.
Этот ряд абсолютно сходящийся, так как
ряд, составленный из абсолютных величин
его членов,
сходящийся.

Итак, область
сходимости данного ряда
.

б)
Найдем радиус
сходимости R.
Так как
,
то.

Итак, интервал
сходимости ряда
.

Исследуем на
сходимость данный ряд на концах интервала
сходимости.

При
имеем числовой ряд
.
Этот ряд расходящийся, так как.

При
имеем числовой ряд
.
Этот ряд расходящийся, так как
не существует.

Итак, область
сходимости данного ряда
.

в)
Найдем радиус
сходимости R.
Так как
,то.

Итак, интервал
сходимости
.
Область сходимости данного ряда совпадает
с интервалом сходимости, то есть ряд
сходится при любом значении переменнойx.

г)
Найдем радиус сходимости R.
Так как
,то.

Так как
,
то ряд сходится только в точке.
Значит, область сходимости данного ряда
представляет собой одну точку.

д)
Найдем радиус сходимости R.

Так как
,,
то

.

Итак, ряд сходится
абсолютно для всех x,
удовлетворяющих неравенству
,
то есть.

Отсюда
− интервал сходимости,− радиус сходимости.

Исследуем данный
ряд на сходимость на концах интервала
сходимости.

При
получаем числовой ряд

,

который
расходится (гармонический ряд).

При
получаем числовой ряд,
который сходится условно (ряд сходится
по признаку Лейбница, а ряд, составленный
их абсолютных величин его членов,
расходится, так как является гармоническим).

Итак, область
сходимости ряда
.

2.3. Ряды Тейлора и Маклорена.

Разложение
функций в степенной ряд.

Приложение
степенных рядов к приближенным вычислениям

Примеры решения задач

Пример 1.
Разложить в степенной ряд функции:

а)
; б);

в)
; г).

а)
Заменив в формуле
x
на
,
получим искомое разложение:

,
где

или

.

б)
Заменяя в равенстве

,
где
x
на
,
получим искомое разложение:

.

в)
Данную функцию можно записать так: .
Чтобы найти искомый ряд, достаточно в
разложение

.,
где
подставить .
Тогда получим:

или

.

г)
Данную функцию можно переписать так:
.

Функцию
можно разложить в степенной ряд, положив
в биномиальном ряде ,
получим .

,
где .

Чтобы получить
искомое разложение, достаточно перемножить
полученные ряды (ввиду абсолютной
сходимости этих рядов).

Следовательно,

,
где .

Пример 2.
Найти приближенные значения данных
функций:

а)
с точностью до 0,0001;

б)
с точностью до 0,00001.

а)
Так как ,
то в разложение функции ,
где подставим :

или

Так как ,
то требуемая точность будет обеспечена,
если ограничиться только первыми двумя
членами полученного разложения.

Итак,

.

б)
.

Используем
биномиальный ряд

.,
где .

Полагая
и ,
получим следующее разложение:

или

.

Если в последнем
знакочередующемся ряде учитывать только
первые два члена, а остальные отбросить,
то погрешность при вычислении
не превысит по абсолютной величине
0,000006. Тогда погрешность при вычислении

не превысит числа .
Следовательно,

.

Пример 3.
Вычислить с точностью до 0,001:

а) ; б)
.

а)
.

Разложим
подынтегральную функцию в степенной
ряд. Для этого подставим в биномиальный
ряд
и заменим x
на :

.

Так как отрезок
интегрирования
принадлежит области сходимости
полученного ряда ,
то будем интегрировать почленно в
указанных пределах:

.

В полученном
знакочередующемся ряде четвертый член
по абсолютной величине меньше 0,001.
Следовательно, требуемая точность будет
обеспечена, если учитывать только первые
три члена ряда.

.

Так как первый из
отброшенных членов имеет знак минус,
то полученное приближенное значение
будет с избытком. Поэтому ответ с
точностью до 0,001 равен 0,487.

б)
Предварительно представим подынтегральную
функцию в виде степенного ряда. Заменим
в разложении функции

,
где

x
на
,
получим:

Тогда
.

.

Полученный
знакочередующийся ряд удовлетворяет
условиям признака Лейбница. Четвертый
член ряда по абсолютной величине меньше
0,001. Чтобы обеспечить требуемую точность,
достаточно найти сумму первых трех
членов.

Следовательно, .

Соседние файлы в папке Матаматика

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Содержание:

Степенные ряды:

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Теперь перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности степенные функции

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Такие ряды называются степенными, а числа Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Область сходимости степенного ряда

Совокупность тех значений Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, при которых степенной ряд (14.1) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример:

Найти область сходимости степенного ряда

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Решение:

Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, который сходится при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Отсюда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, т.е. областью сходимости является интервал Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением. 2) Если степенной ряд расходится при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением то он расходится при всех значениях х таких, что Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением.

1) По условию ряд (14.1) сходится при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Отсюда следует, что последовательность Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемограничена, т.е. существует такое число Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением что для всех п выполняется неравенство

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (14.1) Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением который представим в виде

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Члены ряда (14.3) согласно неравенству (14.2) меньше соответствующих членов ряда

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

представляющего геометрический ряд, который сходится, когда его знаменатель Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемосновании признака сравнения ряд (14.1) сходится.

2) По условию ряд (14.1) расходится при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением . Покажем, что он расходится для всех Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, удовлетворяющих условию Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Предположим противное, т.е. при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением ряд (14.1) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходиться и в точке Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением (ибо Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением), что противоречит условию. Таким образом, для всех х таких, что Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением ряд (14.1) расходится. ■

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Из теоремы Абеля (см. рис. 14.1) следует, что существует такое число Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением что при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением ряд сходится, а при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением — расходится.

Число Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением получило название радиуса сходимости, а интервал Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениеминтервала сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением ряд может как сходиться, так и расходиться (см. рис. 14.1).

Найдем выражение радиуса сходимости степенного ряда (14.1) через его коэффициенты. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

в котором все коэффициенты Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, по крайней мере начиная с некоторого номера Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, отличны от нуля. По признаку Даламбера ряд (14.4) сходится, если

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением будет меньше 1, т.е. Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости ряда (14.1), т.е.

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Замечание. Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, у других охватывает всю ось Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Пример:

Найти область сходимости степенного ряда

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Решение:

Найдем радиус сходимости ряда по формуле (14.5) Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением т.е. интервал сходимости ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. На левом конце при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением данный степенной ряд принимает вид Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением этот ряд сходится по признаку Лейбница. На правом конце при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением получаем ряд Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемпредставляющий обобщенный гармонический ряд (13.12) при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением у которого все члены с четными номерами равны нулю. Так как Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением то этот ряд сходится.

Следует отметить, что сходимость ряда на левом конце ин-тервала сходимости при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением могла быть установлена с помощью достаточного признака сходимости знакопеременного ряда (см. § 13.4), так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. ряд Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением сходится.

Итак, область сходимости данного ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Замечание. При исследовании сходимости на концах интервала сходимости для получающегося ряда с положительными членами применять признак Даламбера не имеет смысла, так как в этом случае всегда будем получать Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением с нерешенным вопросом о сходимости ряда; в этом случае рекомендуется рассматривать другие признаки сходимости (например, признак сравнения, необходимый признак и т.д.).

Пример:

Найти области сходимости степенных рядов:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Решение:

а) Радиус сходимости ряда по (14.5)

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением т.е. область сходимости рядаСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

б) Задачу можно решать аналогично предыдущим. Решение упрощается, если заметить, что Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением , т.е. необходимый признак сходимости не выполняется, и ряд расходится.

Итак, область сходимости ряда состоит из одной точки Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Пример:

Найти область сходимости ряда

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Решение:

Найти радиус сходимости по формуле (14.5) в данном случае не представляется возможным, так как коэффициенты ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением и т.д. равны нулю. Поэтому непосредственно применим признак Даламбера. Данный ряд будет абсолютно сходиться, если Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениеми расходиться, если Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Поэтому найдем

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Следовательно, ряд сходится при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением или на интервале Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Исследуем сходимость на концах интервала сходимости: при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением ряд принимает вид Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением а при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением вид Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемт.е. оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

Итак, область сходимости ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Свойства степенных рядов. Пусть функция Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением является суммой степенного ряда, т.е.Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением В подобных курсах математического анализа доказывается, что степенные ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы (многочлены): на любом отрезке Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением целиком принадлежащем интервалу сходимости Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением функция Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением является непрерывной, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Определение степенного ряда и его сходимости

Понятое функциональной зависимости является одним из важнейших в математике. Всякая функция осуществляет некоторое соответствие между объектами, составляющими область задания этой функции, и объектами, составляющими область её значений. Так можно рассматривать функции, которые ставят в соответствие числам – ряды. Эти функции называются функциональными рядами, т.е. функциональный ряд это выражение

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

членами которого являются некоторые функции переменной х. Например, ряд

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

является функциональным рядом.

Придавая в выражении (29.1.1) переменной х некоторые значения Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением мы будем получать числовые ряды

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

которые могут оказаться, как сходящимися, так и расходящимися.

В простейших случаях для определения сходимости ряда (29.1.1) можно применять к нему известные признаки сходимости числовых рядов, считая х фиксированным.

Определение 29.1.1. Совокупность всех значений переменной х, для которых соответствующие числовые ряды сходятся, называется областью сходимости функционального ряда (29.1.1). Определение 29.1.2. Функциональный ряд вида

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

где Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением – действительные числа, независящие от переменной х, называется степенным относительно переменной х рядом. Числа Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением называются коэффициентами этого ряда.

Если в ряде (29.1.2) сделать замену переменного, положив

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, то получим ряд Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением . В дальнейшем будем использовать букву x:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Очевидно, что исследование сходимости ряда (29.1.2) эквивалентно исследованию сходимости ряда (29.1.3). Примером степенного ряда может служить ряд

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Сумма п первых членов рядаСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением называется n -ой частичноной суммой ряда и обозначается Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, т.е. Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Для степенного ряда можно составить последовательность частичных сумм Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемОчевидно, что n-ые частичные суммы Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением степенного ряда являются функциями.

Остатком степенного ряда после n -го его члена (или n -ым остатком) называется ряд, полученный из заданного исключением n его первых членов:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Определение 29.1.3. Степенной ряд называется сходящимся на некотором множестве, если он сходится в любой точке этого множества.

Степенной ряд называется абсолютно сходящимся на некотором множестве, если в каждой точке этого множества сходится ряд из модулей его членов:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Степенной ряд (29.1.3) при тех или иных конкретных значениях переменной x превращается в числовой ряд; так если Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, то получим числовой ряд:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Соответствующий числовой ряд а0 +о,л:0 +… сходится абсолютно, если сходится ряд Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением составленный из модулей его членов.

Так как каждой точкеСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением сходимости ряда (29.1.3) ставится в соответствие определенное значение суммы (29.1.4), то сумма сходящегося на некотором множестве степенного ряда является функцией переменной x. Тогда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Если обозначить сумму остатка через Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, то в области сходимости степенного ряда справедливо равенство:Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Для сходящегося степенного ряда предел остатка равен нулю: Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды можно складывать, вычитать, умножать. Пусть заданы два степенных ряда:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Сумма, разность и произведение заданных степенных рядов определяется формулами:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

где Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Например, сумма, разность и произведение степенных рядов:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

имеет вид: Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

где Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Радиус сходимости, интервал сходимости

Области сходимости степенных рядов устроены довольно просто. Они описываются следующей теоремой.

Теорема 29.2.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

сходится при некотором Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, то он сходится абсолютно при всех значениях х, для которых Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Если же степенной ряд (29.2.1) расходится при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, то он расходится при всех значениях х, для которыхСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением.

Доказательство. Предположим сначала, что степенной ряд (29.2.1) сходится в точке Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением. Это значит, что сходится числовой ряд

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Тогда, в силу необходимого признака сходимости, Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениеми поэтому члены этого ряда ограничены, т.е. найдется такое К, что при любом номере Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением. В силу этого для n -го члена ряда (29.2.1) получаем следующею оценку

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Если Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, то ряд Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, являясь геометрической прогрессией со знаменателем Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением сходится. Поэтому, в силу I признака сравнения и так как Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, сходится и ряд Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением А это означает абсолютную сходимость ряда (29.2.1), приСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Предположим теперь, что степенной ряд (29.2.1) расходится, при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, т.е. расходится числовой ряд:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Возьмём тогда некоторое значение х, для которого Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениеми предположим, что ряд Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением в этой точке

сходится. Но тогда из сходимости этого ряда, в силу первой части доказательства теоремы, вытекает сходимость ряда (29.2.2), что противоречит предположению, о его расходимости. Полученное противоречие означает, что для всех Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением степенной ряд (29.2.1) расходится.Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Если ряд (29.2.1) имеет вещественные коэффициенты и переменная х принимает только вещественные значения, то справедливо следующее определение, вытекающее из теоремы Абеля.

Определение 29.2.1. ВеличинаСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением (R-число или символСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением)

такая, что при всех х, у которыхСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением сходится, а при всех X у которых Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемрасходится, называется радиусом сходимости степенного ряда (29.2.1).

Множество точек х удовлетворяющих соотношению Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, называется интервалом сходимости.

Итак, из определения 29.2.1 и теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда – является интервал сходимости. И если значение Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением переменной х, принадлежит интервалу сходимости, то можно говорить о сумме степенного ряда (29.2.1) в точкеСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением. Таким образом, значение суммы степенного ряда зависит от значения Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением переменной х, т.е. сумма степенного ряда сама является функцией переменной х. Эта функция ничем не отличается от обычной функции и, следовательно, можно говорить о дифференцировании, непрерывности, интегрируемости и других ее свойствах.

Свойства степенных рядов

Для степенных рядов справедливы следующие свойства:

1) Степенной ряд сходится равномерно внутри интервала сходимости.

2) Внутри интервала сходимости ряда сумма его является непрерывной функцией.

3) Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частичных сумм ряда сходится к интегралу от суммы ряда.

4) Если степенной ряд

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

имеет радиус сходимости R , то и ряд

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

получаемый в результате почленного дифференцирования ряда (29.2.3) также имеет радиус сходимости R. Производная суммы ряда (29.2.3) равна сумме ряда (29.2.4), т.е. Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Вычисление интервала сходимости

Как уже было сказано в и. 2 областью сходимости степенного ряда является интервал сходимости. Более того, из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат (рис 29.1).

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Действительно, если Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением есть точка сходимости, то весь интервал Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемзаполнен точками абсолютной сходимости, что следует из теоремы Абеля. Если же Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением– точка расходимости, то вся бесконечная полупрямая вправо от точки Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением и вся полупрямая влево от точки –Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением состоят из точек расходимости, в противном случае мы бы получили, что степенной ряд в точке Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемили –Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением сходится по теореме Абеля.

Заметим, что на концах интервала вопрос о сходимости или расходимости решается индивидуально в каждом конкретном случае. У некоторых рядов интервал сходимости может вырождаться в точку, у других охватывать всю ось Ох.

Укажем теперь способ вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

Пусть задан степенной ряд Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Составим ряд из модулей членов данного ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениеми применим признак Д’Аламбера, т.е.

вычислим предел

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Если этот предел меньше единицы, то, как следует из признака Д’Аламбера, ряд, составленный из модулей членов ряда (29.2.1) сходится, т.е. ряд сходится если Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Если же Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, то ряд (29.2.1) расходится.

А это означает, что если Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением , то степенной ряд (29.2.1) сходится абсолютно, а при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением . степенной ряд расходится.

Учитывая определение радиуса сходимости степенного ряда, получим, что радиус сходимости можно вычислить по формуле:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Рассуждая аналогичным образом можно получить еще одну формулу для определения радиуса сходимости:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Если степенной ряд содержит только четные или нечетные степени х, то применяем признак Д’Аламбсра или Коши к ряду, составленному из модулей членов данного ряда.

Пример №1

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Решение:

Выпишем вначале значения Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Для определения радиуса сходимости воспользуемся формулой (29.3.1):

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Итак, степенной ряд сходится для |х| Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением 1.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Пусть х =—1. Тогда получим знакочередующийся ряд Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением который согласно признаку Лейбница сходится. Пусть х = 1. Получим числовой рядСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением который расходится, так как является гармоническим рядом.

Суммируя вышесказанное, получим интервал сходимостиСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Пример №2

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Решение:

Выпишем вначале значения Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Для определения радиуса сходимости воспользуемся формулой (29.3.2):

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Так как Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, то исследуемый ряд сходится для всех х.

Пример №3

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Решение:

Выпишем вначале значения Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Для определения радиуса сходимости воспользуемся формулой (29.3.1): Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Так как радиус сходимости равен нулю, то ряд сходится только в одной точке x= 0.

Пример №4

Найти радиус и интервал сходимости степенного рядаСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Решение:

Данный ряд содержит только четные степени (а- – 5), коэффициенты при нечетных степенях равны нулю. Поэтому воспользоваться формулами (29.3.1) и (29.3.2) не представляется возможным.

Считая х фиксированным, применим признак Д’Аламбера к ряду, составленному из модулей членов данного ряда. Выпишем значенияСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Тогда

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

так как Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Ряд сходится, если Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением или

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Это значит, что ряд сходится в интервале

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. Пусть Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением. Подставив это значение х в исследуемый ряд, получим числовой ряд:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

который сходится, как ряд Дирихле, для которого а = 4. При Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемполучим тот же сходящийся числовой ряд. Следовательно, данный ряд сходится на отрезке

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Пример №5

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Решение:

Выпишем значение Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением и вычислим радиус сходимости данного ряда по формуле (29.3.2):

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Так как Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, то данный ряд сходится в интервале

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Исследуем его сходимость на концах интервала.

Пусть Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением. Подставив это значение х в данный степенной ряд, получим числовой знакочередующийся ряд:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемПредел общего члена полученного ряда не стремится к нулю:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Следовательно, данный ряд расходится. И приСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением получим расходящийся числовой ряд:Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Следовательно, Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением интервал сходимости данного ряда.

Ряды Тейлора и Маклорена

Как уже отмечалось, сумма сходящегося степенного ряда является некоторой функцией, определенной внутри интервала сходимости. В связи с этим мы рассмотрим задачу разложения некоторой функции в ряд, т.е. будем по заданной функции искать сходящийся ряд того или иного типа, сумма которого в интервале сходимости равнялась бы заданной функции.

Известно, что если функция f имеет на некотором отрезке производные всех порядков, то можно написать формулу Тейлора для любого значения n:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

где Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением заключено между Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением и х. Формула (29.4.1) называется формулой Тейлора с оста точным членом в форме Лагранжа.

В формуле Тейлора обозначим:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

пункта 27.2 (теорема 27.2.1) следует, что если

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

то степенной ряд

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

сходится и его суммой будет функция f(х), так как Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Следовательно, Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Справедливо и обратное утверждение, что если степенной ряд (29.4.3) сходится, то выполняется (29.4.2).

Определение 29.4.1. Представление функции f в виде ряда

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

называется разложением этой функции в ряд Тейлора. Если же Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, то разложение в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Следует заметить, что остаточный член в формуле Тейлора для функции J не обязательно является остатком ряда Тейлора для этой функции. Поэтому из сходимости ряда Тейлора для функции f , еще не следует сходимость именно к этой функции. При разложении функции в ряд Тейлора необходимо проверять условие (29.4.2). Однако сели разложение функции в какой-либо степенной ряд вообще возможно, то оно является разложением в ряд Тейлора, т.е. справедлива следующая теорема.

Теорема 29.4.1. Пусть

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

и стоящий справа ряд сходится в интервале Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением к функции f . Тогда этот ряд является рядом Тейлора, т.е.

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Доказательство. Так как степенной ряд в интервале сходимости можно почленно дифференцировать, то n-ую производную функции (29.4.4) можно представить в виде:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Полагая в последнем тождестве Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, получим Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением (все другие слагаемые равны нулю). Откуда и следует (29.4.5).

Из доказанной теоремы вытекает, что в одной и той же области, для одной и той же функции существует единственное разложение.

На практике, для разложения функции в ряд Тейлора, удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 29.4.2. Если при любых х, удовлетворяющих неравенствуСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемпроизводные функции f(x) для любых п ограничены одним и тем же числом С > 0 т.е.

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

то ряд Тейлора, для этой функции, сходится в интервалеСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением и его сумма равна f(x).

Доказательство. Из условия теоремы следует, что функцию f можно представить формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, т.е.

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Оценим остаток: Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Переходя к пределу приСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, получим неравенство:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Воспользовавшись асимптотической формулой СтерлингаСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, получим:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

так как стспснно-показательная функция Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениеми взрастает быстрее показательных функцийСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Тогда из неравенства (29.4.6) получим:Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением. Слсдова-

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемсходится к функции f(х). Теорема доказана.

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

Из пункта 29.4 следует, что для того чтобы некоторая функция разлагалась в ряд Тейлора нужно, чтобы она имела производные любого порядка и чтобы либо Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением(где С> 0 – произвольная постоянная), для любых n и Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением. Рассмотрим разложение некоторых функций в ряд Маклорена.

1. Разложение функцииСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением.

Находим производные данной функции и их значения при х=0. Так как Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениеми формула Маклорена для функции Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением имеет вид:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

где Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением заключено между 0 и х.

Вычислим предел остаточного члена, для любого х: Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Выражение Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением как общий член сходящегося ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением . МножительСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением в выражении остаточного члена не превосходитСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением при х > 0 , и единицы при х Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением 0. Это означает, что остаточный член стремится к нулю при всех значениях x Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Следовательно, рядСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением сходится при любом х и суммой его является функция Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением . Итак,Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Заменяя х на -x, получим ряд Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением—, интервалом сходимости для которого является вся числовая ось.

2. Разложение функций cos х и sin х. Для функции cos x имеем:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Следовательно,

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением и формула

Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа для функции cosx имеет вид:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Ясно, что для любого X

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Поэтому, функция cos л- разлагается в ряд Маклорена вида:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Аналогично получается разложение в ряд Маклорена функции sinx:Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

3. Биномиальный ряд.

Найдем разложение в степенной ряд функции

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

где m -произвольное действительное число.

Дифференцируя равенство (29.5.1) n раз, получим:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Значения функции и се производных при х = 0 равны:Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Следовательно, ряд Маклорена имеет вид: Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Если m- целое, то выражение (29.5.2) содержит конечное число членов. Если же m- нецелое, то выражение (29.5.2)- бесконечный ряд, называемый биномиальным.

Определим вначале радиус сходимости этого ряда, для чего применим признак Д’Аламбсра к ряду, составленному из модулей его членов:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Следовательно, при |х| Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением 1, биномиальный ряд абсолютно сходится, т.е. существует сумма S(x) этого ряда.

Покажем теперь, что ряд (29.5.2) сходится к функции Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением‘. Для этого продифференцируем ряд (29.5.2) , получим:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Умножим обе части (29.5.3) на Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением и приведем подобные члены. Получим степенной ряд, в котором коэффициент при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением равен сумме двух слагаемых:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Эта сумма, как показано, равна произведению коэффициента при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, ряда (29.5.2), на m . Следовательно, в интервале сходимости биномиального ряда, имеем равенство:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

С другой стороны, вычисляя производную отношения

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемполучим:-Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемв силу (29.5.4).

Решая дифференциальное уравнение Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, последовательно получим:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Пусть x = 0, тогда S(0) = С. Из (29.5.2) следует, что S(0) = 1, тогда С = 1.

Следовательно, Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Итак, разложение

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

имеет место при всех х, удовлетворяющих условию Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением. Придавая m конкретные значения можно получать разложения различных функций в степенные ряды. В общем случае разложение (29.5.5) даст обобщение бинома Ньютона для какого угодно показателя m.

Применение рядов в приближенных вычислениях

Разложения функций в ряд Маклорена позволяют во многих случаях вычислить с большой степенью точности значения этих функций, заменяя ее конечным числом членов разложения. Чем меньше х, тем меньше членов можно брать в этом разложении для вычисления f(х) с желаемой точностью. Если х весьма мало, то достаточно ограничится первыми двумя членами, отбросив все остальные. Например, при х близких к нулю можно пользоваться следующими приближенными формулами:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Например, вычислимСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением , до пяти знаков.

Имеем, Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемОстаточный член

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемТак как близко к единице, то остальные члены в разложении не повлияют на первые пять знаков после запятой и их можно отбросить. Вычисление приводит к результату:Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Иногда при вычислении значений функций удобно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов.

Например, известно, чтоСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

С другой стороны, Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Следовательно,

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемВ частности, при x = 0,1, получим:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Этот ряд знакочередующийся. Поэтому, его остаток не превосходит первого «отброшенного» члена. Удерживая в разложении первых два слагаемых, получим значение arctg 0,1 = 0,09967 с пятью верными знаками.

При помощи биномиальною ряда можно быстро и довольно точно вычислять значение корней из чисел.

Пример №6

Вычислить Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением с точностью до 0,0001.

Решение:

Представим, этот корень в виде

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением и воспользуемся разложением бинома:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

следующим член Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, поэтому точность нужная получена.

В общем случае можно записать:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

где Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, причемСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, так как всегда можно подобрать целое число а так, чтобы m -ая степень а была, по возможности, ближе к А.

Кроме того, биномиальный ряд является основой многих дальнейших разложений функций в ряды. Например, можно найти разложение в ряд Маклорена функции:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

При помощи рядов можно вычислять определенные интегралы.

Например, вычислим интегральный синус: Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Имеем

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

тогда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Подставляя вместо x, те или иные конкретные значения переменной, мы можем вычислять интересующие нас значения интегрального синуса.

При помощи разложении в степенные ряды можно приближенно интегрировать разнообразные дифференциальные уравнения.

Например, найдем решение уравнения Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемпри начальных условиях Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Будем искать решение этого уравнения в виде степенного ряда: Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемпри начальных условиях Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением. Тогда получим:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Вычислим первую и вторую производные от этого ряда:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

и подставив у, Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением в заданное уравнение:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

приравняем коэффициенты при равных степенях .г, предварительно умножив правую часть на х: Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Получаем систему уравнений, из которой находим:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Замечаем, что отличными от нуля будут лишь те коэффициенты, у которых индекс и степень делятся на 3. Получим решение заданного дифференциального уравнения в виде: Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

  • Заказать решение задач по высшей математике

Ряд Маклорена

Предположим, что функция Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, определенная и Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением раз дифференцируемая в окрестности точки Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Выразим коэффициенты ряда через Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением. Найдем производные функции Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, почленно дифференцируя ряд Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением раз:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Полагая в полученных равенствах Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением получим Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемоткуда

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Подставляя значения коэффициентов Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением получим ряд

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

называемый рядом Маклорена.

Следует отметить, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, является расходящимся либо сходящимся не к функции Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением.

Так же как и для числовых рядов, сумму Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением ряда Маклорена можно представить в виде (13.9)

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

где Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением-я частичная сумма ряда; Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением-й остаток ряда.

Тогда на основании свойства 4 сходящихся рядов (см. §13.1) можно сформулировать теорему.

Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, необходимо и достаточно, чтобы при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением остаток ряда стремился к нулю, т.е.

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

для всех значений Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением из интервала сходимости ряда.

Можно доказать, что если функция Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное.

Замечание. Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора.

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

где Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением— остаточный член формулы Тейлора:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением), записанный в форме Лагранжа.

Очевидно, что при выполнении условия (14.7) остаток Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением ряда Тейлора равен остаточному члену Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением формулы Тейлора.

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

По формуле (13.6)

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Область сходимости ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением.

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Очевидно, что производные четного порядка Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, а нечетного порядка Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением. По формуле (14.6)

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Область сходимости ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Рассматривая аналогично, получим

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Область сходимости ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Интервал сходимости ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением (на концах интервала при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением сходимость ряда зависит от конкретных значений от).

Ряд (14.11) называется биномиальным. Если Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением — целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением-й член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд. обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Получить разложение для этой функции можно проще, не вычисляя непосредственно коэффициенты ряда (14.6) с помощью производных.

Рассмотрим геометрический ряд

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

со знаменателем Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением который сходится при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением т.е. при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением к функции Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Интегрируя почленно равенство (14.12) в интервале Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением где Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, с учетом того, что Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением получим

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Можно доказать, что ряды, приведенные в формулах (14.8) — (14.13), сходятся к функциям, для которых они составлены.

При разложении более сложных функций используют непосредственно формулу (14.6) либо таблицу простейших разложений (14.8) – (14.13).

Пример №7

Разложить в ряд функции: Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Решение:

а) Так как по (14.8) Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

то, заменяяСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением получим

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

и, наконец,

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Область сходимости ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

б) В разложении Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением заменим Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемполучим

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Теперь

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Область сходимости ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определенных интегралов, которые являются «неберущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.

Пример №8

Вычислить приближенно с точностью до Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Решение:

а) Для вычисления Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением запишем ряд (14.8) при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением принадлежащем области сходимости Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Взяв первые шесть членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница (см. § 13.4) для сходящегося знакочередующегося ряда мы допустим погрешность Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т.е.

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

б) Для вычисления Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением запишем ряд (14.13) при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением входящем в область сходимости ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Если в качестве Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением взять первые четыре члена, мы допустим погрешность

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

(Мы учли, что сумма сходящегося геометрического ряда в

скобках равна Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением.) Итак, 1 -q 1-0,2

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Следует отметить, что для вычисления логарифмов более удобным является ряд (14.14), который сходится быстрее ряда (14.13). Действительно, пусть Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением тогда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением и согласно (14.14)

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

т.е. для вычисления Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением с точностью до Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемпотребуется всего два члена. С помощью ряда (14.14) можно вычислять логарифмы любых чисел, в то время как с помощью ряда (14.13) -лишь логарифмы чисел, расположенных на промежутке Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

в) Представим Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением в виде Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Так как Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением входит в область сходимости степенного ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением то при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением учитывая (14.11), получим

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

(Для обеспечения данной точности расчета необходимо взять 4 члена, так как по следствию из признака Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда погрешность Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением)

г) Для вычисления Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением запишем ряд (14.9) при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемпринадлежащем области сходимостиСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

(Необходимо взять два члена, так как при этом погрешность

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

д)«Точное» интегрирование здесь невозможно, так как интеграл «неберущийся». Заменив Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением в разложении (14.8), получим

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Умножая полученный ряд на Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

и почленно интегрируя в интервале Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением принадлежащем интервалу сходимости ряда Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением, получим Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Оценка погрешности вычисления производится так же, как в примерах а), в) и г). ►

Пример №9

Исследовать сходимость ряда

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Решение:

Радиус сходимости ряда (14.15), заданного по степеням Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением находится по той же формуле (14.5);Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

т.е. Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Интервал сходимости ряда (14.15) определяется из условия Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением В данном примере интервал сходимости ряда есть Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением или Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Исследуем сходимость ряда (14.15) на концах этого интервала. При Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением ряд принимает вид Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением т.е. представляет сумму двух рядов. Первый, знакочередующийся ряд Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением сходится (условно) (см. § 13.4), а второй ряд Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемисследуем на сходимость с помощью признака Даламбера: Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением т.е. ряд сходится, а следовательно, сходится и ряд (14.15) приСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

При Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением ряд (14.15) имеет вид Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением Первый из полученных рядов — гармонический — расходится, а второй — сходится на основании признака абсолютной сходимости, так как выше было показано, что ряд из абсолютных величин его членов сходится. Следовательно, ряд (14.15) при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением расходится. (Установить расходимость этого ряда с положительными членамиСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением при любом Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением можно было и с помощью признака сравнения, так как его члены при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемпревосходят члены расходящегося гармонического ряда, умноженные на Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Итак, область сходимости степенного ряда (14.15) Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Пример №10

Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение:

Первый способ. Применим метод непосредственного разложения по формуле (14.6).

Вначале найдем производные до «-го порядка и вычислим их значения при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

При Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением значения функции Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением и ее производных:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

и т.д. Теперь по формуле (14.6) запишем ряд

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

или

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Второй способ. Учитывая, что Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемиспользуем готовое разложение (14.10) для функции Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением (в котором вместоСтепенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением берем Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением), умножаем обе части полученного равенства на Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениема затем прибавляем к ним Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемПолучим

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением и

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением или

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

т.е. то же разложение (14.16).

Третий способ. Разложение функции Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением может быть осуществлено с помощью правила перемножения рядов. Если в некоторой окрестности точки Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решениемимеют место разложения

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

то произведение функций разлагается в той же окрестности в степенной ряд

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

В частности, при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением получаем следующее правило возведения в квадрат степенного ряда:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Для функции Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением имеющей разложение в ряд (14.9), т.е.

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

находим по формуле (14.17)

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

т.е. получили то же разложение (14.16).

Область сходимости ряда, как нетрудно убедиться, есть Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Пример №11

Вычислить с точностью до Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Решение:

Выражение данного интеграла в виде числового ряда находится

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Вычисление интеграла свелось не к нахождению суммы сходящегося знакочередующегося ряда, при вычислении которой погрешность оценивается с помощью следствия из теоремы Лейбница, а к определению суммы ряда с положительными членами с неизвестной оценкой погрешности.

Поступим следующим образом. Предположим, что для оценки суммы ряда мы взяли Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением членов (вместе с первым при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением). Тогда погрешность вычисления суммы ряда будет определяться остатком ряда

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

ибо выражение в круглых скобках представляет сумму сходящегося геометрического ряда (13.5) при Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

При Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

(Легко вычислить, что при любых Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением) Итак, для обеспечения данной в условии точности вычисления интеграла необходимо взять первые 7 членов:

Степенные ряды - определение, сходимость и примеры с решением

  • Элементы матричного анализа
  • Уравнение линии
  • Функции нескольких переменных
  • Комплексные числ
  • Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
  • Системы дифференциальных уравнений
  • Числовые ряды
  • Знакопеременные ряды

Круг сходимости[1] степенного ряда sum_{n=0}^infty a_n(z-z_0)^n — это круг вида

D={z: |z-z_0| <R }, zinmathbb C,

в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при |z-z_0|>R, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в пустое множество, когда R = 0, и может совпадать со всей плоскостью переменного z, когда R = infty.

Радиус сходимости[править | править код]

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости[1] ряда.

Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:

 {1over R} = {varlimsuplimits_{nrightarrow infty}} , |a_n|^{1/n}

Эта формула выводится на основе признака Коши.

Теорема Островского — Адамара[править | править код]

Для степенного ряда

f(z)=sum_{k=0}^infty alpha_k (z-z_0)^k,

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов a_{k(i)} удовлетворяет

{displaystyle {frac {k(i+1)}{k(i)}}>1+delta }

для некоторого фиксированного delta >0, круг с центром z_{0} и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.

Литература[править | править код]

  1. 1 2 Фихтенгольц Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления — 2 том. — 8. — Москва: Физматлит, 2001-. — С. 557. — 864 с. — ISBN 5-9221-0157-9.

См. также[править | править код]

  • Аналитическое продолжение

Сходимость степенного ряда.
Радиус и область сходимости степенного ряда

Краткая теория


Функциональным рядом называется ряд вида:

где

 – функции,
определенные на некотором множестве

.

Множество

 всех
точек сходимости ряда (*) называется его областью
сходимости.

В области сходимости 

 определены функции:

( n-я частичная сумма ряда)

(сумма ряда)

(остаток ряда)

Ряд

называется абсолютно сходящимся, если
сходится ряд

Из всех функциональных рядов наиболее
часто применяют степенные ряды, которыми называют ряды вида

Действительные числа

 называют коэффициентами ряда.

Неотрицательное число

,
такое, что ряд (**) сходится в интервале

 и расходится вне этого интервала, называется
радиусом сходимости этого ряда, а интервал

 – интервалом сходимости ряда.

Радиус сходимости степенного ряда можно
найти по формулам:

или

Свойства степенных рядов

1. Сумма степенного ряда при всех
значениях

 из интервала сходимости есть непрерывная
функция.


2. Степенной ряд в его интервале
сходимости можно почленно дифференцировать, то есть:


3. Степенной ряд можно интегрировать по
любому отрезку, содержащемуся в интервале сходимости, причем:

Пример решения задачи


Задача

Найдите
область сходимости степенного ряда:

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Радиус
сходимости степенного ряда можно найти по формуле:

В
нашем случае:

Интервал
сходимости:

Исследуем сходимость ряда
на концах интервала:

При

Это
знакопеременный ряд.

 -абсолютные величины членов ряда монотонно
убывают

По
признаку Лейбница ряд сходится

При

Это
ряд Дирихле – сходится, так как показатель степени в знаменателе больше единицы

Область
сходимости:

Ответ:

.

Степенные ряды с комплексными членами и их свойства

Круг сходимости степенного ряда

Степенным рядом называется функциональный ряд (3.1), члены которого образованы степенями z^n или (z-z_0)^n, то есть ряд вида

sum_{n=0}^{infty}c_n(z-z_0)^n= c_0+ c_1(z-z_0)+ ldots+ c_n(z-z_0)^n+ldots~~(3.9)

или

sum_{n=0}^{infty}c_nz^n= c_0+c_1z+c_2z^2+ ldots+ c_nz_n+ldots~~~~~~~~(3.10)

Ряд (3.9) называется рядом по степеням разности (z-z_0); ряд (3.10) — рядом по степеням z. Очевидно, один ряд к другому можно преобразовать простой заменой.

Особенностью степенного ряда, как частного вида ряда (3.1), является аналитичность его членов во всей комплексной плоскости. Другая особенность связана с видом его области сходимости. В общем случае функционального ряда, областью сходимости может быть множество произвольного вида (см. примеры 3.1-3.5). Это и вся плоскость, и плоскость с выколотой точкой, и круг, и внешность круга, и полуплоскость, и кольцо, и пустое множество (ряд расходится всюду). В случае степенного ряда последнего случая быть не может — ряд имеет хотя бы одну точку сходимости. Так, ряд (3.9), очевидно, сходится в точке z_0, а ряд (3.10) — в точке z=0.

В примере 3.1 определялась область сходимости степенных рядов вида (3.10). Кроме двух тривиальных случаев области сходимости — вся плоскость и только одна точка, в двух других областью сходимости оказывается круг, как и для ряда вида (3.9) из примера 3.4, п.”а”. Полученный результат не является случайным. Действительно, областью сходимости степенного ряда является круг. При этом область сходимости, состоящую из одной точки, можно рассматривать как круг радиуса R=0, а в случае сходимости ряда во всей комплексной плоскости как круг радиуса R=infty. Доказательство этого утверждения получается из основной теоремы теории степенных рядов — теоремы Абеля, которая формулируется и доказывается так же, как и в действительной области.


Теорема Абеля о сходимости ряда

Теорема 3.3 (теорема Абеля). Если степенной ряд (3.10) сходится в точке z_0ne0, то он сходится, и притом абсолютно, для любого z, удовлетворяющего неравенству |z|&lt;|z_0|.

Как следствие этой теоремы устанавливается существование положительного числа R, такого, что ряд (3.10) при |z|&lt;R сходится, а при |z|&gt;R расходится, т.е. окружность |z|=R разделяет плоскость на две части: внутри окружности ряд сходится, вне — расходится. Радиус этой окружности — число R — называется радиусом сходимости, круг |z|&lt;R — кругом сходимости ряда.


Формула Коши-Адамара

Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле Коши-Адамара

R=dfrac{1}{varlimsuplimits_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|c_n|}},.

(3.11)

Здесь varlimsuplimits_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|c_n|}=ell — верхний предел последовательности a_n=sqrt[LARGE{n}]{|c_n|}. Он всегда существует (конечный или бесконечный), и притом единственный. В случае ell=+infty полагают R=0, а в случае ell=0 полагают R=infty.

Замечания 3.1

1. Для ряда (3.9) имеем такое же утверждение: он сходится в круге |z-z_0|&lt;R, где радиус сходимости R определяется по формуле (3.11).

2. Радиус сходимости ряда можно определить иначе. Например, найти область сходимости ряда, используя формулы (3.8), а затем — радиус. Так, в примере 3.1 рассматриваются степенные ряды. Для первого из этих рядов найдена область сходимости |z|&lt;1, поэтому R=1, для второго из |z|&lt;2 получаем R=2. Для двух других рядов имеем соответственно R=0 и R=infty.


Пример 3.8. Доказать, что для ряда sum_{n=0}^{infty}c_nz^n, где c_nne0 для любого n, радиус сходимости можно определить по формулам:

R=frac{1}{limlimits_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|c_n|}},qquad R=lim_{ntoinfty} left|frac{c_n}{c_{n+1}}right|.

(3.12)

Решение

Найдем область сходимости ряда, используя формулы (3.8):

|f(z)= lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|u_n(z)|}= lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|c_nz^n|}= |z|cdot lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|c_n|},.

Если lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|c_n|}=0, то неравенство |f(z)|&lt;1 выполняется при любом z, т.е. ряд сходится всюду и R=infty. Если lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|c_n|}=infty, то неравенство |f(z)|&lt;1 не выполняется ни для какого значения zne0 и ряд сходится только в одной точке z=0, то есть R=0.

В случае, когда предел является конечным и не равен нулю, обозначим его ell, то есть lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|c_n|}=ell. Тогда неравенство |f(z)|&lt;1, то есть |z|cdotell&lt;1, выполняется для z, удовлетворяющих условию |z|&lt;frac{1}{ell}, а это есть круг сходимости, следовательно, R= frac{1}{ell}. Первая из формул (3.12) доказана. Аналогично доказывается вторая.

Пример 3.9. Найти области сходимости комплексных рядов sum_{n=1}^{infty} frac{z^n}{n^2},~ sum_{n=1}^{infty}frac{z^n}{n},~ sum_{n=1}^{infty}z^n.

Решение

Радиус сходимости каждого из рядов R=1, так как для первого ряда c_n=frac{1}{n^2} и согласно (3.12) R=lim_{ntoinfty} left|frac{(n+1)^2}{n^2}right|=1; для второго ряда имеем c_n=frac{1}{n} и R=lim_{ntoinfty} left|frac{n+1}{n}right|=1; для третьего из c_n=1 получаем R=lim_{ntoinfty}frac{1}{sqrt[LARGE{n}]{n}}=1. Поэтому областью сходимости каждого из этих рядов является круг |z|&lt;1.

Исследуем сходимость рядов на границе круга сходимости — на окружности |z|=1, или, что то же, z=e^{ivarphi}.

Для первого ряда в точках границы, т.е. при |z|=1, получаем абсолютно сходящиеся ряды, так как sum_{n=1}^{infty}frac{|z|^n}{n^2}= sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}, а ряд sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2} сходится. Следовательно, ряд sum_{n=1}^{infty}frac{z^n}{n^2} сходится во всех граничных точках. Поэтому он сходится абсолютно — круге |z|leqslant1.

Ряд sum_{n=1}^{infty}z^n на границе расходится (см. пример 3.1, п.”а”).

Ряд sum_{n=1}^{infty}frac{z^n}{n}, очевидно, расходится в точке z=1 (точке границы z=e^{ivarphi} при varphi=0) как гармонический ряд sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n} и сходится в точке z=-1 (точке z=e^{ivarphi} при varphi=pi) как знакочередующийся ряд sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^n}{n}. Заметим, что сходимость последнего ряда неабсолютная. Можно показать, что ряд расходится на границе z=e^{ivarphi} только при varphi=0, то есть varphi=0, а во всех других точках границы, т.е. при varphine0, он сходится.

Заметим, что данные в примере ряды могут быть получены один из другого с помощью дифференцирования или интегрирования. Так, из ряда sum_{n=1}^{infty} frac{z^n}{n^2} получаем дифференцированием ряд sum_{n=1}^{infty} frac{z^{n-1}}{n} или frac{1}{z}sum_{n=1}^{infty} frac{z^n}{n}, а из ряда sum_{n=1}^{infty} frac{z^n}{n} также дифференцированием — ряд sum_{n=1}^{infty}z^{n-1} или frac{1}{z}sum_{n=1}^{infty}z^n.

Пример 3.10. Найти радиус сходимости рядов: а) sum_{n=0}^{infty} 3^n(z-1)^n; б) sum_{n=0}^{infty} frac{z^{2n}}{3^n}.

Решение


Свойства степенных рядов

1. Если Rne0, т.е. ряд (3.10) сходится в круге |z|&lt;R, то, используя признак Вейерштрасса, нетрудно установить, что ряд сходится равномерно в круге |z|leqslant r, где r — любое положительное, меньшее R число, 0&lt;r&lt; R. Это означает, что степенной ряд сходится равномерно внутри круга сходимости.

2. В силу аналитичности членов степенного ряда и свойств равномерно сходящихся рядов получаем (см. теорему 3.2), что внутри круга сходимости сумма степенного ряда есть функция аналитическая.

3. Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз внутри круга сходимости.

Последнее свойство означает, что ряд, полученный из ряда sum_{n=0}^{infty}c_nz^n дифференцированием, т.е. ряд sum_{n=0}^{infty}(c_nz^n)'= sum_{n=1}^{infty}nc_nz^{n-1} или, что удобнее, sum_{n=0}^{infty}(n+1)c_{n+1}z^n, и ряд, полученный интегрированием, т.е. ряд sum_{n=0}^{infty}int c_nz^{n}dz= sum_{n=0}^{infty} frac{c_nz^{n+1}}{n+1}, сходятся внутри круга сходимости исходного ряда, а потому их радиусы сходимости не меньше радиуса сходимости исходного ряда.

Покажем, что радиус сходимости при дифференцировании и интегрировании не меняется. Обозначим радиус сходимости данного степенного ряда sum_{n=0}^{infty}c_nz^n через R=frac{1}{ell}, где ell= varlimsuplimits_{ntoinfty} sqrt[LARGE{n}]{|c_n|}. Рассмотрим ряд, членами которого являются производные от членов данного ряда, т.е. ряд, полученный почленным дифференцированием: sum_{n=0}^{infty} (n+1)c_{n+1}z^n. Общий член этого ряда (n+1)c_{n+1}z^n запишем в виде a_nz^n, где a_n=(n+1)c_{n+1}, а c_{n+1} — коэффициент исходного ряда. Радиус сходимости полученного ряда определим по формуле Коши-Адамара, т.е. R_1= frac{1}{ell_1}, где

ell_1=varlimsuplimits_{ntoinfty} sqrt[LARGE{n}]{|c_{n+1}|(n+1)}= varlimsuplimits_{ntoinfty} left(sqrt[LARGE{n}]{|c_{n+1}|}cdot sqrt[LARGE{n}]{n+1}right)= varlimsuplimits_{ntoinfty} sqrt[LARGE{n}]{|c_{n+1}|}= varlimsuplimits_{ntoinfty} sqrt[LARGE{n}]{|c_{n}|}=ell,.

Следовательно, R_1=R. Здесь использован известный предел lim_{ntoinfty} sqrt[LARGE{n}]{an+b}=1, частный случай которого lim_{ntoinfty} sqrt[LARGE{n}]{n}=1 был использован при решении примера 3.3. Так как ряд sum_{n=0}^{infty}c_nz^n получается из ряда sum_{n=0}^{infty}(n+1)c_{n+1}z^n интегрированием, то из доказанного следует, что при интегрировании ряда радиус сходимости не изменяется.

Пример 3.11. Найти суммы следующих рядов с комплексными членами:

а) sum_{n=0}^{infty}z^n; б) sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{2^{n+1}}; в) sum_{n=1}^{infty}nz^n; г) sum_{n=1}^{infty}z^n.

Решение


Действия над степенными рядами

Кроме упомянутых выше свойств дифференцирования и интегрирования степенных рядов внутри круга сходимости как рядов, равномерно сходящихся, они обладают в круге сходимости общими свойствами сходящихся, в частности абсолютно сходящихся, рядов: ряды можно складывать и перемножать, т.е. рассматривать сумму и произведение рядов; можно также рассматривать их отношение — деление рядов.

Рассмотрим подробнее арифметические действия над степенными рядами. Обозначим R_1 и R_2 — радиусы сходимости двух рядов sum_{n=0}^{infty} a_nz^n и sum_{n=0}^{infty}b_nz^n.

1. В общей области сходимости, т.е. в круге |z|&lt;r, где r= min(R_1,R_2), можно рассматривать сумму (разность) рядов: ряд sum_{n=1}^{infty} c_nz^n,~ c_n=a_npm b_n. Радиус сходимости полученного ряда не меньше rcolon, Rgeqslant r. Сумма S нового ряда равна S_1pm S_2, где S_1 и S_2 — суммы рядов — слагаемых.

2. В круге |z|&lt;r можно рассматривать произведение рядов:

begin{aligned}sum_{n=0}^{infty} a_nz^ncdot sum_{n=0}^{infty} b_nz^n&= bigl(a_0+a_1z+a_2z^2+ldots+ a_nz^n+ldotsbigr)cdot bigl(b_0+b_1z+b_2z^2+ldots+ b_nz^n+ldots bigr)=\ &=a_0b_0+ z(a_0b_1+a_1b_0)+ z^2(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+ ldots+ c_nz^n+ldots end{aligned}

Получаем ряд sum_{n=1}^{infty}c_nz^n, где c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+ ldots+ a_kb_{n-k}+ ldots+a_nb_0. или c_n=sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}. Радиус сходимости полученного ряда не меньше r,~ Rgeqslant r, его сумма S равна S_1cdot S_2, где S_1 n S_2 — суммы рядов — сомножителей.

3. В некоторой окрестности точки z_0=0 можно рассматривать отношение рядов sum_{n=0}^{infty}a_nz^n (делимое) и sum_{n=0}^{infty}b_nz^n (делитель) при условии b_0ne0. Частным этих рядов будет ряд sum_{n=0}^{infty}c_nz^n, такой, что выполняется равенство sum_{n=0}^{infty} a_nz^n= sum_{n=0}^{infty}b_nz^ncdot sum_{n=0}^{infty}c_nz^n Коэффициенты c_n определяются, как и в случае многочленов, методом неопределенных коэффициентов или делением “углом”.

Замечание 3.2. При сложении и умножении рядов, как отмечено выше, может получиться ряд, сходящийся в большей области, чем общая часть кругов сходимости двух исходных рядов: Rgeqslant r,~ r=min(R_1,R_2).

Приведем пример, подтверждающий это свойство. При сложении рядов sum_{n=0}^{infty}! left(frac{(-1)^{n+1}}{3^n}-1right)!z^n и sum_{n=1}^{infty}! left(frac{(-1)^n}{2^n}+ 1right)!z^n, для которых, как нетрудно проверить, имеем R_1=R_2=1, получим ряд sum_{n=0}^{infty}! left(frac{(-1)^{n}}{2^n}-frac{(-1)^{n}}{3^n}right)!z^n. Радиус сходимости этого ряда R=2.

Рассмотренные арифметические операции- над рядами используются при решения задач разложения функции в степенные ряды: функций вида

f(z)= f_1(z)+ f_2(z),qquad f(z)=f_1(z)cdot f_2(z),qquad f(z)=frac{f_1(z)}{f_2(z)},.


Подстановка ряда в ряд

4. Еще одно действие — подстановка ряда в ряд связано с разложением в ряд сложной функции. Пусть ряд sum_{n=0}^{infty}c_nu^n сходится в круге |u|&lt;R, его сумма равна S_1=f(u); а ряд sum_{n=0}^{infty}b_nz^n в круге |z|&lt;r и его сумма в этом круге равна S_2=varphi(z). Тогда в некоторой окрестности точки z_0=0, т.е. в круге |z|&lt;rho, можно рассматривать ряд sum_{n=0}^{infty}c_n left(sum_{n=0}^{infty} b_nz^nright)^n. Заметим, что для возможности выполнения этого действия требуется, чтобы имело место условие varphi(0)= 0, то есть b_0=0,в противном случае, как правило, не удается привести подобные члены. Поэтому записываем ряд в виде

sum_{n=0}^{infty}c_n left(sum_{n=0}^{infty} b_nz^nright)^n= c_0+ c_1 bigl(b_1z+ b_2z^2+ldotsbigr)+ c_2 bigl(b_1z+b_2z^2+ldotsbigr)^2+ ldots+c_n bigl(b_1z+ b_2z^2+ ldotsbigr)^n+ldots

Произведя действия возведения в степень (как умножение ряда на ряд) и приведение подобных членов, можно записать любое число членов ряда:

c_0+c_1b_1z+ z^2 bigl(c_1b_2+c_2b_1^2bigr)+ z^3 bigl(c_1b_3+2c_1b_1b_2+ c_3b_1^3bigr)+ldots

Суммой нового ряда будет функция f(varphi(z)).


Обобщение свойств степенных рядов

Обобщим свойства степенных рядов и действия над ними в виде утверждения.

Утверждение 3.1

1. Степенной ряд sum_{n=0}^{infty}c_nz^n сходится в круге |z|&lt;R; ряд sum_{n=0}^{infty}c_n(z-z_0)^n сходится в круге |z-z_0|&lt;R.

2. Радиус сходимости ряда определяется по формулам (3.11) и (3.12).

3. На границах круга сходимости могут быть как точки сходимости, так и точки расходимости ряда.

4. Внутри круга сходимости ряд сходится равномерно; для ряда (3.10) это круг |z|leqslant r, для (3.9): |z-z_0|leqslant r, где r — любое число, 0&lt;r&lt;R.

5. Сумма степенного ряда внутри круга сходимости — функция аналитическая.

6. Внутри круга сходимости ряд можно интегрировать почленно и дифференцировать почленно любое число раз. Радиус сходимости ряда при этом не меняется. Сходимость в отдельных точках границы может измениться.


Ряды с комплексными членами по целым степеням

Рассмотрим два ряда sum_{n=0}^{infty}a_n(z-z_0)^n и sum_{n=1}^{infty} frac{b_n}{(z-z_0)^n}. Первый ряд — степенной и, если он сходится не только в одной точке z_0, но и не всюду, то сходится в круге |z-z_0|&lt;r. Второй ряд — не степенной, но, после замены frac{1}{z-z_0}=w, получим степенной ряд sum_{n=1}^{infty}b_nw^n, область сходимости которого: |w|&lt;r_1ne0. Поэтому для ряда sum_{n=1}^{infty} frac{b_n}{(z-z_0)^n} имеем left|frac{1}{z-z_0}right|&lt;r_1, или |z-z_0|&gt;frac{1}{r_1}=R.

Если r&lt;R, то исходные ряды имеют общую область сходимости — кольцо r&lt;|z-z_0|&lt;R. Для каждого z, принадлежащего этому кольцу, получаем два сходящихся числовых ряда, которые, по свойству сходящихся числовых рядов, можно складывать. Следовательно, в области r&lt;|z-z_0|&lt;R можно рассматривать ряд вида

sum_{n=0}^{infty}a_n(z-z_0)^n+sum_{n=1}^{infty} frac{b_n}{(z-z_0)^n}= sum_{n=-infty}^{infty} c_n(z-z_0)^n.

(3.14)

Ряд (3.14) — ряд по целым степеням, он состоит из двух частей: первое слагаемое sum_{n=0}^{infty} a_n(z-z_0)^n составляют члены ряда с положительными степенями; второе слагаемое sum_{n=1}^{infty} frac{b_n}{(z-z_0)^n} — с отрицательными. Вторую часть можно записать в виде sum_{n=-infty}^{-1} b_{-n}(z-z_0)^n, после чего становится понятней возможность записи суммы двух рядов в виде одного ряда, а именно по формуле (3.14), где полагаем c_n=a_n для ngeqslant0 и c_n=b_{-n} для n&lt;0.

Используя для составляющих ряда (3.14) — рядов sum_{n=0}^{infty}a_n(z-z_0)^n и sum_{n=1}^{infty} b_nw^n свойства степенных рядов (см. утверждение 3.1), можно сформулировать следующее утверждение для рядов по целым степеням.

Утверждение 3.2

1. Ряд sum_{n=-infty}^{infty}c_n(z-z_0)^n сходится в кольце r&lt;|z-z_0|&lt;R.
2. В кольце r_1leqslant |z-z_0|leqslant R_1, где r_1&gt;r,~ R_1&lt;R, ряд сходится равномерно.
3. В кольце r_1leqslant |z-z_0|leqslant R_1 сумма ряда (3.14) — функция аналитическая и ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз.

Пример 3.12. Найти кольцо сходимости и сумму ряда sum_{n=1}^{infty} frac{z^n}{3^n}+ sum_{n=-infty}^{-1}frac{z^n}{2^n}.

Решение

Запишем ряд в виде sum_{n=1}^{infty} !left(frac{z^n}{3^n}+ frac{2^n}{z^n}right) и, повторяя решение примера 3.4, находим кольцо сходимости ряда 2&lt;|z|&lt;3. Сумму ряда S(z) можно записать в виде S(z)= S_1(z)+ S_2(z), где S_1 -сумма ряда sum_{n=1}^{infty} !left(frac{z}{3} right)^n, S_2 — ряда sum_{n=1}^{infty}!left(frac{2}{z}right)^n. Для нахождения суммы этих рядов применим формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Получаем S_1=frac{frac{z}{3}}{1-frac{z}{3}} для |z|&lt;3 и S_2=frac{frac{2}{z}}{1-frac{2}{z}} для |z|&gt;2. Окончательный ответ:

S(z)= frac{z}{3-z}+frac{2}{z-2}= frac{z^2-4z+6}{(z-2)(3-z)},.

Заметим, что функция S(z) является аналитической всюду, кроме точек z=2 и z=3, суммой данного ряда она является только в кольце 2&lt;|z|&lt;z.

Отметим также, что в данном ряде отсутствует свободный член. Ряд sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{3^n}+ sum_{n=-infty}^{-1}frac{z^n}{2^n}, где свободный член равен 1 (при n=0), очевидно, сходится в том же кольце, а сумма его равна

S(z)=S_1(z)+S_2(z)= frac{1}{1-frac{z}{3}}+frac{2}{z-2}= frac{z}{(3-z)(z-2)},.

Она действительно отличается только на величину свободного члена, т.е. на единицу от найденной выше.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Добавить комментарий