Как найти радиус траектории движения частиц

Пусть в однородном магнитном поле, индукция которого , движется частица со скоростью , направленной перпендикулярно линиям индукции. Масса частицы m и заряд q. Так как сила Лоренца  перпендикулярна скорости  движения частицы (см. рис. 170), то эта сила изменяет только направление скорости, сообщая частице центростремительное ускорение, модуль которого согласно второму закону Ньютона:

В результате частица движется по окружности, радиус которой можно определить из формулы :

Период Т обращения частицы, движущейся по окружности в однородном магнитном поле:

(30.2)

Как следует из выражения (30.2), период обращения частицы не зависит от модуля скорости её движения и радиуса траектории, а определяется только модулем заряда частицы, её массой и значением индукции магнитного поля.

От теории к практике

В однородном магнитном поле, модуль индукции которого В = 4,0 мТл, перпендикулярно линиям индукции поля движется электрон. Чему равен модуль ускорения электрона, если модуль скорости его движения ? Масса и модуль заряда электрона m_е = 9,1 · 10^–31 кг и е = 1,6 · 10^–19 Кл соответственно.

Подобное явление происходит в магнитном поле Земли, которое является защитой для всего живого от потоков заряженных частиц из космического пространства. Движущиеся с огромными скоростями заряженные частицы из космоса захватываются магнитным полем Земли и образуют так называемые радиационные пояса (рис. 170.2), в которых частицы перемещаются по винтообразным траекториям между северным и южным магнитными полюсами туда и обратно за промежуток времени порядка долей секунды. Лишь в полярных областях некоторая часть частиц вторгается в верхние слои атмосферы, вызывая полярные сияния (рис. 170.3).

Если заряженная частица в момент возникновения внешнего электрического поля покоилась, то , где U — напряжение между точками, в которых находилась частица в моменты возникновения внешнего электрического поля и выхода из него, q — модуль заряда частицы. Поэтому модуль скорости частицы при выходе из электрического поля:

Если после этого частица попадает в однородное магнитное поле, индукция которого перпендикулярна направлению её скорости, то радиус окружности, по дуге которой будет двигаться частица, , откуда

Величину называют удельным зарядом частицы. Поэтому если опытным путём определить радиус траектории движения частицы в магнитном поле, то, зная индукцию магнитного поля и ускоряющее напряжение электрического поля, можно рассчитать удельный заряд частицы. Этот метод используют при конструировании приборов, которые называют масс–спектрометрами.

Интересно знать

Поскольку сила Лоренца направлена под углом 90° к скорости движения заряженной частицы в каждой точке траектории (рис. 171), то работа этой силы при движении заряженной частицы в магнитном поле равна нулю. Поэтому кинетическая энергия частицы, движущейся в стационарном (не изменяющемся во времени) магнитном поле, не изменяется, т. е. стационарное магнитное поле нельзя использовать для ускорения заряженных частиц.

Увеличение кинетической энергии частицы, т. е. её разгон, возможно под действием электрического поля (в этом случае изменение кинетической энергии частицы равно работе силы поля). Поэтому в современных ускорителях (рис. 172) заряженных частиц электрическое поле используют для ускорения, а магнитное — для «формирования» траектории движения заряженных частиц.

1. Как определить модуль силы, действующей со стороны магнитного поля на движущуюся в нём заряженную частицу?

2. Как определяют направление силы Лоренца?

3. Заряженная частица движется в однородном магнитном поле со скоростью, направленной перпендикулярно линиям индукции. По какой траектории движется частица?

4. От чего зависит период обращения заряженной частицы в однородном магнитном поле?

5. Почему сила Лоренца изменяет направление скорости движения частицы, но не влияет на её модуль?

6. На рисунке 172.1 представлены траектории движения двух частиц, имеющих одинаковые заряды. Частицы влетают в однородное магнитное поле из одной точки А с одинаковыми скоростями. Определите знак заряда частиц. Объясните причину несовпадения траекторий их движения.

Выражение для силы
Лоренца позволяет найти закономерности
движения заряженных частиц в магнитном
поле.

1. Пусть
   заряженная частица движется со скоростью

   вдоль линий магнитной индукции (

   параллелен

   ,

   ).
   Поскольку сила Лоренца в этом случае
   не действует, то частица будет двигаться
   равномерно и прямолинейно.

2. Пусть
   заряженная частица движется в магнитном
   поле со скоростью

   ,
   направленной перпендикулярно линиям
   магнитной индукции (
   ,

   ).
   В однородном магнитном поле сила Лоренца
   будет постоянна по модулю
   

   и нормальна к траектории частицы (рис.
   21.11.1). В этом случае сила Лоренца будет
   выполнять роль центростремительной
   силы и частица будет равномерно двигаться
   по окружности. Радиус
   траектории
   движения частицы массой т
   можно найти по

второму
закону Ньютона:

,

,
откуда

.
(21.11.1)

Период
обращения
частицы не зависит от энергии (скорости)
частицы:

.
(21.11.2)

Круговая
частота
вращения (циклотронная
частота)
частицы:

.
(21.11.3)

Таким
образом, период и частота обращения
зависят только от параметров самой
частицы и индукции магнитного поля. Это
обстоятельство используют для устройства
циклических ускорителей
заряженных частиц.

П
ример
21.11.1. Заряженная частица, обладающая
скоростью

,
влетела в однородное магнитное поле с
индукцией

.
Найти удельный заряд частицы (отношение
заряда к массе частицы), если частица
описала в поле дугу окружности радиусом

.
По величине удельного заряда определить,
какая это частица.

Дано:

,

,

.

Р

ешение.

Частица
движется по окружности, следовательно,
ее скорость направлена перпендикулярно
силовым линиям магнитного поля

.

С
ила
Лоренца, действующая на частицу, постоянна
по модулю и выполняет роль центростремительной
силы:

,
откуда

.

Ответ:


(протон или антипротон).

Пример 21.11.2.
Заряженная частица, двигаясь в
магнитном поле по дуге окружности
радиусом

,
прошла через вольфрамовую пластину,
расположенную на пути частицы. Вследствие
потери энергии частицей радиус кривизны
траектории изменился и стал равным

.
Определить относительное уменьшение
энергии частицы

Р Дано: , . Ешение.

Ч
астица
движется по окружности, следовательно,
ее скорость направлена перпендикулярно
силовым линиям магнитного поля. Сила
Лоренца постоянна по модулю и выполняет
роль центростремительной силы:

.

Скорость частицы
равна

,
а кинетическая энергия

.
Следовательно, кинетическая энергия
частицы до прохождения вольфрамовой
пластины

,
после прохождения

.
Уменьшение энергии частицы

Относительное
уменьшение энергии

.

О
твет:


.

1. Пусть
   заряженная частица влетает под углом

   

   к силовым линиям индукции

   однородного
   магнитного поля со скоростью

   (рис. 21.11.2). Скорость частицы удобно
   разложить на составляющие и представить
   движение в виде суперпозиции двух
   движений: равномерного прямолинейного
   вдоль поля со скоростью
   

   и равномерного по окружности (в плоскости,
   перпендикулярной к полю) со скоростью
   
   .
   В результате одновременного участия
   в этих движениях, частица будет двигаться
   по сложной траектории, представляющей
   собой винтовую линию.

Р
адиус
винтовой линии
находим из условия

,
откуда

.
(21.11.4)

Период обращения:

.
(21.11.5)

Шаг
винтовой линии
(путь, пройденный частицей вдоль поля
за время, которое понадобится частице,
чтобы совершить один полный оборот)
равен

.
(21.11.6)

П
ример
21.11.3. Электрон движется в однородном
магнитном поле с индукцией

по винтовой линии. Определить скорость
электрона, если радиус винтовой линии

,
а шаг

.

Дано:

,

,

.

Р

ешение.

Т
ак
как частица движется по винтовой линии,
то она влетела в магнитное поле под
углом

к линиям магнитной индукции.

Шаг винтовой
линии

,
откуда

.

Радиус
винтовой линии

,
откуда

.
Так как

,
то

и

.

О
твет:

.

1. П
   усть
   заряженная частица движется в неоднородном
   магнитном поле, которое наблюдается,
   например, у полюсов Земли. Силовые линии
   поля сгущаются (рис.
   21.11.3)
   при приближении к полюсу. Состав-ляющая
   скорости частицы, направленная вдоль
   поля, непрерывно уменьшается вплоть
   до нуля. В этой точке происходит поворот
   частицы и движение продолжается как
   бы вспять. Траекторией движения частицы
   является спираль. В этом случае
   наблюдается большие ускорения частицы
   (радиус спирали уменьшается по мере
   приближения к точке поворота, а ускорение
   растет). Движущиеся с большим ускорением
   заряженные частицы излучают в видимом
   диапазоне. Это приводит к появлению
   северных сияний, характерных для
   полярных областей, где происходит
   сгущение силовых линий магнитного поля
   Земли. Частицы, испускаемые Солнцем,
   попадают у полюсов Земли в так называемую
   магнитныю ловушку, двигаются в ней по
   спирали, в результате чего выделяется
   энергия в виде электромагнитного
   излучения видимого диапазона.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

как найти радиус движения заряженной частицы в магнитном поле?

Масяня Sun

Ученик

(224),
закрыт

9 лет назад

в формулах есть непонятные буковки о характеристиках магнитного поля, их тоже поясните, т. к. я школьник и это для меня очень сложно.

Радиуса движения заряженной частицы в магнитном поле

Как известно, электрическое поле принято характеризовать величиной силы, с которой оно действует на пробный единичный электрический заряд. Магнитное поле традиционно характеризуют силой, с которой оно действует на проводник с «единичным» током. Однако при его протекании происходит упорядоченное движение заряженных частиц в магнитном поле. Поэтому мы можем определить магнитное поле B в какой-то точке пространства с точки зрения магнитной силы F_B, которую поле оказывает на частицу при ее движении в нем со скоростью v.

Общие свойства магнитной силы

Эксперименты, в которых наблюдалось движение заряженных частиц в магнитном поле, дают такие результаты:

• Величина F_B магнитной силы, действующей на частицу пропорциональна заряду q и скорости v частицы.
• Если движение заряженной частицы в магнитном поле происходит параллельно вектору этого поля, то сила, действующая на нее, равна нулю.
• Когда вектор скорости частицы составляет любой Угол θ ≠ 0 с магнитным полем, то сила действует в направлении, перпендикулярном к v и B; то есть, F_B перпендикулярна плоскости, образованной v и B (см.рис. ниже).
• Величина и направление F_B зависит от скорости частицы и от величины и направления магнитного поля B.
• Направление силы, действующей на положительный заряд, противоположно направлению такой же силы, действующей на отрицательный заряд, движущийся в ту же сторону.
• Величина магнитной силы, действующей на движущуюся частицу, пропорциональна sinθ угла θ между векторами v и B.

Сила Лоренца

Мы можем суммировать вышеперечисленные наблюдения путем записи магнитной силы в виде F_B = qv х B.

Когда происходит движение заряженной частицы в магнитном поле, сила Лоренца F_B при положительном q направлена вдоль векторного произведения v x B. Оно по определению перпендикулярно как v, так и B. Считаем это уравнение рабочим определением магнитного поля в некоторой точке в пространстве. То есть оно определяется в терминах силы, действующей на частицу при ее движении. Таким образом, движение заряженной частицы в магнитном поле кратко можно определить как перемещение под действием этой силы.

Заряд, движущийся со скоростью v в присутствии как электрического поля E, так и магнитного B, испытывает действие как электрической силы qE, так и магнитной qv х В. Полное приложенное к нему воздействие равно F_Л = qE + qv х В. Его принято называть так: полная сила Лоренца.

Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле

Рассмотрим теперь частный случай положительно заряженной частицы, движущейся в однородном поле, с начальным вектором скорости, перпендикулярным ему. Предположим, что вектор B поля направлен за страницу. Рисунок ниже показывает, что частица движется по кругу в плоскости, перпендикулярной к B.

Движение заряженной частицы в магнитном поле по окружности происходит потому, что магнитная сила F_B направлена под прямым углом к v и B и имеет постоянную величину qvB. Поскольку сила отклоняет частицы, направления v и F_B изменяются непрерывно, как показано на рисунке. Так как F_B всегда направлена к центру окружности, она изменяет только направление v, а не ее величину. Как показано на рисунке, движение положительно заряженной частицы в магнитном поле происходит против часовой стрелки. Если q будет отрицательным, то вращение произойдет по часовой стрелке.

Динамика кругового движения частицы

Какие же параметры характеризуют вышеописанное движение заряженной частицы в магнитном поле? Формулы для их определения мы можем получить, если возьмем предыдущее уравнение и приравняем F_B центробежной силе, требуемой для сохранения круговой траектории движения:

То есть радиус окружности пропорционален импульсу mv частицы и обратно пропорционален величине ее заряда и величине магнитного поля. Угловая скорость частицы

Период, с которым происходит движение заряженной частицы в магнитном поле по кругу, равен длине окружности, разделенной на ее линейную скорость:

Эти результаты показывают, что угловая скорость частицы и период кругового движения не зависит от линейной скорости или от радиуса орбиты. Угловую скорость ω часто называют циклотронной частотой (круговой), потому что заряженные частицы циркулируют с ней в типе ускорителя под названием циклотрон.

Движение частицы под углом к вектору магнитного поля

Если вектор v скорости частицы образует некоторый произвольный угол по отношению к вектору B, то ее траектория является винтовой линией. Например, если однородное поле будет направлено вдоль оси х, как показано на рисунке ниже, то не существует никакой компоненты магнитной силы F_B в этом направлении. В результате составляющая ускорения a_x= 0, и х-составляющая скорости движения частицы является постоянной. Однако магнитная сила F_B = qv х В вызывает изменение во времени компонентов скорости v_y и v_z. В результате имеет место движение заряженной частицы в магнитном поле по винтовой линии, ось которой параллельна магнитному полю. Проекция траектории на плоскости yz (если смотреть вдоль оси х) представляет собой круг. Проекции ее на плоскости ху и xz являются синусоидами! Уравнения движения остаются такими же, как и при круговой траектории, при условии, что v заменяется на ν_⊥ = √(ν_у² + ν_z²).

Неоднородное магнитное поле: как в нем движутся частицы

Движение заряженной частицы в магнитном поле, являющемся неоднородным, происходит по сложным траекториям. Так, в поле, величина которого усиливается по краям области его существования и ослабляется в ее середине, как, например, показано на рисунке ниже, частица может колебаться вперед и назад между конечными точками.

Заряженная частица стартует с одного конца винтовой линии, накрученной вдоль силовых линий, и движется вдоль нее, пока не достигнет другого конца, где она поворачивает свой ​​путь обратно. Эта конфигурация известна как “магнитная бутылка”, поскольку заряженные частицы могут быть захвачены в нее. Она была использована, чтобы ограничить плазму, газ, состоящий из ионов и электронов. Такая схема плазменного заключения может выполнять ключевую роль в контроле ядерного синтеза, процессе, который представит нам почти бесконечный источник энергии. К сожалению, “магнитная бутылка” имеет свои проблемы. Если в ловушке большое число частиц, столкновения между ними вызывают утечку их из системы.

Как Земля влияет на движение космических частиц

Околоземные пояса Ван Аллена состоят из заряженных частиц (в основном электронов и протонов), окружающих Землю в форме тороидальных областей (см. рис. ниже). Движение заряженной частицы в магнитном поле Земли происходит по по спирали вокруг силовых линий от полюса до полюса, покрывая это расстояние в несколько секунд. Эти частицы идут в основном от Солнца, но некоторые приходят от звезд и других небесных объектов. По этой причине они называются космическими лучами. Большинство их отклоняется магнитным полем Земли и никогда не достигает атмосферы. Тем не менее, некоторые из частиц попадают в ловушку, именно они составляют пояса Ван Аллена. Когда они находятся над полюсами, иногда происходят столкновения их с атомами в атмосфере, в результате чего последние излучают видимый свет. Так возникают красивые Полярные сияния в Северном и Южном полушариях. Они, как правило, происходят в полярных регионах, потому что именно здесь пояса Ван Аллена расположены ближе всего к поверхности Земли.

Иногда, однако, солнечная активность вызывает большее число заряженных частиц, входящих в эти пояса, и значительно искажает нормальные силовые линии магнитного поля, связанные с Землей. В этих ситуациях полярное сияние можно иногда увидеть в более низких широтах.

Селектор скоростей

Во многих экспериментах, в которых происходит движение заряженных частиц в однородном магнитном поле, важно, чтобы все частицы двигались с практически одинаковой скоростью. Это может быть достигнуто путем применения комбинации электрического поля и магнитного поля, ориентированного так, как показано на рисунке ниже. Однородное электрическое поле направлено вертикально вниз (в плоскости страницы), а такое же магнитное поле приложено в направлении, перпендикулярном к электрическому (за страницу).

Для положительного q магнитная сила F_B=qv х В направлена вверх, а электрическая сила qE – вниз. Когда величины двух полей выбраны так, что qE = qvB, то частица движется по прямой горизонтальной линии через область поля. Из выражения qE = qvB мы находим, что только частицы, имеющие скорость v=E/B, проходят без отклонения через взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля. Сила F_B, действующая на частицы, движущиеся со скоростью большей, чем v=E/B, оказывается больше электрической, и они отклоняются вверх. Те же из них, которые движутся с меньшей скоростью, отклоняются вниз.

Масс-спектрометр

Этот прибор разделяет ионы в соответствии с соотношением их массы к заряду. По одной из версий этого устройства, известного как масс-спектрометр Бэйнбриджа, пучок ионов проходит сначала через селектор скоростей и затем поступает во второе поле B₀, также однородное и имеющее то же направление, что и поле в селекторе (см. рис. ниже). После входа в него движение заряженной частицы в магнитном поле происходит по полукругу радиуса r перед ударом в фотопластинку Р. Если ионы заряжены положительно, луч отклоняется вверх, как показано на рисунке. Если ионы заряжены отрицательно, луч будет отклоняться вниз. Из выражения для радиуса круговой траектории частицы, мы можем найти отношение m/q

и затем, используя уравнение v=E/B, мы находим, что

Таким образом, мы можем определить m/q путем измерения радиуса кривизны, зная поля величин B, B₀, и E. На практике, так обычно измеряет массы различных изотопов данного иона, поскольку все они несут один заряд q. Таким образом, отношение масс может быть определено, даже если q неизвестно. Разновидность этого метода была использована Дж. Дж. Томсоном (1856-1940) в 1897 году для измерения отношение е/m_е для электронов.

Циклотрон

Он может ускорить заряженные частицы до очень высоких скоростей. И электрические, и магнитные силы играют здесь ключевую роль. Полученные высокоэнергетические частицы используются для бомбардировки атомных ядер, и тем самым производят ядерные реакции, представляющие интерес для исследователей. Ряд больниц использует циклотронное оборудование для получения радиоактивных веществ для диагностики и лечения.

Схематическое изображение циклотрона показан на рис. ниже. Частицы движутся внутри двух полуцилиндрических контейнеров D 1 и D 2, называемых дуантами. Высокочастотная переменная разность потенциалов приложена к дуантам, разделенным зазором, а однородное магнитное поле направлено вдоль оси циклотрона (южный полюс его источника на рис. не показан).

Положительный ион, выпущенный из источника в точке Р вблизи центра устройства в первом дуанте, перемещается по полукруглой траектории (показана пунктирной красной линией на рисунке) и прибывает обратно в щель в момент времени Т / 2, где Т – время одного полного оборота внутри двух дуантов.

Частота приложенной разности потенциалов регулируется таким образом, что полярность дуантов меняется на обратную в тот момент времени, когда ион выходит из одного дуанта. Если приложенная разность потенциалов регулируется таким образом, что в этот момент D₂ получает более низкий электрический потенциал, чем D₁ на величину qΔV, то ион ускоряется в зазоре перед входом в D₂, и его кинетической энергии увеличивается на величину qΔV. Затем он движется вокруг D₂ по полукруглой траектории большего радиуса (потому что его скорость увеличилась).

Через некоторое время T / 2 он снова поступает в зазор между дуантами. К этому моменту полярность дуантов снова изменяется, и иону дается еще один “удар” через зазор. Движение заряженной частицы в магнитном поле по спирали продолжается, так что при каждом проходе одного дуанта ион получает дополнительную кинетическую энергию, равную qΔV. Когда радиус его траектории становится близким к радиусу дуантов, ион покидает систему через выходную щель. Важно отметить, что работа циклотрона основана на том, что Т не зависит от скорости иона и радиуса круговой траектории. Мы можем получить выражение для кинетической энергии иона, когда он выходит из циклотрона в зависимости от радиуса R дуантов. Мы знаем, что скорость кругового движения частицы – ν = qBR /m. Следовательно, ее кинетическая энергия

Когда энергии ионов в циклотрон превышает около 20 МэВ, в игру вступают релятивистские эффекты. Мы отмечаем, что T увеличивается, и что движущиеся ионы не остаются в фазе с приложенной разностью потенциалов. Некоторые ускорители решают эту проблему, изменяя период прикладываемой разности потенциалов, так что она остается в фазе с движущимися ионами.

Эффект Холла

Когда проводник с током помещается в магнитное поле, то дополнительная разность потенциалов создается в направлении, перпендикулярном к направлению тока и магнитного поля. Это явление, впервые наблюдаемое Эдвином Холлом (1855-1938) в 1879 году, известно как эффект Холла. Он всегда наблюдается, когда происходит движение заряженной частицы в магнитном поле. Это приводит к отклонению носителей заряда на одной стороне проводника в результате магнитной силы, которую они испытывают. Эффект Холла дает информацию о знаке носителей заряда и их плотности, он также может быть использован для измерения величины магнитных полей.

Устройство для наблюдения эффекта Холла состоит из плоского проводника с током I в направлении х, как показано на рисунке ниже.

Однородное поле B приложено в направлении у. Если носителями заряда являются электроны, движущиеся вдоль оси х со скоростью дрейфа v_d, то они испытывают направленную вверх (с учетом отрицательного q) магнитную силу F_B = qv_d х B, отклоняются вверх и накапливаются на верхнем краю плоского проводника, в результате чего появляется избыток положительного заряда на нижнем краю. Это накопление заряда на краях увеличивается до тех пор, пока электрическая сила, появившаяся в результате разделения зарядов, не уравновешивает магнитную силу, действующую на носители. Когда это равновесие будет достигнуто, электроны больше не отклоняются вверх. Чувствительный вольтметр или потенциометр, подключенный к верхней и нижней граням проводника, может измерить разность потенциалов, известную как ЭДС Холла.