Как найти радиус в правильном многоугольнике

Как найти радиус в правильном многоугольнике

В публикации представлена формула, с помощью которой можно найти радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, а также приведен пример решения задачи для лучшего понимания представленного материала.

  • Формула расчета радиуса окружности

  • Пример задачи

Формула расчета радиуса окружности

Правильный шестиугольник с описанной вокруг окружностью

На рисунке изображен правильный шестиугольник с описанной вокруг него окружностью, но формула ниже подходит для любого правильного n-угольника.

Формула расчета радиуса описанной около правильного многоугольника окружности

где a – длина стороны.

Примечание: зная радиус описанного круга можно найти сторону равностороннего n-угольника (формула выводится из представленной выше):

Формула расчета стороны правильного многоугольника через радиус описанной окружности

Пример задачи

Дан правильный пятиугольник с длиной стороны 8 см. Вычислите радиус описанной около данной фигуры окружности.

Решение:
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известное нам значение.

Пример нахождения радиуса описанной около правильного многоугольника окружности

Источник

Правильный многоугольник. Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Определение. Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.

Признаки правильного многоугольника

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие:

Все стороны и углы одинаковы:

a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an

α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn

Основные свойства правильного многоугольника

1. Все стороны равны:

a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an

2. Все углы равны:

α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn

3. Центр вписанной окружности Oв совпадает з центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольника O

4. Сумма всех углов n-угольника равна:

180° · (n – 2)

5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:

β1 + β2 + β3 + … + βn-1 + βn = 360°

6. Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:

7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:

8. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O

Правильный n-угольник – формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:

Формулы площади правильного n-угольника

1. Формула площади n-угольника через длину стороны:

2. Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:

3. Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:

Формула периметра правильного многоугольника:

Формула периметра правильного n-угольника:

P = na

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:

Формула угла между сторонами правильного n-угольника:

Изображение правильного треугольника с обозначениями
Рис.3

Правильный треугольник

Формулы правильного треугольника:

1. Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r √3

2. Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности:

a = R√3

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:

5. Формула площади правильного треугольника через длину стороны:

6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 3√3

7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:

8. Угол между сторонами правильного треугольника:

α = 60°

Изображение правильного четырехугольнику с обозначениями
Рис.4

Правильный четырехугольник

Правильный четырехугольнику – квадрат.

Формулы правильного четырехугольника:

1. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r

2. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:

5. Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны:

S = a2

6. Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:

S = 4 r2

7. Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:

S =  2 R2

8. Угол между сторонами правильного четырехугольника:

α = 90°

Правильный шестиугольник

Формулы правильного шестиугольника:

1. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

a = R

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

R = a

5. Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:

6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 2√3

7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

8. Угол между сторонами правильного шестиугольника:

α = 120°

Правильный восьмиугольник

Формулы правильного восьмиугольника:

1. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

a = 2r · (√2 – 1)

2. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

a = R√2 – √2

3. Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

4. Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

5. Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны:

S = a2 2(√2 + 1)

6. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 8(√2 – 1)

7. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

S = R2 2√2

8. Угол между сторонами правильного восьмиугольника:

α = 135°

Источник

Радиус описанной окружности правильного многоугольника, формула

Правильный многоугольник — это многоугольник с равными сторонами и углами. Угол между двумя соседними вершинами правильного n-угольника равен:

[AOB = α = frac{360°}{n}]

Радиус описанной окружности правильного многоугольника
Вписанный многоугольник

Построим треугольник AOB отдельно. Об этом треугольнике мы знаем: он равнобедренный, и бедра этого треугольника это радиусы описанной окружности правильного многоугольника. Также нам известна длина основания a этого треугольника — которое является стороной исходного правильного многоугольника.

Также известен угол между радиусами R — по формуле (1).
Опустим высоту на основание и рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник.
При помощи тригонометрических функций острого угла получим:

[sinBig(frac{360°}{2n}Big) = frac{a}{2R}]

отсюда получим формулу радиуса описанной окружности правильного многоугольника:

[R = frac{a}{2 sin(frac{360°}{2n})}]

(a – сторонa правильного многоугольника; n – число сторон правильного многоугольника; R – радиус описанной окружности правильного многоугольника)

Вычислить, найти радиус описанной окружности правильного многоугольника по формуле (3)

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

 стр. 251
Источник

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность. Центр такой окружности будет находиться на пересечении медиатрис, проведенных перпендикулярно через середины сторон многоугольника. Радиусы окружности, описанной вокруг правильного многоугольника, делят фигуру на n одинаковых равнобедренных треугольников, где n – количество сторон многоугольника, а центральный угол между одинаковыми сторонами треугольников . Проведя высоту в таком треугольнике, получим прямоугольный треугольник, где радиус описанной окружности будет гипотенузой, а высота и половина стороны – катетами. Зная сторону, можем через синус центрального угла узнать радиус описанной вокруг многоугольника окружности:

Источник
Правильный многоугольник
Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник
Тип Многоугольник
Символ Шлефли {displaystyle {n}}
Вид симметрии Диэдрическая группа {displaystyle (mathrm {D} _{5})}
Площадь {displaystyle S={frac {n}{4}} a^{2}operatorname {ctg} {frac {pi }{n}}}
Внутренний угол {displaystyle (n-2)*180^{circ }}
Свойства
выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Пра́вильный многоуго́льник — выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы между смежными сторонами.

Определение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника: если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Связанные определения[править | править код]

  • Центром правильного многоугольника называется его центр масс, совпадающий с центрами его вписанной и описанной окружностей.

Свойства[править | править код]

Координаты[править | править код]

Пусть x_{C} и y_{C} — координаты центра, а R — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, {phi }_{0} — угловая координата первой вершины относительно центра, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:

x_{i}=x_{C}+Rcos left({phi }_{0}+{frac {2pi i}{n}}right)
y_{i}=y_{C}+Rsin left({phi }_{0}+{frac {2pi i}{n}}right)

где i принимает значения от {displaystyle 0} до n-1.

Размеры[править | править код]

Правильный многоугольник, вписанный и описанный около окружности

Пусть R — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

r=Rcos {frac {pi }{n}},

а длина стороны многоугольника равна

a=2Rsin {frac {pi }{n}}=2r{mathop {{mathrm {tg}}}},{frac {pi }{n}}

Площадь[править | править код]

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n и длиной стороны a составляет:

S={frac {n}{4}} a^{2}{mathop {{mathrm {}}}},operatorname {ctg}{frac {pi }{n}}.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, вписанного в окружность радиуса R, составляет:

S={frac {n}{2}}R^{2}sin {frac {2pi }{n}}.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, описанного вокруг окружности радиуса r, составляет:

S=nr^{2}{mathop {{mathrm {tg}}}},{frac {pi }{n}}

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n равна

{displaystyle S={frac {nra}{2}}={frac {1}{2}}Pr},

где r — радиус вписанной окружности многоугольника, a — длина его стороны, а P – его периметр.

Периметр[править | править код]

Если нужно вычислить длину стороны a_n правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности L можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

a_n — длина стороны правильного n-угольника.
{displaystyle a_{n}=sin {Big (}{frac {pi }{n}}{Big )}cdot {frac {L}{pi }}}

Периметр P_{n} равен

P_{n}=a_{n}cdot n

где n — число сторон многоугольника.

Свойства диагоналей правильных многоугольников[править | править код]

  • Максимальное количество диагоналей правильного n-угольника, пересекающихся в одной точке, не являющейся его вершиной или центром, равно:
Существуют лишь три исключения: данное число равно {displaystyle 0} в треугольнике, 2 в шестиугольнике и 4 в двенадцатиугольнике.[3].
При чётном n в центре многоугольника пересекается n/2 диагонали.

Введём функцию {displaystyle delta _{m}(n)}, равную 1 в случае, если n делится на m, и равную {displaystyle 0} в противном случае. Тогда:

  • Количество точек пересечения диагоналей правильного n-угольника равно
{displaystyle {begin{array}{l}C_{n}^{4}+left(-5n^{3}+45n^{2}-70n+24right)/24cdot delta _{2}(n)-(3n/2)cdot delta _{4}(n)+\+left(-45n^{2}+262nright)/6cdot delta _{6}(n)+42ncdot delta _{12}(n)+60ncdot delta _{18}(n)+\+35ncdot delta _{24}(n)-38ncdot delta _{30}(n)-82ncdot delta _{42}(n)-330ncdot delta _{60}(n)-\-144ncdot delta _{84}(n)-96ncdot delta _{90}(n)-144ncdot delta _{120}(n)-96ncdot delta _{210}(n)end{array}}}
Где {displaystyle C_{n}^{4}} – число сочетаний из n по 4[3].
  • Количество частей, на которые правильный n-угольник делят его диагонали, равно
{displaystyle {begin{array}{l}left(n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-42n+24right)/24+\+left(-5n^{3}+42n^{2}-40n-48right)/48cdot delta _{2}(n)-(3n/4)cdot delta _{4}(n)+\+left(-53n^{2}+310nright)/12cdot delta _{6}(n)+(49n/2)cdot delta _{12}(n)+32ncdot delta _{18}(n)+\+19ncdot delta _{24}(n)-36ncdot delta _{30}(n)-50ncdot delta _{42}(n)-190ncdot delta _{60}(n)-\-78ncdot delta _{84}(n)-48ncdot delta _{90}(n)-78ncdot delta _{120}(n)-48ncdot delta _{210}(n)end{array}}}
[3].

Применение[править | править код]

Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников.

Древнегреческие математики (Антифонт, Брисон Гераклейский, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.[4]

История[править | править код]

Построение циркулем и линейкой правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как, соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Евклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для {displaystyle n=3,4,5,6,15}. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2^{m} сторонами (при целом m>1), имея уже построенный многоугольник с числом сторон {displaystyle 2^{m-1}}: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Евклид указывает и второй критерий построимости: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с {displaystyle rcdot s} сторонами. Это достигается построением многоугольника с s сторонами и многоугольника с r сторонами так, чтобы они были вписаны в одну окружность и чтобы одна вершина у них была общей – в таком случае некоторые две вершины этих многоугольников будут являться соседними вершинами rs-угольника. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с {displaystyle 2^{m}cdot 3}, {displaystyle 2^{m}cdot 5} и {displaystyle 2^{m}cdot 3cdot 5} сторонами при любом целом неотрицательном m.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. На сегодняшний день известны следующие простые числа Ферма: {displaystyle 3,5,17,257,65537}. Вопрос о наличии или отсутствии других таких чисел остаётся открытым. Гаусс, в частности, первым смог доказать возможность построения правильного 17-угольника, а под конец жизни завещал выбить его на своём надгробии, однако скульптор отказался выполнять столь сложную работу.[5]

Из результата Гаусса мгновенно следовало, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно {displaystyle 2^{k}{p_{1}}{p_{2}}cdots {p_{s}}}, где {k} — целое неотрицательное число, а {p_{j}} — попарно различные простые числа Ферма. Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году. Итоговая теорема, совмещающая оба результата, называется Теоремой Гаусса-Ванцеля.

Последними результатами в области построения правильных многоугольников являются явные построения 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

См. также[править | править код]

  • Правильный многогранник

Примечания[править | править код]

  1. ↑ МАТВОКС
  2. ↑ treugolniki.ru. Дата обращения: 12 мая 2020. Архивировано 2 июля 2020 года.
  3. ↑ 1 2 3 Bjorn Poonen and Michael Rubinstein “The number of intersection points made by thediagonals of a regular polygon”. Дата обращения: 16 июля 2020. Архивировано 17 июля 2020 года.
  4. ↑ А. В. Жуков. О числе π. — М.: МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.
  5. ↑ Лабуда
Источник

Добавить комментарий