Как найти радиус в правильном пятиугольнике - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Радиус описанной окружности правильного пятиугольника, формула

Радиус описанной окружности правильного пятиугольника

Воспользуемся формулой радиуса описанной окружности правильного многоугольника для расчета радиуса описанной окружности правильного пятиугольника.

[R = frac{a}{2 sin(frac{360°}{10})} = frac{a}{2 sin(36°)} ]

[ R = frac{a}{2 sin(π/5)} ]

(a – сторонa правильного пятиугольника; R – радиус описанной окружности правильного пятиугольника)

Вычислить, найти радиус описанной окружности правильного пятиугольника по формуле (2)

Радиус описанной окружности правильного пятиугольника	стр. 252

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 28 ноября 2020 года; проверки требуют 22 правки.

Иное название этого понятия — «Пентагон»; см. также другие значения.

Пятиугольник
Правильный пятиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	5
Символ Шлефли	{5}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D₅)
Площадь	${displaystyle {frac {t^{2}{sqrt {25+10{sqrt {5}}}}}{4}}=}$ ${displaystyle {frac {5R^{2}}{4}}{sqrt {frac {5+{sqrt {5}}}{2}}};}$
Внутренний угол	108°
Свойства
выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный^[en], изотоксальный
Медиафайлы на Викискладе

Правильный пятиугольник (или пентагон от греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Свойства[править | править код]

У правильного пятиугольника угол равен

$alpha ={frac {(n-2)}{n}}cdot 180^{circ }={frac {3}{5}}cdot 180^{circ }=108^{circ }$

Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:

$S={frac {5}{4}}t^{2}{mathop {{mathrm {ctg}}}},{frac {pi }{5}}={frac {{sqrt 5}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}={frac {5}{12}}Rd={frac {5}{2}}R^{2}sin {frac {2pi }{5}}=5r^{2}{mathop {{mathrm {tg}}}},{frac {pi }{5}}$

где

— радиус описанной окружности,

— радиус вписанной окружности,

— диагональ,

— сторона.

Высота правильного пятиугольника:

${displaystyle h={frac {operatorname {tg} ,72^{circ }}{2}}t={frac {sqrt {5+2{sqrt {5}}}}{2}}tapprox 1{,}5388417685876268t}$

Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу ${frac {1+{sqrt {5}}}{2}}$ .

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

Сторона:

${displaystyle t=R{sqrt {frac {5-{sqrt {5}}}{2}}}approx 1{,}1755705045849463~R}$

Радиус вписанной окружности:

${displaystyle r={frac {{sqrt {5}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{10}}tapprox 0{,}6881909602355869~t}$

Радиус описанной окружности:

${displaystyle R={frac {{sqrt {1}}0{sqrt {5+{sqrt {5}}}}}{10}}tapprox 0{,}85065080835204~t}$

Диагональ:

${displaystyle d={sqrt {Phi {sqrt {5}}}}R={frac {{sqrt {5}}+1}{2}}tapprox 1{,}9021130325903073~Rapprox 1{,}618033988749895~t}$

Площадь:

${displaystyle S={frac {{sqrt {5}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}approx 1{,}7204774005889671~t^{2}}$

Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)

${displaystyle {frac {S}{s}}=Phi ^{4}=3Phi +2={frac {3{sqrt {5}}+7}{2}}approx 6{,}854101966249685}$

где

— отношение золотого сечения.

Построение[править | править код]

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
Постройте точку C посередине между O и B.
Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Построение правильного пятиугольника
Построение правильного пятиугольника
Построение правильного пятиугольника
Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

Получение с помощью полоски бумаги[править | править код]

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

Узел из полоски бумаги, образующий пятиугольник

В природе[править | править код]

В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника, но исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K
показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.^[1]
Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская.
Пентасимметрией обладают иглокожие (например морские звёзды) и некоторые растения. См. также Закономерности в природе.

Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как мушмула германская

Интересные факты[править | править код]

Этот раздел представляет собой неупорядоченный список разнообразных фактов о предмете статьи.

Пожалуйста, приведите информацию в энциклопедический вид и разнесите по соответствующим разделам статьи. Списки предпочтительно основывать на вторичных обобщающих авторитетных источниках, содержащих критерий включения элементов в список. (24 июля 2020)

Здание Министерства обороны США, известное как Пентагон

Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
Правильный пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией правильного пятиячейника (4-симплекса).
Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.

См. также[править | править код]

Золотое сечение
Пятиугольник
Пентаэдр
Пентаграмма
Государственный знак качества СССР

Примечания[править | править код]

↑ A one-dimensional ice structure built from pentagons. Nature Materials. 8 March 2009 Архивная копия от 22 апреля 2009 на Wayback Machine (англ.)

Источник

Где найти формулы для правильного пятиугольника?

Правильный пятиугольник или пентагон (англ. regular pentagon) — это пятиугольник, все стороны и все углы которого равны между собой.

Формулы для правильного пятиугольника:

Величина α внутренних углов правильного пятиугольника (n=5) составляет:
α = (n – 2)/n · 180° = (3/5) · 180° = 108°.
Площадь правильного пятиугольника со стороной a рассчитывается по формуле:
S = (5/4) a² ctg(π/5) = (1/4) √5 √(5 + 2√5) a² ≈ 1,720 a².
Площадь правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса R рассчитывается по формуле:
S = (5/2) R² sin(2π/5) = (5√2/8) √(5 + √5) R² ≈ 2,378 R².
Площадь правильного пятиугольника, описанного вокруг окружности радиуса r рассчитывается по формуле:
S = 5 r² tg(π/5) = 5 √(5 – 2√5) r² ≈ 3,633 r².
Высота правильного пятиугольника со стороной a составляет:
h = (1/2) a tg 72° = (1/2) √(5 + 2√5) a² = 1,539 a.
Отношение диагонали d правильного пятиугольника к его стороне a равно золотому сечению:
d/a = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618.
Радиус r окружности, вписанной в правильный пятиугольник со стороной a составляет:
r = (1/10) √5 √(5 + 2√5) a ≈ 0,688 a.
Радиус R окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника со стороной a составляет:
R = (1/10) √10 √(5 + √5) a ≈ 0,851 a.
Радиус R окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника, можно найти по радиусу r вписанной в него окружности по формуле:
R = (√5 – 1) r ≈ 1,236 r.

Факты о правильном пятиугольнике:

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Впервые это построение описал Евклид в своих «Началах» около 300 года до н.э.
Все диагонали правильного пятиугольника равны между собой. Вместе они образуют пятиконечную звезду, называемую также пентаграммой. Отношение длины диагонали к длине стороны правильного пятиугольника равно золотому сечению.
Правильными пятиугольниками нельзя замостить плоскость без промежутков и наложений. Это наименьший по числу сторон правильный многоугольник, который обладает таким свойством.
Додекаэдр — единственный правильный многогранник, грани которого представляют собой правильные пятиугольники. Правильный пятиугольник — наибольший по числу сторон правильный многоугольник, из которых можно собрать правильный многогранник.
В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника. Однако, при формировании водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K на поверхности сначала возникают цепочки молекул шириной около 1 нм пентагональной структуры.
Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги, а затем сплющив узел.
Пентагоном называют министерство обороны США, поскольку оно размещается в здании, имеющем в плане форму правильного пятиугольника (пентагона).

Источники:

ru.wikipedia.org — Википедия: Правильный пятиугольник
wolframalpha.com — Wolfram|Alpha: regular pentagon (англ. яз.)

Дополнительно на Геноне:

Какой величины углы у правильного треугольника?
Что такое пентаграмма?
Сколько диагоналей у пятиугольника?
Кто такой Евклид?
Почему у здания Пентагона пять углов?

Последнее редактирование ответа: 20.10.2011

Оставить отзыв

Оставить отзыв

Вы можете написать свои замечания к ответу, предложения об улучшении или просто поблагодарить автора. Комментарий, после проверки, увидят автор и редактор ответа. Будьте, пожалуйста, вежливыми. Спасибо!

Если Вы хотите получить уведомление об
исправлении ответа укажите свой e-mail:

Неправильный формат адреса электронной почты

Похожие вопросы

Сколько существует правильных многогранников?
Каково определение правильного многогранника?
Как использовать уровни коррекции Фибоначчи?
Где найти развертки правильных многогранников?
Что такое правильный многогранник?
Под каким углом пересекаются диагонали октаэдра?
Что такое диагональ?
Какой угол между диагоналями куба?
Сколько диагоналей у 12-угольника, 24-угольника?
Сколько диагоналей у многоугольника?

В соответствии с пользовательским соглашением администрация не несет ответственности за содержание материалов, которые размещают пользователи. Для урегулирования спорных вопросов и претензий Вы можете связаться с администрацией сайта genon.ru.
Размещенные на сайте материалы могут содержать информацию, предназначенную для пользователей старше 18 лет, согласно Федерального закона №436-ФЗ от 29.12.2010 года “О защите детей от информации, причиняющей вред их здоровью и развитию”. Обращение к пользователям 18+.

Источник

По теореме о сумме углов выпуклого многоугольника, сумма углов правильного пятиугольника равна 180º(5-2)=540º.

Так как все углы правильного n-угольника равны между собой, каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен 540º:5=108º (в частности, ∠A₂A₁A₅=108º).

Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º. Поскольку все внешние углы правильного пятиугольника равны между собой, градусная мера каждого, например, угла 1, равна

∠1=360º:5=72º (можно было внешний угол искать как смежный с внутренним).

Каждый центральный угол правильного пятиугольника, например, угол A₁O A₂, равен

∠A₁O A₂=360º:5=72º.

Как и любой другой правильный многоугольник, правильный пятиугольник вписан в окружность и описан около окружности.

Соединив центр правильного многоугольника с его вершинами, получим пять равных равнобедренных треугольников.

Основанием каждого такого треугольника равно стороне 5-угольника, боковые стороны равны радиусу описанной окружности, угол при вершине — центральному углу 5-угольника.

В треугольнике A₁OA₅

$[{A_1}{A_5} = a,]$

$[{A_1}O = {A_5}O = R,]$

$[angle {A_1}O{A_5} = {72^o}.]$

Проведём из вершины высоту OF.

По свойству равнобедренного треугольника, OF является также медианой и биссектрисой треугольника A₁OA₅, то есть

$[{A_1}F = frac{1}{2}{A_1}{A_5} = frac{a}{2},]$

$[angle {A_1}OF = frac{1}{2}angle {A_1}O{A_2} = {36^o}.]$

OF — радиус вписанной в A₁A₂A₃A₄A₅окружности: OF=r.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁OF.

По определению синуса,

$[sin angle {A_1}OF = frac{{{A_1}F}}{{{A_1}O}},]$

откуда

$[{A_1}O = frac{{{A_1}F}}{{sin angle {A_1}OF}},]$

$[R = frac{{frac{a}{2}}}{{sin {{36}^o}}} = frac{a}{{2sin {{36}^o}}}.]$

Так как

$[sin {36^o} = sqrt {frac{{5 - sqrt 5 }}{8}} ,]$

то

$[R = frac{a}{{2sqrt {frac{{5 - sqrt 5 }}{8}} }} = frac{{asqrt 8 }}{{2sqrt {5 - sqrt 5 } }} = frac{{a cdot 2sqrt 2 }}{{2sqrt {5 - sqrt 5 } }} = ]$

$[ = frac{{asqrt 2 }}{{sqrt {5 - sqrt 5 } }} = frac{{asqrt 2 cdot sqrt {5 + sqrt 5 } }}{{sqrt {5 - sqrt 5 } cdot sqrt {5 + sqrt 5 } }} = frac{{asqrt 2 cdot sqrt {5 + sqrt 5 } }}{{sqrt {{5^2} - {{(sqrt 5 )}^2}} }} = ]$

$[ = frac{{asqrt 2 cdot sqrt {5 + sqrt 5 } }}{{sqrt {20} }} = frac{{asqrt 2 cdot sqrt {5 + sqrt 5 } }}{{2sqrt 5 }} = ]$

$[ = frac{{asqrt 2 cdotsqrt {5 + sqrt 5 } cdotsqrt 5 }}{{2sqrt 5 cdotsqrt 5 }} = frac{{asqrt {50 + 10sqrt 5 } }}{{10}}.]$

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного пятиугольника окружности —

$[R = frac{{asqrt {50 + 10sqrt 5 } }}{{10}}.]$

По определению котангенса,

$[ctgangle {A_1}OF = frac{{OF}}{{{A_1}F}},]$

$[OF = {A_1}F cdot {rm{ctg}}angle {A_1}OF = frac{a}{2} cdot {rm{ctg}}{36^o}.]$

Подставив значение котангенса 36°, получаем:

$[OF = frac{a}{2}cdotfrac{{sqrt {25 + 10sqrt 5 } }}{5}.]$

Итак, формула радиуса вписанной в правильный пятиугольник окружности

$[r = frac{{asqrt {25 + 10sqrt 5 } }}{{10}}.]$

Применив формулу

можно найти площадь правильного пятиугольника. Здесь

$[p = frac{{5a}}{2},r = frac{{asqrt {25 + 10sqrt 5 } }}{{10}},]$

следовательно, формула для нахождения площади A₁A₂A₃A₄A₅

$[S = frac{{5a}}{2}cdotfrac{{asqrt {25 + 10sqrt 5 } }}{{10}} = frac{{{a^2}sqrt {25 + 10sqrt 5 } }}{4}.]$

Все диагонали правильного пятиугольника равны.

Длина диагонали равна

$[d = frac{{a(sqrt 5 + 1)}}{2}.]$

Источник

Как найти радиус окружности

Лайфхакер собрал девять способов, которые помогут справиться с геометрическими задачами.

Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.

Через площадь круга

Разделите площадь круга на число пи.
Найдите корень из результата.

Иллюстрация: Лайфхакер

R — искомый радиус окружности.
S — площадь круга. Напомним, кругом называют плоскость внутри окружности.
π (пи) — константа, равная 3,14.

Через длину окружности

Умножьте число пи на два.
Разделите длину окружности на результат.

Иллюстрация: Лайфхакер

R — искомый радиус окружности.
P — длина окружности (периметр круга).
π (пи) — константа, равная 3,14.

Через диаметр окружности

Если вы вдруг забыли, радиус равняется половине диаметра. Поэтому, если диаметр известен, просто разделите его на два.

Иллюстрация: Лайфхакер

R — искомый радиус окружности.
D — диаметр.

Через диагональ вписанного прямоугольника

Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, в которую он вписан. А диаметр, как мы уже вспомнили, в два раза больше радиуса. Поэтому достаточно разделить диагональ на два.

Иллюстрация: Лайфхакер

R — искомый радиус окружности.
d — диагональ вписанного прямоугольника. Напомним, она делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Поэтому, если диагональ неизвестна, её можно найти через соседние стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора.
a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Через сторону описанного квадрата

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности. А диаметр — повторимся — равен двум радиусам. Поэтому разделите сторону квадрата на два.

Иллюстрация: Лайфхакер

r — искомый радиус окружности.
a — сторона описанного квадрата.

Через стороны и площадь вписанного треугольника

Перемножьте три стороны треугольника.
Разделите результат на четыре площади треугольника.

Иллюстрация: Лайфхакер

R — искомый радиус окружности.
a, b, с — стороны вписанного треугольника.
S — площадь треугольника.

Через площадь и полупериметр описанного треугольника

Разделите площадь описанного треугольника на его полупериметр.

Иллюстрация: Лайфхакер

r — искомый радиус окружности.
S — площадь треугольника.
p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Через площадь сектора и его центральный угол

Умножьте площадь сектора на 360 градусов.
Разделите результат на произведение пи и центрального угла.
Найдите корень из полученного числа.

Иллюстрация: Лайфхакер

R — искомый радиус окружности.
S — площадь сектора круга.
α — центральный угол.
π (пи) — константа, равная 3,14.

Через сторону вписанного правильного многоугольника

Разделите 180 градусов на количество сторон многоугольника.
Найдите синус полученного числа.
Умножьте результат на два.
Разделите сторону многоугольника на результат всех предыдущих действий.

Иллюстрация: Лайфхакер

R — искомый радиус окружности.
a — сторона правильного многоугольника. Напомним, в правильном многоугольнике все стороны равны.
N — количество сторон многоугольника. К примеру, если в задаче фигурирует пятиугольник, как на изображении выше, N будет равняться 5.

Читайте также 📐✂️📌

Как найти периметр прямоугольника
Как научить ребёнка считать играючи
Как перевести обычную дробь в десятичную
6 способов посчитать проценты от суммы с калькулятором и без
9 логических задач, которые по зубам только настоящим интеллектуалам

Источник

Радиус описанной окружности правильного пятиугольника, формула

Вычислить, найти радиус описанной окружности правильного пятиугольника по формуле (2)

Радиус описанной окружности правильного пятиугольника

Свойства[править | править код]

Построение[править | править код]

Получение с помощью полоски бумаги[править | править код]

В природе[править | править код]

Интересные факты[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Где найти формулы для правильного пятиугольника?

Оставить отзыв

<img loading="lazy" decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://www.genon.ru/img/pohozhie-voprosy.png" width="19" height="19" alt />Похожие вопросы

Как найти радиус окружности

Через площадь круга

Через длину окружности

Через диаметр окружности

Через диагональ вписанного прямоугольника

Через сторону описанного квадрата

Через стороны и площадь вписанного треугольника

Через площадь и полупериметр описанного треугольника

Через площадь сектора и его центральный угол

Через сторону вписанного правильного многоугольника

Вам также может понравиться

Как исправить рсв если ошибка в индивидуальных сведениях

Ребенок бьет собаку как исправить его поведение

Как найти максимальную длину волны излучения

Добавить комментарий Отменить ответ

Похожие вопросы