Как найти радиус векторы точек - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.

Определение 1

Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.

Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач

Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается Oxy, где Ox и Oy – оси коорднат. Ось Ox называют осью абсцисс, а ось Oy – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось Oz, которая перпендикулярна и Ox и Oy).

Пример 1

Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат Oxy на плоскости если мы отложим от начала координат векторы i→ и j→ , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей Ox и Oy , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае i→ и j→ являются координатными векторами.

Координатные векторы

Определение 2

Векторы i→ и j→ называются координатными векторами для заданной системы координат.

Пример 2

Откладываем от начала координат произвольный вектор a→ . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор a→ может быть представлен в виде a→=ax·i→+ay·j→ , где коэффициенты ax и ay – единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.

Разложение вектора

Определение 3

Разложением вектора a→ по координатным векторам i→ и j→ на плоскости называется представление вида a→=ax·i→+ay·j→.

Определение 4

Коэффициенты ax и ay называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись a→=(2;-3) означает, что вектор a→ имеет координаты (2;-3) в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам i→ и j→ какa→=2·i→-3·j→.

Замечание

Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы i→ и j→ имеют координаты (1;0) и (0;1) соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений i→=1·i→+0·j→; j→=0·i→+1·j→.

Также имеет место быть нулевой вектор 0→ с координатами (0;0) и разложением 0→=0·i→+0·j→.

Равные и противоположные векторы

Определение 5

Векторыa→иb→равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

Определение 6

Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, -a→=(-ax;-ay).

Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов i→,j→,k→, а произвольный вектор a→ раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид a→=ax·i→+ay·j→+az·k→, а коэффициенты этого разложения (ax;ay;az) называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.

Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты i→=(1;0;0) , j→=(0;1;0), k→=(0;0;1), координаты нулевого вектора также равны нулю 0→=(0;0;0) , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равныa→=b→⇔ax=bx, ay=by, az=bz , и координаты противоположного вектора a→ противоположны соответствующим координатам вектора a→ , то есть,-a→=(-ax;-ay; -az) .

Координаты радиус-вектора точки

Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.

Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат Oxy и на ней задана произвольная точка M с координатами M(xM;yM).

Определение 7

Вектор OM→ называется радиус-вектором точки M.

Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

Вектор OM→ имеет вид суммы OM→=OMx→+OMy→=xM·i→+yM·j→, где точки Mx и My это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а i→ и j→ – координатные векторы, следовательно, вектор OM→ имеет координаты (xM;yM) в данной системе координат.

Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки M(xM;yM;zM) разлагается по координатным векторам как OM→=OMx→+OMy→+OMz→=xM·i→+yM·j→+zM·k→, следовательно, OM→=(xM;yM;zM).

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Ра́диус-ве́ктор (обозначается буквой со стрелкой: или набираемой жирным шрифтом: ) — вектор, задающий положение точки в пространстве (например, евклидовом) относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат. Понятие используется в математике (геометрии) и физике.

Радиус-вектор в геометрии[править | править код]

Для произвольной точки в пространстве радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.

Длина, или модуль радиус-вектора — расстояние, на котором точка находится от начала координат, стрелка вектора — указывает направление на эту точку пространства.

На плоскости углом радиус-вектора называется угол, на который радиус-вектор повёрнут относительно оси абсцисс в направлении против часовой стрелки.

Запись в различных системах координат[править | править код]

Двумерное пространство[править | править код]

Трёхмерное пространство[править | править код]

n-мерное пространство[править | править код]

Декартовы координаты: ${displaystyle quad {vec {r}}=x_{1}{vec {e}}_{1}+x_{2}{vec {e}}_{2}+...+x_{n}{vec {e}}_{n}}$

Радиус-вектор в кинематике[править | править код]

В кинематике изменение радиус-вектора со временем, то есть функция , определяет движение материальной точки. Если указанная функция известна, на её основе могут быть вычислены скорость и ускорение:

${displaystyle {vec {v}}(t)={frac {{mbox{d}}{vec {r}}(t)}{{mbox{d}}t}}={dot {vec {r}}}(t)}$

${displaystyle {vec {a}}(t)={frac {{mbox{d}}^{2}{vec {r}}(t)}{{mbox{d}}t^{2}}}={ddot {vec {r}}}(t)}$

где точка сверху обозначает дифференцирование по времени, а две точки — двукратное дифференцирование.

В таком виде запись применима к системе координат любого типа. Но переход к трём координатам декартовой, цилиндрической и сферической систем осуществляется по-разному. Например, если для декартовых координат ${displaystyle {vec {v}}={dot {x}}{vec {e}}_{x}+{dot {y}}{vec {e}}_{y}+{dot {z}}{vec {e}}_{z}}$ , то для цилиндрической системы имеем не
${displaystyle {vec {v}}={dot {rho }}{vec {e}}_{rho }+{dot {varphi }}{vec {e}}_{varphi }+{dot {z}}{vec {e}}_{z}}$ , а выражение: ${displaystyle {vec {v}}={dot {rho }}{vec {e}}_{rho }+rho {dot {varphi }}{vec {e}}_{varphi }+{dot {z}}{vec {e}}_{z}}$ ; ускорение в последнем случае: ${displaystyle {vec {a}}=({ddot {rho }}-rho {dot {varphi }}^{2}){vec {e}}_{rho }+(2{dot {rho }}{dot {varphi }}+rho {ddot {varphi }}){vec {e}}_{varphi }+{ddot {z}}{vec {e}}_{z}}$ .

Источник

Что такое радиус-вектор

Радиус-вектор – это вектор, начало которого совпадает с точкой (0 ; 0) — началом координат.

Почему радиус-вектор так называют

Если начертить окружность с центром в точке (0 ; 0), этот вектор станет её радиусом.

Любой вектор можно превратить в радиус-вектор. Для этого сдвигаем его так, чтобы начало этого вектора совместить с точкой (0 ; 0).

При этом, помним: перемещать вектор можно, а поворачивать его нельзя!

Чем радиус-вектор удобен для использования

Чтобы найти координаты вектора, нужно найти разности соответственных координат точек, расположенных в конце и начале вектора.

Для радиус-вектора вычислять координаты не нужно. Можно воспользоваться правилом:

Координаты радиус-вектора — это координаты его конечной точки.

Сравните координаты конечной точки и координаты вектора на рисунке 2.

Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК)

Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается O x y , где O x и O y – оси коорднат. Ось O x называют осью абсцисс, а ось O y – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось O z , которая перпендикулярна и O x и O y ).

Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат O x y на плоскости если мы отложим от начала координат векторы i → и j → , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей O x и O y , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае i → и j → являются координатными векторами.

Координатные векторы

Векторы i → и j → называются координатными векторами для заданной системы координат.

Откладываем от начала координат произвольный вектор a → . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор a → может быть представлен в виде a → = a x · i → + a y · j → , где коэффициенты a x и a y – единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.

Разложение вектора

Разложением вектора a → по координатным векторам i → и j → на плоскости называется представление вида a → = a x · i → + a y · j → .

Коэффициенты a x и a y называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись a → = ( 2 ; – 3 ) означает, что вектор a → имеет координаты ( 2 ; – 3 ) в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам i → и j → как a → = 2 · i → – 3 · j → .

Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы i → и j → имеют координаты ( 1 ; 0 ) и ( 0 ; 1 ) соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений i → = 1 · i → + 0 · j → ; j → = 0 · i → + 1 · j → .

Также имеет место быть нулевой вектор 0 → с координатами ( 0 ; 0 ) и разложением 0 → = 0 · i → + 0 · j → .

Равные и противоположные векторы

Векторы a → и b → равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, – a → = ( – a x ; – a y ) .

Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов i → , j → , k → , а произвольный вектор a → раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид a → = a x · i → + a y · j → + a z · k → , а коэффициенты этого разложения ( a x ; a y ; a z ) называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.

Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты i → = ( 1 ; 0 ; 0 ) , j → = ( 0 ; 1 ; 0 ) , k → = ( 0 ; 0 ; 1 ) , координаты нулевого вектора также равны нулю 0 → = ( 0 ; 0 ; 0 ) , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равны a → = b → ⇔ a x = b x , a y = b y , a z = b z , и координаты противоположного вектора a → противоположны соответствующим координатам вектора a → , то есть, – a → = ( – a x ; – a y ; – a z ) .

Координаты радиус-вектора точки

Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат O x y и на ней задана произвольная точка M с координатами M ( x M ; y M ) .

Вектор O M → называется радиус-вектором точки M .

Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

Вектор O M → имеет вид суммы O M → = O M x → + O M y → = x M · i → + y M · j → , где точки M x и M y это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а i → и j → – координатные векторы, следовательно, вектор O M → имеет координаты ( x M ; y M ) в данной системе координат.

Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки M ( x M ; y M ; z M ) разлагается по координатным векторам как O M → = O M x → + O M y → + O M z → = x M · i → + y M · j → + z M · k → , следовательно, O M → = ( x M ; y M ; z M ) .

Как найти радиус вектора

Что такое радиус-вектор

Радиус-вектор – это вектор, начало которого совпадает с точкой (0 ; 0) — началом координат.

Почему радиус-вектор так называют

Если начертить окружность с центром в точке (0 ; 0), этот вектор станет её радиусом.

При этом, помним: перемещать вектор можно, а поворачивать его нельзя!

Чем радиус-вектор удобен для использования

Для радиус-вектора вычислять координаты не нужно. Можно воспользоваться правилом:

Координаты радиус-вектора — это координаты его конечной точки.

Сравните координаты конечной точки и координаты вектора на рисунке 2.

Как найти радиус вектора

Получите бесплатный курс по основам математики. Эти знания необходимы для решения задач по физике.

Векторная алгебра с нуля!

Получите бесплатный курс по Векторной алгебре. Он необходим для решения задач по физике.

Книги по изучению физики и для подготовки к ЕГЭ

Радиус-вектор

Радиус-вектор точки — это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с данной точкой.

Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат (рис. 17).

Введение понятия радиус-вектора оказалось чрезвычайно плодотворным при изучении различных физических явлений. В частности, это понятие широко используется в механике.

Как известно, положение точки можно задать с помощью ее координат. Так, если известны координаты x₁ и y₁ точки В или координаты x₂ и y₂ точки С, то мы легко находим положения этих точек на плоскости. Этот способ определения положения точки с помощью ее координат называется координатным способом.

Но можно определить положение точки и по-другому, а именно с помощью радиус-вектора. Если известен радиус-вектор данной точки, то и ее положение оказывается известным, поскольку точка конца радиус-вектора совпадает с данной точкой. Так, положение точки В — это конец ее радиус-вектора r₁, а положение точки С — это конец ее радиус-вектора r₂. Этот способ определения положения точки с помощью ее радиус-вектора называется векторным способом.

Эти способы эквивалентны друг другу. Покажем это. Найдем проекции радиус-вектора r₁ точки В на координатные оси. Напомню, чтобы найти проекцию вектора на ось нужно из координаты конца вектора вычесть координату его начала. Тогда

Аналогично для проекций радиус-вектора r₂ точки С:

r_2y = y₂ − 0 = y₂. Таким образом, проекции радиус-векторов точек являются координатами этих точек (рис. 18).

На практике применяются как координатный, так и векторный способы. Более того, при решении многих задач их применяют совместно, что является мощным методом решения, поскольку он позволяет использовать единый подход для решения совершенно разных задач.

Книги по изучению физики и для подготовки к ЕГЭ
Эти книги должен иметь каждый старшеклассник, абитуриент и студент!

Пожалуйста, не забудьте поделиться о прочитанном со своими друзьями в соц. сетях (см. кнопки ниже).

Физика

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Механическое движение. Система отсчёта. Закон относительности движения

Механическим движением в физике называется изменение с течением времени положения тела (или его частей) в пространстве относительно других тел.

То есть, чтобы сказать, что тело или система совершает механическое движение, нам необходимо: 1) наблюдать его во времени; 2) сравнивать его положение с положением какого-то другого тела (относительно этого тела).

Например, пассажир в едущем автомобиле неподвижен относительно кресла, на котором он сидит, но он движется относительно людей, стоящих на автобусной остановке и самой остановки. А сама автобусная остановка неподвижна относительно стоящих людей, ждущих автобус (см. рисунок 1). Однако она движется относительно проезжающих мимо машин. В первом случае наблюдаемым объектом был человек в машине, а точкой отсчета кресло и люди на остановке. Во втором случае наблюдаемой была автобусная остановка, а точками отсчета – люди на остановке и проезжающие мимо машины.

Рисунок 1 – Иллюстрация к примеру

Из примеров можно сделать вывод, что важно, какой именно объект находится под наблюдением и относительно какого объекта – тела отсчета – рассматривается его движение. Отсюда можно сформулировать закон относительности движения: характер движения тела зависит от того, относительно какого объекта мы рассматриваем данное движение.

Тело (или точка) отсчета, связанная с ним система координат и часы, вместе образуют систему отсчета. То есть все сказанное выше можно переформулировать в одно предложение: для наблюдения механического движения важно в какой системе отсчета будет происходить наблюдение.

Рисунок 2 – Пример системы отсчета (наблюдаемы объект – летящий мяч, тело отсчета – камень, лежащий в начале координат, система координат и секундомер для отсчета времени)

Однако объекты могут быть очень сложными для наблюдения. Например, автомобиль едет по прямой несколько километров и необходимо описать его движение относительно камня на обочине. Казалось бы, все просто. Но как именно описать движение автомобиля, если корпус его движется по прямой, а колеса совершают вращательные движения.

Для удобства решения подобных задач принято упрощение: если размер и форма тела в данной задаче не играют важной роли для наблюдателя, можно считать это тело за материальную точку.

Материальная точка – это такое тело, размером и формой которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Приведем пример: когда автобус едет из города А в город Б, его можно рассматривать как материальную точку. Когда пассажир идет из одного конца этого автобуса в другой, считать автобус материальной точкой нельзя. В общем случае можно сказать, что тело можно считать материальной точкой, если его размеры значительно меньше расстояния, на которое оно перемещается.

Уравнения движения. Радиус-вектор. Проекция вектора

Для описания движения тела необходимо уметь рассчитывать его положение в каждый момент времени. Как это сделать?

Самый очевидный способ – координатный. Если вернуться к примеру на рисунке 2, можно увидеть, что летящий мяч в каждый момент времени имеет три координаты по осям OX, OY и OZ. Эти координаты являются функциями времени (т.е. они зависят от времени), а значит, их можно записать в виде системы:

Вид этих уравнений будет зависеть от многих вещей: от того, с какой силой бросили мяч в начале, от массы мяча, под каким углом его бросили и так далее. В любом случае, если эти уравнения заданы, можно найти координаты (то есть положение) тела в любой момент времени. Поиск этих уравнений – основная задача кинематики.

Эта система является кинематическими уравнениями движения тела или материальной точки, записанными в координатной форме. Повторим: если вид уравнений движения задан, можно узнать координату движущейся точки в любой момент времени.

В общем случае, координат три, но иногда можно обойтись двумя или даже одной координатой. Например, для описания движения бильярдного шара достаточно двух координат (так как шар не может двигаться вверх и вниз), а для описания движения шарика, катящегося по прямому горизонтальному желобку достаточно одной координаты (шарик не может двигаться вверх-вниз и вправо-влево).

Еще один способ описания движения – векторный.

*Перед дальнейшим прочтением данной статьи желательно вспомнить основную теорию по теме «Векторы» и «Метод координат»

Вектор, проведенный из начала координат к материальной точке, называется радиус-вектором (см. рисунок 3).

Рисунок 3 – Радиус-вектор (серой линией изображены траектория движения материальной точки, r₁ и r₂* радиус-векторы, проведенные к этой материальной точке в разные моменты времени)

Радиус-вектор проведенный к материальной точке в разные моменты времени будет разным. Значит, его тоже можно представить, как функцию времени:

r = r(t)

Такая функция и будет уравнением движения в векторной форме. Если ее вид задан, можно описать движение тела с той же полнотой, как и при координатной записи.

Еще раз обозначим отличия: при записи уравнения движения в координатной форме в каждый момент времени наблюдающий будет знать три координаты тела; при записи в векторной форме в каждый момент времени известен радиус-вектор (его модуль и направление). Обе записи равносильны.

*На письме векторы обычно обозначаются стрелкой сверху, над величиной. Однако в печатном тексте не всегда удобно нагромождать формулы дополнительными знаками, поэтому в печати векторные величины пишут просто жирным шрифтом. В данной статье далее жирным шрифтом будут написаны только векторные величины.

Покажем, что векторная и координатная записи равносильны. Для этого необходимо вспомнить, как построить проекцию вектора на ось (см. рисунок 4).

Рисунок 4 – Построение проекции вектора на ось

Чтобы построить проекцию вектора на ось, необходимо опустить перпендикуляра из начала и конца вектора на эту ось. Длина получившегося отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+», если вектор а сонаправлен с осью Х, или со знаком «-», если вектор а противонаправлен оси Х, — это и есть искомая проекция.

Если вектор выходит из начала координат, задача облегчается – необходимо опустить перпендикуляр только из конца вектора.

Напоминания из геометрии:

два вектора равны, если они параллельны или лежат на одной прямой, сонаправлены, а их модули равны;

проекции равных векторов равны.

Рассмотрим пример (см. рисунок 5)

Рисунок 5 – Задача на нахождение проекции векторов

Предлагаем читателю самому подумать, а затем сравнить свои рассуждения с приведенными ниже.

Итак, вектор а: его начала соответствует координате х_н=1, а конец х_к = 4. Значит a_x = х_к – х_н = 4-1 = 3. Вектор b: его начало лежит в точке х_н=2, а конец х_к =0. Значит b_x = х_к – х_н = 0-2 = -2.

В двумерном случае, проецировать нужно на две оси, но принцип остается тем же.

Иногда еще нужно находить составляющие компоненты вектора а_х и а_у. Рассмотрим пример, для простоты возьмем вектор, выходящий из начал координат (см. рисунок 6).

Сумма векторов а_х и а_у равна а. Модули векторов а_х и а_у численно равны координатам точек, куда попали перпендикуляры, опущенные из конца вектора а на оси ОХ и ОУ.

Еще следует отметить, что, если известен угол β между вектором а и осью ОХ, воспользовавшись основами тригонометрии, можно найти величины проекций:

Если бы вектор а совпадал с радиус-вектором какой-нибудь точки, то величины а_х и а_у совпадали бы с координатами тела по осям ОХ и ОY.

Способ с использованием тригонометрических функций удобен, когда координата конца вектора попадает в нецелое число и опустив перпендикуляр на ось его трудно найти точно. В физических задачах такое часто случается.

Рисунок 6 – Нахождение компонент вектора а

Рассмотрим пример (см. рисунок 7). Модуль вектора r равен 2. Сам вектор направлен под углом в 45 градусов к оси ОХ. Необходимо найти величины проекций (они же координаты) этого вектора на оси ОХ и ОУ.

Рисунок 7 – Задача на нахождение проекций вектора в двумерном пространстве

В общем случае радиус-вектор находится в трехмерном пространстве (см. рисунок 8). Построение проекции осуществляется по тому же принципу, что и в рассмотренных выше примерах. Когда строятся проекции на оси ОХ и ОУ, перпендикуляр сначала опускается на плоскость, в которой лежат оси ОХ и ОУ, а затем точка, в которую упал перпендикуляр к плоскости, проецируется на оси ОХ и ОУ.

Точки, в которые попал перпендикуляры к осям – r_x, r_y, r_z – это и есть координаты x, y, z тела в текущий момент времени.

Следует оговориться, что большинство задач 10-го класса будут ограничиваться двумерным пространством.

Рисунок 8 – Построение проекций радиус-вектора

Траектория. Путь. Перемещение

Траектория – это линия, вдоль которой движется тело.

Траектория движения может быть прямолинейной, если тело движется по прямой линии, и криволинейной, если тело движется по кривой.

Путь (S), пройденный телом, равен длине траектории.

Перемещение (r)* – это вектор, проведенный из начала пути в конец.

В случае прямолинейного движения путь и модуль перемещения тела совпадают (см. рисунок 9а). В случае криволинейного – путь и перемещение различаются (см. рисунок 9б), так как длина линии движения тела больше длины вектора, соединяющего начало и конец траектории.

Рисунок 9 – Путь (S) и перемещение (r) при прямолинейном (а) и криволинейном (б) движении

*Иногда перемещение так же, как и путь, называют буквой S — (на письме с вектором над ней, при печати — жирным шрифтом, так как это векторная величина). В данной статье, чтобы не путаться, перемещение называется только буквой r. В целом, обозначения равноправны, поэтому при решении задач можно использовать то, которое удобнее. Однако не стоит забывать отмечать, что именно обозначено под той или иной буквой.

Равномерное прямолинейное движение: скорость и уравнение движения

Путь и перемещение при равномерном прямолинейном движении

Прямолинейное равномерное движение уже рассматривалось в курсе физики ранее, однако приведем основные определения.

Прямолинейное движение – это движение по прямой линии. Равномерное движение – такое, в процессе которого тело за равные временные промежутки проходит один и тот же путь. Если объединить эти два определения получится третье:

равномерное прямолинейное движение – это такое движение, в ходе которого 1) тело совершает движение по прямой линии; 2) за одинаковые временные промежутки проходит одинаковый путь.

Зная определения пути и перемещения, это определение можно упростить: прямолинейное равномерное движение тела – это такое движение, в процессе которого тело за одинаковые временные промежутки совершает равные перемещения.

Важной характеристикой является скорость механического движения. Предположим, что при равномерном прямолинейном движении тело за промежуток времени △t перемещается из точки А в точку Б (см. рисунок 8). Радиус-вектор, проведенный в точку A обозначим r₀, а радиус-вектор в точку Б обозначим r₁. Изменение радиус-вектора назовем △r – нетрудно заметить, что это есть перемещение тела за время △t.

Рисунок 8 – Поиск перемещения тела через радиус-векторы при равномерном прямолинейном движении

Тогда скорость движения (v) будет вычисляться по формуле:

Так как △r – вектор, △t – скаляр, скорость v тоже будет вектором, сонаправленным перемещению.

Если тело начинает двигаться в момент начала отсчета, то △t = t*. Из правила сложения векторов следует, что △r = r₁ — r₀. Тогда выражение для скорости можно переписать в виде:

Из этого выражения следует:

Это выражение можно применить к любому произвольно взятому моменту времени, поэтому можно опустить индекс в левой части и переписать:

Данное уравнение является уравнением движения при прямолинейном равномерном движении.

*Напоминание: символом △ (дельта) обозначают изменение какой-нибудь величины. Например △t = t – t₁, где t – конечный момент времени, t₁ – начальный. Если же начальный момент времени совпадает с началом отсчета t₁ = 0, то △t = t – 0 = t_.

Фактически уравнение равномерного прямолинейного движения означает, что радиус-вектор в произвольный момент времени t можно посчитать, сложив начальный радиус-вектор и приращение v*t.

Найдя проекции радиус-вектора и вектора скорости, можно разложить уравнение движения тела на три составляющие вдоль осей ОX, ОY и ОZ.

В этих выражениях r_0x, r_0y, r_0z и v_x, v_y, v_z – это компоненты изначальных векторов r₀ и v вдоль осей ОХ, ОY и ОZ соответственно. И теперь можно перейти к скалярному виду:

Стоит отметить, что при проецировании какие-то компоненты вектора могут стать отрицательными, тогда знаки в выражениях поменяются на противоположные.

В рассмотренном выше примере движение происходит только вдоль оси ОХ (остальные координаты не изменяются). На рисунке 9 приведены проекции начальной (х₀) и конечной (х₁) точки на ось ОХ.

Рисунок 9 – Перемещение тела в координатном представлении

Уравнение координаты (х) движения будет выглядеть:

А это уже похоже на знакомую из прошедшего курса физики формулу для нахождения пути:

Если точка начала двигаться из начала отсчета S₀ = 0, можно переписать эту формулу в виде:

Отсюда следуют известные уже формулы для нахождения скорости и времени при равномерном прямолинейном движении:

Приведем последний в этой статье пример: известно, что тело движется вдоль оси ОХ, начиная из точки x₀ = 3 см. Скорость тела равна v = 5 м/с и направлена вдоль оси ОХ. Необходимо записать уравнение движения по координате х для этого тела.

Итак, для начала приведем все единицы измерения к СИ:

Теперь можно записывать уравнение для координаты х:

Из этого уравнения можно найти координату тела в любой момент времени. Например, через 2 секунды после начала отсчета тело находилось в точке:

x(2) = 0,03 + 5*2 = 10, 03.

А какой путь прошло тело к этому моменту? В начале оно находилось в точке x(2) = 0,03 м, а через 2 секунды оно стало находиться в точке x(2) = 10, 03. Значит за 2 секунды тело прошло:

S = x(2) – x₀ = 10, 03 – 0,03 = 10 м.

А если скорость тела была направлена противоположно оси ОХ, как тогда выглядело бы уравнение движения?

Тогда проекция вектора скорости на ось ОХ была бы отрицательной и в уравнении знак перед скоростью поменялся бы на противоположный:

[spoiler title=”источники:”]

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/koordinaty-vektora-v-dsk/

http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-radius-vektora

[/spoiler]

Источник

План урока:

Механическое движение. Система отсчёта. Закон относительности движения

Уравнения движения. Радиус-вектор. Проекция вектора

Траектория. Путь. Перемещение

Равномерное прямолинейное движение: скорость и уравнение движения

Механическое движение. Система отсчёта. Закон относительности движения

Рисунок 1 – Иллюстрация к примеру

Материальная точка – это такое тело, размером и формой которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Уравнения движения. Радиус-вектор. Проекция вектора

Еще один способ описания движения – векторный.

Вектор, проведенный из начала координат к материальной точке, называется радиус-вектором (см. рисунок 3).

r = r(t)

Рисунок 4 – Построение проекции вектора на ось

Чтобы построить проекцию вектора на ось, необходимо опустить перпендикуляра из начала и конца вектора на эту ось. Длина получившегося отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+», если вектор а сонаправлен с осью Х, или со знаком «-», если вектор а противонаправлен оси Х, – это и есть искомая проекция.

Напоминания из геометрии:

два вектора равны, если они параллельны или лежат на одной прямой, сонаправлены, а их модули равны;
проекции равных векторов равны.

Рассмотрим пример (см. рисунок 5)

Рисунок 5 – Задача на нахождение проекции векторов

Предлагаем читателю самому подумать, а затем сравнить свои рассуждения с приведенными ниже.

Итак, вектор а: его начала соответствует координате х_н=1, а конец х_к = 4. Значит a_x = х_к– х_н = 4-1 = 3. Вектор b: его начало лежит в точке х_н=2, а конец х_к =0. Значит b_x= х_к– х_н = 0-2 = -2.

В двумерном случае, проецировать нужно на две оси, но принцип остается тем же.

Сумма векторов а_х и а_уравна а. Модули векторов а_х и а_учисленно равны координатам точек, куда попали перпендикуляры, опущенные из конца вектора а на оси ОХ и ОУ.

а_х = а*cos(β);

а_y = а*sin(β).

Рисунок 6 – Нахождение компонент вектора а

Рисунок 7 – Задача на нахождение проекций вектора в двумерном пространстве

Точки, в которые попал перпендикуляры к осям – r_x, r_y, r_z– это и есть координаты x, y, z тела в текущий момент времени.

Следует оговориться, что большинство задач 10-го класса будут ограничиваться двумерным пространством.

Рисунок 8 – Построение проекций радиус-вектора

Траектория. Путь. Перемещение

Траектория – это линия, вдоль которой движется тело.

Путь (S), пройденный телом, равен длине траектории.

Перемещение (r)* – это вектор, проведенный из начала пути в конец.

Рисунок 9 – Путь (S) и перемещение (r) при прямолинейном (а) и криволинейном (б) движении

*Иногда перемещение так же, как и путь, называют буквой S – (на письме с вектором над ней, при печати – жирным шрифтом, так как это векторная величина). В данной статье, чтобы не путаться, перемещение называется только буквой r. В целом, обозначения равноправны, поэтому при решении задач можно использовать то, которое удобнее. Однако не стоит забывать отмечать, что именно обозначено под той или иной буквой.

Равномерное прямолинейное движение: скорость и уравнение движения

Путь и перемещение при равномерном прямолинейном движении

равномерное прямолинейное движение – это такое движение, в ходе которого 1) тело совершает движение по прямой линии; 2) за одинаковые временные промежутки проходит одинаковый путь.

Рисунок 8 – Поиск перемещения тела через радиус-векторы при равномерном прямолинейном движении

Тогда скорость движения (v) будет вычисляться по формуле:

Так как △r – вектор, △t – скаляр, скорость v тоже будет вектором, сонаправленным перемещению.

Если тело начинает двигаться в момент начала отсчета, то △t = t*. Из правила сложения векторов следует, что △r = r₁ – r₀. Тогда выражение для скорости можно переписать в виде:

Из этого выражения следует:

r₁ = r₀ + v*t.

r= r₀ + v*t.

Данное уравнение является уравнением движения при прямолинейном равномерном движении.

r_x= r_0x + v_x*t;

r_y= r_0y + v_y*t;

r_z= r_0z + v_z*t.

В этих выражениях r_0x, r_0y, r_0zи v_x, v_y, v_z– это компоненты изначальных векторов r₀ и v вдоль осей ОХ, ОY и ОZ соответственно. И теперь можно перейти к скалярному виду:

r_x= r_0x + v_x*t;

r_y= r_0y + v_y*t;

r_z= r_0z + v_z*t.

Рисунок 9 – Перемещение тела в координатном представлении

Уравнение координаты (х) движения будет выглядеть:

x(t) = x₀+ v*t.

А это уже похоже на знакомую из прошедшего курса физики формулу для нахождения пути:

S(t) = S₀ + v*t.

Если точка начала двигаться из начала отсчета S₀ = 0, можно переписать эту формулу в виде:

S(t) = v*t.

Приведем последний в этой статье пример: известно, что тело движется вдоль оси ОХ, начиная из точки x₀ = 3 см. Скорость тела равна v = 5 м/с и направлена вдоль оси ОХ. Необходимо записать уравнение движения по координате х для этого тела.

Итак, для начала приведем все единицы измерения к СИ:

x₀ = 3 см = 0,03 м.

Теперь можно записывать уравнение для координаты х:

x(t) = x₀+ v*t = 0,03 + 5*t.

x(2) = 0,03 + 5*2 = 10, 03.

S = x(2) – x₀ = 10, 03 – 0,03 = 10 м.

А если скорость тела была направлена противоположно оси ОХ, как тогда выглядело бы уравнение движения?

x(t) = x₀– v*t = 0,03 – 5*t.

Источник

Координаты точки, радиус- вектор точки, произвольные вектора. Длина вектора.

Возьмем
в пространстве произвольную точку М(х,
у, z).
Первая координата х
– абсцисса ‒ это проекция т. М на ось
ОХ. Вторая у
– ордината – это проекция т. М на ось
ОУ. Третья z
– аппликата – на ось OZ.

Проекция
т. М на α

Чтобы
найти проекцию точки на прямую, нужно
через точку провести плоскость
перпендикулярно этой прямой.

Определение:
Вектор, соединяющий начало координат
т. О
с произвольной точкой пространства
называется радиус-
вектор этой точки.

Радиус-
вектор т. М – ОМ.

Найдем
координаты радиус-вектора ОМ:

ОА=
xi,
ОВ= yj,
ОС= zk.

OM=
OP+ PM= OA+ OB+ OC= xi+ yj+ zk= (x, y, z).

Вывод:
координаты радиус-вектора точки совпадают
с координатами самой точки ОМ= (x,
y,
z).

Вектор
ОМ является диагональю параллелепипеда,
по свойству диагоналей d²=
a²+
b²+
c². Отсюда
следует, что │ОМ│²=x²+
y²+
z².
Извлекая, квадратный корень получаем
длину

_.

Возьмем
две произвольные точки т. А(x₁,
y₁,
z₁)
и т. В (x₂,
y₂,
z₂).
Соединим АВ.

Вспомогательные
векторы: ОА= (x₁,
y₁,
z₁),
ОВ= (x₂,
y₂,
z₂).

АВ=
ОВ
– ОА=
(x₂,
y₂,
z₂)-
(x₁,
y₁,
z₁)=
(x₂–
x₁,
, y₂–
y₁,
z₂–
z₁).

Вывод:
чтобы найти координаты вектора нужно
из координат конца вектора вычесть
соответствующие координаты начала
вектора.

АВ=
(x₂–
x₁,
, y₂–
y₁,
z₂–
z₁).

Пример.
Даны 3 точки
т. А(2,-1,3), т. В(4,0,1), т. С(-1,2,1). Найти АВ и его
длину │АВ│, m=
AB-
2BC.

Проекция вектора на ось.

Определение:
Проекцией
вектора на ось
называется число, модуль которого равен
проекции на эту ось отрезка, задающего
вектор, причем число берется со знаком
«+», если координата конца вектора больше
координаты начала вектора, и со знаком
«-», если координата начала больше
координаты конца.

Через
т. А и т. В проведем плоскости перпендикулярные
оси l,
и найдем точки пересечения плоскости
с осью.

Перенесем
вектор АВ в точку А₁.
А₁В₁(проекция)=АВ.
Из прямоугольного треугольника следует,
что проекция АВ на ось l
будет равна:

│АВ│·
cos
φ=
пр_l
AB.

пр_l
AB=│АВ│·
cos
φ,
где φ
– это угол между вектором и осью.

Возможны
3 случая:

1)
φ-
острый, пр_l
AB>
0, т.к. cos
φ>
0.

2)
φ-
тупой, пр_l
AB<
0, т.к. cos
φ<
0.

3)
φ=
90°, пр_l
AB=
0, т.к. cos
φ=
0.

Теоремы о проекциях.

Теорема
1. пр_l(а
+ b)=
пр_la
+ пр_l
b.

Теорема
2. пр_l
(λа)=
λ пр_lа.

Связь между координатами вектора и проекциями вектора на координатной оси.

пр_OYАВ= y₁–
y₂,
пр_OXАВ= x₁–
x₂,
пр_OZАВ= z₁–
z₂.

Вывод:
проекции вектора на координатные оси
совпадают с координатами вектора.

Условие коллинеарности двух векторов.

Возьмем
два коллинеарных вектора а=
(а_х,
а_у,
а_z)
║b=
(b_x,
b_y,
b_z).

b=
λa.

В
координатной форме:

Сравнивая
соответствующие координаты первые,
вторые и третьи получим:

Условие
коллинеарности:
Для коллинеарности двух векторов
необходимо и достаточно, чтобы их
соответствующие координаты были
пропорциональны.

Замечание:
если одна из координат вектора равна
0, то у коллинеарного вектора соответствующая
координата тоже равна 0.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Координатные векторы

Разложение вектора

Равные и противоположные векторы

Координаты радиус-вектора точки

Радиус-вектор в геометрии[править | править код]

Запись в различных системах координат[править | править код]

Двумерное пространство[править | править код]

Трёхмерное пространство[править | править код]

n-мерное пространство[править | править код]

Радиус-вектор в кинематике[править | править код]

Что такое радиус-вектор

Почему радиус-вектор так называют

Чем радиус-вектор удобен для использования

Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК)

Координатные векторы

Разложение вектора

Равные и противоположные векторы

Координаты радиус-вектора точки

Как найти радиус вектора

Что такое радиус-вектор

Почему радиус-вектор так называют

Чем радиус-вектор удобен для использования

Как найти радиус вектора

Векторная алгебра с нуля!

Книги по изучению физики и для подготовки к ЕГЭ

Радиус-вектор

Книги по изучению физики и для подготовки к ЕГЭ Эти книги должен иметь каждый старшеклассник, абитуриент и студент!

Физика

Механическое движение. Система отсчёта. Закон относительности движения

Уравнения движения. Радиус-вектор. Проекция вектора

Траектория. Путь. Перемещение

Равномерное прямолинейное движение: скорость и уравнение движения

Путь и перемещение при равномерном прямолинейном движении

Механическое движение. Система отсчёта. Закон относительности движения

Уравнения движения. Радиус-вектор. Проекция вектора

Траектория. Путь. Перемещение

Равномерное прямолинейное движение: скорость и уравнение движения

Путь и перемещение при равномерном прямолинейном движении

Координаты точки, радиус- вектор точки, произвольные вектора. Длина вектора.

Проекция вектора на ось.

Теоремы о проекциях.

Связь между координатами вектора и проекциями вектора на координатной оси.

Условие коллинеарности двух векторов.

Вам также может понравиться

Как найти стилистическую принадлежность слова

Как составить инвестпрограмму

Как составить резюме образец тракториста

Добавить комментарий Отменить ответ

Книги по изучению физики и для подготовки к ЕГЭ
Эти книги должен иметь каждый старшеклассник, абитуриент и студент!