Как найти радиус винтовой линии

Решение.
Рассмотрим движение электрона в плоском горизонтальном конденсаторе, определим скорость электрона при вылете из конденсатора. Покажем рисунок . Скорость определим по формуле:

[ vec{upsilon }={{vec{upsilon }}_{0}}+{{vec{upsilon }}_{y}},upsilon =sqrt{upsilon _{0}^{2}+upsilon _{y}^{2}}(1). ]

Со стороны пластин на электрон действует сила Кулона.

[ begin{align}
  & {{F}_{K}}=ecdot E(2),{{F}_{K}}=mcdot a(3),a=frac{{{upsilon }_{y}}}{t}(4),t=frac{l}{{{upsilon }_{0}}}(5),ecdot E=mcdot a, \
 & ecdot E=mcdot frac{{{upsilon }_{y}}cdot {{upsilon }_{0}}}{l},{{upsilon }_{y}}=frac{ecdot Ecdot l}{mcdot {{upsilon }_{0}}}(6).upsilon =sqrt{upsilon _{0}^{2}+{{(frac{ecdot Ecdot l}{mcdot {{upsilon }_{0}}})}^{2}}}(7). \
 & upsilon =sqrt{{{({{10}^{7}})}^{2}}+{{(frac{1,6cdot {{10}^{-19}}cdot {{10}^{4}}cdot 5cdot {{10}^{-2}}}{9,1cdot {{10}^{-31}}cdot {{10}^{7}}})}^{2}}}=1,33cdot {{10}^{7}}. \
end{align}
 ]

Определим угол α под которым электрон вылетает из электрического поля и влетает в магнитное поле.

[ frac{{{upsilon }_{0}}}{upsilon }=sin alpha ,sin alpha =frac{{{10}^{7}}}{1,33cdot {{10}^{7}}}=0,7519.
 ]

Где: е – модуль заряда электрона, е = 1,6∙10^-19 Кл, m – масса электрона, m = 9,1∙10^-31 кг, В – индукция магнитного поля. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны силовым линиям электрического поля.
        На заряженную частицу действует сила Лоренца, и сила Лоренца является центростремительной силой, выразим скорость частицы относительно оси Ох.

[ begin{align}
  & {{F}_{L}}=qcdot Bcdot {{upsilon }_{x}}, {{F}_{L}}=mcdot a, a=frac{upsilon _{x}^{2}}{R},qcdot Bcdot upsilon =mcdot frac{upsilon _{x}^{2}}{R}, \
 & {{upsilon }_{x}}=frac{qcdot Bcdot R}{m} (1),{{upsilon }_{x}}=upsilon cdot sin alpha ,R=frac{upsilon cdot sin alpha cdot m}{qcdot B}, \
 & R=frac{1,33cdot {{10}^{7}}cdot 0,7519cdot 9,1cdot {{10}^{-31}}}{1,6cdot {{10}^{-19}}cdot {{10}^{-2}}}=5,67cdot {{10}^{-3}}. \
end{align} ]

Из этих формул также получаем формулу для расчета времени одного оборота:

[ R=frac{mcdot {{upsilon }_{x}}}{qcdot B}, T=frac{2cdot pi cdot R}{{{upsilon }_{x}}}, T=frac{2cdot pi cdot m}{qcdot B} (4). ]

Вдоль силовых линий поля магнитная сила не действует, поэтому частица движется прямолинейно с постоянной скоростью.

[ begin{align}
  & {{upsilon }_{Y}}=frac{h}{T}, {{upsilon }_{Y}}=frac{hcdot qcdot B}{2cdot pi cdot m} ,{{upsilon }_{Y}}=upsilon cdot cos alpha ,cos alpha =sqrt{1-{{sin }^{2}}alpha }, \
 & upsilon cdot sqrt{1-{{sin }^{2}}alpha } = frac{hcdot qcdot B}{2cdot pi cdot m},,h=frac{2cdot pi cdot mcdot upsilon cdot sqrt{1-{{sin }^{2}}alpha }}{qcdot B}. \
 & h=frac{2cdot 3,14cdot 9,1cdot {{10}^{-31}}cdot 1,33cdot {{10}^{7}}cdot sqrt{1-{{(0,7519)}^{2}}}}{1,6cdot {{10}^{-19}}cdot {{10}^{-2}}}=31,32cdot {{10}^{-3}}. \
end{align}
 ]

Ответ: R = 6,67∙10^-3 м, h = 31,32∙10^-3 м.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Цилиндрическая винтовая линия представляет собой пространственную кривую линию одинакового уклона. Острие резца, соприкасаясь с поверхностью равномерно вращающегося цилиндрического стержня, оставляет на нем след в виде окружности. Если же при этом сообщить резцу равномерное поступательное движение вдоль оси цилиндра, то на поверхности цилиндра получится цилиндрическая винтовая линия.

На рисунке 218 показано образование винтовой линии на поверхности цилиндра от движения точки А по образующей ЕС и вращательного движения этой образующей. Здесь изображено несколько положений этой образующей: £0С0, £,С„ …; при этом дуги £,£,, … равны между собой и каждая равна nd/n, где d — диаметр цилиндра, а п — число делений (на рисунке 218 п= 12). Начальное положение точки обозначено через Д), последующее через Л,, Л, и т. д.

Если при перемещении образующей из положения £0С0 в положение £,С, точка займет положение А}, то отрезок £,/1, определит расстояние, которое точка прошла по образующей от своего первоначального положения. При последующем положении образующей (£>С) точка поднимется на высоту Е2А2-2Е[А[ и т. д. Когда образующая сделает полный оборот, точка переместится по ней на расстояние ЕсАа = 12£,/1,. При дальнейшем вращении образующей точка А начнет образовывать второй виток, или оборот винтовой линии, занимая положения А, А и т. д.

Расстояние между точками А{. и А,7 называется шагом винтовой линии. Шаг может быть выбран в зависимости от тех или иных условий. Расстояние точки А до оси 00 называется радиусом винтовой линии, а ось 00 — осью винтовой линии. Радиус винтовой линии равен половине диаметра прямого кругового цилиндра, на боковой поверхности которого располагается винтовая линия. Две величины — диаметр цилиндра и размер шага — являются параметрами, определяющими цилиндрическую винтовую линию на боковой поверхности прямого кругового цилиндра.

На рисунке 219 выполнено построение проекций цилиндрической винтовой линии. Предварительно построены проекции (как это рассматривалось в курсе черчения средней школы) прямого кругового цилиндра. Окружность основания цилиндра (на горизонтальной проекции) и шаг (отрезок h, отложенный по оси цилиндра на фронтальной проекции) разделены на одинаковое число (п) частей; на рисунке 219 взято п- 12. Начальное положение точки А указано проекциями А” и А’ — это точка, отмеченная буквой О’ на окружности.

Так как ось цилиндра направлена перпендикулярно к плоскости ли то горизонтальная проекция винтовой линии сливается с окружностью, представляющей собой горизонтальную проекцию поверхности цилиндра.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Что же касается построения фронтальной проекции винтовой линии, то ход ее построения ясен из рисунка 219 и вытекает из самого образования винтовой линии как траектории точки, совершающей лва движения — равномерное по прямой линии и вместе с тем равномерное вращательное вокруг оси, параллельной этой прямой. Проекция на плоскости, параллельной оси цилиндра, в данном случае фронтальная проекция цилиндрической винтовой линии, подобна синусоиде.

На рисунке 219 фронтальная проекция винтовой линии имеет на передней (видимой) стороне цилиндра подъем слева направо или спуск влево; если же ось цилиндра расположить горизонтально, то подъем винтовой линии идет влево, а спуск — вправо. Это винтовая линия с правым ходом, или правая винтовая линия. Развертка витка цилиндрической винтовой линии показана на рисунке 220. В развернутом виде каждый виток представляет собой отрезок прямой.

Это следует из образования винтовой линии: поскольку окружность основания цилиндра делилась на равное число частей и шаг винтовой линии делился на такое же число равных частей, развертку винтовой линии на протяжении ее шага можно рассматривать как геометрическое место точек, для каждой из которых ордината пропорциональна абсциссе, т. е. у= кх. А это уравнение прямой линии. Касательные к винтовой линии совпадают на развертке с прямой, в которую развертывается виток винтовой линии.

На рисунке 220 при двух шагах

винтовой линии получились два ее отрезка под углом ф, к прямой, представляющей собой развернутую окружность основания цилиндра. Крутизна подъема винтовой линии выражается формулой (2): tg«>i=4> (2) ГШ где h — шаг винтовой линии; d — диаметр цилиндра. Угол ф, называется углом подъема винтовой линии. _

Длина одного оборота «витка» винтовой линии равна L = + (nd)2. При одном и том же d величина угла ф, зависит только от шага винтовой линии; для получения малого угла подъема следует брать малый шаг, и наоборот. Если шаг остается неизменным для цилиндров разного диаметра, то угол подъема получится тем меньше, чем больше будет диаметр цилиндра. Вопросы для самопроверки 1. В чем состоит различие между плоской и пространственной кривыми линиями?

2. Во что проецируется пространственная кривая? 3. Во что проецируется плоская кривая? 4. Во что проецируется касательная к кривой линии? 5. Как определяется длина некоторого участка кривой линии? 6. Что называется касательной к кривой линии? 7. Что называется нормалью в какой-либо точке плоской кривой? 8. Что называется шагом винтовой линии? 9. Что такое правая винтовая линия? 10. Как определяется крутизна подъема винтовой линии? 11. Какие параметры определяют цилиндрическую винтовую линию?

Макеты страниц

Выражение для силы
Лоренца позволяет найти закономерности
движения заряженных частиц в магнитном
поле.

1. Пусть
   заряженная частица движется со скоростью

   вдоль линий магнитной индукции (

   параллелен

   ,

   ).
   Поскольку сила Лоренца в этом случае
   не действует, то частица будет двигаться
   равномерно и прямолинейно.

2. Пусть
   заряженная частица движется в магнитном
   поле со скоростью

   ,
   направленной перпендикулярно линиям
   магнитной индукции (
   ,

   ).
   В однородном магнитном поле сила Лоренца
   будет постоянна по модулю
   

   и нормальна к траектории частицы (рис.
   21.11.1). В этом случае сила Лоренца будет
   выполнять роль центростремительной
   силы и частица будет равномерно двигаться
   по окружности. Радиус
   траектории
   движения частицы массой т
   можно найти по

второму
закону Ньютона:

,

,
откуда

.
(21.11.1)

Период
обращения
частицы не зависит от энергии (скорости)
частицы:

.
(21.11.2)

Круговая
частота
вращения (циклотронная
частота)
частицы:

.
(21.11.3)

Таким
образом, период и частота обращения
зависят только от параметров самой
частицы и индукции магнитного поля. Это
обстоятельство используют для устройства
циклических ускорителей
заряженных частиц.

П
ример
21.11.1. Заряженная частица, обладающая
скоростью

,
влетела в однородное магнитное поле с
индукцией

.
Найти удельный заряд частицы (отношение
заряда к массе частицы), если частица
описала в поле дугу окружности радиусом

.
По величине удельного заряда определить,
какая это частица.

Дано:

,

,

.

Р

ешение.

Частица
движется по окружности, следовательно,
ее скорость направлена перпендикулярно
силовым линиям магнитного поля

.

С
ила
Лоренца, действующая на частицу, постоянна
по модулю и выполняет роль центростремительной
силы:

,
откуда

.

Ответ:


(протон или антипротон).

Пример 21.11.2.
Заряженная частица, двигаясь в
магнитном поле по дуге окружности
радиусом

,
прошла через вольфрамовую пластину,
расположенную на пути частицы. Вследствие
потери энергии частицей радиус кривизны
траектории изменился и стал равным

.
Определить относительное уменьшение
энергии частицы

Р Дано: , . Ешение.

Ч
астица
движется по окружности, следовательно,
ее скорость направлена перпендикулярно
силовым линиям магнитного поля. Сила
Лоренца постоянна по модулю и выполняет
роль центростремительной силы:

.

Скорость частицы
равна

,
а кинетическая энергия

.
Следовательно, кинетическая энергия
частицы до прохождения вольфрамовой
пластины

,
после прохождения

.
Уменьшение энергии частицы

Относительное
уменьшение энергии

.

О
твет:


.

1. Пусть
   заряженная частица влетает под углом

   

   к силовым линиям индукции

   однородного
   магнитного поля со скоростью

   (рис. 21.11.2). Скорость частицы удобно
   разложить на составляющие и представить
   движение в виде суперпозиции двух
   движений: равномерного прямолинейного
   вдоль поля со скоростью
   

   и равномерного по окружности (в плоскости,
   перпендикулярной к полю) со скоростью
   
   .
   В результате одновременного участия
   в этих движениях, частица будет двигаться
   по сложной траектории, представляющей
   собой винтовую линию.

Р
адиус
винтовой линии
находим из условия

,
откуда

.
(21.11.4)

Период обращения:

.
(21.11.5)

Шаг
винтовой линии
(путь, пройденный частицей вдоль поля
за время, которое понадобится частице,
чтобы совершить один полный оборот)
равен

.
(21.11.6)

П
ример
21.11.3. Электрон движется в однородном
магнитном поле с индукцией

по винтовой линии. Определить скорость
электрона, если радиус винтовой линии

,
а шаг

.

Дано:

,

,

.

Р

ешение.

Т
ак
как частица движется по винтовой линии,
то она влетела в магнитное поле под
углом

к линиям магнитной индукции.

Шаг винтовой
линии

,
откуда

.

Радиус
винтовой линии

,
откуда

.
Так как

,
то

и

.

О
твет:

.

1. П
   усть
   заряженная частица движется в неоднородном
   магнитном поле, которое наблюдается,
   например, у полюсов Земли. Силовые линии
   поля сгущаются (рис.
   21.11.3)
   при приближении к полюсу. Состав-ляющая
   скорости частицы, направленная вдоль
   поля, непрерывно уменьшается вплоть
   до нуля. В этой точке происходит поворот
   частицы и движение продолжается как
   бы вспять. Траекторией движения частицы
   является спираль. В этом случае
   наблюдается большие ускорения частицы
   (радиус спирали уменьшается по мере
   приближения к точке поворота, а ускорение
   растет). Движущиеся с большим ускорением
   заряженные частицы излучают в видимом
   диапазоне. Это приводит к появлению
   северных сияний, характерных для
   полярных областей, где происходит
   сгущение силовых линий магнитного поля
   Земли. Частицы, испускаемые Солнцем,
   попадают у полюсов Земли в так называемую
   магнитныю ловушку, двигаются в ней по
   спирали, в результате чего выделяется
   энергия в виде электромагнитного
   излучения видимого диапазона.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #