Слайд 1ВНЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Слайд 2Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, к которой являются касательными одна из
сторон треугольника и продолжения двух других сторон.
Слайд 3Соотношение между длинами отрезков касательных
Теорема 1: Расстояние от вершины треугольника до
точки касания вневписанной окружности с продолжением стороны, содержащей ее, за вершину противолежащей стороны равно полупериметру треугольника.
Доказательство. Обозначим через В₁, С₁, и Та – точки касания вневписанной окружности с прямыми АС, АВ и ВС соответственно. Тогда СВ₁ = СТа, ВС₁ = ВТа и периметр треугольника АВС: P = AC + СТа + ВТа + АВ = АС + СВ₁ + ВС₁ + АВ = АВ₁ + АС₁. Т.к. АВ₁ = АС₁, то расстояния АВ₁ и АС₁ равны полупериметру треугольника АВС.
Слайд 4Следствие 1: Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой
вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам.
Примечание: В треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине. То же соблюдается и для вневписанной окружности.
AN = AK = p – a,
BM = BK = p – b,
CN = CM = p – c.
Слайд 5Следствие 2: Для отрезков касательных, связанных с вневписанными окружностями треугольника, выполняются
равенства:
ВТс = ВА1 = СТb = CA2 = p-a,
ATc = AB2 = CTa = CB1 = p-b,
BTa = BC1 = ATb = AC2 = p-c.
Следствие 3: Верны следующие равенства:
B2Tb = C2Tc = ATc + ATb = a,
C1Tc = A1Ta = BTc + BTa = b,
B1Tb = A2Ta = CTb + CTa = c.
Следствие 4: Расстояния между точками касаний вневписанных окружностей продолжений сторон за вершины треугольника равны:
C1C2 = a +b,
B1B2 = a + c,
A1A2 = b + c.
Из следствия 1
Получаются при попарном сложении равенств из следствия 2
Получаются при попарном сложении равенств из следствия 3
Слайд 6Формулы для вычисления радиусов вневписанных окружностей
Теорема 2: Радиус вневписанной окружности, касающейся
стороны ВС треугольника АВС, вычисляется по формуле ra =
Доказательство. Выполняются следующие равенства:
SABC = SOCA + SOBA – SOCB = 0,5rab + 0,5rac – 0,5raa = ra(p -a).
Аналогично получаются формулы:
rb = и rc =
Слайд 7Следствие 1: Большей стороне треугольника соответствует касающаяся её вневписанная окружность большего
радиуса и наоборот.
Следствие 2: Радиус вневписанной окружности треугольника больше радиуса окружности, вписанной в тот же треугольник.
Следствие 3: Площадь треугольника АВС может быть вычислена по формулам:
S = ra(p – a), S = rb(p – b), S = rc(p – c).
Слайд 8Следствие 4: Для отношения радиусов вписанной и вневписанных окружностей имеют место
равенства:
r/ra = , ra/rb = , ra/rc = .
Следствие 5: Используя формулу Герона, получим формулы для вычисления длин радиусов через стороны треугольника:
ra =
rb =
rc =
Слайд 9Теорема 3: Радиус вневписанной окружности, касающейся боковой стороны равнобедренного треугольника, равен
высоте треугольника, опущенной на основание.
Доказательство. Пусть Oa, Ob и Oc – центры вневписанных окружностей треугольника АВС, Ca, Cb и Tc – точки касания этих окружностей с прямой АВ.
Т.к. треугольник АВС – равнобедренный (АС = ВС), то высота, опущенная из вершины С, лежит на биссектрисе СОс угла С, и поэтому СОс ⊥ АВ. С другой стороны радиус ОсТс ⊥ АВ, следовательно, точка Тс лежит на биссектрисе угла С. Отсюда ОТс ⊥ АВ и СТс является высотой треугольника АВС. Заметим, что СОс ⊥ COb как биссектрисы внутреннего и внешнего угла треугольника при вершине С, СОс ⊥ АВ и ObCb ⊥ АВ. Следовательно, четырехугольник TcCObCb – прямоугольник. Значит, rb = ObCb = CTc.
Слайд 10Следствие: В равнобедренном треугольнике расстояние от вершины, лежащей напротив основания, до
центра вневписанной окружности, касающееся боковой стороны, равно боковой стороне.
Доказательство. Т.к. BCb = p = b + 0,5c, то получаем COb = TcCb = p – 0,5c = b.
Слайд 11Теорема 4: Радиусы вневписанных окружностей выражаются через стороны равнобедренного треугольника формулами:
ra = rb = и rc = 0,5c *
Доказательство. Из доказательства теоремы 3 следует, что CTc ⊥ AB и BTc = ATc = 0,5c. Из прямоугольного треугольника
TcCA rb = CTc =
Прямоугольные треугольники ОсТсА и ObCbA подобны по двум углам. Тогда
= = = . Отсюда = или rc =0,5c *
Следствие. Для равностороннего треугольника ra = rb = rc = =3r, где а – сторона треугольника и r – радиус вписанной окружности.
Слайд 12Теорема 5: Радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы прямоугольного треугольника, равен полупериметру
этого треугольника, т.е. rc = p.
Доказательство. Пусть вневписанная окружность с центром в Ос касается продолжений катетов СВ и СА в точках А3 и В3 соответственно.
Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны прямым СВ и СА. Из теоремы 1 отрезки СА3 = СВ3 = p. Т.к. четырехугольник СВ3ОсА3 – квадрат, то rc = ОсА3 = СА3 = p.
Слайд 13Следствие: Т.к. для прямоугольного треугольника имеют место формулы p = 2R
+r = c + r, то получаем еще равенства rc = 2R + r = c + r.
Слайд 14Теорема 6: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме радиусов вневписанных окружностей, касающихся
катетов, т.е. c = ra + rb .
Доказательство. Т.к. четырехугольники СТаОаВ1 и СА1ОbTb – квадраты, то CTa = ra, CTb = rb. Из следствия 3 теоремы 1 имеем ra + rb = CTa + CTb = c.
Слайд 15Следствие: Т.к. rc = c + r, то получаем rc =
Слайд 16Теорема 7: Доказать, что катеты прямоугольного треугольника АВС с прямым углом
в вершине С могут быть найдены через радиусы rc , ra, rb вневписанных окружностей по формулам:
а) a = rc – rb и b = rc – ra;
б) a = 2rarc / ra + rc и b = 2rbrc/ rb + rc .
Доказательство. а) По следствию 2 теоремы 1 имеем rb = CTb = p – a. Т.к. по теореме 5 rc = p, то получаем a = rc – rb. Вторая формула доказывается аналогично.
б) Т.к. центры вневписанных окружностей Oa и Ос лежат на биссектрисе внешнего угла В треугольника АВС, то прямоугольные треугольники ОаТаВ и ОсА3В подобны по двум углам. Тогда из равенства отношения сторон, лежащих против равных углов, ОаТа/ОсА3 = ТаВ/ВА3, получаем ra/rc = a – ra/rc – a. Отсюда a = 2rarc / ra + rc.
Следствие. Из первых двух формул теоремы 7 получаем |a – b| = |ra – rb|.
Слайд 17Расстояния до центров вневписанных окружностей
Слайд 18Теорема 9: Расстояния между центрами вневписанных окружностей треугольника АВС могут быть
вычислены по формулам:
OaOb = c*
OaOc = b*
ObOc = a*
Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник CTaOa в котором CTa = p – b(следствие 2 теоремы 1) и OaTa = ra = (следствие 5 теоремы 2).
Используя теорему Пифагора, получаем:
СОа = = = .
Аналогично из прямоугольного треугольника CTbOb находим COb =
Тогда OaOb = COa + COb = + = c* .
Другие формулы доказываются аналогично.
Слайд 19Следствие. Расстояния от вершины С треугольника АВС до центров Oa и
Ob вневписанных окружностей соответственно равны:
СOa = и COb =
Замечание. Из прямоугольного треугольника СОсА1 можно найти расстояние от вершины С треугольника АВС до центра Ос вневписанной окружности:
СОс = =
Слайд 20Соотношения между величинами углов
Теорема 10: Сторона ВС треугольника АВС видна из
центра Oa вневписанной окружности, касающейся стороны С, под углом 90 – .
Доказательство. Т.к. BOa и COa – биссектрисы внешних углов треугольника АВС при вершинах В и С, то СВОа = 90 – и ВСОа = 90 – .
Отсюда получаем ВОаС = 180 – СВОа – ВСОа = 180 – (90 – + 90 – ) = 90 –
Применение свойств вневписанной окружности при решении геометрических задач
Необходимость изучения теории о замечательных точках треугольника, о вневписанной окружности и ее свойствах вызвана тем, что многие выпускники школ даже не приступают к задачам раздела С4. Актуальность изучения данной темы в том, что чаще всего именно геометрические задачи вызывают затруднения у абитуриентов и выпускников, участников математических олимпиад. Познакомить выпускников с понятием вневписанной окружности и ее свойствах необходимо как для расширения их кругозора, так и для умения решать задачи повышенной сложности.
Данный материал был предложен учащимся для ознакомления и подготовки к ЕГЭ.
Определение: Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон.
Теорема 1: У каждого треугольника три вневписанные окружности
1 свойство вневписанной окружности:
Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника (∠A) и биссектрис двух внешних углов (∠B и ∠C).
2 свойство вневписанной окружности:
Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.
3 свойство вневписанной окружности:
Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам. Длина отрезка касательной, проведённой к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.
4 свойство вневписанной окружности:
Площадь треугольника равна произведению радиуса вневписанной окружности на разность периметра и длины стороны треугольника касающейся вневписанной окружности
5 свойство вневписанной окружности:
где r, ra, rb, rc –соответственно радиусы вписанной и вневписанных окружностей
6 свойство вневписанной окружности:
7 свойство вневписанной окружности:
8 свойство вневписанной окружности :
9 свойство вневписанной окружности
Определение: Ортотреугольник это треугольник
∆abc вершины которого являются основаниями высот треугольника АВС.
Для ортотреугольника ( треугольника ∆abc) сам треугольник АВС является треугольником трех внешних биссектрис. Отрезки АВ, ВС и СА являются тремя внешними биссектрисами треугольника ∆abc.
Свойство 9 :
Исходный треугольник АВС является ортотреугольником треугольника OaObOc.
Свойство 10 :
Свойство 11 :
Доказательство всех свойств можно посмотреть по ссылке http://wiki.sch239.net/math-public/vnevpisannye_okruzhnosti
Применение свойств к решению задач части С4 из банка ЕГЭ
Задача 1.
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
«Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6».
Решение: Согласно свойству 6, произведение радиусов можно найти по формуле
rarbrc = rp2, где r-радиус вписанной в треугольник окружности, а р – полупериметр треугольника. Р = 4+5+6=15, р = 15/2.
r = S/p. Площадь найдем по формуле Герона: S =
Тогда rarbrc =
Ответ:
Задача 2
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
«Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21».
Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через радиус описанной окружности.
S=, тогда abc=S·4R. 4R=ra+rb+rc-r; S = rarbrc/p;
р2 = rarb+rarc+rbrc; p²=9·18+9·21+18·21=27²; S=9·18·21/27=126;
4R = ra + rb + rc – r; r = ra·rb·rc/p²; r = 9·18·21/27² = 14/3;
4R = 9+18+21- 14/3 = 130/3; abc = 126·130/7=5460
Ответ: 5460.
Задачи повышенной сложности
Задания Д11 C4 № 500964
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = b, BC = a и гипотенузой AB = c.
Пусть окружность с центром Oc радиуса rc касается гипотенузы в точке T, продолжений катетов BC и AC
− в точках M и N соответственно, а p — полупериметр треугольника ABC.
Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что CM = CB + BM = CB + BT и CN = CA + AN = CA + AT, поэтому
а так как CM = CN, то CM = p. Далее, пусть окружность с центром Oa радиуса ra касается катета BC в точке K, а продолжений сторон AB и AC — в точка P и Q соответственно. Рассуждая аналогично, получаем AQ = AP = p.
Четырехугольники NOcMC и KOaQC — квадраты, поэтому значит, ra < rc.
Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7.
Таким образом, возможны только такие случаи:
- Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7;
- либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17.
Предположим, что rc = 17 и ra = 7 (рис. 1).
Опустим перпендикуляр OaF из центра меньшей окружности на OcN. Тогда
Следовательно,
Пусть теперь rb = 17 и ra = 7. (рис 2)
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки Oa,C и Ob лежат на оной прямой.
Следовательно,
Ответ: 26 или
Задание 16 № 519666
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на его основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Решение.
а) Пусть b — боковая сторона треугольника, c — его основание, h — высота, опущенная на основание треугольника.
Радиус вневписанной окружности вычисляется по формуле где p — полупериметр треугольника, a — сторона, которой касается окружность.
Таким образом,
б) Пусть O2 — центр вписанной окружности. Проведем радиус в точку касания H. Трегольники AMC и CHO2 подобны по двум углам, поэтому
Так как R=h, то r= . Тогда CO 2 =3r. Найдем CH по теореме Пифагора. Получим, что СH=
Тогда
Откуда получаем
О твет: а) R=h ч.т.д
б) точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону в отношении 2:1
Таким образом: рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся для успешной сдачи итоговой аттестации.
Список используемой литературы:
1. Березин В.И. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике – Москва: Просвещение, 1985 год.
2. Гнеденко Б.Г. Энциклопедический словарь юного математика. –Москва: Просвещение, 1985 год
3.
5. Мальцев Д.А. « Математика. Все для ЕГЭ-2011» НИИ школьных технологий , 2010г.
6. Понарин Я.П. Элементарная геометрия / Я.П. Понарин. – Москва: МЦНМО, 2004 год.
7. Шарыгин И.Ф. « Геометрия 7-9» . учебник для общеобразовательных учреждений, – Москва. Дрофа. 2010г. (п. 8.1)
Список интернет ресурсов:
- Сайт президентского лицея № 239 СПб http://wiki.sch239.net/math-public/vnevpisannye_okruzhnosti
- Сайт «Решу ЕГЭ» https://ege.sdamgia.ru/
- Видеоуроки и лекции: Твоя-школа.рф www.ege-1.ru
- Онлайн-школа Фоксфорд https://foxford.ru/wiki/matematika/vnevpisannaya-okruzhnost-treugolnika
- Подготовка школьников к ЕГЭ «Учебные материалы Резольвента» https://www.resolventa.ru/
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и проведем биссектрису . Затем продолжим эту биссектрису за точку до пересечения в точке с биссектрисой внешнего угла при вершине В (рис.1). Поскольку точка лежит на биссектрисе угла А, то она равноудалена от прямых АВ и ВС. Следовательно, она равноудалена и от прямых АС и ВС, а значит, лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине С.
Итак,
Продолжение биссектрисы треугольника, проведенной из одной из вершин, пересекается с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в одной точке.
Поскольку точка равноудалена от сторон внешних углов при вершинах В и С, то окружность с центром , касающаяся стороны ВС, касается также и продолжений сторон АВ и АС (рис.2).
Эта окружность называется вневписанной окружностью треугольника АВС. Ясно, что любой треугольник имеет три вневписанных окружности. (рис.3).
Положение центра вневписанной окружности можно охарактеризовать так: это точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах В и С. Можно охарактеризовать его и совершенно иначе, если заметить, что точки , В и С и центр О вписанной в треугольник АВС окружности лежат на одной окружности с диаметром (рис.4), – это следует из того, что углы и прямые.
Можно сказать, таким образом, что точка представляет собой точку пересечения прямой и окружности, описанной около треугольника ВОС.
Принимая во внимание замечание в конце статьи (Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности), из этого можно сделать еще один вывод:
Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.
В самом деле, пусть D – точка пересечения продолжения биссектрисы с описанной около треугольника АВС окружностью (рис.5). Тогда согласно упомянутому замечанию DB = DC = DO. Следовательно, D – центр окружности, описанной около четырехугольника . Проведем из точек O, D и перпендикуляры к стороне ВС и обозначим их основания буквами P, Q и R соответственно (рис.6). Точки P и R являются точками касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной ВС, а точка Q – середина этой стороны. Но , значит, и PQ = QR, то есть точки P и R симметричны относительно точки Q.
Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника обладает еще одним замечательным свойством:
Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам.
Можно убедиться в этом самостоятельно, используя рис. 7.
При решении задач, связанных с нахождением площади треугольника, часто полезной бывает следующая формула. Пусть – радиус вневписанной окружности, касающейся стороны треугольника, равной а, р – полупериметр треугольника. Тогда
Обозначим эту формулу (1).
Действительно, если две другие стороны данного треугольника равны b и c (рис. 8), то
.
Замечание. Выпуклый четырехугольник может не иметь вписанной окружности, но он всегда имеет четыре вневписанные окружности.
Любопытно, что для площади S такого четырехугольника имеет место соотношение, похожее на формулу (1).
В самом деле, пусть стороны данного четырехугольника равны последовательно a, b, c и d; p – его полупериметр, и – радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных а и с. Допустим, что две другие стороны не параллельны (случай параллельных сторон рассмотрите самостоятельно). Продолжим их до пересечения в точке М (рис.9).
Пусть и – точки, в которых продолжения одной из сторон касаются вневписанных окружностей, причем лежит на окружности, вписанной в маленький треугольник. Площадь S четырехугольника равна, очевидно, разности площадей большого и маленького треугольников. Периметр маленького треугольника равен , а периметр большого треугольника равен
.
Применяя к большому треугольнику формулу (1), а к меньшему – формулу , выражающую его площадь через радиус вписанной окружности и полупериметр, получаем:
Обозначим эту формулу (2)
С другой стороны, из подобия треугольников и ( и – центры вневписанных окружностей) находим . Но отрезок равен полупериметру большого треугольника, то есть .
Поэтому из полученной пропорции можно найти :
.
Подставляя это выражение в равенство (2) получим:
.
Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях
Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.
lovestori22
+10
Решено
6 лет назад
Алгебра
5 – 9 классы
Найдите радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5.
Смотреть ответ
1
Ответ проверен экспертом
4
(9 оценок)
9
Dимасuk
6 лет назад
Светило науки – 4529 ответов – 19820 раз оказано помощи
Найдём площадь данного прямоугольного треугольника. Она равна половине произведения его катетов.
S = 1/2•3•4 = 6.
Найдём полуперимкти треугольника:
p = (3 + 4 + 5)/2 = 6
Радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы, равен R = S/(p – c), где с – длина гипотенузы
R = 6/(6 – 5) = 6/1 = 6.
Ответ: 6.
(9 оценок)
https://vashotvet.com/task/10428882
Вписанная (с центром I) и 3 вневписанные (с центрами в J) окружности в
Вневпи́санная окружность треугольника — окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. У любого треугольника существует три вневписанных окружности (в отличие от единственной вписанной).
Существование и единственность вневписанной окружности обусловлены тем, что биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром такой окружности.
Свойства[править | править код]
Здесь используются обозначения: — радиусы вневписанных окружностей с центрами , касающиеся соответственно сторон треугольника; — полупериметр треугольника; — радиус вписанной окружности; — радиус описанной окружности.
- Длина отрезка касательной, проведенной к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.
- Площадь треугольника последнее равенство по формуле Герона.[1]
- Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника
- Барицентрические координаты
- Теорема Эйлера для вневписанных окружностей: , где O — центр описанной окружности.
- Радикальный центр вневписанных окружностей — центр Шпикера (центр вписанной окружности срединного треугольника).
- Центры вписанной и вневписанных окружностей — неподвижные точки изогонального сопряжения.
- Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
- Три центра трех вневписанных окружностей данного треугольника образуют треугольник трёх внешних биссектрис.
- Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные в точках их пересечения с тремя вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке (следствие Теорем о вершинах подерного треугольника[2]).
- На прямой, проходящей через точки касания двух вневписанных окружностей треугольника с его сторонами, эти вневписанные окружности отсекают равные отрезки.
- Последнее можно сформулировать так. Если 2 вневписанные окружности треугольника касаются 2 его разных сторон и 2 их продолжений в 4 точках касания, то образуемый 4 последними точками, как вершинами, четырехугольник есть равнобокая трапеция, у которой равны 2 боковые стороны, а также равны две диагонали (касательные к 2 окружностям).
Построение вневписанной окружности треугольника
Замечание[править | править код]
Построение вневписанной окружности треугольника[править | править код]
Чтобы построить вневписанную окружность треугольника нужно[6]:
- Построить внешние углы для углов треугольника
- Провести биссектрисы построенных внешних углов до точки их пересечения. Точка пересечения биссектрис будет центром вневписанной окружности.
- Построить радиус окружности. Для этого провести перпендикуляр из точки пересечения биссектрис на продолжения одной из сторон.
- Провести окружность с центром в точке пересечения биссектрис и радиусом, равным длине построенного перпендикуляра.
Вневписанная окружность четырехугольника[править | править код]
Внеописанный четырёхугольник[править | править код]
- Внеописанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, продолжения всех четырёх сторон которого являются касательными к окружности (вне четырёхугольника)[7]. Окружность называется вневписанной. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении шести биссектрис.
- Замечание. Вписанную, описанную, а также вневписанную окружности можно провести не у всякого четырёхугольника. Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то условием его внеописанности является любое из двух условий ниже:
Литература[править | править код]
- Геометрия по Киселёву, §144.
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 44-48. — ISBN 5-94057-170-0.
- Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one // Mathematical Communications. — 2007. — Вып. 12.
Примечания[править | править код]
- ↑ Pathan, Alex, and Tony Collyer, “Area properties of triangles revisited, ” Mathematical Gazette 89, November 2005, 495—497.
- ↑ Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 137-138, п. 126, теорема.
- ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. – §b. The tritangent
centers. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Архивная копия от 30 июня 2020 на Wayback Machine - ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. – §120. Theorem (Fig. 51). P.74-75// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Архивная копия от 30 июня 2020 на Wayback Machine
- ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. – §648. Remark. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Архивная копия от 30 июня 2020 на Wayback Machine
- ↑ Вневписанные окружности. Построение. Матвокс. Энциклопедия математики. mathvox.ru. Дата обращения: 6 ноября 2018. Архивировано 7 ноября 2018 года.
- ↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007, с. 33—52.
См. также[править | править код]
- Внеописанный четырёхугольник
- Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
- Вписанная окружность
- Описанная окружность
- Теорема Мансиона
- Теорема о трезубце
- Теорема Фейербаха
- Треугольник точек касания вневписанных окружностей