Как найти радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника

Слайд 1ВНЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Слайд 2Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, к которой являются касательными одна из

сторон треугольника и продолжения двух других сторон.

Слайд 3Соотношение между длинами отрезков касательных
Теорема 1: Расстояние от вершины треугольника до

точки касания вневписанной окружности с продолжением стороны, содержащей ее, за вершину противолежащей стороны равно полупериметру треугольника.

Доказательство. Обозначим через В₁, С₁, и Та – точки касания вневписанной окружности с прямыми АС, АВ и ВС соответственно. Тогда СВ₁ = СТа, ВС₁ = ВТа и периметр треугольника АВС: P = AC + СТа + ВТа + АВ = АС + СВ₁ + ВС₁ + АВ = АВ₁ + АС₁. Т.к. АВ₁ = АС₁, то расстояния АВ₁ и АС₁ равны полупериметру треугольника АВС.

Слайд 4Следствие 1: Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой

вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам.
Примечание: В треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине. То же соблюдается и для вневписанной окружности.
AN = AK = p – a,
BM = BK = p – b,
CN = CM = p – c.

Слайд 5Следствие 2: Для отрезков касательных, связанных с вневписанными окружностями треугольника, выполняются

равенства:
ВТс = ВА1 = СТb = CA2 = p-a,
ATc = AB2 = CTa = CB1 = p-b,
BTa = BC1 = ATb = AC2 = p-c.
Следствие 3: Верны следующие равенства:
B2Tb = C2Tc = ATc + ATb = a,
C1Tc = A1Ta = BTc + BTa = b,
B1Tb = A2Ta = CTb + CTa = c.
Следствие 4: Расстояния между точками касаний вневписанных окружностей продолжений сторон за вершины треугольника равны:
C1C2 = a +b,
B1B2 = a + c,
A1A2 = b + c.

Из следствия 1

Получаются при попарном сложении равенств из следствия 2

Получаются при попарном сложении равенств из следствия 3

Слайд 6Формулы для вычисления радиусов вневписанных окружностей
Теорема 2: Радиус вневписанной окружности, касающейся

стороны ВС треугольника АВС, вычисляется по формуле ra =

Доказательство. Выполняются следующие равенства:
SABC = SOCA + SOBA – SOCB = 0,5rab + 0,5rac – 0,5raa = ra(p -a).
Аналогично получаются формулы:
rb = и rc =

Слайд 7Следствие 1: Большей стороне треугольника соответствует касающаяся её вневписанная окружность большего

радиуса и наоборот.
Следствие 2: Радиус вневписанной окружности треугольника больше радиуса окружности, вписанной в тот же треугольник.
Следствие 3: Площадь треугольника АВС может быть вычислена по формулам:
S = ra(p – a), S = rb(p – b), S = rc(p – c).

Слайд 8Следствие 4: Для отношения радиусов вписанной и вневписанных окружностей имеют место

равенства:
r/ra = , ra/rb = , ra/rc = .
Следствие 5: Используя формулу Герона, получим формулы для вычисления длин радиусов через стороны треугольника:

ra =

rb =

rc =

Слайд 9Теорема 3: Радиус вневписанной окружности, касающейся боковой стороны равнобедренного треугольника, равен

высоте треугольника, опущенной на основание.

Доказательство. Пусть Oa, Ob и Oc – центры вневписанных окружностей треугольника АВС, Ca, Cb и Tc – точки касания этих окружностей с прямой АВ.
Т.к. треугольник АВС – равнобедренный (АС = ВС), то высота, опущенная из вершины С, лежит на биссектрисе СОс угла С, и поэтому СОс ⊥ АВ. С другой стороны радиус ОсТс ⊥ АВ, следовательно, точка Тс лежит на биссектрисе угла С. Отсюда ОТс ⊥ АВ и СТс является высотой треугольника АВС. Заметим, что СОс ⊥ COb как биссектрисы внутреннего и внешнего угла треугольника при вершине С, СОс ⊥ АВ и ObCb ⊥ АВ. Следовательно, четырехугольник TcCObCb – прямоугольник. Значит, rb = ObCb = CTc.

Слайд 10Следствие: В равнобедренном треугольнике расстояние от вершины, лежащей напротив основания, до

центра вневписанной окружности, касающееся боковой стороны, равно боковой стороне.
Доказательство. Т.к. BCb = p = b + 0,5c, то получаем COb = TcCb = p – 0,5c = b.

Слайд 11Теорема 4: Радиусы вневписанных окружностей выражаются через стороны равнобедренного треугольника формулами:

ra = rb = и rc = 0,5c *

Доказательство. Из доказательства теоремы 3 следует, что CTc ⊥ AB и BTc = ATc = 0,5c. Из прямоугольного треугольника
TcCA rb = CTc =
Прямоугольные треугольники ОсТсА и ObCbA подобны по двум углам. Тогда
= = = . Отсюда = или rc =0,5c *
Следствие. Для равностороннего треугольника ra = rb = rc = =3r, где а – сторона треугольника и r – радиус вписанной окружности.

Слайд 12Теорема 5: Радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы прямоугольного треугольника, равен полупериметру

этого треугольника, т.е. rc = p.

Доказательство. Пусть вневписанная окружность с центром в Ос касается продолжений катетов СВ и СА в точках А3 и В3 соответственно.
Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны прямым СВ и СА. Из теоремы 1 отрезки СА3 = СВ3 = p. Т.к. четырехугольник СВ3ОсА3 – квадрат, то rc = ОсА3 = СА3 = p.

Слайд 13Следствие: Т.к. для прямоугольного треугольника имеют место формулы p = 2R

+r = c + r, то получаем еще равенства rc = 2R + r = c + r.

Слайд 14Теорема 6: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме радиусов вневписанных окружностей, касающихся

катетов, т.е. c = ra + rb .

Доказательство. Т.к. четырехугольники СТаОаВ1 и СА1ОbTb – квадраты, то CTa = ra, CTb = rb. Из следствия 3 теоремы 1 имеем ra + rb = CTa + CTb = c.

Слайд 15Следствие: Т.к. rc = c + r, то получаем rc =

Слайд 16Теорема 7: Доказать, что катеты прямоугольного треугольника АВС с прямым углом

в вершине С могут быть найдены через радиусы rc , ra, rb вневписанных окружностей по формулам:
а) a = rc – rb и b = rc – ra;
б) a = 2rarc / ra + rc и b = 2rbrc/ rb + rc .

Доказательство. а) По следствию 2 теоремы 1 имеем rb = CTb = p – a. Т.к. по теореме 5 rc = p, то получаем a = rc – rb. Вторая формула доказывается аналогично.
б) Т.к. центры вневписанных окружностей Oa и Ос лежат на биссектрисе внешнего угла В треугольника АВС, то прямоугольные треугольники ОаТаВ и ОсА3В подобны по двум углам. Тогда из равенства отношения сторон, лежащих против равных углов, ОаТа/ОсА3 = ТаВ/ВА3, получаем ra/rc = a – ra/rc – a. Отсюда a = 2rarc / ra + rc.

Следствие. Из первых двух формул теоремы 7 получаем |a – b| = |ra – rb|.

Слайд 17Расстояния до центров вневписанных окружностей

Слайд 18Теорема 9: Расстояния между центрами вневписанных окружностей треугольника АВС могут быть

вычислены по формулам:
OaOb = c*

OaOc = b*

ObOc = a*

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник CTaOa в котором CTa = p – b(следствие 2 теоремы 1) и OaTa = ra = (следствие 5 теоремы 2).
Используя теорему Пифагора, получаем:

СОа = = = .

Аналогично из прямоугольного треугольника CTbOb находим COb =

Тогда OaOb = COa + COb = + = c* .

Другие формулы доказываются аналогично.

Слайд 19Следствие. Расстояния от вершины С треугольника АВС до центров Oa и

Ob вневписанных окружностей соответственно равны:
СOa = и COb =

Замечание. Из прямоугольного треугольника СОсА1 можно найти расстояние от вершины С треугольника АВС до центра Ос вневписанной окружности:
СОс = =

Слайд 20Соотношения между величинами углов
Теорема 10: Сторона ВС треугольника АВС видна из

центра Oa вневписанной окружности, касающейся стороны С, под углом 90 – .

Доказательство. Т.к. BOa и COa – биссектрисы внешних углов треугольника АВС при вершинах В и С, то СВОа = 90 – и ВСОа = 90 – .

Отсюда получаем ВОаС = 180 – СВОа – ВСОа = 180 – (90 – + 90 – ) = 90 –

Источник

Применение свойств вневписанной окружности при решении геометрических задач

Необходимость изучения теории о замечательных точках треугольника, о вневписанной окружности и ее свойствах вызвана тем, что многие выпускники школ даже не приступают к задачам раздела С4. Актуальность изучения данной темы в том, что чаще всего именно геометрические задачи вызывают затруднения у абитуриентов и выпускников, участников математических олимпиад. Познакомить выпускников с понятием вневписанной окружности и ее свойствах необходимо как для расширения их кругозора, так и для умения решать задачи повышенной сложности.

Данный материал был предложен учащимся для ознакомления и подготовки к ЕГЭ.

Определение: Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон.

Теорема 1: У каждого треугольника три вневписанные окружности

1 свойство вневписанной окружности:

Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника (∠A) и биссектрис двух внешних углов (∠B и ∠C).

2 свойство вневписанной окружности:

Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.

3 свойство вневписанной окружности:

Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам. Длина отрезка касательной, проведённой к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.

4 свойство вневписанной окружности:

Площадь треугольника равна произведению радиуса вневписанной окружности на разность периметра и длины стороны треугольника касающейся вневписанной окружности

5 свойство вневписанной окружности:

где r, ra, rb, rc –соответственно радиусы вписанной и вневписанных окружностей

6 свойство вневписанной окружности:

7 свойство вневписанной окружности:

8 свойство вневписанной окружности :

9 свойство вневписанной окружности

Определение: Ортотреугольник это треугольник

∆abc вершины которого являются основаниями высот треугольника АВС.

Для ортотреугольника ( треугольника ∆abc) сам треугольник АВС является треугольником трех внешних биссектрис. Отрезки АВ, ВС и СА являются тремя внешними биссектрисами треугольника ∆abc.

Свойство 9 :

Исходный треугольник АВС является ортотреугольником треугольника OaObOc.

Свойство 10 :

Свойство 11 :

Доказательство всех свойств можно посмотреть по ссылке http://wiki.sch239.net/math-public/vnevpisannye_okruzhnosti

Применение свойств к решению задач части С4 из банка ЕГЭ

Задача 1.
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

«Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6».

Решение: Согласно свойству 6, произведение радиусов можно найти по формуле

rarbrc = rp2, где r-радиус вписанной в треугольник окружности, а р – полупериметр треугольника. Р = 4+5+6=15, р = 15/2.

r = S/p. Площадь найдем по формуле Герона: S =

Тогда rarbrc =

Ответ:

Задача 2
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

«Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21».

Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через радиус описанной окружности.

S=, тогда abc=S·4R. 4R=ra+rb+rc-r; S = rarbrc/p;

р2 = rarb+rarc+rbrc; p²=9·18+9·21+18·21=27²; S=9·18·21/27=126;

4R = ra + rb + rc – r; r = ra·rb·rc/p²; r = 9·18·21/27² = 14/3;

4R = 9+18+21- 14/3 = 130/3; abc = 126·130/7=5460

Ответ: 5460.

Задачи повышенной сложности

Задания Д11 C4 № 500964

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = b, BC = a и гипотенузой AB = c.

Пусть окружность с центром Oc радиуса rc касается гипотенузы в точке T, продолжений катетов BC и AC

− в точках M и N соответственно, а p — полупериметр треугольника ABC.

Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что CM = CB + BM = CB + BT и CN = CA + AN = CA + AT, поэтому

а так как CM = CN, то CM = p. Далее, пусть окружность с центром Oa радиуса ra касается катета BC в точке K, а продолжений сторон AB и AC — в точка P и Q соответственно. Рассуждая аналогично, получаем AQ = AP = p.

Четырехугольники NOcMC и KOaQC — квадраты, поэтому значит, ra < rc.

Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7.

Таким образом, возможны только такие случаи:

Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7;
либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17.

Предположим, что rc = 17 и ra = 7 (рис. 1).

Опустим перпендикуляр OaF из центра меньшей окружности на OcN. Тогда

Следовательно,

Пусть теперь rb = 17 и ra = 7. (рис 2)

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки Oa,C и Ob лежат на оной прямой.

Следовательно,

Ответ: 26 или

Задание 16 № 519666

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на его основание.

б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Решение.

а) Пусть b — боковая сторона треугольника, c — его основание, h — высота, опущенная на основание треугольника.

Радиус вневписанной окружности вычисляется по формуле где p — полупериметр треугольника, a — сторона, которой касается окружность.

Таким образом,

б) Пусть O2 — центр вписанной окружности. Проведем радиус в точку касания H. Трегольники AMC и CHO2 подобны по двум углам, поэтому

Так как R=h, то r= . Тогда CO 2 =3r. Найдем CH по теореме Пифагора. Получим, что СH=

Тогда

Откуда получаем

О твет: а) R=h ч.т.д

б) точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону в отношении 2:1

Таким образом: рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся для успешной сдачи итоговой аттестации.

Список используемой литературы:

1. Березин В.И. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике – Москва: Просвещение, 1985 год.

2. Гнеденко Б.Г. Энциклопедический словарь юного математика. –Москва: Просвещение, 1985 год

5. Мальцев Д.А. « Математика. Все для ЕГЭ-2011» НИИ школьных технологий , 2010г.

6. Понарин Я.П. Элементарная геометрия / Я.П. Понарин. – Москва: МЦНМО, 2004 год.

7. Шарыгин И.Ф. « Геометрия 7-9» . учебник для общеобразовательных учреждений, – Москва. Дрофа. 2010г. (п. 8.1)

Список интернет ресурсов:

Сайт президентского лицея № 239 СПб http://wiki.sch239.net/math-public/vnevpisannye_okruzhnosti
Сайт «Решу ЕГЭ» https://ege.sdamgia.ru/
Видеоуроки и лекции: Твоя-школа.рф www.ege-1.ru
Онлайн-школа Фоксфорд https://foxford.ru/wiki/matematika/vnevpisannaya-okruzhnost-treugolnika
Подготовка школьников к ЕГЭ «Учебные материалы Резольвента» https://www.resolventa.ru/

Источник

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и проведем биссектрису . Затем продолжим эту биссектрису за точку до пересечения в точке с биссектрисой внешнего угла при вершине В (рис.1). Поскольку точка лежит на биссектрисе угла А, то она равноудалена от прямых АВ и ВС. Следовательно, она равноудалена и от прямых АС и ВС, а значит, лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине С.

Итак,

Продолжение биссектрисы треугольника, проведенной из одной из вершин, пересекается с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в одной точке.

Поскольку точка равноудалена от сторон внешних углов при вершинах В и С, то окружность с центром , касающаяся стороны ВС, касается также и продолжений сторон АВ и АС (рис.2).

Эта окружность называется вневписанной окружностью треугольника АВС. Ясно, что любой треугольник имеет три вневписанных окружности. (рис.3).

Положение центра вневписанной окружности можно охарактеризовать так: это точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах В и С. Можно охарактеризовать его и совершенно иначе, если заметить, что точки , В и С и центр О вписанной в треугольник АВС окружности лежат на одной окружности с диаметром (рис.4), – это следует из того, что углы и прямые.

Можно сказать, таким образом, что точка представляет собой точку пересечения прямой и окружности, описанной около треугольника ВОС.

Принимая во внимание замечание в конце статьи (Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности), из этого можно сделать еще один вывод:

Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.

В самом деле, пусть D – точка пересечения продолжения биссектрисы с описанной около треугольника АВС окружностью (рис.5). Тогда согласно упомянутому замечанию DB = DC = DO. Следовательно, D – центр окружности, описанной около четырехугольника . Проведем из точек O, D и перпендикуляры к стороне ВС и обозначим их основания буквами P, Q и R соответственно (рис.6). Точки P и R являются точками касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной ВС, а точка Q – середина этой стороны. Но , значит, и PQ = QR, то есть точки P и R симметричны относительно точки Q.

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника обладает еще одним замечательным свойством:

Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам.

Можно убедиться в этом самостоятельно, используя рис. 7.

При решении задач, связанных с нахождением площади треугольника, часто полезной бывает следующая формула. Пусть – радиус вневписанной окружности, касающейся стороны треугольника, равной а, р – полупериметр треугольника. Тогда

Обозначим эту формулу (1).

Действительно, если две другие стороны данного треугольника равны b и c (рис. 8), то

$[S = S_{ACO_a}+ S_{ABO_a} - S_{BCO_a} =]$

$[= frac {1}{2} cdot b cdot {R_a} + frac {1}{2} cdot c cdot {R_a}-frac {1}{2} cdot a cdot {R_a} =]$

$[= R_a cdot {(p - a)}]$

Замечание. Выпуклый четырехугольник может не иметь вписанной окружности, но он всегда имеет четыре вневписанные окружности.

Любопытно, что для площади S такого четырехугольника имеет место соотношение, похожее на формулу (1).

В самом деле, пусть стороны данного четырехугольника равны последовательно a, b, c и d; p – его полупериметр, ${R_a}$ и ${R_c}$ – радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных а и с. Допустим, что две другие стороны не параллельны (случай параллельных сторон рассмотрите самостоятельно). Продолжим их до пересечения в точке М (рис.9).

Пусть и – точки, в которых продолжения одной из сторон касаются вневписанных окружностей, причем лежит на окружности, вписанной в маленький треугольник. Площадь S четырехугольника равна, очевидно, разности площадей большого и маленького треугольников. Периметр маленького треугольника равен , а периметр большого треугольника равен

Применяя к большому треугольнику формулу (1), а к меньшему – формулу , выражающую его площадь через радиус вписанной окружности и полупериметр, получаем:

Обозначим эту формулу (2)

С другой стороны, из подобия треугольников и ( и – центры вневписанных окружностей) находим $frac {MK_1}{MK_2} = frac {R_c}{R_a}$ . Но отрезок равен полупериметру большого треугольника, то есть .

Поэтому из полученной пропорции можно найти :

$[MK_1 = frac {R_c}{R_a - R_c} cdot p]$

Подставляя это выражение в равенство (2) получим:

$[S = {R_a} cdot {(p-a) + {R_c} cdot {(p-c)}]$

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

Источник

lovestori22

+10

Решено

6 лет назад

Алгебра

5 – 9 классы

Найдите радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5.

Смотреть ответ

Ответ проверен экспертом

4
(9 оценок)

Dимасuk
6 лет назад

Светило науки – 4529 ответов – 19820 раз оказано помощи

Найдём площадь данного прямоугольного треугольника. Она равна половине произведения его катетов.
S = 1/2•3•4 = 6.
Найдём полуперимкти треугольника:
p = (3 + 4 + 5)/2 = 6
Радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы, равен R = S/(p – c), где с – длина гипотенузы
R = 6/(6 – 5) = 6/1 = 6.
Ответ: 6.

(9 оценок)

https://vashotvet.com/task/10428882

Источник

Вписанная (с центром I) и 3 вневписанные (с центрами в J) окружности в

Вневпи́санная окружность треугольника — окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. У любого треугольника существует три вневписанных окружности (в отличие от единственной вписанной).

Существование и единственность вневписанной окружности обусловлены тем, что биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром такой окружности.

Свойства[править | править код]

Здесь используются обозначения: ${displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}}$ — радиусы вневписанных окружностей с центрами ${displaystyle J_{A},J_{B},J_{C}}$ , касающиеся соответственно сторон a,b,c треугольника; — полупериметр треугольника; — радиус вписанной окружности; — радиус описанной окружности.

Длина отрезка касательной, проведенной к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.
Площадь треугольника ${displaystyle S=r_{a}(p-a)=r_{b}(p-b)=r_{c}(p-c)={frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}}={sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}},}$ последнее равенство по формуле Герона.^[1]
${displaystyle {frac {1}{r}}={frac {1}{r_{a}}}+{frac {1}{r_{b}}}+{frac {1}{r_{c}}}}$
${displaystyle 4R=r_{a}+r_{b}+r_{c}-r}$
Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника ${displaystyle Delta I_{1}I_{2}I_{3}}$
Барицентрические координаты ${displaystyle J_{A}=(-a,b,c)}$
Теорема Эйлера для вневписанных окружностей: ${displaystyle OI_{i}^{2}=R^{2}+2Rr_{i}}$ , где O — центр описанной окружности.
${displaystyle r_{a}r_{b}=p(p-c);rr_{a}=(p-b)(p-c)}$
Радикальный центр вневписанных окружностей — центр Шпикера (центр вписанной окружности срединного треугольника).
Центры вписанной и вневписанных окружностей — неподвижные точки изогонального сопряжения.
Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
Три центра трех вневписанных окружностей данного треугольника образуют треугольник трёх внешних биссектрис.
Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные в точках их пересечения с тремя вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке (следствие Теорем о вершинах подерного треугольника^[2]).
На прямой, проходящей через точки касания двух вневписанных окружностей треугольника с его сторонами, эти вневписанные окружности отсекают равные отрезки.
Последнее можно сформулировать так. Если 2 вневписанные окружности треугольника касаются 2 его разных сторон и 2 их продолжений в 4 точках касания, то образуемый 4 последними точками, как вершинами, четырехугольник есть равнобокая трапеция, у которой равны 2 боковые стороны, а также равны две диагонали (касательные к 2 окружностям).

Построение вневписанной окружности треугольника

Замечание[править | править код]

Построение вневписанной окружности треугольника[править | править код]

Чтобы построить вневписанную окружность треугольника нужно^[6]:

Построить внешние углы для углов треугольника
Провести биссектрисы построенных внешних углов до точки их пересечения. Точка пересечения биссектрис будет центром вневписанной окружности.
Построить радиус окружности. Для этого провести перпендикуляр из точки пересечения биссектрис на продолжения одной из сторон.
Провести окружность с центром в точке пересечения биссектрис и радиусом, равным длине построенного перпендикуляра.

Вневписанная окружность четырехугольника[править | править код]

Внеописанный четырёхугольник[править | править код]

Внеописанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, продолжения всех четырёх сторон которого являются касательными к окружности (вне четырёхугольника)^[7]. Окружность называется вневписанной. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении шести биссектрис.
Замечание. Вписанную, описанную, а также вневписанную окружности можно провести не у всякого четырёхугольника. Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то условием его внеописанности является любое из двух условий ниже:

{displaystyle AB+BC=AD+DCquad Leftrightarrow quad AE+EC=AF+FC.}

Литература[править | править код]

Геометрия по Киселёву, §144.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 44-48. — ISBN 5-94057-170-0.
Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one // Mathematical Communications. — 2007. — Вып. 12.

Примечания[править | править код]

↑ Pathan, Alex, and Tony Collyer, “Area properties of triangles revisited, ” Mathematical Gazette 89, November 2005, 495—497.
↑ Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 137-138, п. 126, теорема.
↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. – §b. The tritangent
centers. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Архивная копия от 30 июня 2020 на Wayback Machine
↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. – §120. Theorem (Fig. 51). P.74-75// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Архивная копия от 30 июня 2020 на Wayback Machine
↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. – §648. Remark. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Архивная копия от 30 июня 2020 на Wayback Machine
↑ Вневписанные окружности. Построение. Матвокс. Энциклопедия математики. mathvox.ru. Дата обращения: 6 ноября 2018. Архивировано 7 ноября 2018 года.
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007, с. 33—52.

См. также[править | править код]

Внеописанный четырёхугольник
Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
Вписанная окружность
Описанная окружность
Теорема Мансиона
Теорема о трезубце
Теорема Фейербаха
Треугольник точек касания вневписанных окружностей

Источник

Слайд 1ВНЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Слайд 2Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, к которой являются касательными одна из

Слайд 3Соотношение между длинами отрезков касательныхТеорема 1: Расстояние от вершины треугольника до

Слайд 4Следствие 1: Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой

Слайд 5Следствие 2: Для отрезков касательных, связанных с вневписанными окружностями треугольника, выполняются

Слайд 6Формулы для вычисления радиусов вневписанных окружностейТеорема 2: Радиус вневписанной окружности, касающейся

Слайд 7Следствие 1: Большей стороне треугольника соответствует касающаяся её вневписанная окружность большего

Слайд 8Следствие 4: Для отношения радиусов вписанной и вневписанных окружностей имеют место

Слайд 9Теорема 3: Радиус вневписанной окружности, касающейся боковой стороны равнобедренного треугольника, равен

Слайд 10Следствие: В равнобедренном треугольнике расстояние от вершины, лежащей напротив основания, до

Слайд 11Теорема 4: Радиусы вневписанных окружностей выражаются через стороны равнобедренного треугольника формулами:

Слайд 12Теорема 5: Радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы прямоугольного треугольника, равен полупериметру

Слайд 13Следствие: Т.к. для прямоугольного треугольника имеют место формулы p = 2R

Слайд 14Теорема 6: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме радиусов вневписанных окружностей, касающихся

Слайд 15Следствие: Т.к. rc = c + r, то получаем rc =

Слайд 16Теорема 7: Доказать, что катеты прямоугольного треугольника АВС с прямым углом

Слайд 17Расстояния до центров вневписанных окружностей

Слайд 18Теорема 9: Расстояния между центрами вневписанных окружностей треугольника АВС могут быть

Слайд 19Следствие. Расстояния от вершины С треугольника АВС до центров Oa и

Слайд 20Соотношения между величинами угловТеорема 10: Сторона ВС треугольника АВС видна из

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Свойства[править | править код]

Замечание[править | править код]

Построение вневписанной окружности треугольника[править | править код]

Вневписанная окружность четырехугольника[править | править код]

Внеописанный четырёхугольник[править | править код]

Литература[править | править код]

Примечания[править | править код]

См. также[править | править код]

Вам также может понравиться

Как найти человека который не предаст

Как найти аирподс один наушник с кейсом

Как исправить глубокий прикус зубов

Добавить комментарий Отменить ответ

Слайд 3Соотношение между длинами отрезков касательных
Теорема 1: Расстояние от вершины треугольника до

Слайд 6Формулы для вычисления радиусов вневписанных окружностей
Теорема 2: Радиус вневписанной окружности, касающейся

Слайд 20Соотношения между величинами углов
Теорема 10: Сторона ВС треугольника АВС видна из