Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник
a – сторона шестиугольника
Формула радиуса вписанной окружности в шестиугольник, (r):
Калькулятор – вычислить, найти радиус вписанной окружности в шестиугольник
- Подробности
-
Автор: Administrator
-
Опубликовано: 10 сентября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Шестиугольник является правильным многоугольником, так как у него все стороны и углы равны. А значит, в любой шестиугольник можно вписать окружность.
Точка O –центр правильного многоугольника, также является центром вписанной в него окружности.
Центр правильного многоугольника равноудален от его сторон. Отрезок, соединяющий центр с точкой касания вписанной окружности называется апофемом и является радиусом вписанной окружности.
Существует классическая формула для нахождения радиуса вписанной окружности в правильный многоугольник
Для правильного шестиугольника n=6, тогда угол будет равен 
По тригонометрической таблице tg(30°)=
Тогда формула радиуса вписанной окружности в шестиугольник имеет следующий вид
Радиус вписанной окружности в шестиугольник равен половине произведения стороны и корня квадратного из 3
Пример расчета радиуса окружности вписанной в шестиугольник
Найдите радиус окружности вписанной в правильный шестиугольник со стороной 6
Применив формулу радиуса вписанной окружности в шестиугольник, имеем
Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь
Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.
Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.
Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.
Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?
Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников. 
Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .
Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.
, где — сторона правильного шестиугольника.
Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.
Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .
Радиус такой окружности равен .
. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.
Радиус вписанной окружности в шестиугольник
По определению, правильным шестиугольником является выпуклый многоугольник с шестью вершинами и шестью равными сторонами и внутренними углами. Сумма его углов определяется, как произведение 180° на (n-2), при этом n — количество сторон, равное в данном случае 6. Соответственно, сумма углов составит 720° (180° х (6 — 2)), а величина внутреннего угла — 120°. В правильный шестиугольник можно легко вписать окружность. Стороны шестиугольника будут касательны к вписанной окружности. Центры правильного шестиугольника и вписанной окружности совпадают.
Радиус вписанной окружности рассчитывается по формуле:
а — сторона шестиугольника.
Т.е. радиус равняется половине корня из трех, умноженному на величину его стороны. В правильном 6-угольнике радиус R описанной окружности равняется его стороне. Следовательно, r вписанной окружности можно рассчитать, как половину корня из трех, умноженному на R описанной окружности.
Быстро и правильно рассчитать радиус вписанной в заданный 6-угольник окружности можно с помощью онлайн калькулятора.
Нахождение радиуса вписанной в правильный многоугольник окружности
В публикации представлена формула, с помощью которой можно найти радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, а также приведен пример решения задачи для лучшего понимания представленного материала.
Формула расчета радиуса окружности
На рисунке изображен правильный шестиугольник со вписанной в него окружностью, но формула ниже подходит для любого правильного n-угольника.
где a – длина стороны.
Примечание: зная радиус вписанного круга можно найти сторону равностороннего n-угольника:
Пример задачи
Вычислите радиус вписанной в правильный восьмиугольник окружности, если длина его стороны составляет 12 см.
Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее известное значение.
[spoiler title=”источники:”]
[/spoiler]
Радиус вписанной окружности в шестиугольник
Радиус вписанной окружности
По определению, правильным шестиугольником является выпуклый многоугольник с шестью вершинами и шестью равными сторонами и внутренними углами. Сумма его углов определяется, как произведение 180° на (n-2), при этом n — количество сторон, равное в данном случае 6. Соответственно, сумма углов составит 720° (180° х (6 — 2)), а величина внутреннего угла — 120°. В правильный шестиугольник можно легко вписать окружность. Стороны шестиугольника будут касательны к вписанной окружности. Центры правильного шестиугольника и вписанной окружности совпадают.
Радиус вписанной окружности рассчитывается по формуле:
а — сторона шестиугольника.
Т.е. радиус равняется половине корня из трех, умноженному на величину его стороны. В правильном 6-угольнике радиус R описанной окружности равняется его стороне. Следовательно, r вписанной окружности можно рассчитать, как половину корня из трех, умноженному на R описанной окружности.
Быстро и правильно рассчитать радиус вписанной в заданный 6-угольник окружности можно с помощью онлайн калькулятора.
Окружность, вписанная в правильный шестиугольник
Содержание:
- Что такое правильный шестиугольник
- Основные свойства правильного шестиугольника
-
Нахождение радиуса вписанной окружности
- Классическая формула для нахождения радиуса вписанной окружности правильного многоугольника
- Периметр правильного шестиугольника
Что такое правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник или гексагон — выпуклый шестиугольник, у которого все стороны и углы равны.
Сумма всех углов n–угольника равна 180°(n−2). Каждый угол правильного n–угольника равен (α_n=frac{left(n-2right)}n180°). Следовательно углы правильного шестиугольника равны (frac{left(6-2right)}6180°=120°).
Основные свойства правильного шестиугольника
- У гексагона все внутренние углы равны между собой.
- Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°.
- Все стороны гексагона равны между собой.
- Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне.
- Большая диагональ правильного шестиугольника равна диаметру описанной около него окружности или сумме двух его сторон.
- Меньшая диагональ правильного шестиугольника в (sqrt3) раз больше его стороны.
- Меньшая диагональ правильного шестиугольника и две его противолежащие стороны перпендикулярны друг другу.
- Меньшая диагональ правильного шестиугольника равна удвоенному радиусу вписанной в него окружности.
- Правильный шестиугольник замещает плоскость, это значит заполняет ее без пробелов и наложений.
- Диагонали правильного шестиугольника пересекаются в одной точке и делят его на 6 равных равносторонних треугольников. Высота этих треугольников равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности.
- При поворотах относительно центра на угол, кратный 60°, правильный шестиугольник переходит в себя.
- Треугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями — прямоугольный. Гипотенузой такого треугольника является большая диагональ. Его острые углы равны 30° и 60°.
У изображенного правильного шестиугольника ∠А=∠В=∠С=∠D=∠Е=∠F=120°. Стороны равны между собой АВ=ВС=СD=DE=EF=FA. Точка О — центр пересечения диагоналей. Большая диагональ AD=2АВ. Меньшая диагональ (СА=sqrt3·АВ).
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Теорема 1
В любой правильный шестиугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Следствие из теоремы:
- Центры вписанной и описанной окружности у правильного шестиугольника (как и у любого правильного многоугольника) совпадают.
- Радиус вписанной окружности равен перпендикуляру, проведенному из центра к любой стороне правильного шестиугольника.
Нахождение радиуса вписанной окружности
В шестиугольник АВСDEF вписана окружность. Ее центр находится на пересечении диагоналей в точке О. Если известна сторона данного шестиугольника, то можно найти радиус вписанной окружности, рассмотрев прямоугольный треугольник (А_1ОВ). Гипотенуза (ΔА_1ОВ) равна стороне шестиугольника, ОВ=АВ. Перпендикуляр (ОА_1) делит сторону АВ пополам, то есть (А_1В=frac12·АВ=frac12·ОВ). Так как (ОВ^2=ОА_1^2+А_1В^2), то (ОА_1=sqrt{ОB^2-A_1В^2}=sqrt{ОB^2-A_1В^2}=sqrt{0B^2-left(frac12cdot0Bright)^2}=frac{sqrt3}2OB). Получаем следующую формулу:
Формула 1
(r=frac{sqrt3}2·a)
где r — радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник,
а — сторона правильного шестиугольника.
Классическая формула для нахождения радиуса вписанной окружности правильного многоугольника
Существует классическая формула, с помощью которой можно вычислить радиус окружности, вписанной в любой правильный многоугольник.
Формула 2
(r=frac a{2tgfrac{180^0}n})
где r — радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник,
а — сторона правильного многоугольника,
n — количество вершин многоугольника.
Для правильного шестиугольника n=6.
(r=frac a{2tgfrac{180^0}6}=frac a{2tg30^0}.)
Так как (tg30^0=frac1{sqrt3}), то (r=frac{sqrt3}2·a). То есть, получаем формулу, найденную выше.
Периметр правильного шестиугольника
Если известен радиус вписанной окружности, то периметр правильного шестиугольника можно найти по формуле:
Формула 3
(Р=4sqrt3r)
где Р — периметр правильного шестиугольника,
r — радиус вписанной в него окружности.
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 5.00 (Голосов: 1)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
