В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в ромб. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
-
Формулы вычисления радиуса вписанной в ромб окружности
- Через диагонали и сторону
- Через диагонали
-
Через сторону и угол
- Через высоту
- Примеры задач
Формулы вычисления радиуса вписанной в ромб окружности
Через диагонали и сторону
Радиус r вписанной в ромб окружности равняется произведению его диагоналей, деленному на сторону, умноженную на 4.
- d1 и d2 – диагонали ромба;
- a – сторона ромба.
Через диагонали
Радиус r вписанной в ромб окружности можно найти, зная только длины его обеих диагоналей:
Эту формулу можно получить, если сторону a в формуле выше выразить через диагонали (согласно одному из свойств ромба):
Через сторону и угол
Радиус окружности r, вписанной в ромб, равняется половине произведения его стороны и синуса любого угла.
Через высоту
Радиус вписанного в ромб круга равняется половине его высоты.
- h (или GF) – высота ромба;
- h = 2r.
Примеры задач
Задание 1
Известно, что диагонали ромба равны 6 и 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в него.
Решение
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известные значения:
Задание 2
Вычислите радиус вписанного в ромб круга, если его сторона равна 11 см, а один из углов – 30°.
Решение
В данном случае мы можем воспользоваться последней из рассмотренных выше формул:
Окружность, вписанная в ромб
Ромб — это параллелограмм с четырьмя равными сторонами.
Квадрат — частный случай ромба; это ромб, все углы которого прямые.
Вписанная в ромб окружность — это окружность, которая лежит внутри ромба и касается всех его сторон.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Окружность можно вписать в многоугольник, у которого равны суммы противолежащих сторон. Ромб соответствует этому условию, поэтому в ромб можно вписать окружность.
Свойства ромба и вписанной окружности
- в любой ромб можно вписать окружность;
- точка пересечения диагоналей ромба является центром окружности, вписанной в ромб.
Как найти радиус, основные способы
Радиус вписанной окружности, если известны диагонали и сторона
Радиус r вписанной в ромб окружности равен произведению его диагоналей, деленному на периметр или на сторону, умноженную на 4.
Формула 1
(r=frac{d_1d_2}Р=frac{d_1d_2}{4a})
где r — радиус вписанной окружности,
d1 и d2 — диагонали ромба,
a — сторона ромба,
Р — периметр ромба.
У изображенного ромба АВСD сторона равна а. Большая диагональ BD равна (d_1), меньшая диагональ АС равна (d_2). Радиус вписанной окружности:
(r=frac{d_1d_2}{4a}=frac{BDcdot AC}{4cdot АВ}).
Если известны только диагонали ромба
Формула 2
(r=frac{d_1d_2}{2sqrt{left(d_1right)^2+left(d_2right)^2}})
где r — радиус вписанной окружности,
d1 и d2 — диагонали ромба.
Эту формулу можно получить из предыдущей.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, делятся точкой пересечения пополам, и разбивают ромб на четыре прямоугольных треугольника.
Рассмотрим один из таких треугольников — ΔАВО. Сторона ромба АВ является гипотенузой ΔАВО.
Если известны диагонали ромба BD, равная (d_1) и АС, равная (d_2), то катеты ВО и АО ΔАВО будут равны (frac{d_1}2) и (frac{d_2}2) соответственно.
Выразим гипотенузу АВ треугольника АВО через его катеты ВО и АО.
Согласно теореме Пифагора (АВ=sqrt{ВО^2+АО^2}=sqrt{left(frac{d_1}2right)^2+left(frac{d_2}2right)^2}).
Подставив в формулу (r=frac{d_1d_2}p=frac{d_1d_2}{4a}) значение (а=sqrt{left(frac{d_1}2right)^2+left(frac{d_2}2right)^2}) и упростив выражение,
получаем (r=frac{d_1d_2}{2sqrt{left(d_1right)^2+left(d_2right)^2}}).
Если известны сторона и угол
Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине произведения его стороны и синуса любого внутреннего угла ромба.
Формула 3
(r=frac{acdotsinalpha}2=frac{acdotsinbeta}2)
где r — радиус вписанной окружности,
α и β — внутренние углы ромба,
a — сторона ромба.
Если известна высота ромба
Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты.
Формула 4
(r=frac h2)
где r — радиус вписанной окружности,
h — высота ромба.
Из этой формулы следует, что высота ромба равна диаметру вписанной в него окружности.
Если известны площадь ромба и его сторона
Формула 5
(r=frac S{2a}=frac Sр)
где r — радиус вписанной окружности,
S — площадь ромба,
a — сторона ромба,
р — полупериметр ромба.
Вычисление радиуса через отрезки m и n
Вписанная окружность касается стороны ромба. Точка касания делит сторону ромба на два отрезка. Пусть это будут отрезки m и n.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, ΔАОD — прямоугольный. Высота ΔАОD к стороне АD равна радиусу вписанной в ромб АВСD окружности.
По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, (ОК=sqrt{АКcdot КD}).
Следовательно, радиус вписанной в ромб окружности равен среднему пропорциональному между отрезками, на которые делит сторону ромба точка касания.
Формула 6
(r=sqrt{mcdot n})
где r — радиус вписанной окружности,
m и n — отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания.
Задачи с решениями
Задача 1
Дано: ромб с диагоналями 6 см и 8 см.
Найти: радиус вписанной в ромб окружности.
Решение: так как известны диагонали ромба,
применим формулу (r=frac{d_1d_2}{2sqrt{left(d_1right)^2+left(d_2right)^2}}).
(r=frac{6cdot8}{2sqrt{6^2+8^2}}=2,4 (см).)
Ответ: радиус вписанной в ромб окружности равен 2,4 см.
Задача 2
Дано: ромб, сторона которого равна 16 см, а острый угол ромба — 30°.
Найти: радиус вписанной в ромб окружности.
Решение: применим формулу (r=frac{acdotsinalpha}2.)
(r=frac{16cdot0,5}2=frac82=4 (см).)
Ответ: радиус вписанной в ромб окружности равен 4 см.
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол
a – сторона ромба
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α – острый угол
О – центр вписанной окружности
r – радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :
2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты
a – сторона ромба
h – высота
О – центр вписанной окружности
r – радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :
- Подробности
-
Опубликовано: 10 сентября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Радиус вписанной окружности в ромб
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол
a – сторона ромба
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α – острый угол
О – центр вписанной окружности
r – радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :
2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты
a – сторона ромба
h – высота
О – центр вписанной окружности
r – радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :
Нахождение радиуса вписанной в ромб окружности
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в ромб. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
Формулы вычисления радиуса вписанной в ромб окружности
Через диагонали и сторону
Радиус r вписанной в ромб окружности равняется произведению его диагоналей, деленному на сторону, умноженную на 4.
- d1 и d2 – диагонали ромба;
- a – сторона ромба.
Через диагонали
Радиус r вписанной в ромб окружности можно найти, зная только длины его обеих диагоналей:
Эту формулу можно получить, если сторону a в формуле выше выразить через диагонали (согласно одному из свойств ромба):
Через сторону и угол
Радиус окружности r, вписанной в ромб, равняется половине произведения его стороны и синуса любого угла.
Через высоту
Радиус вписанного в ромб круга равняется половине его высоты.
Примеры задач
Задание 1
Известно, что диагонали ромба равны 6 и 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в него.
Решение
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известные значения:
Задание 2
Вычислите радиус вписанного в ромб круга, если его сторона равна 11 см, а один из углов – 30°.
Решение
В данном случае мы можем воспользоваться последней из рассмотренных выше формул:
Вписанная в ромб окружность
Какими свойствами обладает вписанная в ромб окружность? Как найти её радиус?
Центр вписанной в ромб окружности — точка пересечения его диагоналей.
Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по общей формуле
где S — площадь ромба, p — его полупериметр.
Так как полупериметр ромба равен p=2a, где a — сторона ромба, эту формулу можно записать как
С учётом формул для нахождения площади ромба:
где α — угол ромба (причем α может быть как острым, так и тупым).
где d1и d2 — диагонали ромба.
Таким образом, еще две формулы радиуса вписанной в ромб окружности:
Так как диаметр вписанной окружности равен высоте ромба, радиус равен половине высоты ромба:
Если известно, что точка касания вписанной окружности делит сторону ромба на отрезки, то радиус можно выразить через длины этих отрезков.
Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне, то по свойству высоты прямоугольного треугольника из треугольника AOD имеем
Следовательно, радиус вписанной в ромб окружности есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делит сторону точка касания:
[spoiler title=”источники:”]
[/spoiler]
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, он наследует все свойства параллелограмма. А именно:
- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
- Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.
Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.
Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность. Центр вписанной окружности совпадает с центром пересечения диагоналей ромба.
Радиус вписанной окружности в ромб можно выразить несколькими способами
1 способ. Радиуса вписанной окружности в ромб через высоту
Высота ромба равна диаметру вписанной окружности. Это следует из свойства прямоугольника, который образуют диаметр вписанной окружности и высота ромба – у прямоугольника противолежащие стороны равны.
Следовательно формула радиуса вписанной окружности в ромб через высоту:
2 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через диагонали
Площадь ромба можно выразить через радиус вписанной окружности
, где Р– периметр ромба. Зная, что периметр это сумма всех сторон четырехугольника имеем P=4×а. Тогда 
Но площадь ромба также равна половине произведения его диагоналей 
Прировняв правые части формул площади, имеем следующее равенство 
В результате получаем формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной окружности в ромб чрез диагонали
Пример расчета радиуса окружности вписанной в ромб, если известны диагонали
Найти радиус окружности вписанной в ромб, если известно, что длина диагоналей 30 см и 40 см
Пусть ABCD-ромб, тогда AC и BD его диагонали. AC=30 см, BD=40 см
Пусть точка О – это центр вписанной в ромб ABCD окружности, тогда она будет также являться и точкой пересечения его диагоналей, делящих их пополам.
т.к диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора
, подставляем в формулу ранее полученные значения
AB = 25 см
Применив ранее выведенную формулу для радиуса описанной окружности в ромб, получаем
3 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через отрезки m и n
Точка F – точка касания окружности со стороной ромба, которая делит ее на отрезки AF и BF. Пусть AF=m, BF=n.
Точка O – центр пересечения диагоналей ромба и центр вписанной в него окружности.
Треугольник AOB – прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
, т.к. является радиусом, проведенным в точку касания окружности . Следовательно OF – высота треугольника AOB к гипотенузе. Тогда AF и BF – проекции катетов на гипотенузу.
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через отрезки равна корню квадратному из произведения этих отрезков, на которые делит сторону ромба точка касания окружности
Пример расчета радиуса окружности вписанной в ромб, если известны отрезки m и n
Найдите радиус описанной окружности в ромб, если точка касания делит сторону ромба на 9 и 4
Пусть ABCD-ромб, тогда AC и BD его диагонали.
Пусть точка O – это центр вписанной в ромб ABCD окружности.
Пусть точка F – точка касания окружности со стороной ромбаAB. Тогда. AF=9, BF=4
Применив ранее полученную формулу, получаем
