1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол
a – сторона ромба
D – большая диагональ
d – меньшая диагональ
α – острый угол
О – центр вписанной окружности
r – радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :
2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты
a – сторона ромба
h – высота
О – центр вписанной окружности
r – радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в произвольный (любой), прямоугольный, равнобедренный или равносторонний треугольник. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.
-
Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
- Произвольный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равнобедренный треугольник
- Равносторонний треугольник
-
Примеры задач
Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
Произвольный треугольник
Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.
где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равняется дроби, в числителе которого сумма катетов минус гипотенуза, в знаменателе – число 2.
где a и b – катеты, c – гипотенуза треугольника.
Равнобедренный треугольник
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности вычисляется по формуле ниже:
где a – боковые стороны, b – основание треугольника.
Равносторонний треугольник
Радиус вписанной в правильный (равносторонний) треугольник окружности рассчитывается следующим образом:
где a – сторона треугольника.
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.
Решение
Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:
Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:
Задание 2
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.
Решение
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:
Как найти радиус вписанной окружности треугольника
Содержание:
- Окружность, вписанная в треугольник — как найти радиус
-
Свойства вписанной в треугольник окружности
- Первое свойство
- Второе свойство
- Третье свойство
-
Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
- Произвольный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равнобедренный треугольник
- Равносторонний треугольник
- Как найти через высоту или стороны, примеры решения
Окружность, вписанная в треугольник — как найти радиус
Определение
Вписанной в треугольник окружностью называют такую окружность, которая занимает внутреннее пространство геометрической фигуры, соприкасаясь со всеми ее сторонами.
В таком случае грани треугольника представляют собой касательные к этой окружности. Сама геометрическая фигура с тремя углами считается описанной вокруг рассматриваемой окружности.
Свойства вписанной в треугольник окружности
Окружность, которую вписали в треугольник, обладает определенными свойствами. Основные из них можно записать таким образом:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
- Центр окружности, которую вписали в треугольник, совпадает с точкой пересечения биссектрис этой геометрической фигуры.
- Во внутреннее пространство любого треугольника можно вписать лишь одну окружность.
- Формула радиуса окружности, который вписали во многоугольник с тремя углами, будет иметь такой вид:
В представленной формуле радиуса окружности использованы следующие величины:
- S – является площадью треугольника;
- р – представляет собой полупериметр геометрической фигуры;
- a, b, c – являются сторонами треугольника.
Перечисленные свойства необходимо доказать.
Первое свойство
Требуется доказать, что центр окружности, которую вписали в фигуру с тремя углами, совпадает с точкой пересечения биссектрис.
Доказательство построено в несколько этапов:
- Необходимо опустить из центральной точки окружности перпендикулярные прямые OL, OK и OM, которые опускаются на стороны треугольника АВС. Из вершин треугольника следует провести прямые, соединяющие их с центром фигуры OA, OC и OB.
- Далее можно рассмотреть пару треугольников AOM и AOK. Можно отметить, что они являются прямоугольными, так как OM и OK являются перпендикулярами к сторонам AC и AB. Гипотенуза OA является общей для пары этих фигур.
- Исходя из того, что касательная к окружности является перпендикуляром к радиусу, который проведен в точку касания, согласно свойству касательной к окружности, то катеты OМ и OК представляют собой радиусы окружности и, следовательно, равны.
- Согласно полученным утверждениям, можно сделать вывод о равенстве прямоугольных треугольников AOМ и AOК по гипотенузе и катету. Таким образом, углы OAМ и OAК тоже равны. Получается, что OA является биссектрисой угла BAC.
- Аналогично можно доказать, что OC является биссектрисой угла ACB, а OB – биссектрисой угла ABC.
- Таким образом, биссектрисы треугольника совпадают в одной точке, которая представляет собой центр вписанной окружности.
Данное свойство окружности доказано.
Второе свойство
Необходимо представить доказательства свойства окружности, согласно которому в любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Доказательство состоит из нескольких этапов:
- Окружность получится вписать в треугольник в том случае, когда существует точка, удаленная на равные расстояния от сторон геометрической фигуры.
- Можно построить пару биссектрис ОА и ОС. Из точки, в которой они пересекаются, необходимо опустить перпендикулярные прямые OK, OL и OM ко всем граням многоугольника с тремя углами ABC.
- Затем следует рассмотреть пару треугольников AOK и AOM.
- Эти фигуры обладают общей гипотенузой АО. Углы OAK и OAM равны, так как OA является биссектрисой угла KAM. Углы OKA и OMA прямые, то есть также равны, так как OK и OM являются перпендикулярами к сторонам AB и AC.
- Исходя из того, что две пары углов равны, можно сделать вывод о равенстве третьей пары AOM и AOK.
- Таким образом, получилось подтвердить равенство треугольников AOK и AOM по стороне AO и двум углам, которые к ней прилегают.
- Удалось определить равенство сторон ОМ и ОК, то есть они удалены на одинаковое расстояние от сторон геометрической фигуры АС и АВ.
- Аналогично можно доказать, что OM и OL равны, то есть равноудалены от граней AC и BC.
- Таким образом, точка равноудалена от сторон треугольника, что делает ее центром окружности, которая вписана в этот многоугольник.
- Аналогичным способом можно определить точку во внутреннем пространстве любой геометрической фигуры с тремя углами, которая будет удалена на равные расстояния от его сторон, и представляет собой центр окружности, вписанной в этот треугольник.
- Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что в любой треугольник можно вписать окружность.
- Необходимо заметить, что центральная точка окружности совпадает с точкой, в которой пересекаются биссектрисы треугольника.
- Можно допустить ситуацию, при которой в геометрическую фигуру с тремя углами можно вписать две и более окружности.
- Необходимо провести три прямые из вершин геометрической фигуры к центральной точке окружности, вписанной в нее, и опустить перпендикулярные прямые к каждой грани треугольника. Таким образом, будет доказано, что рассматриваемая окружность лежит на пересечении биссектрис треугольника, согласно доказательству ее первого свойства.
- Получим совпадение центральной точки окружности и центра первой окружности, которая уже была вписана в этот треугольник, а ее радиус соответствует перпендикуляру, опущенному на сторону треугольника так же, как и в первом случае. Можно сделать вывод о совпадении этих окружностей.
- Аналогично любая другая окружность, вписанная в геометрическую фигуру с тремя углами, будет совпадать с первой окружностью.
- Таким образом, в треугольник получается вписать лишь одну окружность.
Свойство доказано.
Третье свойство
Требуется доказать, что радиус окружности, которую вписали в геометрическую фигуру с тремя углами, представляет собой отношение площади треугольника к полупериметру:
Кроме того, необходимо представить доказательства следующему равенству:
Доказательство:
- Следует рассмотреть произвольный треугольник АВС, стороны которого соответствуют a, b и c. Для расчета полупериметра данного треугольника целесообразно использовать формулу:
- Центральная точка окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис геометрической фигуры с тремя углами. Прямые OA, OB и OC, которые соединяют O с вершинами треугольника АВС, разделяют геометрическую фигуру на три части: AOC, COB, BOA. Площадь треугольника ABC представляет собой сумму площадей этих трех частей.
- Исходя из того, что площадь какого-либо треугольника представляет собой половину произведения его основания на высоту, а высота треугольников AOC, COB, BOA рассчитывается, как радиус окружности r, то площади треугольников AOC, COB и BOA можно определить по формулам:
- Далее необходимо представить площадь S геометрической фигуры АВС, как сумму площадей нескольких треугольников:
- Следует отметить, что второй множитель является полупериметром геометрической фигуры с тремя углами АВС, что можно записать в виде равенства:
- Таким образом, доказано равенство радиуса вписанной окружности и отношения площади треугольника к полупериметру.
- Можно записать формулу Герона, смысл которой заключается в следующем: площадь треугольника (S) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра (p) на разности полупериметра и каждой из его сторон (a, b, c)
- Далее следует преобразовать формулу для расчета радиуса:
Свойство окружности доказано.
Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
Параметры окружности, которую вписали в геометрическую фигуру с тремя углами, можно рассчитать с помощью стандартных формул. Радиус окружности будет определен в зависимости от типа треугольника.
Произвольный треугольник
Определить радиус окружности, которая вписана в какой-либо треугольник, можно, как удвоенную площадь треугольника, поделенную на его периметр.
В данном случае, a, b, c являются сторонами геометрической фигуры с тремя углами, S – ее площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, которую вписали в треугольник с прямым углом, представляет собой дробь с числителем в виде суммы катетов за минусом гипотезы и знаменателем, равным числу 2.
В формуле a и b являются катетами, c – гипотенузой треугольника.
Равнобедренный треугольник
Радиус окружности, которая вписана в равнобедренный треугольник, определяют по формуле:
В этом случае a – боковые стороны, b – основание треугольника.
Равносторонний треугольник
Расчет радиуса окружности, которая вписана в правильный или равносторонний треугольник, выполняют по формуле:
где a – сторона геометрической фигуры с тремя углами.
Как найти через высоту или стороны, примеры решения
Задача 1
Имеется геометрическая фигура с тремя углами, стороны которой составляют 5, 7 и 10 см. Требуется определить радиус окружности, которая вписана в этот треугольник.
Решение
В первую очередь необходимо определить, какова площадь треугольника. Для этого можно воспользоваться формулой Герона:
Затем применим формулу для расчета радиуса круга:
Ответ: радиус окружности составляет примерно 1,48 см.
Задача 2
Необходимо рассчитать радиус окружности, которая вписана в равнобедренный треугольник. Боковые стороны геометрической фигуры составляют 16 см, а основание равно 7 см.
Решение
Следует использовать подходящую формулу для расчета радиуса, подставив в нее известные величины:
Ответ: радиус окружности примерно равен 2,8 см.
Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по одной общей формуле.
Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.
Радиус вписанной в треугольник окружности для произвольного треугольника
Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник:
![[r = frac{S}{p},]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e5ebe68de0bc83c6efb227ad53f6adf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
где S — площадь треугольника, p — его полупериметр.
Для треугольника со сторонами a, b, c полупериметр
![[p = frac{{a + b + c}}{2},]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8ba2e8859af63cf31b232cc4e7fd1cf9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
и формулу можно записать так:
![[r = frac{{2S}}{{a + b + c}}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e1365851eb4ccde24c490bc81d591559_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Если нужно найти радиус вписанной в треугольник окружности по его сторонам, то площадь треугольника ищут по формуле Герона, соответственно, формула для нахождения радиуса треугольника по трем сторонам имеет вид:
![[r = frac{{2sqrt {p(p - a)p - b)(p - c)} }}{{a + b + c}}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a858bfd6ca706a271b27d3674fcb5f8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности
Формула для нахождения радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
![[r = frac{{a + b - c}}{2},]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ec22155d942408f8d27aae9d3efa9912_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
где a, b — длины катетов, c — длина гипотенузы.
Радиус окружности, вписанной в правильный (то есть равносторонний) треугольник
Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник:
![[r = frac{a}{{2sqrt 3 }}]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c7e67818ccbf50200605437e6bcbdff8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
или (без иррациональности в знаменателе):
![[r = frac{{asqrt 3 }}{6},]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c35284f88af6baa803cb56d0271b23f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
где a -длина стороны правильного треугольника.
В правильном треугольнике радиус вписанной окружности также можно найти через радиус описанной окружности:
![[r = frac{R}{2}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4a7883d6317feef20d70c8c26985ca32_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Все формулы для радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности в треугольник
a , b , c – стороны треугольника
p – полупериметр, p=( a + b + c )/2
Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
a – сторона треугольника
r – радиус вписанной окружности
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол
a – равные стороны равнобедренного треугольника
b – сторона ( основание)
α – угол при основании
О – центр вписанной окружности
r – радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :
2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота
a – равные стороны равнобедренного треугольника
b – сторона ( основание)
h – высота
О – центр вписанной окружности
r – радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :
Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в произвольный (любой), прямоугольный, равнобедренный или равносторонний треугольник. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.
Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
Произвольный треугольник
Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.
где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равняется дроби, в числителе которого сумма катетов минус гипотенуза, в знаменателе – число 2.
где a и b – катеты, c – гипотенуза треугольника.
Равнобедренный треугольник
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности вычисляется по формуле ниже:
где a – боковые стороны, b – основание треугольника.
Равносторонний треугольник
Радиус вписанной в правильный (равносторонний) треугольник окружности рассчитывается следующим образом:
где a – сторона треугольника.
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.
Решение
Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:
Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:
Задание 2
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.
Решение
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в любой треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор
1. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна сторона треугольника
Пусть известна сторона a равностороннего треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности через основание a и боковую сторону b вычисляется из следующей формулы:
 |
(1) |
Учитывая, что у равностороннего треугольника все стороны равны (( small a=b )), имеем:
( small r=frac<large a> <large 2>cdot sqrt<frac<large 2a-a><large 2a+a>> ) ( small =frac<large a> <large 2>cdot sqrt<frac<large a><large 3a>> ) ( small =frac<large a><large 2 cdot sqrt<3>> )
| ( small r=frac<large a><large 2 cdot sqrt<3>> ) | (2) |
или, умножив числитель и знаменатель на ( small sqrt <3>):
| ( small r=frac<large sqrt<3>> <large 6 >cdot a ) | (3) |
Пример 1. Известна сторона a=17 равностороннего треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (2) и (3). Подставим значения ( small a=17 ) в (3):
Ответ: 
2. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна высота треугольника
Пусть известна высота h равностороннего треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Выведем формулу стороны равностороннего треугольника через высоту. Из Теоремы Пифагора имеем:
( small h^2+left( frac<large a> <large 2>right) ^2=a^2.)
( small h^2+ frac<large a^2> <large 4>=a^2; ; ) ( small frac<large 3><large 4>a^2 =h^2; ; ) ( small a^2=frac<large4h^2><large 3>.)
| ( small a= frac<large 2h><large sqrt<3>> .) | (4) |
Формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности по основанию и высоте вычисляется из формулы
| ( small r= large frac> ) | (5) |
Подставляя (4) в (5), получим:
( small r= large frac<frac<large 2h^2><large sqrt<3>>><frac<large 2h><large sqrt<3>>+sqrt<frac<large 4h^2><large 3>+4h^2>> ) ( small = large frac<frac<large 2h^2><large sqrt<3>>><frac<large 2h><large sqrt<3>>+sqrt<frac<large 16h^2><large 3>>> ) ( small = large frac<frac<large 2h^2><large sqrt<3>>><frac<large 2h><large sqrt<3>>+frac<large 4h><large sqrt<3>>> ) ( small = large frac< 2h^2>< 6h>small =large frac<1> <3>small cdot h )
То есть, радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности по высоте вычисляется из формулы:
| ( small r = large frac<1> <3>small cdot h ) | (6) |
Пример 2. Известна высота ( small h=39 ) равностороннего треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (6). Подставим значение ( small h=39 ) в (6):
Ответ: 
3. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна площадь треугольника
Пусть известна площадь S равностороннего треугольника (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности вычисляется из следующей формулы:
( small S= 3cdot sqrt<3>r^2.)
| ( small r= large frac <sqrt[4]<3>> <3>small cdot sqrt |
(7) |
Пример 3. Известна площадь равностороннего треугольника: ( small S=42 . ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (7). Подставим значение ( small S=42 ) в (7):
Ответ: 
[spoiler title=”источники:”]
http://matworld.ru/geometry/radius-vpisannoj-okruzhnosti-v-ravnostoronnij-treugolnik.php
[/spoiler]
