Как найти радиус вписанной окружности равнобедренной трапеции

Радиус вписанной окружности в трапецию

Радиус вписанной окружности в трапецию, формула

Радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты трапеции.

Главное чтобы выполнялось условие при котором в данную трапецию возможно вписать окружность. В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:

Иначе в данную трапецию нельзя вписать окружность.

бедро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора:

Отсюда — зная все стороны трапеции вычислим такую высоту трапеции, которая удовлетворяет условию вписанной окружности (3).

после небольших преобразований получим

используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим

И соответственно радиус вписанной окружности в трапецию

Радиус вписанной окружности в трапецию

с – нижнее основание

b – верхнее основание

a – боковые стороны

h – высота

Формула радиуса вписанной окружности равнобочной трапеции ( r ):

Калькулятор – вычислить, найти радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Рис.1

Признаки равнобедренной трапеции

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

Основные свойства равнобедренной трапеции

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + CD 2 + 2BC · AD

9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) – равен полуразности оснований:

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

a = b + 2 h ctg α = b + 2 c cos α

b = a – 2 h ctg α = a – 2 c cos α

c =	h	=	a – b
sin α	2 cos α

2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:

a =	d 1 2 – c 2	b =	d 1 2 – c 2	c = √ d 1 2 – ab
b	a

3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:

a =	2S	– b b =	2S	– a
h	h

4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:

5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:

Средняя линия равнобедренной трапеции

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

m = a – h ctg α = b + h ctg α = a – √ c 2 – h 2 = b + √ c 2 – h 2

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:

Высота равнобедренной трапеции

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

1. Формула высоты через стороны:

h =	1	√ 4 c 2 – ( a – b ) 2
2

2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:

h =	a – b	tg β	= c sin β
2

Диагонали равнобедренной трапеции

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

d ₁ = √ a 2 + c 2 – 2 ac cos α

d ₁ = √ b 2 + c 2 – 2 bc cos β

4. Формула длины диагонали через высоту и основания:

d 1 =	1	√ 4 h 2 + ( a + b ) 2
2

Площадь равнобедренной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции:

1. Формула площади через стороны:

S =	a + b	√ 4 c 2 – ( a – b ) 2
4

2. Формула площади через стороны и угол:

S = ( b + c cos α ) c sin α = ( a – c cos α ) c sin α

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:

S =	4 r 2	=	4 r 2
sin α	sin β

4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:

5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = ( a + b ) · r = √ ab ·c = √ ab ·m

6. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =	d 1 2	· sin γ	=	d 1 2	· sin δ
2	2

7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площади через основания и высоту:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d 1
4√ p ( p – a )( p – c )( p – d 1)

где

a – большее основание

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/2011-09-22-03-33-33

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/trapezium_isosceles/

[/spoiler]

Какими свойствами обладает вписанная в равнобедренную трапецию окружность?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны.

То есть, в трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

И обратно, если для трапеции ABCD верно равенство AD+BC=AB+CD, то в неё можно вписать окружность.

Таким образом, если  трапеция ABCD — равнобедренная, AD||BC, то её боковые стороны равны полусумме оснований:

   

2. Отсюда, по свойству средней линии трапеции, боковые стороны равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равны её средней линии.

Если MN —

средняя линия

трапеции ABCD,

AD||BC, то

   

3. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями.

По свойству равнобедренной трапеции,

   

Если AD=a, BC=b,

   

   

Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора

   

   

   

   

   

   

4. Так как радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции, то для равнобедренной трапеции верно равенство

   

5. В равнобедренной трапеции точки касания делят стороны на две группы равных отрезков.

AK=AP=DP=DN,

BK=BF=CF=CN.

6. Центр вписанной в равнобедренную трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Таким образом, в трапеции ABCD, AD||BC, CO и DO — биссектрисы углов ADC и BCD,

   

Значит, треугольник COD — прямоугольный,

   

(как радиус, проведенный в точку касания).

Следовательно, ON — высота, проведённая к гипотенузе,

   

Трапеция является несколько нестандартной фигурой среди четырехугольников. Она не является правильным многоугольником, однако обладает рядом отличительных свойств, среди которых – возможность вписать в равнобокую трапецию окружность. Это обусловлено тем, что для четырехугольников действует правило, согласно которому в него можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны. Не каждая трапеция соблюдает это правило, но если в нее все-таки вписана окружность, значит, сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Поскольку радиусы окружности, опущенные на основания трапеции, находятся по отношению к ним под прямым углом, следовательно, они совпадают с высотой трапеции, из чего можно вывести формулу радиуса окружности вписанной в трапецию через высоту:

Так как окружность можно вписать только в трапецию, у которой суммы противоположных сторон равны, то путем нехитрых преобразований через формулы квадрата разности и квадрата суммы можно получить, что высота трапеции равна среднему геометрическому ее оснований a и b.

Следовательно, не зная высоты, можно вычислить радиус окружности, вписанной в трапецию, через основания:

---

Существует и другой способ найти радиус вписанной в трапецию окружности. Для этого необходимо провести биссектрисы двух углов у боковой стороны. Точка их пересечения должна совпасть с центром вписанной окружности, а также образовать прямой угол. Соответственно, радиус в таком треугольнике станет высотой, которая, исходя из его свойств, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу, то есть боковую сторону трапеции.

Радиус вписанной окружности в трапецию, формула

Радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты трапеции.

[r=frac{h}{2}]

Радиус вписанной окружности в трапецию

Главное чтобы выполнялось условие при котором в данную трапецию возможно вписать окружность.
В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:

[ AB+DC = AD+BC]

или

[ 2a = b+c]

Иначе в данную трапецию нельзя вписать окружность.

бедро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора:

[ BC = a = sqrt{h^2 + Big(frac{c-b}{2}Big)^2} ]

Отсюда — зная все стороны трапеции вычислим такую высоту трапеции, которая удовлетворяет условию вписанной окружности (3).

[b+c = 2 sqrt{h^2 + Big(frac{c-b}{2}Big)^2}]

после небольших преобразований получим

[h = sqrt{ Big(frac{c+b}{2}Big)^2 – Big(frac{c-b}{2}Big)^2}]

[h = frac{1}{2} sqrt{ (c+b)^2 – (c-b)^2}]

используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим

[h=sqrt{bc}]

И соответственно радиус вписанной окружности в трапецию

[r=frac{h}{2}=frac{sqrt{bc}}{2}]

Вычислить, найти радиус вписанной окружности в трапецию по формуле (1,2,3,4,5)

Радиус вписанной окружности в трапецию	стр. 259