Как найти радиус вписанной окружности равнобокой трапеции

Радиус вписанной окружности в трапецию

с – нижнее основание

b – верхнее основание

a – боковые стороны

h – высота

Формула радиуса вписанной окружности равнобочной трапеции ( r ):

Калькулятор – вычислить, найти радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию

Радиус вписанной окружности в трапецию, формула

Радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты трапеции.

Главное чтобы выполнялось условие при котором в данную трапецию возможно вписать окружность. В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:

Иначе в данную трапецию нельзя вписать окружность.

бедро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора:

Отсюда — зная все стороны трапеции вычислим такую высоту трапеции, которая удовлетворяет условию вписанной окружности (3).

после небольших преобразований получим

используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим

И соответственно радиус вписанной окружности в трапецию

Вписанная в равнобедренную трапецию окружность

Какими свойствами обладает вписанная в равнобедренную трапецию окружность?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны.

То есть, в трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

И обратно, если для трапеции ABCD верно равенство AD+BC=AB+CD, то в неё можно вписать окружность.

Таким образом, если трапеция ABCD — равнобедренная, AD||BC, то её боковые стороны равны полусумме оснований:

2. Отсюда, по свойству средней линии трапеции, боковые стороны равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равны её средней линии.

Если MN —

3. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями.

По свойству равнобедренной трапеции,

Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора

4. Так как радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции, то для равнобедренной трапеции верно равенство

5. В равнобедренной трапеции точки касания делят стороны на две группы равных отрезков.

6. Центр вписанной в равнобедренную трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

Таким образом, в трапеции ABCD, AD||BC, CO и DO — биссектрисы углов ADC и BCD,

[spoiler title=”источники:”]

http://www.fxyz.ru/%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B_%D0%BF%D0%BE_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8/%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D0%B8%D0%B3%D1%83%D1%80%D1%8B/%D0%B2%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8/%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D1%83%D1%81_%D0%B2%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8/%D0%B2_%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D1%8E/

[/spoiler]

Какими свойствами обладает вписанная в равнобедренную трапецию окружность?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны.

То есть, в трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

И обратно, если для трапеции ABCD верно равенство AD+BC=AB+CD, то в неё можно вписать окружность.

Таким образом, если  трапеция ABCD — равнобедренная, AD||BC, то её боковые стороны равны полусумме оснований:

2. Отсюда, по свойству средней линии трапеции, боковые стороны равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равны её средней линии.

Если MN —

средняя линия

трапеции ABCD,

AD||BC, то

3. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями.

По свойству равнобедренной трапеции,

Если AD=a, BC=b,

Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора

4. Так как радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции, то для равнобедренной трапеции верно равенство

5. В равнобедренной трапеции точки касания делят стороны на две группы равных отрезков.

AK=AP=DP=DN,

BK=BF=CF=CN.

6. Центр вписанной в равнобедренную трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Таким образом, в трапеции ABCD, AD||BC, CO и DO — биссектрисы углов ADC и BCD,

Значит, треугольник COD — прямоугольный,

(как радиус, проведенный в точку касания).

Следовательно, ON — высота, проведённая к гипотенузе,

Радиус вписанной окружности в трапецию

Трапеция является несколько нестандартной фигурой среди четырехугольников. Она не является правильным многоугольником, однако обладает рядом отличительных свойств, среди которых – возможность вписать в равнобокую трапецию окружность. Это обусловлено тем, что для четырехугольников действует правило, согласно которому в него можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны. Не каждая трапеция соблюдает это правило, но если в нее все-таки вписана окружность, значит, сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Поскольку радиусы окружности, опущенные на основания трапеции, находятся по отношению к ним под прямым углом, следовательно, они совпадают с высотой трапеции, из чего можно вывести формулу радиуса окружности вписанной в трапецию через высоту:

Так как окружность можно вписать только в трапецию, у которой суммы противоположных сторон равны, то путем нехитрых преобразований через формулы квадрата разности и квадрата суммы можно получить, что высота трапеции равна среднему геометрическому ее оснований a и b.

Следовательно, не зная высоты, можно вычислить радиус окружности, вписанной в трапецию, через основания:

Существует и другой способ найти радиус вписанной в трапецию окружности. Для этого необходимо провести биссектрисы двух углов у боковой стороны. Точка их пересечения должна совпасть с центром вписанной окружности, а также образовать прямой угол. Соответственно, радиус в таком треугольнике станет высотой, которая, исходя из его свойств, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу, то есть боковую сторону трапеции.

Радиус вписанной окружности в трапецию, формула

Радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты трапеции.

[r=frac{h}{2}]

Радиус вписанной окружности в трапецию

Главное чтобы выполнялось условие при котором в данную трапецию возможно вписать окружность.
В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:

[ AB+DC = AD+BC]

или

[ 2a = b+c]

Иначе в данную трапецию нельзя вписать окружность.

бедро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора:

[ BC = a = sqrt{h^2 + Big(frac{c-b}{2}Big)^2} ]

Отсюда — зная все стороны трапеции вычислим такую высоту трапеции, которая удовлетворяет условию вписанной окружности (3).

[b+c = 2 sqrt{h^2 + Big(frac{c-b}{2}Big)^2}]

после небольших преобразований получим

[h = sqrt{ Big(frac{c+b}{2}Big)^2 – Big(frac{c-b}{2}Big)^2}]

[h = frac{1}{2} sqrt{ (c+b)^2 – (c-b)^2}]

используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим

[h=sqrt{bc}]

И соответственно радиус вписанной окружности в трапецию

[r=frac{h}{2}=frac{sqrt{bc}}{2}]

Вычислить, найти радиус вписанной окружности в трапецию по формуле (1,2,3,4,5)