Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 7 апреля 2021 года; проверки требуют 5 правок.
| Восьмиугольник | |
|---|---|
 Правильный восьмиугольник |
|
| Тип | Правильный многоугольник |
| Рёбра | 8 |
| Символ Шлефли | {8}, t{4} |
| Диаграмма Коксетера — Дынкина |
    |
| Вид симметрии | Диэдрическая группа (D8) |
| Площадь |
  |
| Внутренний угол | 135° |
| Свойства | |
| выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный | |
 Медиафайлы на Викискладе |
Правильный восьмиугольник (или октагон от греч. οκτάγωνο) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой.
Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли {8}[1] и может быть построен также как квазиправильный усечённый квадрат, t{4}, в котором перемежаются два типа граней. Усечённый восьмиугольник (t{8}) является шестнадцатиугольником (t{16}).
Свойства[править | править код]
Построение правильного восьмиугольника
Построение правильного 8-угольника путём складывания листа бумаги
- Восьмиугольник можно построить проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
- Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080°
- Угол правильного восьмиугольника составляет
Формулы расчёта параметров правильного аборта[править | править код]
Пример:
- t — длина стороны восьмиугольника
- r — радиус вписанной окружности
- R — радиус описанной окружности
- S — площадь восьмиугольника
- k — константа, равная
Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной 
, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:
- Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:
- Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:
- Площадь правильного восьмиугольника:
Через сторону восьмиугольника
Через радиус описанной окружности
Через апофему (высоту)
Площадь через квадрат[править | править код]
Площадь можно также вычислить как усечение квадрата
где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.
Если задана сторона a, то длина A равна
Тогда площадь равна:
Площадь через A (ширину восьмиугольника)
Ещё одна простая формула площади:
Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем
Два катета углового треугольника можно получить по формуле
Симметрия[править | править код]
11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии зеркальных отражений показаны цветом — синие линии проходят через вершины, фиолетовые проходят через середины рёбер, число поворотов указано в центре. Вершины раскрашены согласно симметрии.
Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih8 порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih4, Dih2 и Dih1, а также 4 циклические подгруппы — Z8, Z4, Z2 и Z1. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.
Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 [2]. Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.
 r16 |
||
|---|---|---|
 d8 |
 g8 |
 p8 |
 d4 |
 g4 |
 p4 |
 d2 |
 g2 |
 p2 |
 a1 |
На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, равноугольный[en] восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются двойственным[en] друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.
Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.
Разрезание правильного восьмиугольника[править | править код]
Коксетер утверждает, что любой 2m-угольник с параллельными противоположными сторонами можно разрезать на m(m-1)/2 ромбов. Для восьмиугольника m=4 и он разрезается на 6 ромбов, как показано на рисунке ниже. Это разрезание можно рассматривать как 6 из 24 граней проекции многоугольника Петри тессеракта [3].
 На 6 ромбов |
 Тессеракт |
Применение восьмиугольников[править | править код]
Восьмиугольный план Купола Скалы
В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.
Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и восьмиугольные церкви Норвегии[en]. Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.
Другие использования[править | править код]
-
Зонты часто имеют восьмиугольную форму
-
Знаменитая восьмиугольная чашка с острова Белитунг
-
Производные фигуры[править | править код]
Связанные многогранники[править | править код]
Восьмиугольник в качестве усечённого квадрата, является первым в последовательности усечённых гиперкубов:
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
… |
| Восьмиугольник | Усечённый куб | Усечённый тессеракт | Усечённый 5-куб | Усечённый 6-куб | Усечённый 7-куб | Усечённый 8-куб | |
|
|
|
|
|
|
|
|
Восьмиугольник в качестве растянутого квадрата является первым в последовательности растянутых гиперкубов:
|
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
 
|
… |
| Октаэдр | Ромбокубооктаэдр | Обструганный тессеракт | Обрубленный 5-куб | Пятиогранённый 6-куб | Шестиогранённый 7-куб | Семиогранённый 8-куб | |
|
|
|
|
|
|
|
|
См. также[править | править код]
- Восьмерик
- Восьмиугольное число
- Октаграмма
- Площадь Октогон в Будапеште, Венгрия
- Сглаженный восьмиугольник
Примечания[править | править код]
- ↑ Wenninger, 1974, с. 9.
- ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008, с. 275—278.
- ↑ Болл, Коксетер, 1986, с. 155—157.
Литература[править | править код]
- У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — Москва: «Мир», 1986.
- Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — 208 с. — ISBN 9780521098595. books.google Архивная копия от 2 января 2016 на Wayback Machine (англ.) Есть перевод на русский Веннинджер, «Модели многогранников», но в ней символы Шлефли не приведены.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 275—278. — ISBN 978-1-56881-220-5.
Вычисление правильного восьмиугольника (многоугольник с восемью вершинами). Эта форма хорошо нам знакома, так как используется на некоторых дорожных знаках.
.
Поделиться расчетом:
Калькулятор восьмиугольника, введите одно известное значение
Длина стороны(a)
Меньшая диагональ(d1)
Средняя диагональ(e)
Большая диагональ(d3)
Периметр(p)
Площадь(S)
Радиус описанной окружности(R)
Радиус вписанной окружности(r)
Вычислить
Очистить
Формулы:
d = a * √4 + 2 * √2
e = a * ( 1 + √2 )
f = a * √2 + √2
Высота = e = 2 * r
Р = 8 * а
S = 2 * a2 * ( 1 + √2 )
R = a / 2 * √4 + 2 * √2
r = a / 2 * ( 1 + √2 )
Угол: 135°, 20 диагоналей.
Восьмиугольник, виды, свойства и формулы.
Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.
Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник
Правильный восьмиугольник (понятие и определение)
Свойства правильного восьмиугольника
Формулы правильного восьмиугольника
Правильный восьмиугольник в природе, технике и культуре
Шестиугольник
Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник:
Восьмиугольник – это многоугольник с восемью углами.
Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.
Восьмиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.
Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.
Соответственно выпуклый восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Рис. 1. Выпуклый восьмиугольник
Рис. 2. Невыпуклый восьмиугольник
Сумма внутренних углов любого выпуклого восьмиугольника равна 1080°.
Правильный восьмиугольник (понятие и определение):
Правильный восьмиугольник (октагон) – это правильный многоугольник с восемью сторонами.
В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 135°.
Рис. 3. Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник имеет 8 сторон, 8 углов и 8 вершин.
Углы правильного восьмиугольника образуют восемь равнобедренных треугольников.
Правильный восьмиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
Свойства правильного восьмиугольника:
1. Все стороны правильного восьмиугольника равны между собой.
a1 = a2 = a3 = a4= a5 = a6 = a7 = a8.
2. Все углы равны между собой и составляют 135°.
α1 = α2 = α3 = α4 = α5 = α6 = α7 = α8 = 135°.
Рис. 4. Правильный восьмиугольник
3. Сумма внутренних углов любого правильного восьмиугольника равна 1035°.
4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного восьмиугольника O.
Рис. 5. Правильный восьмиугольник
5. Количество диагоналей правильного восьмиугольника равно 20.
Рис. 6. Правильный восьмиугольник
6. Центр вписанной окружности O1 совпадает с центром описанной окружности O2, что и образуют центр многоугольника O.
Рис. 7. Правильный восьмиугольник
Формулы правильного восьмиугольника:
Пусть a – сторона восьмиугольника, r – радиус окружности, вписанной в восьмиугольник, R – радиус описанной окружности восьмиугольника, k – константа восьмиугольника, P – периметр восьмиугольника, S – площадь восьмиугольника.
Формула константы правильного восьмиугольника:
Формула периметра правильного восьмиугольника:
Формулы площади правильного восьмиугольника:
Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный восьмиугольник:
Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного восьмиугольника:
Формулы стороны правильного восьмиугольника:
Правильный восьмиугольник в природе, технике и культуре:
В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного правильного восьмиугольника.
Форма правильного восьмиугольника часто используются в изобразительном искусстве, архитектуре. Например, Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба, Эфиопия), Купол Скалы (Иерусалим, Израиль), башня Ветров (Афины, Греция), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий (Флоренция, Италия), Ахенский собор (Ахен, Германия), Капелла Карла Великого (Ахен, Германия).
Прямоугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Шестиугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
Коэффициент востребованности
7 104
Правильный многоугольник
- формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
- формулы правильного n-угольника
- правильный треугольник
- правильный четырехугольник
- правильный шестиугольник
- правильный восьмиугольник
Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.
Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.
Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Признаки правильного многоугольника
Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: все стороны и углы одинаковы.
a1=a2=a3=…=an-1=an
,
α1=α2=α3=…=αn-1=αn
где a1…an — длины сторон правильного многоугольника,
α1…αn — внутренние углы между стронами правильного многоугольника.
Основные свойства правильного многоугольника
- Все стороны равны:
a1=a2=a3=…=an-1=an - Все углы равны:
α1=α2=α3=…=αn-1=αn - Центр вписанной окружности Oв совпадает с центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольника O.
- Сумма всех углов n-угольника равна:180°·n-2
- Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°: β1+β2+β3+…+βn-1+βn=360°
- Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: Dn = n·n-32
- В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг; при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника: S = π4·a2
- Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O.
Формулы правильного n-угольника
Формулы длины стороны правильного n-угольника
Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности
a = 2·r·tg180°n
(через градусы),
a = 2·r·tgπn
(через радианы)
Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности
a = 2·R·sin180°n
(через градусы),
a = 2·R·sinπn
(через радианы)
Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны
r = a:2·tg180°n
(через градусы),
r = a:2·tgπn
(через радианы)
Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны
R = a:2·sin180°n
(через градусы),
R = a:2·sinπn
(через радианы)
Формулы площади правильного n-угольника
Формула площади n-угольника через длину стороны
S = n·a24·ctg180°n
Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности
S = n·r2·tg180°n
Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности
S = n·R22·sin360°n
Формула периметра правильного многоугольника
Формула периметра правильного n-угольника
Периметр правильного n-угольника равен произведению длины одной стороны правильного n-угольника на количество его сторон.
P = n·a
Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника
Формула угла между сторонами правильного n-угольника
αn = n-2n·180°
Правильный треугольник
Правильный треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°.
Формулы правильного треугольника
Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности
Сторона правильного треугольника равна удвоенному произведению радиуса вписанной окружности на корень из трёх.
a = 2·r·3
Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности
Сторона правильного треугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трёх.
a = R·3
r = a·36
R = a·33
Формула площади правильного треугольника через длину стороны
S = a2·34
Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности
S = r2·3·3
Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности
S = R2·3·34
Углы между сторонами правильного треугольника
α1=α2=α3=60°
Правильный четырехугольник
Правильный четырехугольник — это квадрат.
Формулы правильного четырехугольника
Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности
Сторона правильного четырехугольника равна двум радиусам вписанной окружности.
a = 2·r
Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности
Сторона правильного четырехугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из двух.
a = R·2
Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны
Радиус вписанной окружности правильного четырехугольника равен половине стороны четырехугольника.
r = a2
Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны
Радиус описанной окружности правильного четырехугольника равен половине произведения стороны четырехугольника на корень из двух.
R = a·22
Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны
Площадь правильного четырехугольника равна квадрату стороны четырехугольника.
S = a2
Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности
Площадь правильного четырехугольника равна четырем радиусам вписанной окружности четырехугольника.
S = 4·r2
Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности
Площадь правильного четырехугольника равна двум квадратам радиуса описанной окружности.
S = 2·R2
Углы между сторонами правильного четырехугольника
α1=α2=α3=α4=90°
Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 120°.
Формулы правильного шестиугольник
Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
a = 2·r·33
Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
Длина стороны правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
a = R
Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны
r = a·32
Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны
R = a
Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
S = a2·3·32
Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
S = r2·2·3
Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
S = R2·3·32
Углы между сторонами правильного шестиугольника
α1=α2=α3=α4=α5=α6=120°
Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного восьмиугольник равны между собой, все углы также равны и составляют 135°.
Формулы правильного восьмиугольника
Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности
a = 2·r·2-1
Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности
a = R·2-2
Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны
r = a·2+12
Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны
R = a·4+222
Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны
S = a2·2·2+1
Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности
S = r2·8·2-1
Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности
S = R2·2·2
Углы между сторонами правильного восьмиугольника
α1=α2=α3=α4=α5=α6=α7=α8=135°
- Коротко о важном
- Таблицы
- Формулы
- Формулы по геометрии
- Теория по математике
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Радиусы такой окружности, проведенные перпендикулярами ко всем сторонам, делят любой правильный многоугольник на множество равнобедренных треугольников, равных по количеству сторонам многоугольника, каждый из которых разделе радиусом вписанной окружности на две части. В каждом таком треугольнике катетами являются радиус вписанной окружности и половина стороны, а гипотенузой – радиус описанной окружности. Центральный угол равен 
, где n – количество сторон многоугольника. Радиус вписанной окружности из такого треугольника будет равен отношению половины стороны многоугольника к тангенсу угла α:
