Как найти радиус заряженного шара

Вы открыли страницу вопроса Найти радиус шара R, находящегося в воздухе, если известно, что при заряжении его до потенциала U = 1200 В, поверхностная плотностьзаряда = 4, 5 * 10 ^ ( – 7) Кл / см ^ 2?. Он относится к категории
Физика. Уровень сложности вопроса – для учащихся 10 – 11 классов.
Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие
ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ,
можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Физика,
воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других
пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя
ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

---

---

Объяснить могу- поймете- решите, нет- значит, -сидите- ждите
Учебник по Электромагнетизму открываете и читаете- теорема Гаусса для диэлектриков

берете 3 точки
r< R
r=R
r>R

Применяете теорему Гаусса
у вас
q связ= (4/3) *p* pi*R^3

p- объемная плотность

при r>R, e=1
при r > R, E-1/r^2
а при r < R, E-r
в задаче

E (r1)= E (r2)

приравняете, получите

Все – разбирайтесь…
Ответ

R= (r1*r2^2/e)^1/3

Иван ПрытковЗнаток (253)

7 лет назад

Немного непонятно но спасибо за помошь

Styx
Гений
(83658)
Чего оскорбились??? Учебники, конечно, отсутствуют, Гуглите
Диэлектрики в электростатичесом поле, напряженность шара-
Без теории не разберетесь
Смотрите, как с помощью теоремы Гаусса расчитывается напряженность

Главная » Физика – 5 – 9 классы

Найти радиус равномерно заряженного шара, если напряжённость электрического поля
вблизи его поверхности

равна 400 В/м, а на расстоянии 60 см от его поверхности эта напря
жённость равна 25 В/м.

Ответ №1

Ответ:

Объяснение:

Дано:

E₁ = 400 В/м

E₂ = 25 В/м

a = 60 см = 0,60 м

_________

R — ?

Дважды запишем

E₁ = k·q / R²

E₂ = k·q /( R+a)²

Найдем отношение:

E₁ / E₂ =( (R+a)/R)²

√ (E₁ / E₂ ) = (R+a)/R

√ (E₁ / E₂ ) = 1 + a/R

√ (E₁ / E₂ ) — 1 =  a/R

R = a / (√ (E₁ / E₂ ) — 1)

R = 0,60 / (√(400/25) — 1) = 0,20 м   или   20 см

I. Краткие теоретические сведения

Теорема Гаусса: поток векторасквозь замкнутую поверхность равен
алгебраической сумме зарядов внутри
этой поверхности, деленной на.

.

Число задач, легко решаемых с помощью
теоремы Гаусса, ограничено. Применять
теорему Гаусса эффективно лишь в том
случае, когда поле обладает специфической
симметрией – плоской, сферической или
цилиндрической. В этом случае легко
найти достаточно простую замкнутую
гауссову поверхность.

Для упрощения математических расчетов
во многих случаях истинное распределение
точечных дискретных зарядов заменяют
непрерывным распределением с некоторой
объемной ,
поверхностнойили линейнойплотностью.

Объемная плотность заряда:

.

Поверхностная плотность заряда:

.

Линейная
плотность заряда:

.

II. Примеры решения задач

Пример
2.1.Найти поле равномерно заряженного
по объему зарядовой плотностьюбесконечного цилиндра на расстоянииrот его оси. Радиус цилиндраR.

Решение.

Электростатическое поле равномерно
заряженного цилиндра имеет радиальный
характер: направление вектора Eв любой точке перпендикулярно оси
цилиндра, а модуль вектораEзависит только от расстоянияrдо оси цилиндра. (рис.2.1.). Ясно, что при
такой конфигурации поля в качестве
гауссовой поверхности нужно взять
цилиндр радиусаr, ось
которого совпадает с осью данного
цилиндра (рис. 2.2.). Тогда модуль вектораEна гауссовой
поверхности всюду имеет одинаковое
значение (данный факт позволяет вынести
Eза знак интеграла).

Рассмотрим два случая:

1) Если r<R,
то поток вектораE
сквозь боковую поверхность гауссова
цилиндра примет вид:

,

где– площадь боковой поверхности гауссова
цилиндра высотойh.

Заряд, заключенный внутри гауссовой
поверхности, равен:

где V–
объем цилиндра, в котором сосредоточен
заряд. В данном случаеVсовпадает с объемом гауссова цилиндра.

.

2) При r>R

.

Теперь Vне совпадает с объемом гауссова цилиндра

.

Тогда :

.

Пример 2.2.Бесконечно длинный
цилиндр радиусаRзаряжен с объемной плотностью,a– постоянная,r–
расстояние от оси цилиндра. НайтиE(r).

Решение.

Все рассуждения относительно выбора
гауссовой поверхности повторяют
предыдущую задачу. Поэтому сразу перейдем
к рассмотрению двух случаев.

1. При r<Rи.
   Так как объемная плотность является
   функцией расстоянияr,
   тонельзя
   выносить за знак интеграла, как это
   делалось ранее.

.

Тогда

.

2) При r>R

.

Следует
обратить внимание, что интегрирование
идет в пределах от 0 до R.
В пространстве отRдоrзаряда нет.

Пример
2.3.На оси бесконечно длинного
полого цилиндра радиусаRрасположена бесконечная нить, заряженная
с линейной плотностью.
Пространство за цилиндром заряжено с
объемной плотностью,₀–
постоянная,r– расстояние
от оси цилиндра. НайтиE(r).

Решение.

Поле обладает цилиндрической симметрией,
поэтому выбор гауссовой поверхности
очевиден.

1) При r<Rсуществует только электростатическое
поле, созданное нитью

.

Заряд:

2) При r>Rв области существует как поле нити, так
и поле, создаваемое заряженной средой.
В силу принципа суперпозиции:

.

Заметим, что
поле среды также обладает цилиндрической
симметрией, поэтому от векторов в
принципе суперпозиции можно перейти к
модулям:

.

Определим
поле среды:

При
поле, создаваемое нитью, стремится к
нулю; поле же среды с расстоянием растет,
что связано с возрастающей от расстояния
объемной плотностью заряда.

Пример
5.4.Внутри бесконечно длинного
равномерно заряженного цилиндра имеется
бесконечная цилиндрическая полость
(Рис.2.3). Объемная плотность заряда
цилиндра. Ось
цилиндрической полости параллельна
оси цилиндра и смещена относительно
нее на расстояние, характеризуемое
вектором.
НайтиEвнутри полости.

Решение.

При решении данной задачи пользуются
модельным представлением: вместо
цилиндра с полостью рассматривают
равномерно заряженный (для определенности
пусть
)
большой цилиндр и отрицательно заряженный
сцилиндр меньшего радиуса в нем. Такая
модель соответствует исходной постановке
задачи, так как в области полости
отрицательные и положительные заряды
компенсируют друг друга, и позволяет
использовать принцип суперпозиции, что
значительно упрощает решение задачи.

Определим напряженность поля большого
цилиндра в точке, характеризуемой
радиус-вектором
(рис. 2.4):

Аналогично,
.
В векторной форме общее поле внутри
полости имеет вид:

.

Знак «-» появился из-за того, что цилиндр
меньшего диаметра заряжен отрицательно.

.

Таким, образом, поле в полости является
однородным, и вектор
направлен параллельно вектору.
Этот вывод справедлив независимо от
соотношения радиусов цилиндров и
расстояния между их центрами.

Пример
2.5.Две длинные параллельные нити
равномерно заряжены каждая с линейной
плотностью.
Расстояние между нитямиl.
Найти максимальное значение модуля
напряженности электрического поля в
плоскости симметрии этой системы,
расположенной между нитями.

Решение.

Модуль вектора напряженности каждой
нити легко определить с помощью теоремы
Гаусса. Действительно, выбирая в качестве
гауссовой поверхности цилиндр, получим:

.

Внекоторой точкеО(рис. 2.5), лежащей
в плоскости симметрии данной системы,
напряженность общего электростатического
поля нитей определим из принципа
суперпозиции:

,

или в проекциях
на направление вектора
:

.

Так как
,
то

.

Найдем
максимальное значение
:

.

Пример
2.6. Шар радиусаRимеет положительный заряд, объемная
плотность которого зависит только от
расстоянияrдо его
центра как,
где₀–
постоянная. Найти: а) модуль напряженности
электростатического поля внутри и вне
шара как функциюr; б)
максимальное значение модуля напряженностии соответствующее ему значение.

Решение.

а) Поле шара является центрально-симметричным:
вектор напряженности электростатического
поля
направлен по радиус-векторуи проходит через центр шара, а модуль
векторазависит только от расстояниядо центра шара. В качестве гауссовой
поверхности необходимо выбрать
концентрическую сферу радиуса . Рассмотрим
два случая:

1) При r<Rнайдем поток векторасквозь гауссову сферу.

,

так
как
.

На гауссовой поверхности
,
поэтомуEможно вынести
за знак интеграла. Следовательно,,
где–
площадь гауссовой сферы.

Найдем заряд q,
заключенный внутри гауссовой поверхности:

,
,

Подставим
полученные значения заряда и потока в
формулу теоремы Гаусса:

2) При r>R

.

б) Найдем максимальное значение модуля
напряженности электростатического
поля шара
.
Максимум имеется приr<R,
что следует непосредственно из вида
зависимостиE(r).
Найдем производную:

,

.

Пример
2.7. Вычислить напряженность
электростатического поля равномерно
заряженной зарядомqсферы радиусаR.

Решение.

В качестве гауссовой поверхности
выбираем сферу радиуса r.

1. Пусть r>R.
   Тогда

2) Пусть r<R.
В этом случае замкнутая поверхность не
содержит внутри зарядов, поэтому в этой
области всюду,
т.е. внутри заряженной сферической
поверхности электростатическое поле
отсутствует.

Пример
2.8.Система состоит из шара радиусаR, заряженного сферически
симметрично, и окружающей среды,
заполненной зарядом с объемной плотностью,
гдеa– постоянная иrрасстояние до центра. Найти заряд шара,
при котором модуль напряженности
электрического поля вне шара не зависит
отr.

Решение.

Так как шар заряжен сферически симметрично,
то в качестве гауссовой поверхности
выбираем сферу радиуса r.

Пусть искомый заряд шара q.
Напряженность электростатического
поля приr>Rравна сумме:

.

Тогда
.

Напряженность
Eне зависит отrпри условии, что.

Пример
2.9.Найти
напряженность электрического поля в
области пересечения двух шаров, равномерно
заполненные разноименными по знаку
зарядами с объемной плотностьюи,
если расстояние между центрами шаров
характеризуется вектором.

Решение.

При решении воспользуемся принципом
суперпозиции:
,
гдеи– напряженности полей, создаваемых
шарами с объемными плотностямии,
соответственно, в области пересечения

(Рис. 2.6). Легко определить, что

,
тогда

.

Таким образом, поле внутри области
пересечения двух разноименно заряженных
шаров однородно, и вектор напряженности
параллелен характеристическому вектору.

Пример
2.10.Найти напряженностьполя внутри сферы радиусаR,
по которой распределен заряд с
поверхностной плотностью,
где–
постоянная,–
полярный угол. При решении использовать
тот факт, что такое распределение заряда
можно представить как результат малого
сдвига друг относительно друга двух
равномерно заряженных шаров, заряды
которых одинаковы по модулю и противоположны
по знаку.

Решение.

Рассмотрим два шара одинакового радиуса
R, имеющие равномерно
распределенные по объему заряды с
плотностьюи.
Пусть центры шаров смещены друг
относительно друга на вектор(Рис. 2.7). В области пересечения шаров
поле является однородным, что было
показано в предыдущей задаче:

.

При малом смещении шаров, т. е. при малой
длине вектора
мы можем перейти к представлению о
поверхностной плотности заряда на
сфере. Определим толщину заряженного
слоя в точках, определяемых углом.
Для этого рассмотрим,
по теореме косинусов:

,

где R–
радиус шара. Так как по условиюR>>a,
R>>l

.

При
.

Зная толщину
слоя и объемную плотность, получаем,
что на единицу площади в этом месте
приходится заряд
,
где.
Таким образом, мы пришли к выводу, что
результат малого сдвига друг относительно
друга двух равномерно заряженных шаров
приведет к такому же результату, как
если бы у нас была сфера с поверхностной
плотностью.

Напряженность
можно представить как,
где– орт осиz, от которой
отсчитывается угол.

Пример
2.11.Найти поле плоскости, равномерно
заряженной зарядом с поверхностной
плотностью.

Решение.

Из симметрии задачи следует, что вектор
перпендикулярен плоскости. Он направлен
от плоскости, если плоскость заряжена
положительно, и к плоскости, если ее
заряд отрицателен. В симметричных
относительно плоскости точках вектородинаков по модулю. Заметив это, построим
гауссову поверхность в виде цилиндра
с площадью оснований,
расположенными симметрично по разные
стороны плоскости. Образующие гауссова
цилиндра перпендикулярны плоскости
(Рис. 2.8).

Тогда поток вектора напряженности
электростатического поля плоскости
через одно основание цилиндра будет
,
а через оба основания.
Поток через боковую поверхность равен
нулю, т.к.ивзаимно перпендикулярны. Таким образом,.
Заряд, содержащийся внутри гауссова
цилиндра, равен:.
Следовательно,.
Т.е. напряженность поля бесконечной
равномерно заряженной плоскости не
зависит от расстояния до нее.

Пример
2.12.Бесконечно большая пластина
толщиной 2dравномерно
заряжена с объемной плотностью,₀– постоянная.
Осьxперпендикулярна
плоскости пластины, начало координат
в середине пластины. Найти напряженность
электрического поля как функцию
расстоянияx.

Решение.

Выберем начало координат в средней
плоскости пластинки, а ось xнаправим перпендикулярно к ней (Рис.
2.9). Тогда, проводя рассуждения, как в
предыдущей задаче, рассмотрим два
случая:

1) При x<d

,
,

где V–
объем цилиндра, в котором находится
заряд. В данном случаеVсовпадает с объемом гауссова цилиндра.

.

2) При x>d

.

Интегрирование
в этом случае идет в пределах от
до;
в пределах отдозаряда нет, поэтому интеграл обращается
в нуль.

Если непрерывно уменьшать толщину
пластинки d, одновременно
увеличивая плотность электричества₀, чтобы
величинаоставалась постоянной, то в пределе
получится бесконечная равномерно
заряженная плоскость с поверхностной
плотностью электричества,
а напряженность поля будет определяться
формулой,
полученной в предыдущей задаче.

Пример
2.13.Какое поле создавали бы две
безграничные плоскости, если бы одна
была заряжена с поверхностной плотностью
заряда,
а другая –,
и плоскости были перпендикулярны друг
другу?

Решение.

Воспользуемся
формулой напряженности равномерно
заряженной плоскости, полученной в
задаче 2.11:.

Тогда напряженности полей плоскостей
равны:

.

Напряженность общего поля определим
по теореме Пифагора (Рис. 2.10):

.

Это поле является однородным, и вектор
напряженности
составляет некоторый угол с плоскостью
одной из пластин. Проведенные расчеты
справедливы вдали от линии пересечения
пластин.