Как найти радиус звезды формула

Как найти радиус звезды формула

Наконец пришло время рассказать о космических телах — звездах, количество которых во Вселенной исчисляется миллиардами…

Мы познакомимся с понятием “звезда” в астрономии и разберем основные физические характеристики звезд:

  • расстояния до звезд (годичный параллакс и парсек);
  • видимая звездная величина;
  • абсолютная звездная величина;
  • светимость звезды;
  • размеры звезды;
  • масса звезды.

Определение звезды в астрономии

Звезда — гигантский раскаленный газовый шар, вещество которого является плазмой.

Плазма — частично или полностью ионизированный газ (четвертое состояние вещества).

Расстояния до звезд (годичный параллакс и парсек)

В астрономии нет жестких требований к единицам измерений, к которым мы привыкли и с которыми имеем дело в физике. Но в то же время существуют различия в размерностях, которые используются для измерениях расстояний к объектам ближнего космоса (Солнечная система: планеты, спутники планет, малые тела) и дальнего космоса (Млечный путь, Вселенная: звезды, галактики, туманности, скопления и т.д.).

В связи с этим надо различать и помнить о том, что расстояния до планет принято измерять в астрономических единицах (а.е.), которые при необходимости можно перевести в километры и метры; а расстояния до объектов дальнего космоса (в частности до звезд) удобнее записывать в парсеках и световых годах, которые также при необходимости можно перевести в километры и метры.

Для расчета расстояний до звезд используется годичный параллакс р.

Годичный параллакс р — угол, под которым со звезды можно было бы видеть большую полуось земной орбиты (равную 1 а.е.), перпендикулярную направлению на звезду.

Годичный параллакс

Расстояние до звезд в км, при условии что “р”, а – в астрономических единицах (а.е.)

Расстояние до звезд в а.е., при условии что р выражен в секундах дуги.

Расстояние до звезд в парсеках (пк), при условии что “р” выражен в секундах дуги.

Связь между астрономическими единицами измерений:

1 парсек = 3,26 светового года = 206265 а. е.= 3 *10^12 км.

Видимая звездная величина, m — определяет количество света, попадающего от звезды в глаза человека.

2 век до н.э. – греческий астроном Гиппарх разделил все видимые звезды по яркости на 6 классов.

19 век английский астроном Н. Погсон дополнил определение звездной величины одним условием: звезда первой звездной величины должны быть в 100 раз ярче звезды шестой звездной величины.

Формула Погсона

Абсолютная звездная величина, М — видимая звездная величина, которую имела бы звезда, если бы находилась на стандартном расстоянии D0 = 10 пк, называется абсолютной звездной величиной M.

– формула для расчета абсолютной звездной величины

– стандартное расстояние до звезды

Светимость звезды, L — полная энергия, излучаемая звездой за единицу времени(1 секунда), 1 Вт = 1 Дж/с.

– формула светимости звезды

– формула связи светимости и абсолютной звездной величины звезды

– светимость Солнца

Размеры звезд, R рассчитываются в сравнении с размерами Солнца:

 – связь между светимостью, размером и температурой звезды

– формула для расчета размера (радиуса) звезды

– условия, которые необходимо учитывать при расчетах

Масса звезды, М определяется обобщенным третьим законом Кеплера:

, 

Объем звезды, V как правило определяется по формуле объема шара, так как звезды имеют шарообразную форму :

, здесь R — радиус звезды

Химический состав звезд

В зависимости от этапа эволюции химический состав звезды может отличаться. Например, основные химические элементы, входящие в состав Солнца: водород 70% Н и 28% гелий He, 2% — другие элементы. Химический состав звезды другого спектрального класса и эволюционного развития может отличаться содержанием данных химических элементов в процентном отношении.

В следующей статье разберем решение второго типа заданий 2Звезды и их физические характеристики”.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Источник

Размеры звезд

Линейный радиус (R) звезды можно определить, если известны ее угловой радиус ({rho}”) и расстояние до звезды (r) или годичный параллакс ({pi}”) по формуле (R = r cdot sin {rho}”).

Так как (r = frac{{205:265}”}{{pi}”}:а.:е.), для углового радиуса (sin {rho}” = frac{{rho}”}{{205:265}”}), то имеем (R = frac{{rho}”}{{pi}”}:а.:е.)

Линейные радиусы звезд принято выражать в радиусах Солнца. В радиусах Солнца 1 а. е. равна (frac{149,6 cdot 10^{6}:км}{0,696 cdot 10^{6}:км} = 215). Используя это соотношение, получим формулу для определения линейных радиусов звезд в радиусах Солнца в следующем виде: [R = 215frac{{rho}”}{{pi}”}.]

Звезды настолько далеки от нас, что их угловые размеры меньше предела разрешения крупнейших телескопов. Для ярких близких звезд угловой радиус находят по интерференционной картине, которая получается в результате перекрытия изображений звезды, при помощи двух широко расставленных телескопов. Например, с помощью оптического интерферометра, состоящего из двух сферических зеркал диаметром 6,6 м каждое, разнесенных на максимальное расстояние 180 м, удалось измерить угловой диаметр (varepsilon) Ориона. Он оказался равным ({0,00072}”), а так как годичный параллакс звезды равен ({pi}” = {0,0024}”), то (R = 215 cdot frac{{0,00036}”}{{0,0024}”} = 32:R).

Радиусы звезд могут быть вычислены по их мощности излучения (светимости) и температуре. Запишем значение полной мощности излучения для какой-либо звезды и для Солнца: [L = 4pi R^{2}sigma T^{4},] [L_{odot} = 4pi R^{2}sigma T_{odot}^{4},] где (L) и (L_{odot}), (R) и (R_{odot}), (T) и (T_{odot}) — соответственно светимости, линейные радиусы и абсолютные температуры звезды и Солнца.

Принимая (L_{odot} = 1) и (R_{odot} = 1), получим: [L = R^{2}frac{T^{4}}{T_{odot}^{4}},] или окончательно в линейных радиусах Солнца: [R = sqrt{L}left(frac{T_{odot}}{T}right)^{2}.]

Размеры звезд сильно отличаются: от диаметров, сравнимых с диаметром орбиты Юпитера (красные сверхгиганты), до размеров планет солнечной системы (белые карлики) или даже до нескольких километров у нейтронных звезд.

Читать далее

Источник

Каждая звезда
описывается тремя основными
характеристиками: радиус, масса и
светимость. Рассмотрим основные методы
определения указанных параметров, а
также температуры звезд.

а) Размеры
звезд.

Непосредственные
измерения радиусов звезд, за некоторыми
исключениями, практически невозможны,
так как все звезды настолько далеки от
нас, что их угловые размеры меньше
предела разрешения крупнейших телескопов.
Угловые диаметры нескольких десятков
ближайших звезд определены с помощью
специальных звездных
интерферометров.
Принцип работы этих приборов основан
на интерференции света звезды, отраженного
парой широко расставленных зеркал.

В отдельных случаях
для определения углового диаметра
звезды удается использовать вид
интерференционной картины, возникающей
во время покрытия звезд Луной.

Если для звезды с
известным расстоянием r
найден любым из описанных методов
угловой диаметр ,
выраженный в секундах дуги, то ее линейный
радиус R
может быть вычислен по формуле


,

(5.24)

где R
выражен в
радиусах Солнца, а r
— в парсеках.

Из формулы (5.15)
следует, что зная эффективную температуру
звезды Tэф
и ее светимость L,
можно вычислить линейный радиус. Запишем
указанное соотношение для звезды и для
Солнца:

;



Деля почленно одно равенство на
другое, после преобразований находим:


,

(5.25)

где
эффективная температура Солнца T=
6000 K.

Радиус звезды
можно также определить по ее основному
показателю цвета (BV)
и желтой абсолютной звездной величине
MV:


,

(5.26)

где R
— в радиусах Солнца.

Линейные радиусы
можно определить у затменно-переменных
звезд по продолжительности затмения
(см. §
5.12).

Размеры самых
крупных звезд в 1000 и более раз превосходят
солнечные (у звезды VV
Сер (Цефея) в 1600 раз). Звезда, открытая
Лейтеном в созвездии Кита, в 10 раз меньше
Земли по диаметру, а размеры нейтронных
звезд порядка десяти километров.

б) Массы
звезд.

Основой сведений
о массах звезд служат наблюдения двойных
звезд
физических пар звезд, связанных силами
гравитации и обращающихся вокруг общего
центра масс. В
звездной паре более яркий компонент
называется главной
звездой,
а менее яркий •— звездой-спутником.
Их
расстояния от Земли
и Солнца практически одинаковы, хотя,
конечно, несуще­ственные
различия имеются. По
данным измерений, зани­мающих несколько
лет (а то и десятки лет), строится видимая
относительная
орбита звезды-спутника: она имеет вид
эллипса, но
главная звезда (S)
расположена вне его фокуса, так как эта
орбита
является проекцией реальной (истинной)
эллиптической орбиты
на плоскость, касательную к небесной
сфере и называемую картинной
плоскостью.
Существуют способы, позволяющие по
видимой орбите вычис­лить элементы
истинной орбиты: большую полуось а”
(в
секундах дуги),
эксцентриситет е
и
наклонение i
к картинной
плоскости, а период
обращения Т
звезды-спутника
находится непосредственно из
наблюдений ее положений в разные годы.

Если известен
параллакс
двойной звезды, то легко вычислить
большую полуось а истинной орбиты
в астрономических едини­цах:

.
Пусть M1 и
M2
массы компонентов двойной звезды, M
и M
 масса Солнца и
Земли соответственно. Тогда по третьему
обобщен­ному закону Кеплера имеем:


,

(5.27)

где T
и T
 периоды обращения
двойной звезды и Земли соответственно,
а
большая полуось Земли. Учитывая то, что
масса Солнца во много раз превосходит
земную массу, можно записать:

;
T
= 1 год; а
= 1 а.е. Приняв это во внимание, выразим
из соотношения (5.27) величину (М1+М2),
которая и будет являться массой двойной
звезды:


.

(5.28)

Чтобы определить
массу каждой компоненты в отдельности,
необходимо найти положение центра масс
системы. Тогда будет справедливо
соотношение


,

(5.29)

где

и


расстояния от 1-й и 2-й компонент звезды
до их общего центра масс.

Решая совместно
уравнения (5.28) и (5.29), мы вычислим массу
каждой компоненты.

Если звезда
одиночная, ее массу можно установить
по диаграмме масса-светимость (см.
§ 5.11).

Если измерен радиус
звезды, то по ее спектру можно найти
массу, измерив величину красного
смещения. Данное смещение линий в спектре
происходит из-за эффекта Доплера
вследствие гравитационного сжатия
звезды. Этот метод особенно применим
для тех звезд, у которых красное смещение
велико, — для белых карликов.

Массы звезд
заключены в пределах от 0,1 масс Солнца
до нескольких десятков масс Солнца.

в) Светимости
звезд.

Основным методом
определения светимостей звезд является
фотометрический метод. Если известна
видимая звездная величина звезды и
расстояние до нее,
выраженное в парсеках, то с помощью
формул (5.7) и (5.11) можно определить
светимость этой звезды.

Также светимость
можно вычислить по соотношению (5.15), для
этого необходимо знать радиус звезды
и ее эффективную температуру.

Светимости звезд
заключены в очень широких пределах: от
105
до 105
светимостей Солнца.

г) Температуры
звезд.

Обычно под
температурой звезды понимают ее
эффективную температуру. Для определения
последней необходимо знать полный поток
излучения (т.е. светимость) и радиус
звезды. Достаточно точно обе эти величины,
а потому и эффективные температуры
могут быть измерены лишь для немногих
звезд. Для остальных звезд эффективные
температуры находят косвенными методами.

Если известны
угловой диаметр звезды
(в угловых секундах) и ее яркость во всем
диапазоне спектра (т.е. болометрическая
звездная величина mb),
то эффективная температура звезды (в
кельвинах) может быть найдена из
следующего равенства:


.

(5.30)

Наиболее просто
найти цветовую температуру звезды,
определив из наблюдений спектральный
класс или показатель цвета этой звезды.
Так, если известен основной показатель
цвета звезды (BV),
то цветовая температура может быть
определена по формуле (5.16).

Температуры звезд
сильно различаются: они лежат в пределах
от 2000 до 50000 К.
Изредка встречаются звезды с температурой
до 100000 К.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

1. Температура звёзд. В первом приближении можно считать, что звёзды излучают как абсолютно чёрные тела. Температуру Т поверхности (фотосферы) звёзд можно определить, воспользовавшись законом Стефана — Больцмана, так же, как мы это уже делали при определении температуры Солнца (см. § 18):

формула (1).

Звёзды имеют разный цвет и температуру

Подсчитанную таким методом температуру называют эффективной температурой. Однако этот метод применяется ограниченно, так как достаточно точное значение радиусов измерено только у нескольких десятков ярких гигантских звёзд.

Температуры звёзд сильно различаются. Холодные красные звёзды имеют температуру около 3000 К. Солнце с температурой фотосферы 6000 К относится к жёлтым карликам. Температура самых горячих звёзд достигает 100 000 К. Основная часть излучения горячих звёзд приходится на ультрафиолетовую часть спектра, и мы их воспринимаем как звёзды голубого цвета.

2. Спектральная классификация звёзд. Звёзды отличаются большим разнообразием, однако среди них можно выделить отдельные группы, обладающие общими свойствами.

Спектральные классы звёзд

При первом знакомстве со звёздным небом обращает на себя внимание тот факт, что звёзды разнятся по цвету. Гораздо сильнее это заметно при рассмотрении спектров. Важнейшие различия спектров звёзд заключаются в количестве и интенсивности наблюдаемых спектральных линий, а также в распределении энергии в непрерывном спектре. С учётом видов спектральных линий и их интенсивности строится спектральная классификация звёзд.

В Гарвардской обсерватории (США) в 20-е гг. ХХ в. была разработана классификация спектров звёзд, в которой последовательность спектральных классов обозначается заглавными буквами латинского алфавита. Основные характеристики спектральных классов помещены на форзаце 4. Тонкие различия внутри каждого класса дополнительно подразделяют на 10 подклассов — от 0 до 9. Например, Солнце принадлежит к спектральному классу G2.

Данная последовательность спектральных классов отражает уменьшение температуры атмосфер (фотосфер) звёзд от класса О к классу L. Спектральная последовательность одновременно является и цветовой: звёзды класса О имеют голубоватый цвет, класса В — голубовато-белый, А — белый и т. д. Для запоминания этой последовательности используется следующая фраза (мнемоническое правило):

Химический состав атмосфер большинства звёзд почти одинаков. Наружные слои звёзд состоят из водородно-гелиевой смеси с очень малой добавкой более тяжёлых элементов. Например, аналогично Солнцу другие звёзды содержат в своих атмосферах 73 % водорода, 25 % гелия и 2 % всех остальных элементов.

Различия в спектрах звёзд определяются главным образом различиями температуры. В фотосферах холодных звёзд могут существовать простейшие молекулы. Поэтому характерными деталями спектров звёзд классов М и L являются широкие полосы поглощения молекул, например CrH. При более высоких температурах молекулярные соединения распадаются. В таких спектрах пропадают спектральные полосы молекулярных соединений, зато появляются линии, соответствующие нейтральным металлам. Таким образом, спектральная классификация звёзд — это температурная классификация звёздных спектров, основанная на оценках относительной интенсивности и вида спектральных линий. В настоящее время спектральной классификацией охвачено более 500 тыс. звёзд.

3. Размеры звёзд. Линейный радиус R звезды можно определить, если известны её угловой радиус ρ» и расстояние до звезды r или годичный параллакс p» по формуле R = r • sin (ρ»).

Так как ​( r=frac{206265»}{pi»} )​ а. е., для углового радиуса ​( sin(ρ»)=frac{ρ»}{206265»} )​, то имеем ​( R=frac{ρ»}{pi»}a.e. )​

Линейные радиусы звёзд принято выражать в радиусах Солнца. В радиусах Солнца

Используя это соотношение, получим формулу для определения линейных радиусов звёзд в радиусах Солнца в следующем виде:

Звёзды настолько далеки от нас, что их угловые размеры меньше предела разрешения крупнейших телескопов. Для ярких близких звёзд угловой радиус находят по интерференционной картине, которая получается в результате перекрытия изображений звезды, при помощи двух широко расставленных телескопов. Например, с помощью оптического интерферометра, состоящего из двух сферических зеркал диаметром 6,6 м каждое, разнесённых на максимальное расстояние 180 м, удалось измерить угловой диаметр в Ориона. Он оказался равным 0,00072″, а так как годичный параллакс звезды равен ρ» = 0,0024″, то ​( R=215*frac{0.00036»}{0.0024»}=32R ).​

Радиусы звёзд могут быть вычислены по их мощности излучения (светимости) и температуре. Запишем значение полной мощности излучения для какой-либо звезды и для Солнца:

где L и L( bigodot ), R и R( bigodot ), T и T( bigodot ) — соответственно светимости, линейные радиусы и абсолютные температуры звезды и Солнца. Принимая L( bigodot )= 1 и R( bigodot ) = 1, получим:

или окончательно в линейных радиусах Солнца:

формула (2).

Диаметры звёзд сильно отличаются: от размеров, сравнимых с большой полуосью орбиты Юпитера (красные сверхгиганты), до размеров Земли (белые карлики) или даже до нескольких километров у нейтронных звёзд (рис. 124).

Рисунок 124 — Размеры некоторых звёзд в сравнении с размерами Земли (на рисунке слева) и Солнца (на рисунке справа)

Сравнительные размеры звёзд

Главные выводы
1. Спектральная классификация звезд основана на оценках относительной интенсивности и вида спектральных линий.
2. Размеры звезд пропорциональны расстояниям до них и видимым угловым размерам.
3. Зная мощность излучения звезды (светимость), температуру звезды и температуру Солнца, можно определить ее размер (в радиусах Солнца).
4. Температура звезд определяется на основании законов Стефана—Больцмана и Вина.

Контрольные вопросы и задания

1. Каким образом можно определить температуру звезды, используя законы Стефана—Больцмана и Вина?
2. По каким принципам производится спектральная классификация звезд?
3. Из каких химических элементов в основном состоят звезды?
4. Во сколько раз отличаются светимости двух звезд одинакового цвета, если радиус одной из них в 25 раз больше?
5. Определите размеры звезды Спики (α Девы), если температура ее фотосферы равна 22 400 К, а светимость в 13 400 раз больше светимости Солнца.
6. Определите светимость звезды α Лиры, если ее годичный параллакс равен 0,129″, а видимая звездная величина составляет 0m,03.
7. Определите расстояние, светимость и размеры звезды Регул (α Льва), если из наблюдений известно, что у нее годичный параллакс равен 0,040″, видимая звездная величина 1m,35 и температура фотосферы 13 600 К.

Проверь себя

Выбор тем

Источник

If you think you can’t measure the radius of a star directly, think again, because the Hubble telescope has made many things possible that weren’t before, even that. However, light diffraction is a limiting factor, so this method works well only for large stars.

Another method astrophysicists employ to determine a star’s size is to measure how long it takes for it to disappear behind an obstacle, such as the moon. The star’s angular size ​θ​ is a product of the obscuring object’s angular velocity (​v​), which is known, and the time it takes for the star to disappear (∆​t​):

theta = vtimes Delta t

The fact that the Hubble telescope orbits outside the light-dispersing atmosphere makes it capable of extreme accuracy, so these methods of measuring stellar radii are more feasible than they used to be. Even so, the preferred method to measure stellar radii is to calculate them from luminosity and temperature using the Stefan-Boltzmann Law.

Radius, Luminosity and Temperature Relationship

For most purposes, an star can be considered a black body, and the amount of power ​P​ radiated by any black body is related to its temperature ​T​ and surface area ​A​ by the Stefan-Boltzmann Law, which states that:

frac{P}{A}=sigma T^4

where ​σ​ is the Stefan-Boltzmann constant.

Considering that a star is a sphere with a surface area of 4π​R​2, where ​R​ is the radius, and that ​P​ is equivalent to the star’s luminosity ​L​, which is measurable, this equation can be rearranged to express ​L​ in terms of ​R​ and ​T​:

L = 4πR^2σT^4

Luminosity varies with the square of a star’s radius and the fourth power of its temperature.

Measuring Temperature and Luminosity

Astrophysicists gain information about stars first and foremost by looking at them through telescopes and examining their spectra. The color of light with which star shines is an indication of its ​temperature​. Blue stars are the hottest while orange and red ones are the coolest.

Stars are classified into seven main types, identified by the letters O, B, A, F, G, K, and M, and are cataloged on the Hertzsprung-Russell Diagram, which, somewhat like a star temperature calculator, compares surface temperature to luminosity.

For its part, ​luminosity​ can be derived from a star’s absolute magnitude, which is a measure of its brightness, corrected for distance. It’s defined as how bright the star would be if it were 10 parsecs away. By this definition, the sun is a little dimmer than Sirius, although its apparent magnitude is obviously much greater than that.

To determine a star’s absolute magnitude, astrophysicists have to know how far away it is, which they determine through a variety of methods, including parallax and comparison with variable stars.

The Stefan-Boltzmann Law as a Star Size Calculator

Rather than calculating stellar radii in absolute units, which isn’t very meaningful, scientists usually calculate them as fractions or multiples of the sun’s radius. To do this, rearrange the Stefan-Boltzmann equation to express radius in terms of luminosity and temperature:

R = frac{ksqrt{L}}{T^2} \ text{Where} ;k = frac{1} {2sqrt{πσ}}

If you form a ratio of the radius of the star to that of the sun (​R​ / ​R​s), the proportionality constant disappears and you get:

frac{R}{R_s} = frac{T_s^2sqrt{(L / L_s)}}{T ^2}

As an example of how you use this relationship to calculate star size, consider that the most massive main sequence stars are million times as luminous of the sun and have a surface temperature of about 40,000 K. Plugging in these numbers, you find that the radius of such stars is about 20 times that of the sun.

Источник

Добавить комментарий