Как найти ранг матрицы базисный минор

Ранг матрицы и базисный минор матрицы

Пусть — матрица размеров , а — натуральное число, не превосходящее и : . Минором k-го порядка матрицы называется определитель матрицы k-го порядка, образованной элементами, стоящими на пересечении произвольно выбранных строк и столбцов матрицы . Обозначая миноры, номера выбранных строк будем указывать верхними индексами, а выбранных столбцов — нижними, располагая их по возрастанию.

Пример 3.4. Записать миноры разных порядков матрицы

Решение. Матрица имеет размеры . Она имеет: 12 миноров 1-го порядка, например, минор ; 18 миноров 2-го порядка, например, ; 4 минора 3-го порядка, например,

---

В матрице размеров минор r-го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры (r+1)-ro порядка равны нулю или их вообще не существует.

Рангом матрицы называется порядок базисного минора. В нулевой матрице базисного минора нет. Поэтому ранг нулевой матрицы, по определению полагают равным нулю. Ранг матрицы обозначается .

Пример 3.5. Найти все базисные миноры и ранг матрицы

Решение. Все миноры третьего порядка данной матрицы равны нулю, так как у этих определителей третья строка нулевая. Поэтому базисным может быть только минор второго порядка, расположенный в первых двух строках матрицы. Перебирая 6 возможных миноров, отбираем отличные от нуля

Каждый из этих пяти миноров является базисным. Следовательно, ранг матрицы равен 2.

---

Замечания 3.2

1. Если в матрице все миноры k-го порядка равны нулю, то равны нулю и миноры более высокого порядка. Действительно, раскладывая минор (k+1)-ro порядка по любой строке, получаем сумму произведений элементов этой строки на миноры k-го порядка, а они равны нулю.

2. Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минора этой матрицы.

3. Если квадратная матрица невырожденная, то ее ранг равен ее порядку. Если квадратная матрица вырожденная, то ее ранг меньше ее порядка.

4. Для ранга применяются также обозначения .

5. Ранг блочной матрицы определяется как ранг обычной (числовой) матрицы, т.е. не обращая внимания на ее блочную структуру. При этом ранг блочной матрицы не меньше рангов ее блоков: и , поскольку все миноры матрицы (или ) являются также минорами блочной матрицы .

---

Теоремы о базисном миноре и о ранге матрицы

Рассмотрим основные теоремы, выражающие свойства линейной зависимости и линейной независимости столбцов (строк) матрицы.

Теорема 3.1 о базисном миноре. В произвольной матрице каждый столбец {строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Действительно, без ограничения общности предполагаем, что в матрице размеров базисный минор расположен в первых строках и первых столбцах. Рассмотрим определитель

который получен приписыванием к базисному минору матрицы соответствующих элементов s-й строки и k-го столбца. Отметим, что при любых и этот определитель равен нулю. Если или , то определитель содержит две одинаковых строки или два одинаковых столбца. Если же и , то определитель равен нулю, так как является минором (r+l)-ro порядка. Раскладывая определитель по последней строке, получаем

где — алгебраические дополнения элементов последней строки. Заметим, что , так как это базисный минор. Поэтому

, где

Записывая последнее равенство для , получаем

т.е. -й столбец (при любом ) есть линейная комбинация столбцов базисного минора, что и требовалось доказать.

Теорема о базисном миноре служит для доказательства следующих важных теорем.

---

Условие равенства нулю определителя

Теорема 3.2 (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Для того чтобы определитель был равен нулю необходимо и достаточно, чтобы один из его столбцов {одна из его строк) был линейной комбинацией остальных столбцов (строк).

В самом деле, необходимость следует из теоремы о базисном миноре. Если определитель квадратной матрицы n-го порядка равен нулю, то ее ранг меньше , т.е. хотя бы один столбец не входит в базисный минор. Тогда этот выбранный столбец по теореме 3.1 является линейной комбинацией столбцов, в которых расположен базисный минор. Добавляя, при необходимости, к этой комбинации другие столбцы с нулевыми коэффициентами, получаем, что выбранный столбец есть линейная комбинация остальных столбцов матрицы. Достаточность следует из свойств определителя. Если, например, последний столбец определителя линейно выражается через остальные

то прибавляя к столбец , умноженный на , затем столбец , умноженный на , и т.д. столбец , умноженный на , получим определитель с нулевым столбцом, который равен нулю (свойство 2 определителя).

---

Инвариантность ранга матрицы при элементарных преобразованиях

Теорема 3.3 (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях). При элементарных преобразованиях столбцов (строк) матрицы ее ранг не меняется.

Действительно, пусть . Предположим, что в результате одного элементарного преобразования столбцов матрицы получили матрицу . Если было выполнено преобразование I типа (перестановка двух столбцов), то любой минор (r+l)-ro порядка матрицы либо равен соответствующему минору (r+l)-ro порядка матрицы , либо отличается от него знаком (свойство 3 определителя). Если было выполнено преобразование II типа (умножение столбца на число ), то любой минор (г+l)-ro порядка матрицы либо равен соответствующему минору (r+l)-ro порядка матрицы , либо отличается от него множителем (свойство 6 определителя). Если было выполнено преобразование III типа (прибавление к одному столбцу другого столбца, умноженного на число ), то любой минор (г+1)-го порядка матрицы либо равен соответствующему минору (г+1) -го порядка матрицы (свойство 9 определителя), либо равен сумме двух миноров (r+l)-ro порядка матрицы (свойство 8 определителя). Поэтому при элементарном преобразовании любого типа все миноры (r+l)-ro порядка матрицы равны нулю, так как равны нулю все миноры (г+l)-ro порядка матрицы . Таким образом, доказано, что при элементарных преобразованиях столбцов ранг матрицы не может увеличиться. Так как преобразования, обратные к элементарным, являются элементарными, то ранг матрицы при элементарных преобразованиях столбцов не может и уменьшиться, т.е. не изменяется. Аналогично доказывается, что ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях строк.

Следствие 1. Если одна строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других ее строк (столбцов), то эту строку (столбец) можно вычеркнуть из матрицы, не изменив при этом ее ранга.

Действительно, такую строку при помощи элементарных преобразований можно сделать нулевой, а нулевая строка не может входить в базисный минор.

Следствие 2. Если матрица приведена к простейшему виду (1.7), то

Действительно, матрица простейшего вида (1.7) имеет базисный минор r-го порядка.

Следствие 3. Любая невырожденная квадратная матрица является элементарной, другими словами, любая невырожденная квадратная матрица эквивалентна единичной матрице того же порядка.

Действительно, если — невырожденная квадратная матрица n-го порядка, то (см. п.З замечаний 3.2). Поэтому, приводя элементарными преобразованиями матрицу к простейшему виду (1.7), получим единичную матрицу , так как (см. следствие 2). Следовательно, матрица эквивалентна единичной матрице и может быть получена из нее в результате конечного числа элементарных преобразований. Это означает, что матрица элементарная.

---

Теорема 3.4 (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк этой матрицы.

В самом деле, пусть . Тогда в матрице имеется линейно независимых строк. Это строки, в которых расположен базисный минор. Если бы они были линейно зависимы, то этот минор был бы равен нулю по теореме 3.2, а ранг матрицы не равнялся бы . Покажем, что — максимальное число линейно независимых строк, т.е. любые строк линейно зависимы при . Действительно, образуем из этих строк матрицу . Поскольку матрица — это часть матрицы , то . Значит, хотя бы одна строка матрицы не входит в базисный минор этой матрицы. Тогда по теореме о базисном миноре она равна линейной комбинации строк, в которых расположен базисный минор. Следовательно, строки матрицы линейно зависимы. Таким образом, в матрице не более, чем линейно независимых строк.

Следствие 1. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов:

Это утверждение вытекает из теоремы 3.4, если ее применить к строкам транспонированной матрицы и учесть, что при транспонировании миноры не изменяются (свойство 1 определителя).

Следствие 2. При элементарных преобразованиях строк матрицы линейная зависимость (или линейная независимость) любой системы столбцов этой матрицы сохраняется.

В самом деле, выберем любые столбцов данной матрицы и составим из них матрицу . Пусть в результате элементарных преобразований строк матрицы была получена матрица , а в результате тех же преобразований строк матрицы была получена матрица . По теореме 3.3 . Следовательно, если столбцы матрицы были линейно независимы, т.е. (см. следствие 1), то и столбцы матрицы также линейно независимы, так как . Если столбцы матрицы были линейно зависимы , то и столбцы матрицы также линейно зависимы . Следовательно, для любых столбцов матрицы линейная зависимость или линейная независимость сохраняется при элементарных преобразованиях строк.

Замечания 3.3

1. В силу следствия 1 теоремы 3.4 свойство столбцов, указанное в следствии 2, справедливо и для любой системы строк матрицы, если элементарные преобразования выполняются только над ее столбцами.

2. Следствие 3 теоремы 3.3 можно уточнить следующим образом: любую невырожденную квадратную матрицу, используя элементарные преобразования только ее строк (либо только ее столбцов), можно привести к единичной матрице того же порядка.

В самом деле, используя только элементарные преобразования строк, любую матрицу можно привести к упрощенному виду (рис. 1.5) (см. теорему 1.1). Поскольку матрица невырожденная , то ее столбцы линейно независимы. Значит, столбцы матрицы также линейно независимы (следствие 2 теоремы 3.4). Поэтому упрощенный вид невырожденной матрицы совпадает с ее простейшим видом (рис. 1.6) и представляет собой единичную матрицу (см. следствие 3 теоремы 3.3). Таким образом, преобразовывая только строки невырожденной матрицы, ее можно привести к единичной. Аналогичные рассуждения справедливы и для элементарных преобразований столбцов невырожденной матрицы.

---

Ранге произведения и суммы матриц

Теорема 3.5 (о ранге произведения матриц). Ранг произведения матриц не превышает ранга множителей:

В самом деле, пусть матрицы и имеют размеры и . Припишем к матрице матрицу . Разумеется, что , так как — это часть матрицы (см. п.5 замечаний 3.2). Заметим, что каждый столбец , согласно операции умножения матриц, является линейной комбинацией столбцов матрицы

Такой столбец можно вычеркнуть из матрицы , при этом ее ранг не изменится (следствие 1 теоремы 3.3). Вычеркивая все столбцы матрицы , получаем: . Отсюда, . Аналогично можно доказать, что одновременно выполняется условие , и сделать вывод о справедливости теоремы.

Следствие. Если невырожденная квадратная матрица, то и , т.е. ранг матрицы не изменяется приумножении ее слева или справа на невырожденную квадратную матрицу.

Теорема 3.6 о ранге суммы матриц. Ранг суммы матриц не превышает суммы рангов слагаемых:

Действительно, составим матрицу . Заметим, что каждый столбец матрицы есть линейная комбинация столбцов матриц и . Поэтому . Учитывая, что количество линейно независимых столбцов в матрице не превосходит , а (см. п.5 замечаний 3.2), получаем доказываемое неравенство.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Рассмотрим
некоторую, не обязательно квадратную,
матрицу А. Выберем какие-нибудь s номеров
строк i₁,
i₂,
,
i_s
и s номеров столбцов j₁,
j₂,
,
j_s,
причём i₁<i₂<<i_s
и j₁<j₂<<j_s.

Определение.
Минором порядка s матрицы А называется
детерминант матрицы порядка s, образованный
элементами, расположенными на пересечении
выбранных строк и столбцов, т.е. число

Определение.
В матрице А размеров

минор порядка r называется базисным,
если он отличен от нуля, а все миноры
порядка r+1 равны нулю или миноров порядка
r+1 вообще нет, т.е. r совпадает с меньшим
из чисел m или n.

Определение.
Строки и столбцы, на пересечении которых
расположен базисный минор, называются
базисными
строками и столбцами.

Определение.
Рангом матрицы
А называется наивысший порядок отличных
от нуля миноров этой матрицы и обозначается

.

Свойства
ранга матрицы и базисного минора.

1. Ранг
   матрицы А размеров
   

   не превосходит меньшего из её размеров.

2. rangA=0
   тогда и только тогда, когда
   

3. Для
   квадратной матрицы А порядка n rangA= n
   тогда и только тогда, когда А –
   невырожденная.

4. Базисные
   строки (столбцы) матрицы А линейно
   независимы.

5. Теорема
   о
   базисном
   миноре.
   В произвольной матрице каждый столбец
   (строка) является линейной комбинацией
   базисных столбцов (строк).

6. Теорема
   о
   ранге
   матрицы.
   Ранг матрицы А равен максимальному
   числу линейно независимых столбцов
   (строк) в этой матрице.

7. 

8. 

   где
   n – число столбцов матрицы А или строк
   матрицы B.

9. rang(A^TA)=rang
   A.

10. rang(AB)=
    rang
    A,
    если B
    – квадратная матрица и
    

Элементарные
преобразования
матриц.

1. Отбрасывание
   нулевой строки (столбца).

2. Умножение
   всех элементов строки (столбца) на
   число, не равное нулю.

3. Изменение
   порядка строк (столбцов) матрицы.

4. Прибавление
   к каждому элементу одной строки (столбца)
   соответствующих элементов другой
   строки (столбца), умноженных на любое
   число.

5. Транспонирование
   матрицы.

Теорема.
Ранг матрицы не изменяется при элементарных
преобразованиях.

Определение.
Матрицы А и B
называются эквивалентными
(АB),
если матрица B
получена из матрицы А в результате
элементарных преобразований.

3.7 Нахождение ранга матрицы

Алгоритм
Гаусса
вычисления
ранга
матрицы.

1. Если
   все
   

   то rangA = 0.

2. Выбираем
   элемент матрицы
   

   Помещаем его в левый верхний угол
   матрицы и делим первую строку матрицы
   на
   

   С помощью элементарных преобразований
   обращаем все элементы первой строки в
   нули:
   
   .

   Если
   в части матрицы, выделенной синим
   цветом, все
   

   то rangA = 1.

3. Если
   хотя бы один элемент в области, выделенной
   синим цветом, отличен от нуля, алгоритм
   повторяем. Перестановкой строк и
   столбцов матрицы выбранный элемент
   

   помещаем на место второго элемента
   второй строки; делим всю вторую строку
   матрицы на этот элемент; элементы второй
   строки, начиная с третьего, обращаем в
   нули. Получим матрицу вида:

.

Если
в части этой матрицы, выделенной синим
цветом,

то rang A = 2.

1. Если
   хотя бы один элемент
   

   в этой области, то алгоритм повторяем.

После
r
шагов получим матрицу ранга r
вида:

Пример.
Определить ранг и базисный минор матрицы:

Решение.
Выполним следующие преобразования:
первую, третью и четвертую строки поделим
на 2, затем поменяем местами первый и
второй столбцы:


.

Из
третьего столбца вычтем первый, потом
из него же вычтем второй, умноженный на
два:



Очевидно,
что ранг последней (а, значит, и исходной)
матрицы равен 2.

Для
того, чтобы определить базисный минор
в исходной матрице, нам необходимо
выделить базисные строки и столбцы. Для
последней матрицы базисный минор выделен
синим цветом. Проходя все действия в
обратном порядке, определим базисный
минор исходной матрицы.

Метод
окаймляющих
миноров.

Определение.
Минор M₁
называется окаймляющим
для минора М, если М получается из M₁
вычёркиванием
одной крайней строки (первой или
последней) и одного крайнего столбца.

Теорема.
Если в матрице А размеров

имеется
минор порядка r, не равный нулю, а все
его окаймляющие миноры порядка r+1 равны
нулю, то rang A =r.

Пример.
Для предыдущего
примера:

Вычисляем
минор второго порядка:

Выбираем
миноры третьего порядка, в которые
входят строки и столбы, дающие предыдущий
минор. Таких миноров всего два:

Так
как оба этих минора равны нулю, то ранг
матрицы равен 2 (то есть порядку минора
M₂).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В данной публикации мы рассмотрим теорему о базисном миноре (формулировка и следствия). Также разберем пример задачи для демонстрации ее применения на практике.

Формулировка теоремы

В произвольной матрице A столбцы/строки, входящие в состав базисного минора M (называются “базисными”), линейно независимы. Каждый столбец/строка матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов/строк.

Допустим, дана матрица A размером mxn. Базисным называется ненулевой минор M порядка r, при этом все миноры более старшего порядка (r+1 и выше) равняются нулю или их вовсе нет. Это значит, что r равняется меньшему из чисел m или n.

Из теорему о базисном миноре следует:

1. Линейно независимые столбцы/строки матрицы, число которых равно рангу данной матрицы, являются базисными.
2. Ранг любой матрицы равняется максимальному количеству содержащихся в ней линейно независимых строк/столбцов.

Пример задачи

Давайте найдем всем базисные миноры матрицы A, представленной ниже, а также определим ее ранг.

Решение:

1. Выполним элементарные преобразования над матрицей, чтобы упростить ее. Для начала разделим третью строку на 2 и переставим ее с первой местами.

2. Отнимем из третьей строки первую.

3. Получаем матрицу с нулевой строкой, что означает, что все миноры третьего порядка равняются нулю.

4. Таким образом, базисными в нашем случае могут быть только ненулевые миноры второго порядка, состоящие из первой и второй строк полученной матрицы.

Ответ:
Все рассчитанные миноры отличны от нуля, значит, все они являются базисными. Ранг матрицы равен двум (rang A = 2), так как все миноры более высокого (третьего) порядка равны нулю.

Содержание:

Элементарные преобразования матриц:

Рассмотрим прямоугольную матрицу:

состоящую из m строк и n столбцов. В п.3.2 отмсчалось, что каждую строку матрицы можно рассматривать как n-мсрный вектор, а каждый столбец – как m-мерный вектор. Тогда матрицу А можно записать в виде:

и, следовательно, данную матрицу можно рассматривать как систему вектор строк или вектор столбцов. Б указанных системах вектор-строк и вектор-столбцов можно выделять линейно независимые (зависимые) векторы. Тогда будем говорить, что строки (столбцы) матрицы линейно независимы (зависимы), если соответствующие им векторы независимы (зависимы).

Определения

Определение: Рангом системы строк (соответственно столбцов) матрицы А называется наибольшее число линейно независимых среди них.

Поскольку легко доказать, что ранг системы строк матрицы равен рангу системы её столбцов, то справедливо следующее

Определение: Рангом матрицы, обозначаемым r(А), называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

При транспонировании матрицы ранг её не изменяется.

Другой метод определения ранга матрицы связан с понятием определителя.

Выделим в матрице А любые k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на их пересечении, образуют квадратную матрицу, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А. Ясно, что величина к должна удовлетворять двум условиям: . Полагая последовательно k = 1,2,…,l, где

, составляем при каждом k все миноры k-то порядка матрицы А. Тогда можно сформулировать еще одно определение ранга матрицы.

Определение: Рангом матрицы, обозначаемым r(А), называется порядок самого старшего минора этой матрицы, не равного нулю.

Из определения следует, что если ранг матрицы А равен l, то среди всех её миноров существует хотя бы один минор l-го порядка, отличный от нуля, но все миноры (l+1)-го порядков либо равны нулю, либо не могут быть составлены.

Вычисление ранга матрицы путём перебора всех её миноров весьма трудоёмко. Существует, однако, более простой способ вычисления ранга матрицы, основанный на упрощении структуры матрицы с помощью элементарных преобразований. Элементариыми преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

1. обмен местами двух строк или двух столбцов матрицы;
2. умножение всех элементов строки или столбца матрицы на произвольное число , не равное нулю;
3. прибавление ко всем элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на одно и то же число;
4. исключение из матрицы строки или столбца, состоящего из нулей.

Матрицы называются эквивалентными, если от одной из них к другой можно перейти путём конечного числа элементарных преобразований.

Ступенчатой матрицей называется матрица, удовлетворяющая тому свойству, что если в какой-либо из сё строк первый отличный от нуля элемент стоит на l-м месте, то во всех следующих строках на первых l местах стоят нули:

где элементы отличны от нуля, а все элементы, стоящие под ними, равны нулю.

Для вычисления ранга матрицы приводят её с помощью цепочки элементарных преобразований к ступенчатому виду. Тогда ранг матрицы совпадает с числом её ненулевых диагональных элементов.

Теоремы о ранге матриц. Свойства ранга матриц

Относительно ранга матриц можно сформулировать следующие теоремы:

Теорема: Если матрица имеет минор порядка r, отличный от нуля, для которого все содержащие его миноры порядка(окаймляющие миноры) равны нулю, то ранг этой матрицы равен r.

Вычисление ранга матрицы при помощи метода окаймления нужно вести от низших порядков к высшим. Сначала ищем минор первого порядка (т.е. элемент матрицы) или сразу второго порядка, отличный от нуля. Затем вычисляем окаймляющие его миноры следующего порядка, пока не найдём среди них отличного от нуля и т.д., пока не найдем минор порядка l, отличный от нуля, для которого либо все окаймляющие его миноры порядка l+1 равны нулю, либо такие миноры не могут быть составлены.

Теорема: Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство теоремы следует из определения ранга матрицы и свойств определителей.

Пример:

Найти ранг матрицы:

Решение:

Минор первого порядка в левом верхнем углу равен . Окаймляющий его минор второго порядка:

Вычисляем окаймляющий его минор третьего порядка:

Значит ранг матрицы равен 2.

Пример:

Найти ранг матрицы:

Решение:

При помощи элементарных преобразований приведём данную матрицу к ступенчатому виду. На первом шаге умножим последовательно первую строку на 3, 3, 2 и вычтем из второй, третьей, четвёртой строк соответственно:

В эквивалентной матрице прибавим к третьей строке вторую и вычтем вторую из четвёртой строки:

(поменяем местами третью и четвертую строки)

(поменяем местами третий, четвёртый и пятый столбцы со вторым и опустим строки, состоящие из нулей) Преобразовали матрицу к ступеньчатому виду, у которой на диагонали три ненулевых элемента. Ранг матрицы равен 3.

Отмстим некоторые свойства ранга матриц.

1. Ранг суммы двух (или нескольких) матриц не больше суммы их рангов.
2. Любую матрицу ранга r можно представить в виде суммы r матриц ранга 1, но нельзя представить в виде суммы менее чем r таких матриц.
3. Любую матрицу С ранга r можно представить в виде произведения , где А состоит из r линейно независимых столбцов, г B -из r линейно независимых строк.
4. Ранг произведения матриц порядка n удовлетворяет неравенству .

Определение системы m линейных уравнений с n неизвестными

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:

Числа называются соответственно коэффициентами системы и ее свободными членами. Первый индекс i коэффициента соответствует номеру уравнения, в которое входит этот коэффициент, а второй индекс – номеру неизвестной , при которой стоит этот коэффициент. Индекс свободного члена соответствует номеру уравнения, содержащего .

С помощью знака суммирования систему (5.3.1) можно записать в виде:

Матрица

составленная из коэффициентов системы , называется матрицей

системы. Если к этой матрице добавить столбец свободных членов, то получим расширенную матрицу системы: Обозначив матрицу-столбец неизвестных и матрицу-столбец свободных членов , систему (5. 3.1) можно записать в матричной форме:

где

Используется также табличная форма записи системы (5.3.1):

Отметим, что (5.3.1), (5.3.2), (5.3.3), (5.3.4)- различные виды записи одной и той же системы линейных уравнений.

Решением системы (5.3.1) называется любой упорядоченный набор действительных чисел , который при подстановке в (5.3.1) вместо неизвестных , обращает каждое из уравнений системы в верное равенство.

Система уравнений (5.3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы уравнений с одинаковыми наборами неизвестных называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Отмстим, что для любой системы (5.3.1) возможны только три случая:

1. система (5.3.1) имеет единственное решение;
2. система (5.3.1) имеет бесчисленное множество решений;
3. система (5.3.1) несовместна.

Множество всех решений системы (5.3.1) называется ее общим решением.

Решить систему (5.3.1) – значит найти ее общее решение.

Пример:

Пусть задана система

Тогда эту систему можно записать в матричном виде:

или в виде таблицы:

Система определенная, так как она имеет единственное решение . Других решений быть не может, так как прямые

на координатной плоскости пересекаются в единственной точке.

Экономические задачи, приводящие к системе линейных уравнений

Предположим, что производственные мощности для изготовления n различных видов продукции установлены в т цехах. Пусть представляет собой суммарную мощность цеха i, и — часть производственного аппарата цеха i, которая необходима для производства единицы продукции вида j. Тогда обозначив через количество выпущенной продукции, получим систему уравнений, показывающих. как можно использовать имеющиеся мощности в полном объёме.

Широкий круг задач экономики приводит к составлению системы уравнений. Так в примере 4.3.2 составлялась система линейных уравнений (4.3.1) балансовой модели для трёх отраслей. В общем случае под балансовой моделью понимается система уравнений, каэ/сдое из которых выражает требование баланса между производимым количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции.

При построении балансовых моделей используется понятие чистой (или технологической) отрасли, т.е. условной отрасли, объединяющей всё производство данного продукта независимо от ведомственной (административной) подчинённости и форм собственности предприятий и фирм. Всё народное хозяйство представляется в виде совокупности п отраслей, каждая из которых рассматривается как производящая и как потребляющая.

Если обозначить через:

то систему уравнений баланса можно записать в виде:

или в матричной форме:

где Х- вектор-столбец валовой продукции; Y- вектор-столбец конечной продукции; А – матрица коэффициентов прямых затрат.

Основу экономико-математической модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица А, содержащая коэффициенты прямых затрат на производство единицы продукции:

Коэффициент!,! прямых затрат являются довольно стабильной величиной во времени.

Переписав матричное уравнение (5.4.2) в виде EX-AX = Y или (E-A)X = Y, (5.4.3) получим стандартную форму записи системы уравнений.

Определение ранга матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу (4.1). Если в этой матрице выделить произвольно строк и столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу -го порядка. Определитель этой матрицы называется минором -го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен , то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка , но всякий минор порядка, большего чем , равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через (А).

Очевидно, что выполняется соотношение

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D -го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен .

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1. перестановка двух любых строк (или столбцов),
2. умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
3. прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: А ~ В.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы

равны нулю, например,

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Найти методом окаймления миноров ранг матрицы

Решение:

Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор отличный от нуля.

Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их:

Таким образом, асе окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.

Пример:

Найти ранг матрицы и привести ее к каноническому виду.

Решение:

Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

из третьей строки вычтем первую; получим матрицу которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:

Вычисление ранга матрицы

Для исследования разрешимости систем линейных уравнений важную роль играет понятие ранга матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу А

Выделим k произвольных строк и k произвольных столбцов этой матрицы. Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы А.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Обозначение: rank А,

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Рассмотрим некоторые методы вычисления ранга матрицы.

Метод окаймляющих миноров

Минор порядка k+1, содержащий в себе минор порядка k, называется окаймляющим минором.

Вычисляя ранг матрицы, удобнее переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если найден минор k-го порядка, отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры порядка k+1 равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Содержание:

• Формулировка теоремы о базисном миноре
• Примеры решения задач

Формулировка теоремы о базисном миноре

В матрице $A$ размеров
$m times n$
минор
$r$-го порядка называется базисным, если он отличен от нуля,
а все миноры
$(r + 1)$-ro порядка равны нулю или их вообще не существует.

Следствие. Если все столбцы матрицы
$A$ линейно выражаются через
$r$ столбцов
$A_{i 1}, A_{i 2}, ldots, A_{i r}$, которые образуют
линейно независимую систему, то ранг матрицы
$operatorname{rang} A=r$ .

Примеры решения задач