Как найти ранг не квадратной матрицы

В данной статье пойдет речь о таком понятии, как ранг матрицы и необходимых дополнительных понятиях. Мы приведем примеры и доказательства нахождения ранга матрицы, а также расскажем, что такое минор матрицы, и почему он так важен.

Минор матрицы

Чтобы понять, что такое ранг матрицы, необходимо разобраться с таким понятием, как минор матрицы.

Из примера следует, что миноры первого порядка матрицы А и есть сами элементы матрицы.

Можно привести несколько примеров миноров 2-ого порядка. Выберем две строки и два столбца. Например, 1-ая и 2 –ая строка, 3-ий и 4-ый столбец.

При таком выборе элементов минором второго порядка будет -1302=(-1)×2-3×0=-2

Другим минором 2-го порядка матрицы А является 0011=0

Предоставим иллюстрации построения миноров второго порядка матрицы А:

Минор 3-го порядка получается, если вычеркнуть третий столбец матрицы А:

003112-1-40=0×1×0+0×2×(-1)+3×1×(-4)-3×1×(-1)-0×1×0-0×2×(-4)=-9

Иллюстрация, как получается минор 3-го порядка матрицы А:

Для данной матрицы миноров выше 3-го порядка не существует, потому что

k≤min(p, n)=min (3, 4)=3

Сколько существует миноров k-ого порядка для матрицы А порядка p×n?

Число миноров вычисляют по следующей формуле:

Cpk×Cnk, где Сpk=p!k!(p-k)! и Cnk=n!k!(n-k)! — число сочетаний из p по k, из n по k соответственно.

После того, как мы определились, что такое миноры матрицы А, можно переходить к определению ранга матрицы А.

Ранг матрицы: методы нахождения

Ранг матрицы — наивысший порядок матрицы, отличный от нуля.

Rank (A), Rg (A), Rang (A).

Из определения ранга матрицы и минора матрицы становиться понятно, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы отличен от нуля.

Нахождение ранга матрицы по определению

Метод перебора миноров — метод, основанный на определении ранга матрицы.

Алгоритм действий способом перебора миноров:

Необходимо найти ранг матрицы А порядка p×n. При наличии хотя бы одного элемента, отличного от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (т.к. есть минор 1-го порядка, который не равен нулю).

Далее следует перебор миноров 2-го порядка. Если все миноры 2-го порядка равны нулю, то ранг равен единице. При существовании хотя бы одного не равного нулю минора 2-го порядка, необходимо перейти к перебору миноров 3-го порядка, а ранг матрицы, в таком случае, будет равен минимум двум.

Аналогичным образом поступим с рангом 3-го порядка: если все миноры матрицы равняются нулю, то ранг будет равен двум. При наличии хотя бы одного ненулевого минора 3-го порядка, то ранг матрицы равен минимум трем. И так далее, по аналогии.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Проще говоря, матрица, которая соответствует окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору Mok , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.

Чтобы обосновать метод окаймляющих миноров, приведем теорему, формулировка которой не требует доказательной базы.

Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равна нулю.

Алгоритм действий:

Чтобы найти ранг матрицы, необязательно перебирать все миноры, достаточно посмотреть на окаймляющие.

Если окаймляющие миноры равняются нулю, то ранг матрицы нулевой. Если существует хотя бы один минор, который не равен нулю, то рассматриваем окаймляющие миноры.

Если все они равны нулю, то Rank(A) равняется двум. При наличии хотя бы одного ненулевого окаймляющего минора, то приступаем к рассматриванию его окаймляющих миноров. И так далее, аналогичным образом.

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований)

Вспомним, что представляют собой элементарные преобразования.

Элементарные преобразования:

• путем перестановки строк (столбцов) матрицы;
• путем умножение всех элементов любой строки (столбца) матрицы на произвольное ненулевое число k;

путем прибавления к элементам какой-либо строки (столбца) элементов, которые соответствуют другой стоки (столбца) матрицы, которые умножены на произвольное число k.

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса — метод, который основывается на теории эквивалентности матриц: если матрица В получена из матрицы А при помощи конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливость данного утверждения следует из определения матрицы:

• в случае перестановки строк или столбцов матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то и при перестановке строк или столбцов остается равным нулю;
• в случае умножения всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, которое не равняется нулю, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, которая умножена на k;

в случае прибавления к элементам некоторой строки или столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, которые умножены на число k, не изменяет ее определителя.

Суть метода элементарных преобразований: привести матрицу ,чей ранг необходимо найти, к трапециевидной при помощи элементарных преобразований.

Для чего?

Ранг матриц такого вида достаточно просто найти. Он равен количеству строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент. А поскольку ранг при проведении элементарных преобразований не изменяется, то это и будет ранг матрицы.

Проиллюстрируем этот процесс:

• для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых больше числа столбцов:

А~1b12b13⋯b1n-1b1n01b23⋯b2n-2b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bn-1n000⋯01000⋯00⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00, Rank(A)=n

или

А~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0, Rank(A)=k

• для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых меньше числа столбцов:

А~1b12b13⋯b1pb1p+1⋯b1n01b23⋯b2pb2p+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bpp+1⋯bpn, Rank(A)=p

или

А~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0

• для квадратных матриц А порядка n на n:

А~1b12b13⋯b1n-1b1n01b23⋯b2n-1b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bn-1n000⋯01, Rank(A)=n

или

A~1b12b13⋯b1kb1k+1⋯b1n01b23⋯b2kb2k+1⋯b2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯1bkk+1⋯bkn000⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮000⋯00⋯0, Rank(A)=k, k<n

Если проводить элементарные преобразования, то не допускаются приближенные значения!

Урок №12. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы. Норма матриц.

Пусть ранг матрицы равен . Тогда любой минор порядка , отличный от нуля, называется базисным минором.         
Пример. Дана матрица А.

Определитель матрицы  равен нулю.
Минор второго порядка . Следовательно, r(A)=2 и минор базисный.
Базисным минором является также минор .
Минор , т.к. =0, поэтому не будет базисным.
Задание: самостоятельно проверить, какие еще миноры второго порядка будут базисными, а какие нет.         

Нахождение ранга матрицы с помощью вычисления всех ее миноров требует слишком большой вычислительной работы. (Читатель может проверить, что в квадратной матрице четвертого порядка 36 миноров второго порядка.) Поэтому для нахождения ранга применяется другой алгоритм. Для его описания потребуется ряд дополнительных сведений.

Пусть требуется вычислить ранг матрицы  размеров mxn.

1. С помощью перестановки строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы в левом верхнем углу матрицы стоял ненулевой элемент. Итак, считаем, что . Первую строку оставляем без изменений.
2. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число .
3. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на число .
4. Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим нуль на первом месте в последней строке. В результате получим матрицу А1, в которой в первом столбце все элементы равны 0, кроме элемента .

В результате расчетов матрица А1 имеет вид

1. Если все строки, начиная со второй, в полученной матрице нулевые, то ее ранг равен 1, так как есть минор первого порядка, отличный от нуля . В противном случае перестановкой строк и столбцов матрицы с номерами, большими единицы, добиваемся, чтобы второй элемент второй строки был отличен от нуля. Итак, считаем, что .
2. Первую и вторую строки оставляем без изменений.
3. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на число . В результате получим, что второй элемент третьей строки равен нулю.
4. Затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на число , и т.д. В результате получаем матрицу

Если все строки, начиная с третьей, нулевые, то , так как минор . Иначе перестановкой строк и столбцов с номерами, большими двух, добиваемся, чтобы третий элемент третьей строки был отличен от нуля. Далее, добавлением третьей строки, умноженной на соответствующие числа, к строкам с большими номерами получаем нули в третьем столбце, начиная с четвертого элемента, и т.д.
На каком-то этапе мы придем к матрице, у которой все строки, начиная с (r+1)-ой , равны нулю (или отсутствуют при ), а минор в первых строках и первых столбцах является определителем треугольной матрицы с ненулевыми элементами на диагонали. Ранг такой матрицы равен . Следовательно, Rang(A)=r.     
        
В предложенном алгоритме нахождения ранга матрицы все вычисления должны производиться без округлений. Сколь угодно малое изменение хотя бы в одном из элементов промежуточных матриц может привести к тому, что полученный ответ будет отличаться от ранга исходной матрицы на несколько единиц.         
Если в исходной матрице элементы были целыми числами, то и вычисления удобно производить без использования дробей. Поэтому на каждом этапе целесообразно умножать строки на такие числа, чтобы при вычислениях дроби не возникали.         

В лабораторно-практической работе рассмотрим пример нахождения ранга матрицы.

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ НОРМЫ МАТРИЦЫ.
Выделяют всего три нормы матрицы.
Первая норма матрицы = максимальному из чисел, полученных при сложении всех элементов каждого столбца, взятых по модулю.
Пример: пусть дана матрица А размера 3х2 (рис.10). В первом столбце стоят элементы: 8, 3, 8. Все элементы положительные. Найдем их сумму: 8+3+8=19. Во втором столбце стоят элементы: 8, -2, -8. Два элемента – отрицательные, поэтому при сложении этих чисел, необходимо подставлять модуль этих чисел (т.е. без знаков “минус”). Найдем их сумму: 8+2+8=18. Максимальное из этих двух чисел – это 19. Значит первая норма матрицы равна 19.

Рисунок 10.

Вторая норма матрицы представляет из себя квадратный корень из суммы квадратов всех элементов матрицы. А это значит мы возводим в квадрат все элементы матрицы, затем складываем полученные значения и из результата извлекаем квадратный корень.
В нашем случае, 2 норма матрицы получилась равна квадратному корню из 269. На схеме, я приближенно извлекла квадратный корень из 269 и в результате получила приблизительно около 16,401. Хотя более правильно не извлекать корень.

Третья норма матрицы представляет из себя максимальное из чисел, полученных при сложении всех элементов каждой строки, взятых по модулю.
В нашем примере: в первой строке стоят элементы: 8, 8. Все элементы положительные. Найдем их сумму: 8+8=16. В второй строке стоят элементы: 3, -2. Один из элементов отрицательный, поэтому при сложении этих чисел, необходимо подставлять модуль этого числа. Найдем их сумму: 3+2=5. В третьей строке стоят элементы 8, и -8. Один из элементов отрицательный, поэтому при сложении этих чисел, необходимо подставлять модуль этого числа. Найдем их сумму: 8+8=16. Максимальное из этих трех чисел – это 16. Значит третья  норма матрицы равна 16.

Составитель: Салий Н.А.

Перед тем как начать знакомство с темой, необходимо повторить правила нахождения определителей второго, третьего и высших порядков. Также необходимо знать, что детерминант 1-го порядка — число. Рассмотрим 2 метода вычисления ранга матриц.

Онлайн-калькулятор

Метод окаймляющих миноров

Для нахождения ранга матрицы данным методом требуется уметь находить миноры матриц.

Ранг матрицы

Рангом матрицы QQ называется наивысший порядок миноров, среди которых есть хотя бы один отличный от 00.

При этом ранг матрицы не может превышать порядка матрицы: 0⩽rang Qm×n⩽min(m,n)0leqslant rang Q_{mtimes n}leqslant min (m, n).

Обозначить ранг матрицы QQ можно следующим образом: rang Qrang Q или r(Q)r(Q).

Если ранг матрицы QQ равен rr, то это означает, что в матрице QQ имеется отличный от нуля минор порядка rr. При этом всякий минор порядка больше, чем rr равен нулю.

Исходя из определения ранга матрицы, следует, что если все миноры первого порядка (т. е. элементы матрицы QQ) равны 00, то rang Q=0rang Q=0. Если один из миноров первого порядка отличен от 00, а все миноры второго порядка равны 00, то rang Q=1rang Q=1. Если все миноры kk-го порядка равны 00, или миноров kk-го порядка не существует, то rang Q=k−1rang Q=k-1.

Рассмотрим примеры нахождения ранга матриц данным методом.

Пример 1

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

F=(03−1210−2−10)F=begin{pmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{pmatrix}.

Данная матрица имеет размер 3×33times3, поэтому ее ранг не может быть больше 33, т.е. rang F⩽3rang Fleqslant3.

Перейдем к вычислению ранга матрицы.

Среди миноров 1-го порядка (т.е. элементов определителя) есть хотя бы один, не равный 00, поэтому rang F≥1rang Fgeq1.

Перейдем к проверке миноров 2-го порядка. Например, на пересечении строк №1 и №2 и столбцов №1 и №2 получим минор: ∣0321∣=0⋅1−2⋅3=0−6=−6begin{vmatrix}0&3\2&1end{vmatrix}=0cdot1-2cdot3=0-6=-6. Значит, среди миноров 2-го порядка есть хотя бы один, не равный 00 и поэтому rang F≥2rang Fgeq2.

Перейдем к проверке миноров 3-го порядка. Минор 3-го порядка — определитель матрицы FF, поскольку она состоит из 3 строк и 3 столбцов: ∣03−1210−2−10∣=0begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=0. Значит, ранг матрицы FF равен 22, или rang F=2rang F=2.

Пример 2

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

K=(21−23−121213−15−2−21243−31)K=begin{pmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Данная матрица имеет размер 5×45times4. Из чисел 55 и 44 минимальным является 44, поэтому ее ранг не может быть больше 44, а значит rang K⩽4rang Kleqslant4.

Перейдем к вычислению ранга матрицы.

Среди миноров 1-го порядка (т.е. элементов определителя) есть хотя бы один, не равный 00, поэтому rang K≥1rang Kgeq1.

Перейдем к проверке миноров 2-го порядка. Например, на пересечении строк №1 и №2 и столбцов №1 и №2 получим минор: ∣21−12∣=2⋅2−(−1)⋅1=4+1=5begin{vmatrix}2&1\-1&2end{vmatrix}=2cdot2-(-1)cdot1=4+1=5. Значит, среди миноров 2-го порядка есть хотя бы один, не равный 00 и поэтому rang K≥2rang Kgeq2.

Перейдем к проверке миноров 3-го порядка. Например, на пересечении строк №1, №3 и №5 и столбцов №2, №3 и №4 получим минор:

∣1−233−153−31∣=1⋅(−1)⋅1+(−2)⋅5⋅3+3⋅(−3)⋅3−3⋅(−1)⋅3−(−2)⋅1⋅3−1⋅5⋅(−3)=−1−30−27+9+6+15=−28begin{vmatrix}1&-2&3\3&-1&5\3&-3&1end{vmatrix}=1cdot(-1)cdot1+(-2)cdot5cdot3+3cdot(-3)cdot3-3cdot(-1)cdot3-(-2)cdot1cdot3-1cdot5cdot(-3)=-1-30-27+9+6+15=-28.

Значит, среди миноров 3-го порядка есть хотя бы один, не равный 00 и поэтому rang K≥3rang Kgeq3.

Перейдем к проверке миноров 4-го порядка. Например, на пересечении строк №1, №2, №3 и №4 и столбцов №1, №2, №3 и №4 получим минор:

∣21−23−121213−15−2−212∣=2(−1)1+1∣2123−15−212∣−(−1)2+1∣1−233−15−212∣+(−1)3+1∣1−23212−212∣−2(−1)4+1∣1−232123−15∣=2(−1)2∣2123−15−212∣−(−1)3∣1−233−15−212∣+(−1)4∣1−23212−212∣−2(−1)5∣1−232123−15∣=2∣2123−15−212∣+∣1−233−15−212∣+∣1−23212−212∣+2∣1−232123−15∣=2(−4+6−10−4−10−6)−2+9+20−6−5+12+2+6+8+6−2+8+2(5−6−12−9+2+20)=−56+56+0=0begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2end{vmatrix}=2(-1)^{1+1}begin{vmatrix}2&1&2\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}-(-1)^{2+1}begin{vmatrix}1&-2&3\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}+(-1)^{3+1}begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\-2&1&2end{vmatrix}-2(-1)^{4+1}begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\3&-1&5end{vmatrix}=2(-1)^{2}begin{vmatrix}2&1&2\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}-(-1)^{3}begin{vmatrix}1&-2&3\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}+(-1)^{4}begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\-2&1&2end{vmatrix}-2(-1)^{5}begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\3&-1&5end{vmatrix}=2begin{vmatrix}2&1&2\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}+begin{vmatrix}1&-2&3\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}+begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\-2&1&2end{vmatrix}+2begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\3&-1&5end{vmatrix}=2(-4+6-10-4-10-6)-2+9+20-6-5+12+2+6+8+6-2+8+2(5-6-12-9+2+20)=-56+56+0=0.

Остальные миноры 4-го порядка также равны нулю:
∣21−23−121213−1543−31∣=0begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{vmatrix}=0,

∣21−23−1212−2−21243−31∣=0begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{vmatrix}=0,

∣21−2313−15−2−21243−31∣=0begin{vmatrix}2&1&-2&3\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{vmatrix}=0,

∣−121213−15−2−21243−31∣=0begin{vmatrix}-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{vmatrix}=0.

Значит, ранг матрицы KK равен 33, или rang K=3rang K=3.

Данный метод не всегда удобен, поскольку связан с вычислением большого количества определителей. Рассмотрим метод нахождения ранга матриц, который наиболее часто применяется на практике.

Метод Гаусса (метод элементарных преобразований)

Метод основан на элементарных преобразованиях матриц, под которыми будем понимать такие преобразования, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц:

1. перестановка местами любых двух рядов (строк или столбцов) матрицы;
2. умножение любого ряда матрицы (строки или столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
3. прибавление к любому ряду (строке или столбцу) матрицы другого ряда (строки или столбца), умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется количество ненулевых строк матрицы после ее приведения к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований над строками и столбцами.

Рассмотрим суть данного метода на примерах.

Пример 1

Найти ранг матрицы методом Гаусса F=(03−1210−2−10)F=begin{pmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{pmatrix}.

Приведем матрицу FF с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.

Поменяем местами строки №1 и №2:

(03−1210−2−10)∼(21003−1−2−10)begin{pmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}2&1&0\0&3&-1\-2&-1&0end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 1:

(21003−1−2−10)∼(21003−1000)begin{pmatrix}2&1&0\0&3&-1\-2&-1&0end{pmatrix}simbegin{pmatrix}2&1&0\0&3&-1\0&0&0end{pmatrix}.

С помощью элементарных преобразований мы привели матрицу FF к ступенчатому виду. В ней остались 2 ненулевые строки, следовательно, rang F=2rang F=2.

Пример 2

Найти ранг матрицы методом Гаусса

K=(21−23−121213−15−2−21243−31)K=begin{pmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Приведем матрицу KK с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.

Поменяем местами строки №1 и №2:

(21−23−121213−15−2−21243−31)∼(−121221−2313−15−2−21243−31)begin{pmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\2&1&-2&3\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Поменяем местами строки №2 и №4:

(−121221−2313−15−2−21243−31)∼(−1212−2−21213−1521−2343−31)begin{pmatrix}-1&2&1&2\2&1&-2&3\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\1&3&-1&5\2&1&-2&3\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Поменяем местами строки №3 и №4:

(−1212−2−21213−1521−2343−31)∼(−1212−2−21221−2313−1543−31)begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\1&3&-1&5\2&1&-2&3\4&3&-3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\2&1&-2&3\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Поменяем местами строки №4 и №5:

(−1212−2−21221−2313−1543−31)∼(−1212−2−21221−2343−3113−15)begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\2&1&-2&3\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\2&1&-2&3\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:

(−1212−2−21221−2343−3113−15)∼(−12120−6−1−221−2343−3113−15)begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\2&1&-2&3\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\2&1&-2&3\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 2:

(−12120−6−1−221−2343−3113−15)∼(−12120−6−1−2050743−3113−15)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\2&1&-2&3\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №1, умноженную на 4:

(−12120−6−1−2050743−3113−15)∼(−12120−6−1−205070111913−15)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\0&11&1&9\1&3&-1&5end{pmatrix}.

Прибавим к строке №5 строку №1, умноженную на 1:

(−12120−6−1−205070111913−15)∼(−12120−6−1−20507011190507)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\0&11&1&9\1&3&-1&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\0&11&1&9\0&5&0&7end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №3, умноженную на 1:

(−12120−6−1−20507011190507)∼(−12120−1−150507011190507)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\0&11&1&9\0&5&0&7end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&5&0&7\0&11&1&9\0&5&0&7end{pmatrix}.

Прибавим к строке №5 строку №3, умноженную на -1:

(−12120−1−150507011190507)∼(−12120−1−150507011190000)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&5&0&7\0&11&1&9\0&5&0&7end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&5&0&7\0&11&1&9\0&0&0&0end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на 5:

(−12120−1−150507011190000)∼(−12120−1−1500−532011190000)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&5&0&7\0&11&1&9\0&0&0&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&11&1&9\0&0&0&0end{pmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на 11:

(−12120−1−1500−532011190000)∼(−12120−1−1500−53200−10640000)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&11&1&9\0&0&0&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&0&-10&64\0&0&0&0end{pmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №3, умноженную на -2:

(−12120−1−1500−53200−10640000)∼(−12120−1−1500−53200000000)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&0&-10&64\0&0&0&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&0&0&0\0&0&0&0end{pmatrix}.

С помощью элементарных преобразований мы привели матрицу KK к ступенчатому виду. В ней остались 3 ненулевые строки, следовательно, rang K=3rang K=3.

Любым из рассмотренных методов можно найти ранг матрицы.

Наши эксперты готовы оказать вам помощь с решением задачи онлайн по самым низким ценам!

Тест по теме «Ранг матрицы»

Ранг матрицы

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Ранг матрицы

Определение 1

Система строк/столбцов некоторой матрицы называется линейно независимой, если ни одна из этих строк (ни один из этих столбцов) линейно не выражается через другие строки/столбцы.

Рангом системы строк/столбцов некоторой матрицы $A=left(a_{ij} right)_{mtimes n} $ называется наибольшее количество линейно независимых строк/столбцов.

Ранг системы столбцов всегда совпадает с рангом системы строк. Этот ранг называется рангом рассматриваемой матрицы.

Ранг матрицы – это максимальный из порядков миноров заданной матрицы, для которых определитель отличен от нуля.

Для обозначения ранга матрицы используют следующие записи: $rangA$, $rgA$, $rankA$.

Ранг матрицы обладает следующими свойствами:

1. Для нулевой матрицы ранг матрицы равен нулю, для остальных – ранг есть некоторое положительное число.
2. Ранг прямоугольной матрицы порядка $mtimes n$ не больше меньшего из количества строк или столбцов матрицы, т.е. $0le rangle min (m,n)$.
3. Для невырожденной квадратной матрицы некоторого порядка ранг этой матрицы совпадает с порядком данной матрицы.
4. Определитель квадратной матрицы некоторого порядка, имеющей ранг меньший порядка матрицы, равный нулю.

Существует два способа нахождения ранга матрицы:

• окаймлять с помощью определителей и миноров (метод окантовки);
• посредством элементарных преобразований.

Алгоритм метода окантовки включает следующее:

1. В случае, когда все миноры первого порядка являются равными нулю, имеем ранг рассматриваемой матрицы равным нулю.
2. В случае, когда хотя бы один из миноров первого порядка не является равным нулю, и при этом все миноры второго порядка являются равными нулю, ранг матрицы равен 1.
3. В случае, когда хотя бы один из миноров второго порядка не является равным нулю, выполняется исследование миноров третьего порядка. В результате находится минор порядка $k$ и проверяется, не являются ли равными нулю миноры порядка $k+1$. Если все миноры порядка $k+1$ является равными нулю, то ранг матрицы равен $k$.

«Ранг матрицы» 👇

Как определить ранг матрицы: примеры

Пример 1

Определить ранг матрицы $A=left(begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \ {1} & {0} & {3} \ {1} & {2} & {3} end{array}right)$.

Решение:

Отметим, что ранг исходной матрицы не может быть более 3.

Среди миноров первого порядка имеются миноры не равные нулю, например, $M_{1} =left|-2right|=-2$. Рассмотрим миноры второго порядка.

$M_{2} =left|begin{array}{cc} {-2} & {1} \ {1} & {0} end{array}right|=-2cdot 0-1cdot 1=0-1=-1ne 0$

Выполним окаймление минора второго порядка и получим минор третьего порядка.

$M_{3} =left|begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \ {1} & {0} & {3} \ {1} & {2} & {3} end{array}right|=-2cdot 0cdot 3+1cdot 3cdot 1+1cdot 2cdot 4-1cdot 0cdot 4-1cdot 1cdot 3-2cdot 3cdot (-2)=3+8-0-3+12=20ne 0$

Следовательно, ранг рассматриваемой матрицы равен 3.

Пример 2

Определить ранг матрицы $A=left(begin{array}{ccccc} {1} & {2} & {3} & {0} & {1} \ {0} & {1} & {2} & {3} & {4} \ {2} & {3} & {1} & {4} & {5} \ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} end{array}right)$.

Решение:

Отметим, что ранг исходной матрицы не может быть более 4 (строк 4, столбцов 5).

Среди миноров первого порядка имеются отличные от нуля, например, $M_{1} =left|1right|=1$. Рассмотрим миноры второго порядка.

$M_{2} =left|begin{array}{cc} {1} & {2} \ {0} & {1} end{array}right|=1cdot 1-0cdot 2=1-0=1ne 0$

Выполним окаймление минора второго порядка и получим минор третьего порядка.

$M_{3} =left|begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \ {0} & {1} & {2} \ {2} & {3} & {1} end{array}right|=1cdot 1cdot 1+2cdot 2cdot 2+0cdot 3cdot 3-2cdot 1cdot 3-0cdot 1cdot 2-2cdot 3cdot 1=1+8+0-6-0-6=-3ne 0$

Выполним окантовывание минора третьего порядка и получим минор четвертого порядка.

$M_{4} =left|begin{array}{cccc} {1} & {2} & {3} & {0} \ {0} & {1} & {2} & {3} \ {2} & {3} & {1} & {4} \ {0} & {0} & {0} & {0} end{array}right|=0$ (содержит нулевую строку)

$M_{5} =left|begin{array}{cccc} {1} & {2} & {3} & {1} \ {0} & {1} & {2} & {4} \ {2} & {3} & {1} & {5} \ {0} & {0} & {0} & {0} end{array}right|=0$ (содержит нулевую строку)

Все миноры четвертого порядка матрицы равны нулю, следовательно, ранг рассматриваемой матрицы равен 3.

Нахождение ранга матрицы посредством элементарных преобразований сводится к приведению матрицы к диагональному (ступенчатому) виду. Ранг полученной в результате преобразований матрицы равен числу ненулевых диагональных элементов.

Пример 3

Определить ранг матрицы $A=left(begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \ {1} & {0} & {3} \ {1} & {2} & {3} end{array}right)$.

Решение:

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А:

$A=left(begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \ {1} & {0} & {3} \ {1} & {2} & {3} end{array}right)sim left(begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \ {-2} & {1} & {4} \ {1} & {2} & {3} end{array}right)$

Умножим первую строку матрицы В на число 2 и сложим со второй строкой:

$left(begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \ {-2} & {1} & {4} \ {1} & {2} & {3} end{array}right)sim left(begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \ {0} & {1} & {10} \ {1} & {2} & {3} end{array}right)$

Умножим первую строку матрицы С на число -1 и сложим с третьей строкой:

$left(begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \ {0} & {1} & {10} \ {1} & {2} & {3} end{array}right)sim left(begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \ {0} & {1} & {10} \ {0} & {2} & {0} end{array}right)$

Умножим вторую строку матрицы D на число -2 и сложим с третьей строкой:

$left(begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \ {0} & {1} & {10} \ {0} & {2} & {0} end{array}right)sim left(begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \ {0} & {1} & {10} \ {0} & {0} & {-20} end{array}right)$

$left(begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \ {0} & {1} & {10} \ {0} & {0} & {-20} end{array}right)$ – матрица ступенчатого вида

Количество ненулевых диагональных элементов равно 3, следовательно, $rang=3$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 18.11.2022

Определение ранга матрицы Ранг матрицы при элементарных преобразованиях Линейные комбинации строк или столбцов Связь ранга с числом независимых строк (столбцов) Строка матрицы как линейная комбинация независимых строк матрицы

Определение ранга
матрицы

Понятие
ранга матрицы одно из фундаментальных
в линейной алгебре. В матрице

размерами

вычеркиванием каких либо строк или
столбцов можно образовать квадратную
матрицу

-го
порядка

.
Определитель

такой матрицы называется минором

-го
порядка. У матрицы размерами

есть миноры 1-го порядка, 2-го порядка и
так далее до

-го
порядка, где

.
Например, у матрицы

имеются миноры 1-го, 2-го и 3-го порядков.

Определение. Рангом матрицы

называется наивысший порядок отличных
от нуля миноров этой матрицы.

Обозначение: rang A
или

.

Свойства ранга:

1) Ранг нулевой матрицы считается равным
нулю.

2)

.

3)

у матрицы

-го
порядка тогда и только тогда, когда

.

ПРИМЕР. Вычислить
ранг матрицы

.

Решение. Для
матрицы

ранг

.
Чтобы проверить, может ли ранг быть
равным 3, вычислим все миноры 3-го порядка,
которые можно образовать из матрицы
вычеркиванием одного столбца.

,

,

,

.

Следовательно,
ранг не может быть более 2. Легко найти
минор 2-го порядка, отличный от нуля.
Например,

.
Но тогда

.

Поиск ранга матрицы большого порядка
перебором миноров является трудоемкой
задачей. Развиты эффективные методы
определения ранга матрицы.

К введенным ранее трем типам элементарных
преобразований матрицы добавим еще
два:

4) Отбрасывание нулевой строки или
столбца.

5) Транспонирование матрицы.

Ранг матрицы при
элементарных преобразованиях

( о ранге матрицы при элементарных
преобразованиях)

Элементарные
преобразования не изменяют ранга
матрицы.

◄ Рассмотрим последовательно все типы
элементарных преобразований матрицы.

Элементарные преобразования 1-го типа
меняют строки или столбцы в матрице. В
этом случае определитель матрицы меняет
знак, но не может обратиться в нуль.

Элементарные преобразования 2-го типа
умножают строку или столбец на не равное
нулю число. Но тогда определитель
матрицы умножится на это число, что не
может привести к его обнулению.

Элементарные преобразования 3-го типа
приводят к прибавлению к

-й
строке матрицы

ее

-й
строки, что не меняет величины
определителя.

Элементарные преобразования 4-го типа
позволяют отбросить все миноры

-го
порядка, равные нулю, и перейти к
рассмотрению миноров

-го
порядка. На величине ранга это, очевидно,
не отразится.

Элементарные преобразования 5-го типа
транспонируют матрицу, отчего величина
ее определителя, как известно (свойство
3 определителей), не изменяется.

Мы установили, что при элементарных
преобразованиях матриц их определители
либо сохраняются, либо изменяют свою
величину, не обращаясь при этом в нуль.
В результате сохраняется наивысший
порядок отличных от нуля миноров
исходной матрицы, т.е. ее ранг не
изменяется.►

Теорема дает возможность посредством
элементарных преобразований привести
матрицу к определенному виду, когда
ее ранг вычисляется без труда. Рассмотрим
задачу эффективного вычисления ранга
подробнее.

Матрица

называется матрицей ступенчатого
вида или ступенчатой матрицей,
если она имеет вид

или

,

где

;

.
Ранг ступенчатой матрицы равен

,
так как существует минор порядка

,
отличный от нуля:

.

Таким образом, произвольную матрицу

следует привести к ступенчатому виду.
Число ненулевых строк матрицы будет
равно ее рангу. Если квадратная матрица

примет
треугольный вид, ее ранг будет равен

.
При проведении элементарных преобразований
с матрицей знак равенства ставиться
не может (матрицы не равны), ставится
обычно знак тильды «~» .

ПРИМЕР. Найти ранг
матрицы

.

Решение. Ко 2-й
строке прибавим 1-ю, предварительно
умноженную на -2, к 3-й строке прибавим
1-ю, предварительно умноженную на -1.
Получим

.

К 3-й строке прибавим
2-ю, предварительно умноженную на -2:

.

Число ненулевых
строк равно 2. Тогда

.
При ином обосновании выделим из матрицы
минор максимального порядка, не равный
нулю. Это, например,

.
Тогда

.

Линейные комбинации
строк или столбцов

Познакомимся с понятием линейной
зависимости строк или столбцов. В
матрице

введем обозначения строк:

.

Эти строки

являются

-мерными
и представляют собой матрицы размерами

.
В новых обозначениях исходная матрица
записывается в виде

.

Строка

,
определяемая равенством

, (11)

называется линейной комбинацией
строк

,
где

– любые действи­тель­ные числа.

В развернутом матричном виде последнее
равенство выглядит так:

=
.

Для элементов строки

имеем систему уравнений

(12)

Строки

называются линейно зависимыми,
если существуют такие

,
не равные нулю одновременно, что линейная
комбинация этих строк равна нулевой
строке

.

Строки

называются линейно независимыми,
если линейная комбинация этих строк
равна нулевой строке только при

.

(о линейной комбинации строк матрицы)

Если строки матрицы
линейно зависимы, то одна из них является
линейной комбинацией остальных.

◄Пусть строки

линейно зависимы. Тогда найдутся числа

,
не все равные нулю одновременно и такие,
что

.

Пусть, например,

.
Перенесем первые

слагаемых направо и разделим равенство
на

.
Получим

.

или

,

где

,

.►

Замечание 1. Верно и обратное утверждение:
если одна из строк является линейной
комбинацией остальных, то эти строки
линейно зависимы.

Замечание 2. Аналогичными свойствами
обладает множество

-мерных
столбцов.

Связь ранга с
числом независимых строк (столбцов)

(о связи ранга с числом независимых
строк)

Ранг матрицы равен
числу ее независимых строк (столбцов).

◄Пусть матрица

имеет ранг

.
По определению ранга матрицы, существует
минор порядка

,
отличный от нуля. Пусть для определенности
это минор

.

Тогда строки

линейно
независимы. Предположим противное.
Например, строка с номером

есть линейная комбинация остальных
строк. В этом случае

.

Проведем элементарные преобразования,
не изменяющие величину определителя.
Прибавим к этой строке 1-ю строку,
предварительно умноженную на

,
2-ю строку, умноженную на

и так далее, наконец,

-ю
строку, умноженную на

.
Получим на месте строки с номером

последовательно строку

Последняя строка теперь будет состоять
из одних нулей. Но тогда

,
что невозможно. Наше предположение о
том, что строки

линейно зависимы, неверно.►

Строка матрицы
как линейная комбинация независимых
строк матрицы

(о представлении строки в виде линейной
комбинации независимых строк)

Каждая строка
матрицы

может быть представлена в виде линейной
комбинации независимых строк матрицы.

◄Пусть матрица

имеет ранг

.
По определению ранга, матрицы существует
минор порядка

,
отличный от нуля. Пусть для определенности
это минор

.

Рассмотрим минор

-го
порядка матрицы

,
который можно получить, добавив к минору

-ю
строку и

-й
столбец матрицы

:

.

Этот минор

равен нулю как минор более высокого
порядка, чем

.
Разложим его по последнему столбцу:

. (13)

Разделим равенство на

и введем обозначения:

,где

Перепишем равенство в следующем виде

,
где

. (14)

Это равенство верно также и для

.
Действительно, если добавить к минору

-й
столбец матрицы с одним из номеров

,
то новый минор

будет содержать два одинаковых столбца.
Следовательно, его величина также равна
нулю, и равенство (13) будет иметь место.
Перепишем соотношение (14) в виде столбца
равенств для всех

:

Мы получили систему уравнений для
нахождения элементов

-й
строки, подобную (12). Запишем систему в
матричном виде (см. (12)
(11))

. (15)

Равенство (15) дает представление

-й
строки как линейной комбинации
независимых строк

.
Поскольку

-я
строка выбрана произвольно, заключаем,
что каждая строка матрицы может быть
представлена в виде линейной комбинации
независимых строк матрицы.►

Замечание 1. Все рассуждения в отношении
строк справедливы также и для столбцов.

Замечание 2. Задача определения числа
независимых строк или столбцов матрицы
сводится к нахождению ее ранга.

Вопросы для
повторения

1 Привести определение матрицы.
Перечислить виды матриц.

2. Сформулировать арифметические
операции над матрицами.

3. Что означает транспонирование матрицы?
Привести свойства транспонирования.

4. Сформулировать понятие определителя
квадратной матрицы любого порядка.

5. Чем алгебраическое дополнение элемента

матрицы отличается от минора того же
элемента?

6. Как найти величину определителя?

7. Перечислить свойства определителей.

8. Дать определение обратной матрицы.
Привести ее свойства.

9. Что такое матрицы элементарных
преобразований? Что называют элементарными
преобразованиями матрицы?

10. Объяснить способ построения обратной
матрицы, основанный на использовании
расширенной матрицы.

11. Сформулировать определение ранга
матрицы.

12. Какие строки матрицы называются
линейно независимыми?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #