Как найти ранг выпуска

2) Аналогично проранжируем показатели рентабельности (колонка 5);

3) Найдем разницу
рангов по удельному весу выпуска и
рентабельности. Небольшая разница
рангов свидетельствует об экономически
рациональной структуре ассортимента.
Если же ранг выпуска существенно больше
ранга рентабельности, то необходимо
при наличии устойчивого спроса снизить
себестоимость или заменить изделие
новым, более высокого качества. В случае
снижения спроса – уменьшить объем
выпуска.

Если же ранг
выпуска существенно ниже ранга
рентабельности, то при наличии устойчивого
спроса целесообразно увеличить объем
и, возможно, снизить цену в интересах
повышения спроса.

Количественно
степень рациональности структуры
ассортимента может быть оценена
коэффициентом корреляции ранга выпуска
и ранга рентабельности (Кр):

Кр
= 1 – 6 * 
* ( Рqi
– Рri
)²

/ n * ( n²
– 1 ),

где

n – число изделий
в ассортименте;

Рqi – ранг выпуска
i- го изделия;

Pгi – ранг
рентабельности i-го изделия.

В
нашем примере n = 6, следовательно,
коэффициент корреляции будет равен:

Кр
= 1 – 6 * 
( -1)² +
5²
+ (-1²
)+ (-1)²
+(-1)²
+( -1 )² 
/ 6 * ( 6²
– 1 ) = – 0,7

Коэффициент
корреляции отрицателен. Это свидетельствует
о том, что структура ассортимента не
рациональна. Чем больше абсолютный
показатель (Кр) при отрицательном
значении, тем выше нерациональность
структуры.

Задание 5 Задача 5.1

Фирма «Арго»
заключила договор с независимой фирмой
«ИСМА» на предмет оценки конкурентоспособности
ее продукции по сравнению с идеальным
образцом и товаром-конкурентом, а также
обоснованности установленной цены
стиральной машины «АР-5» в размере 4800
рублей.

На основании
данных, представленных фирмой «ИСМА»,
рассчитайте:

а) уровень
конкурентоспособности стиральной
машины «Ар-5» по сравнению с идеальным
образцом и товаром-конкурентом по
выбранным параметрам продукции и в
целом по товару;

б) цену стиральной
машины «Ар-5», которая бы соответствовала
ее параметрам и была бы также привлекательна
для покупателей, как и цена стиральной
машины «БР-1». Сделайте выводы.

Параметры	Коэффициент весомости	Оценка идеаль ного образца в баллах	III вариант
Балльная оценка сравниваемых товаров	Взвешенный параметрический индекс
«Ар-5»	«БР-1»	«Ар-5»	«БР-1»
Надежность	0,35	100	90	90	31,5	31,5
Число оборотов	0,2	100	85	90	17	18
Многофункциональность	0,3	100	80	85	24	25,5
Потребление эл.энергии	0,1	100	75	60	7,5	6
Дизайн	0,05	100	110	90	5,5	4,5
Итого	1,0	500	440	415	85,5	85,5
Цена стиральной машины «БР-1», руб.			4800	4800

Решение:

Соседние файлы в папке 1 Контрольная работа

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

, . , – , . , , , , .

, , , . , . . , “”, ” “, “”, ” “”, “-“, “-“, ” “, ” “, ” “, ” “, “. “, ” “, ” “, ” ” ” ” .

:

;

;

;

;

.

. .

. .

:

1. ,

12 , , . , , , , , , , , , , , . . ” “. . , . .

2. ,

. .. ” “, . , , , .

.

N , , , 27 %.

		,	, %	, %	,
, . .	, %	, %	, %
N	4,5	62	38	47	56	1	70	82	365
, . .	3,285	2,037	1,248	0,957	0,698	1,629	1,140	0,935	341,2

1) () :

= + ,

;

.

:

i = * (1 q) * q * q * qi * q * q * ,

;

q , ;

q ;

q ;

qi ;

q ;

q ;

.

:

= 4,5.. * ( 1 0,27 ) * 0,62 * ( 1 0,47 ) * 1 * 0,7 * 0,82 * 365 = =226,3 .

:

= 4,5 .. * ( 1 0,27 ) * 0,38 * ( 1 0,56 ) * 1 * 0,7 * 0,82 * 365.= =114,9 .

, 341,2 . ( 226,3 + 114,9 ).

2) :

) , . 3,285 . (4,5 .. * 0,73 * 1);

) (3,285 .. * 0,62 * 1) ( 3,285 .. * 0,38 * 1 ) ;

) ( 2,037 .. * 0,53 * 1 ) ( 1,248 .. * 0,44 * 1 );

) ( 1,629 .. * 0,7 * 1 );

) ( 1,140 ..* 0,82 * 365 ).

3.

, , , .

.

“Rowenta” , . :

) , , . ;

) .

< 500 .	500 700 .	700 900 .	> 900 .
	, %	37	45	13	5	100
, . .	3,8	2,6	0,7	0,2	7,3
	, %	14	25	40	21	100
, ..	1,2	2,3	5,8	3,1	12,4
	, ..	5,0	4,9	6,5	3,3	19,7
, ..	8,0	6,9	6,5	3,7	25,1

   (i) :

i = i * qi

I       , . ;

qi , %.

. , 5,0 .. ( 0,37 * 7,3 + 0,14 * 12,4 ).

:

) , , . , , ;

) , , , .

4. ,

. , , , , .

.

” ” . . , .

, %	, %
“”	32,0	12,0	1	5	-4
” “	24,0	26,0	2	1	+1	,
“”	18,0	18,0	3	3
14,0	24,0	4	2	+2
12,0	15,0	5	4	+1

:

1) , , 1, 4;

2) ( 5);

3) . . , , . .

, , , .

():

= 1 6 * å  * ( qi ri )2  /  n * ( n2 1 ),

n ;

qi i- ;

Pi i- .

n = 5, , :

= 1 6 * [ ( -4 )2 + 12 + 22 + 12 ] / 5 * ( 52 1 ) = 0.1

. , . () , .

, .. 0,6 0,7.

,   8 9 .

( 1) , .

5.

5 “” .. . , . .

.

, , “” “” “”.

.

“”	“”	“”	“”
0,5	100	90	100	45,0	50,0
0,3	100	95	90	28,5	27,0
0,2	100	92	80	18,4	16,0
1,0	300	277	270	91,9	93,0
, .	2400	2500

:

1) . , “” , “” .

2) , . “” 91,9 (90 * 0,5 + 95 * 0,3 + 92 * 0,2).

3) .

4) , – “”. 101,2 (93,0 *100 / 91,2).

5) (), “”, 2400 . 1,19 % (100-101,2) * 100 % / 101,2

6) “”, . 2470 . [2500 * (100 %-1,19 %)]. , “” 70 .

“” . 250 . 200 . 125 . 1,2 ..

:

) ;

) 28,5 .. 174 .

:

1) () :

= / 1 (. . / ),

;

. . ;

.

3,2 ..

(1,2 ../ 1 125 ./ 200 .).

2) , , (Q) :

Q = / .

16 .. (3,2 .. / 200 .).

3) (.) 28,5 .. :

. = . + .

4,7625 ..(1,2 ..+ 125 .* *28,5 ..).

4) () :

= .

28,5 .. 196,5 .. (174 . * 28,5 .. 4,7625 ..).

“” 1,2. () 35 ., 400 .. 3,5 , 0,6 .. ( 0,2 ..) .

:

1) 0,8 .. (3,5 . * 400,0 .. 0,6 ..).

2) 448,0 .. ( 400,0 .. * 1,2 * 0,35 . / 3,5 . + 400,0 ..).

3) 1,4112 .. (3,15 . * 448,0 ..).

4) 0,648 ..

5) 0,7632 ..(1,4112 .. 0,648 ..).

, “” , , 4900 . 100 .

“”	“”
0,6	50	30	50	30
0,2	40	8	60	12
0,2	70	14	30	6
1,0	160	52	140	46

:

1) . “” 52 (0,6 * 50 + 0,2 * 40 + 0,2 * 70).

2) . 49 [(52 + 46) / 2].

3) . 100 . (4900 . / 49 ). , “” 5200 .(100 . * 52), “” 4600 .

“” . 45 .. 35 %. :

) , ( );

) ;

) .

“-1”	“-2”
, ..	21,5	25,0
, ..	8,0	17,0	25,0
, ..	16,0	48,0	64,0
, ..	28,6	52,4
, .. 1 2	14,4 11,25	30,6 33,75
, .. 1 2	43,0 39,85	83,0 86,15
, . 1 2	0,7 0,65	1,16 1,21
, . 1 2	2,0 1,85	3,32 3,45
, . 1 2	2,7 2,5	4,48 4,66

:

1) . , “-1” 14,4 .. (45.. * 8.. / 25 ..). .

2) .

3) . “-1” 2 .(43 .. / 21,5 ..).

4) 2,7 . 1- 2,5 . .

, “” , .

:

) “” 32 ..;

) 35 %;

) 6,8 ., 3,2 ., 9,4 ..;

) 8 ..

:

1) 11,2 .. (32 .. * 0,35).

2) 76,16 .. (11,2 .. * 6,8 .).

3) 22,4 .. [(6,8 . 4,8 .) * 11,2 ..].

4) , 13 ..

5) 5 .. (13 .. 8 ..).

6.

, . .

.

(,,,), , (. ). , , . .

1) (q ), “” , :

q = * 100 % / .,

, 21,5 % (1,7 .. * 100,0 % / 7,9 ..)

2) :

= q / q .

0,39 ( 8,4 % / 21,5 %).

:

1, , . 1, . .

7. ,

, .

.

“” , 2- : () (). :

) : L = 70 ..; L = 50 ..

) , 1 (J),.: J = 2500 .; J = 1200 .

) ( d): d = -0.1; d = +0,15.

) (): = 0,5 ..; = 1,2 ..

, ? ?

:

1) (Ri) :

ri = Li * Ji * ( 1 d ) C.

:

TRc = 70 .. * 2500 . * ( 1 0,1 ) 500 .. = 157 ..

Tr = 50 .. * 1200 . * ( 1 + 0,15 ) 1200 .. = 67,8 ..

, . 157 ..

8. ,

, , . , , .

.

. :

1) ;

2) ;

3) ;

4) ( , ..).

.

,
	, . .	4,8	5,2	0,1	0,2	1,4	11,7
, . .	20,4	18,6	1,2	1,8	10,4	52,4
, %	23,5	27,9	8,3	11,1	11,5	22,3
, %	18,1	16,5	1,1	1,6	9,3	46,6
	, . .	2,7	4,6	0,2	0,8	3,2	11,5
, . .	10,4	20,6	0,8	2,8	25,4	60,0
, %	25,9	22,3	25,0	28,6	12,6	19,1
, %	9,3	18,3	0,7	2,5	22,6	53,4
	, . .	7,5	9,8	0,3	1,0	4,6	23,2
, . .	30,6	39,2	2,0	4,6	35,8	112,4
, %	24,4	25,0	15,0	21,7	12,8	20,6
, %	27,4	34,9	1,8	4,1	31,8	100,0

:

1) () :

= * 100 % / ,

, . ;

(), . .

, =5,2 * 100 % / 18,6= = 27,9%

2) . , 11,7 . . (4,8+5,2+0,1+0,2+1,4), 9,8 .. (5,2 + 4,6).

3) (q) () :

q= * 100 % / .

16,5 % (18,6 .. * 100 % / 112,4 ..).

:

) , (34,9 %), .

: , ; , .

) : (25,0%), (24,4%) , (21,7%).

: (27,9 %) , ; , , : , , , .

) ( 20,6 %) :

1) , , ;

2) ;

3) .

9.

” “, .. .. . . .

.

“”, .

, (. ). . .

	, ..
1-	2-
,   (1)	119,0	128,0
, (2)	110,0	124,0
, (3)	115,0	119,0
, (4)	109,0	121,0
(.)	120,0	130,0
(.)	108,0	117,0
113,5	123,2
2,0	2,2
117,5	127,6
109,5	118,8

:

1) () :

= ( .+ 1 + 2 + 3 + 4 + .) / 6

:

1- = (120,0 + 119,0 + 110,0 + 115,0 + 109,0 +108,0) / 6 = 113,5 ..

:

2- = (130,0 + 128,0 + 124,0 + 119,0 + 121,0 + 117,0) / 6 = =123,2

2) () :

= (.-.) / 6

2 .. 2,2 .. , ( 95 %) 113,5 2 * 2,0 .. 123,2 2 * 2,2 .. .

“”, .

, , 250,6 .., 269,5 ..

:

:

= * /

, ” “, ≈ 291,1 ..

, .

, . , .

.

1.

.

!

, , . . “” .

?

“” , . , , .

, . , . , , , . , 60 % .

?

, “” 1 :

– 0,85 1 . ;

– 0,7 0,8 . ; ( ) 0,33 0,36 . ;

– – 0,36 . .

“” . :

– ;

– ;

– ;

– .

?

, . 20 % . 1 “” 0,43 . . “” , 0,51 . .

?

. . .

, , 38 %. 12 . , 95 %. , .

1. “” ?

2. “” ?

3. “” ? , ? ?

4. ?

, , , . , . , , , .

2.

“GUTTA”

“Gutta” , 42 % , 28 , 12 9% , .

.

“Gutta” 42 %, 28, 16, 15 2 %,. 5 “Gutta” 2 % . 21 . 7 10 % , , 148

?

“Gutta” 22 , . , , . , , 3- 5- .

.

“Gutta” 5 . ‘”Baltic Republik Fond”, “Huvitusfond”, “Baiti Kasvufond”, “Hansa Erastamisfond” “Hansa Investments”. 1996 . “Gutta” 24 ., 5,8 . 1997 . 32 .

“Tetra ” 1997 . “Gutta” (), , , . 1998 . “Gutta” : ( ) .

?

“Gutta” . , , :

– , . : ” “” . !”;

– .

?

“Gutta” 2005 . 10 % , . , “Gutta” , . , , .

.

, , . :

– ;

– ;

– ;

– ;

– .

1. “Gutta”? ?

2. “Gutta” ?

3. “Gutta”?

4. ?

“”, ” “, ” “, ” “. , , , , .

1. .. 02. . – -: – , 2016.
2. .. . . – : – , 2005.
3. .., .., .. / . . .. . – : , 2008.
4. .., .. -: , , . . .: , 2013.

Перед тем как начать знакомство с темой, необходимо повторить правила нахождения определителей второго, третьего и высших порядков. Также необходимо знать, что детерминант 1-го порядка — число. Рассмотрим 2 метода вычисления ранга матриц.

Онлайн-калькулятор

Метод окаймляющих миноров

Для нахождения ранга матрицы данным методом требуется уметь находить миноры матриц.

Ранг матрицы

Рангом матрицы QQ называется наивысший порядок миноров, среди которых есть хотя бы один отличный от 00.

При этом ранг матрицы не может превышать порядка матрицы: 0⩽rang Qm×n⩽min(m,n)0leqslant rang Q_{mtimes n}leqslant min (m, n).

Обозначить ранг матрицы QQ можно следующим образом: rang Qrang Q или r(Q)r(Q).

Если ранг матрицы QQ равен rr, то это означает, что в матрице QQ имеется отличный от нуля минор порядка rr. При этом всякий минор порядка больше, чем rr равен нулю.

Исходя из определения ранга матрицы, следует, что если все миноры первого порядка (т. е. элементы матрицы QQ) равны 00, то rang Q=0rang Q=0. Если один из миноров первого порядка отличен от 00, а все миноры второго порядка равны 00, то rang Q=1rang Q=1. Если все миноры kk-го порядка равны 00, или миноров kk-го порядка не существует, то rang Q=k−1rang Q=k-1.

Рассмотрим примеры нахождения ранга матриц данным методом.

Пример 1

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

F=(03−1210−2−10)F=begin{pmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{pmatrix}.

Данная матрица имеет размер 3×33times3, поэтому ее ранг не может быть больше 33, т.е. rang F⩽3rang Fleqslant3.

Перейдем к вычислению ранга матрицы.

Среди миноров 1-го порядка (т.е. элементов определителя) есть хотя бы один, не равный 00, поэтому rang F≥1rang Fgeq1.

Перейдем к проверке миноров 2-го порядка. Например, на пересечении строк №1 и №2 и столбцов №1 и №2 получим минор: ∣0321∣=0⋅1−2⋅3=0−6=−6begin{vmatrix}0&3\2&1end{vmatrix}=0cdot1-2cdot3=0-6=-6. Значит, среди миноров 2-го порядка есть хотя бы один, не равный 00 и поэтому rang F≥2rang Fgeq2.

Перейдем к проверке миноров 3-го порядка. Минор 3-го порядка — определитель матрицы FF, поскольку она состоит из 3 строк и 3 столбцов: ∣03−1210−2−10∣=0begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=0. Значит, ранг матрицы FF равен 22, или rang F=2rang F=2.

Пример 2

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

K=(21−23−121213−15−2−21243−31)K=begin{pmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Данная матрица имеет размер 5×45times4. Из чисел 55 и 44 минимальным является 44, поэтому ее ранг не может быть больше 44, а значит rang K⩽4rang Kleqslant4.

Перейдем к вычислению ранга матрицы.

Среди миноров 1-го порядка (т.е. элементов определителя) есть хотя бы один, не равный 00, поэтому rang K≥1rang Kgeq1.

Перейдем к проверке миноров 2-го порядка. Например, на пересечении строк №1 и №2 и столбцов №1 и №2 получим минор: ∣21−12∣=2⋅2−(−1)⋅1=4+1=5begin{vmatrix}2&1\-1&2end{vmatrix}=2cdot2-(-1)cdot1=4+1=5. Значит, среди миноров 2-го порядка есть хотя бы один, не равный 00 и поэтому rang K≥2rang Kgeq2.

Перейдем к проверке миноров 3-го порядка. Например, на пересечении строк №1, №3 и №5 и столбцов №2, №3 и №4 получим минор:

∣1−233−153−31∣=1⋅(−1)⋅1+(−2)⋅5⋅3+3⋅(−3)⋅3−3⋅(−1)⋅3−(−2)⋅1⋅3−1⋅5⋅(−3)=−1−30−27+9+6+15=−28begin{vmatrix}1&-2&3\3&-1&5\3&-3&1end{vmatrix}=1cdot(-1)cdot1+(-2)cdot5cdot3+3cdot(-3)cdot3-3cdot(-1)cdot3-(-2)cdot1cdot3-1cdot5cdot(-3)=-1-30-27+9+6+15=-28.

Значит, среди миноров 3-го порядка есть хотя бы один, не равный 00 и поэтому rang K≥3rang Kgeq3.

Перейдем к проверке миноров 4-го порядка. Например, на пересечении строк №1, №2, №3 и №4 и столбцов №1, №2, №3 и №4 получим минор:

∣21−23−121213−15−2−212∣=2(−1)1+1∣2123−15−212∣−(−1)2+1∣1−233−15−212∣+(−1)3+1∣1−23212−212∣−2(−1)4+1∣1−232123−15∣=2(−1)2∣2123−15−212∣−(−1)3∣1−233−15−212∣+(−1)4∣1−23212−212∣−2(−1)5∣1−232123−15∣=2∣2123−15−212∣+∣1−233−15−212∣+∣1−23212−212∣+2∣1−232123−15∣=2(−4+6−10−4−10−6)−2+9+20−6−5+12+2+6+8+6−2+8+2(5−6−12−9+2+20)=−56+56+0=0begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2end{vmatrix}=2(-1)^{1+1}begin{vmatrix}2&1&2\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}-(-1)^{2+1}begin{vmatrix}1&-2&3\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}+(-1)^{3+1}begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\-2&1&2end{vmatrix}-2(-1)^{4+1}begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\3&-1&5end{vmatrix}=2(-1)^{2}begin{vmatrix}2&1&2\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}-(-1)^{3}begin{vmatrix}1&-2&3\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}+(-1)^{4}begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\-2&1&2end{vmatrix}-2(-1)^{5}begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\3&-1&5end{vmatrix}=2begin{vmatrix}2&1&2\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}+begin{vmatrix}1&-2&3\3&-1&5\-2&1&2end{vmatrix}+begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\-2&1&2end{vmatrix}+2begin{vmatrix}1&-2&3\2&1&2\3&-1&5end{vmatrix}=2(-4+6-10-4-10-6)-2+9+20-6-5+12+2+6+8+6-2+8+2(5-6-12-9+2+20)=-56+56+0=0.

Остальные миноры 4-го порядка также равны нулю:
∣21−23−121213−1543−31∣=0begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{vmatrix}=0,

∣21−23−1212−2−21243−31∣=0begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{vmatrix}=0,

∣21−2313−15−2−21243−31∣=0begin{vmatrix}2&1&-2&3\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{vmatrix}=0,

∣−121213−15−2−21243−31∣=0begin{vmatrix}-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{vmatrix}=0.

Значит, ранг матрицы KK равен 33, или rang K=3rang K=3.

Данный метод не всегда удобен, поскольку связан с вычислением большого количества определителей. Рассмотрим метод нахождения ранга матриц, который наиболее часто применяется на практике.

Метод Гаусса (метод элементарных преобразований)

Метод основан на элементарных преобразованиях матриц, под которыми будем понимать такие преобразования, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц:

1. перестановка местами любых двух рядов (строк или столбцов) матрицы;
2. умножение любого ряда матрицы (строки или столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
3. прибавление к любому ряду (строке или столбцу) матрицы другого ряда (строки или столбца), умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется количество ненулевых строк матрицы после ее приведения к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований над строками и столбцами.

Рассмотрим суть данного метода на примерах.

Пример 1

Найти ранг матрицы методом Гаусса F=(03−1210−2−10)F=begin{pmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{pmatrix}.

Приведем матрицу FF с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.

Поменяем местами строки №1 и №2:

(03−1210−2−10)∼(21003−1−2−10)begin{pmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}2&1&0\0&3&-1\-2&-1&0end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 1:

(21003−1−2−10)∼(21003−1000)begin{pmatrix}2&1&0\0&3&-1\-2&-1&0end{pmatrix}simbegin{pmatrix}2&1&0\0&3&-1\0&0&0end{pmatrix}.

С помощью элементарных преобразований мы привели матрицу FF к ступенчатому виду. В ней остались 2 ненулевые строки, следовательно, rang F=2rang F=2.

Пример 2

Найти ранг матрицы методом Гаусса

K=(21−23−121213−15−2−21243−31)K=begin{pmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Приведем матрицу KK с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.

Поменяем местами строки №1 и №2:

(21−23−121213−15−2−21243−31)∼(−121221−2313−15−2−21243−31)begin{pmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\2&1&-2&3\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Поменяем местами строки №2 и №4:

(−121221−2313−15−2−21243−31)∼(−1212−2−21213−1521−2343−31)begin{pmatrix}-1&2&1&2\2&1&-2&3\1&3&-1&5\-2&-2&1&2\4&3&-3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\1&3&-1&5\2&1&-2&3\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Поменяем местами строки №3 и №4:

(−1212−2−21213−1521−2343−31)∼(−1212−2−21221−2313−1543−31)begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\1&3&-1&5\2&1&-2&3\4&3&-3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\2&1&-2&3\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{pmatrix}.

Поменяем местами строки №4 и №5:

(−1212−2−21221−2313−1543−31)∼(−1212−2−21221−2343−3113−15)begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\2&1&-2&3\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\2&1&-2&3\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №1, умноженную на -2:

(−1212−2−21221−2343−3113−15)∼(−12120−6−1−221−2343−3113−15)begin{pmatrix}-1&2&1&2\-2&-2&1&2\2&1&-2&3\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\2&1&-2&3\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №1, умноженную на 2:

(−12120−6−1−221−2343−3113−15)∼(−12120−6−1−2050743−3113−15)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\2&1&-2&3\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №1, умноженную на 4:

(−12120−6−1−2050743−3113−15)∼(−12120−6−1−205070111913−15)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\4&3&-3&1\1&3&-1&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\0&11&1&9\1&3&-1&5end{pmatrix}.

Прибавим к строке №5 строку №1, умноженную на 1:

(−12120−6−1−205070111913−15)∼(−12120−6−1−20507011190507)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\0&11&1&9\1&3&-1&5end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\0&11&1&9\0&5&0&7end{pmatrix}.

Прибавим к строке №2 строку №3, умноженную на 1:

(−12120−6−1−20507011190507)∼(−12120−1−150507011190507)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-6&-1&-2\0&5&0&7\0&11&1&9\0&5&0&7end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&5&0&7\0&11&1&9\0&5&0&7end{pmatrix}.

Прибавим к строке №5 строку №3, умноженную на -1:

(−12120−1−150507011190507)∼(−12120−1−150507011190000)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&5&0&7\0&11&1&9\0&5&0&7end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&5&0&7\0&11&1&9\0&0&0&0end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на 5:

(−12120−1−150507011190000)∼(−12120−1−1500−532011190000)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&5&0&7\0&11&1&9\0&0&0&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&11&1&9\0&0&0&0end{pmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №2, умноженную на 11:

(−12120−1−1500−532011190000)∼(−12120−1−1500−53200−10640000)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&11&1&9\0&0&0&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&0&-10&64\0&0&0&0end{pmatrix}.

Прибавим к строке №4 строку №3, умноженную на -2:

(−12120−1−1500−53200−10640000)∼(−12120−1−1500−53200000000)begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&0&-10&64\0&0&0&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}-1&2&1&2\0&-1&-1&5\0&0&-5&32\0&0&0&0\0&0&0&0end{pmatrix}.

С помощью элементарных преобразований мы привели матрицу KK к ступенчатому виду. В ней остались 3 ненулевые строки, следовательно, rang K=3rang K=3.

Любым из рассмотренных методов можно найти ранг матрицы.

Наши эксперты готовы оказать вам помощь с решением задачи онлайн по самым низким ценам!

Тест по теме «Ранг матрицы»