Как найти распределение температуры

2020-12-31   

Найти распределение температуры в пространстве между двумя концентрическими сферами с радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$, заполненном проводящим тепло однородным веществом, если температуры обеих сфер постоянны и равны $T_{1}$ и $T_{2}$.

Решение:

Полный поток тепла $q = – xi frac{dT}{dz}$ через поверхность сферы остается постоянным $4 pi r^{2} q = 0$, так как тепло нигде не накапливается, поскольку температура остается неизменной. Отсюда получим

$- xi frac{dT}{dr} 4 pi r^{2} = Q, T = frac{Q}{4 pi xi } frac{1}{r} + C$. (1)

Используя граничные условия, находим $Q$ и $C$:

$T_{1} = frac{Q}{4 pi} frac{1}{R_{1} } + C, T_{2} = frac{Q}{4 pi } frac{1}{R_{2} } + C$,

$Q = 4 pi xi R_{1}R_{2} frac{T_{1} – T_{2} }{R_{2} – R_{1} }, C = frac{T_{2}R_{2} – T_{1}R_{1} }{R_{2} – R_{1} }$. (2)

Отметим, что в этой задаче для поддержания перепада температур требуется подвод тепла, который за единицу времени равен $Q$.

В предельном случае, при $R_{1} approx R_{2}$, имеем условие $R_{1} – R_{2} = d ll R_{1}$, используя которое получаем решение для плоской задачи. При этом поток тепла равен

$Q = S xi frac{T_{1} – T_{2} }{d}$.

Рассмотрим более детально явление
теплопроводности, имеющее важное
практическое значение. Формула (16.1),
определяющая плотность потока теплоты,
относится к случаю, когда распределение
температуры в среде непрерывно и
теплопроводность
также является непрерывной функцией
координат. Теплопроводность в этом
случае называется внутренней
теплопроводностью. В стационарном
случае температуране меняется от времени, а является
функцией только пространственных
координат. Поэтому все стационарные
задачи на внутреннюю теплопроводность
сводятся к двум вопросам. Требуется
найти либо распределение температуры
в среде с заданными граничными условиями,
либо получить функциональную зависимостьот координаты. Рассмотрим простейшие
случаи, когда среда однородна и поэтому.

Стационарное распределение температуры в бесконечной плоско-параллельной пластинке

Дана бесконечная пластинка толщины
,
поверхности которых поддерживаются
при постоянных температурахи.Она изображена на рис. 16.5. Требуется
найти распределение температурывнутри пластинки.

Запишем (16.1) для этой
задачи в виде

Рис.
16.5.

Если
,
из (16.3) следует

После
интегрирования (16.4) получим

где
– постояная интегрирования. Таким
образом, температура меняется с
координатойпо линейному закону. Константыинаходятся из граничных условий. При,
а при.
Соответственно.
Найденные значенияиподставим в (16.5) и получим формулу для
распределения температуры в пластинке:

Стационарное распределение температуры между двумя концентрическими бесконечно длинными цилиндрами

На рис. 16.6. изображена исследуемая
система.

Однородная среда заполняет пространство
между двумя цилиндрическими поверхностями
с радиусами
.
Граничные условия стационарны:

Требуется найти зависимость температуры
от расстояния от
до аксиальной оси. Полный поток через
цилиндрическую поверхность радиусаединичной длины равен

Этот поток является постоянной величиной,
независящей от радиуса цилиндрической
поверхности. Запишем это условие

Рис.
16.6.

Следовательно

Выразим левую
часть этого уравнения согласно (16.1),
тогда получим

После
интегрирования (16.8) находим решение в
общем виде

Константы
инаходятся из граничных условий. При,aпри.
Соответственно

Вычтем из
второго уравнения первое и получим
значение

Подставив
полученное выражение для
в любое из уравнений (16.10) определим.
Окончательно решение имеет вид

Стационарное распределение температуры между двумя концентрическими сферами

На рис. 16.7. изображена исследуемая
система.

Пространство между сферами радиусов
изаполнено однородной средой. Поток
теплоты через сферическую поверхность
радиусаравенэта величина постоянна и не зависит от
радиуса сферы. Поэтому уравнение для
плотности потока имеет вид

Рис.
16.7.

После
интегрирования (16.12) получим

Из граничных
условий находим
и.
Окончательно решение имеет вид

Ещё раз отметим, что распределения
температур в слоях вещества с разной
симметрией получены при условии, что
.
Если это не так, то зависимостьиливойдет в соответствующие дифференциальные
уравнения. Это приведет к тому, что
распределение температуры в слоях будет
отличаться от (16.6), (16.11) и (16.13).

Соседние файлы в папке Молек. физика

• #
• #
• #

§ 3. СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ

1. Стационарное распределение тепла

Пусть физические условия в задаче о тепловом состоянии тела таковы, что плотность источников (стоков) тепла и граничные условия не зависят от времени. Тогда с течением времени в теле устанавливается некоторое не зависящее от времени распределение температуры, т. е. тепловое состояние тела выйдет на стационарный режим. Распределение температуры в таком случае описывается уравнением, которое получается из уравнения теплопроводности (2.9) при и Уравнение, описывающее стационарное распределение тепла, имеет вид

Граничные условия ставятся так же, как и для уравнения теплопроводности, но граничная функция не зависит от времени:

Частным случаем уравнения (3.1) является так называемое уравнение Пуассона, получающееся при постоянном коэффициенте

Однородное уравнение (3.2) называется уравнением Лапласа