Как найти распределения компоненты y

Обратимся
теперь к зависимым величинам. Вероятностная
зависимость между случайными величинами
часто встречается на практике. Если
случайные величины X
и Y
находятся в вероятностной зависимости,
это не означает, что с изменением величины
X
величина Y
изменяется вполне определенным образом;
это лишь означает, что с изменением
величины X
величина Y
имеет тенденцию также изменяться
(например, возрастать или убывать с
ростом X).
Эта тенденция соблюдается лишь в общих
чертах, и в каком-то отдельном случае
от неё возможны отступления. Примеры
случайных величин, находящихся в
вероятностной зависимости: рост и
возраст ребенка; затраты и прибыль при
производстве определенной продукции;
затраты на рекламу и объем продаваемой
продукции.

Для
того, чтобы полностью описать систему,
недостаточно знать распределение каждой
из составляющих; нужно ещё знать
зависимость между величинами, входящими
в систему. Эта зависимость характеризуется
с помощью условных
законов распределения.

Условным
законом распределения одной из случайных
величин,
входящих в систему (X,Y),
называется её закон распределения,
найденный при условии, что другая
случайная величина приняла определённое
значение (или попала в какой-то интервал).

Пусть
(X,Y)
– дискретная двумерная случайная
величина и

В
соответствии с определением условных
вероятностей событий^*),
условная вероятность того, что случайная
величина Х примет значение
при условии,
определяется равенством

(34)

Совокупность
вероятностей (34), то есть
,
представляет собой условный закон
распределения случайной величины Х при
условии.
Сумма условных вероятностей

Аналогично
определяются условная вероятность и
условный закон распределения случайной
величины Y
при условии
:

.

(35)

Пример
8. Пусть закон
распределения двумерного случайного
вектора (X,Y)
задан таблицей 2 (стр. 8). Найти условный
закон распределения случайной величины
Х при Y
=0,1.

Решение.
С учетом
формулы (34) имеем:

(значение
взято из безусловного закона распределения
случайной величиныY,
приведенного в таблице 4 на стр. 9).

^*)
Пусть А и
В – случайные события. Тогда вероятность
их совместного появления равна
,
где– условная вероятность события В при
условии, что событие А произошло;– условная вероятность события А при
условии, что событие В произошло. Тогда,.

Таким
образом, условный закон распределения
случайной величины Х при Y
=0,1 таков:

Таблица 5

Х	5	6	7
	0,4	0,6	0

Сравнивая
найденный условный закон распределения
случайной величины Х с безусловным
законом её распределения (таблица 3 на
стр. 8), видим, что они различны.
Следовательно, случайные величины X
и Y
находятся в
вероятностной зависимости.

Пусть
теперь (X,Y)
– непрерывная двумерная случайная
величина с плотностью
;и–
плотности распределения соответственно
случайной величины Х и случайной величиныY.

Условной
плотностью распределения составляющей
X
при условии Y=y
называют отношение плотности совместного
распределения к плотности распределения
составляющей Y:

(36)

Аналогично
определяется условная плотность
распределения составляющей Y
при условии X=x:

(37)

Из
(36) и (37) получим:

.
(38)

Таким
образом, плотность распределения системы
двух непрерывных случайных величин
равна произведению плотности одной
составляющей на условную плотность
другой составляющей.

Как
и любая плотность распределения, условные
плотности обладают следующими свойствами:

(39)

Пример
9. Непрерывный
вектор (X,Y)
равномерно распределен в круге с
радиусом 1, то есть

Найти
условные плотности распределения
компонент этого вектора.

Решение

Условную
плотность составляющей Х при
найдём по формуле (36):

Так
как
при,
топри.

Аналогично находим:

;

при

Итак,
искомые условные плотности распределения
составляющих системы (X,Y)
имеют вид:

Для
независимых случайных величин условная
плотность распределения совпадает с
безусловной плотностью распределения.
Действительно,

(40)

Аналогично
(41)

Степень
зависимости между случайными величинами
обычно оценивают с помощью числовых
характеристик зависимости.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Введем теперь по отдельности определения условного закона распределения для составляющей $X$ и для составляющей $Y$.

Условные законы распределения составляющих дискретной двумерной случайной величины

Пусть $(X,Y)$ – дискретная двумерная случайная величина.

Если известен закон распределения двумерной случайной величины $(X,Y)$, то условная составляющая $X$ представляется в виде

Если известен закон распределения двумерной случайной величины $(X,Y)$, то условная составляющая $X$ представляется в виде

Условные законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины

Пусть $(X,Y)$ – непрерывная двумерная случайная величина.

Напомним, что для непрерывной случайной величины существует понятие плотности распределения случайной величины.

«Условные законы распределения составляющих системы» 👇

Приведем еще две формулы для вычисления условных плотностей распределения. Если известна плотность совместного распределения, то условные плотности по составляющей $X$ и по составляющей $Y$ можно найти по формулам:

Введем несколько свойств для функций условной плотности распределения.

Свойство 1: Функции условной плотности распределения неотрицательны на всей области определения, то есть:

Свойство 2: Выполняются следующие равенства:

Условное математическое ожидание

Введем формулы для вычисления условных математических ожиданий для различных случаев.

1. Условное математическое ожидание дискретной случайной величины $Y$ при $X=x$:

1. Условное математическое ожидание дискретной случайной величины $X$ при $Y=y$:

1. Условное математическое ожидание непрерывной случайной величины $Y$ при $X=x$:

1. Условное математическое ожидание непрерывной случайной величины $X$ при $Y=y$:

Пример задачи на условное распределение

Известно, что если события A и B зависимы, то условная вероятность события B отличается от его безусловной вероятности. В этом случае

. (13.1.43)

Аналогичное положение имеет место и для случайных величин. Для того, чтобы охарактеризовать зависимость между составляющими двумерной случайной величины, введем понятие условного распределения.

Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину (X,Y). Пусть возможные значения составляющих таковы: .

Допустим, что в результате испытания величина Y приняла значение ; при этом X примет одно из своих возможных значений: , или , …, или . Обозначим условную вероятность того, что X примет, например, значение при условии, что , через . Эта вероятность, вообще говоря, не будет равна безусловной вероятности .

В общем случае условные вероятности составляющей будем обозначать так:
(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m).

Условным распределением составляющей X при называют совокупность условных вероятностей , , …, , вычисленных в предположении, что событие (j имеет одно и то же значение при всех значениях X) уже наступило. Аналогично определяется условное распределение составляющей Y.

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно, пользуясь формулой (13.1.43), вычислить условные законы распределения составляющих. Например, условный закон распределения X в предположении, что событие уже произошло, может быть найден по формуле

(i = 1, 2, … , n).

В общем случае условные законы распределения составляющей X определяются соотношением

(13.1.44)

Аналогично находят условные законы распределения составляющей Y:

(13.1.45)

Замечание. Сумма вероятностей условного распределения равна единице. Действительно, так как при фиксированном имеем

,

то .

Аналогично доказывается, что при фиксированном

Это свойство условных распределений используют для контроля вычислений.

ПРИМЕР 13.1.56 Дискретная двумерная случайная величина задана таблицей

Найти условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение .

Решение. Искомый закон определяется совокупностью следующих условных вероятностей: , ,

Воспользовавшись формулой (13.1.44) и приняв во внимание, что , имеем:

,

,

,

Сложив для контроля найденные условные вероятности, убедимся, что их сумма равна единице, как и должно быть, в соответствии с замечанием, помещенным выше: 1/5+3/10+1/2=1.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >

Содержание:

Системы случайных величин или случайные векторы:

При изучении случайных явлений в зависимости от их сложности приходится использовать два, три и большее число случайных величин.

Например, 1) попадание снаряда в цель определяется не одной, а двумя случайными величинами: абсциссой и ординатой точки попадания, 2) случайное отклонение точки разрыва снаряда при дистанционной стрельбе определяется комплексом трех случайных величин: тремя координатами этой точки.

Определение 57. Совместное рассмотрение двух или нескольких случайных величин приводит к системе случайных величин или к случайному вектору.

(X, Y) – двумерный случайный вектор или система двух СВ.

Изучать систему – значит изучать сами случайные величины, ее составляющие; связи и зависимости между ними.

Геометрическая интерпретация системы: 1) систему двух случайных величин (X, У) рассматривают как случайную точку на плоскости (Охх) или как случайный вектор с составляющими X, У; 2) систему трех случайных величин (X, У, Z) рассматривают как случайную точку на плоскости (Оxyz) или как случайный вектор с составляющими X, У; Z и т.д.

В зависимости от типа случайных величин, образующих систему, могут быть дискретные, непрерывные и смешанные системы.

Определение 58. Двумерный случайный вектор (X, У) называется вектором дискретного типа (СВДТ), если множество его возможных значений не более, чем счетно.

Определение 59. (первое определение) Двумерный случайный вектор (X, У) называется вектором непрерывного типа (СВНТ), если множество его возможных значений непрерывно заполняет некоторую область плоскости (Оху)-

Определение 60. Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.

Законы распределения СВДТ и СВНТ

Таблица распределения – закон распределения СВДТ:

Рассмотрим двумерный случайный вектор (X, У), где X и У – дискретные случайные величины с возможными значениями

Пример:

Из цифр 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 наудачу отбирают две цифры. Х – число четных цифр в выборке, Y – число нечетных. Описать закон распределения.

Решение.

X (четные) – 2, 4, 6, 8; Y ( нечетные) – 1, 3, 9. Следовательно, возможные значения X :  (нет четных цифр), (одна цифра четная), (обе цифры четные); возможные значения Y :  (нет нечетных цифр), (одна цифра нечетная), (обе цифры нечетные). Найдем вероятности.

(0 четных, 0 нечетных) = 0, не выбираем ни одной цифры, а по условию выбираем две цифры. Аналогично, (выбираем всего одну цифру либо нечетную, либо четную), (выбираем три цифры вместо двух по условию), (выбираем четыре цифры вместо двух по условию).

 — (обе цифры нечетные),

— (одна четная, одна нечетная),

— (обе цифры четные).

Таблица распределения имеет вид:

Проверка: 

Пример:

Дана таблица распределения случайного вектора (X, Y). Получить ряды распределения для Х и Y отдельно.

Решение.

, (складываем по строкам), следовательно, 

Проверка: 

, (складываем по столбцам), следовательно, 

Проверка: 

Функция распределения – закон распределения СВДТ и СВНТ

Функция распределения – универсальный закон распределения случайных векторов как дискретного, так и непрерывного типа.

Определение 61. Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F(x,y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств: X < х, Y < у, т.е. 

Геометрически F(x,y) представляет вероятность попадания случайной точки (X,Y) в левый нижний бесконечный квадрант плоскости с вершиной в точке (х,у).

 – для СВДТ

Свойства F(x;y).

1. Условие согласованности:

Пояснение. Отодвигая одну из границ квадранта в бесконечность, получаем полуплоскость, вероятность попадания в которую есть функция распределения одной случайной величины.

2. 

Пояснение. Квадрант обращается во всю координатную плоскость, попадание случайной точки в которую есть достоверное событие.

3. 

Пояснение. Отодвигая ту или иную границу квадранта в (), убеждаемся, что вероятность случайной точки попасть в квадрант равна нулю.

4. F(x, у) – неубывающая функция по каждому аргументу.

5. Вероятность попадания случайной точки (X, У) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:

Определение 62. (второе определение) Двумерный случайный вектор называется случайным вектором непрерывного типа (СВНТ), если его функция распределения непрерывна на всей плоскости и существует неотрицательная и интегрируемая по Риману в бесконечных пределах по х, у функция , называемая плотностью распределения СВНТ.

Пример №1

Найти функцию распределения, если случайный вектор задан таблицей распределения:

Решение.

Случайный вектор дискретного типа, следовательно, 

Плотность распределения (Для СВНТ)

Определение 63. (первое определение) Плотностью распределения системы двух непрерывных случайных величин называется предел отношения вероятности попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник к площади прямоугольника, когда оба его размера стремятся к нулю:

Распишем интервальную вероятность с помощью функции распределения:

Правая часть равенства – определение смешанной производной функции двух переменных F(x, у), отсюда следует

Определение 64. (второе определение) Плотностью распределения системы двух непрерывных случайных величин называется смешанная частная производная от функции распределения системы:

Отсюда, 

Геометрически  можно изобразить некоторой поверхностью, которую называют поверхностью распределения.

Вероятность попадания случайной точки в некоторую область D плоскости (Oxy) находится по формуле:

Геометрически вероятность попадания случайной точки в область D плоскости (Oxy) изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного поверхностью распределения и опирающегося на эту область.

Свойства плотности

1.  – неотрицательная функция, т.е. 

2. Условие нормировки: 

Пример №2

Дана плотность распределения непрерывного вектора

Найти: 1) коэффициент а, 2) функцию распределения F(x, у), 3) вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами в точках O(0,0), A(0,1),

Решение.

1) Для вычисления коэффициента а применим условие нормировки:

2) По определению 

3) Вероятность попадания в прямоугольник.

1 способ: 

2 способ (по 5 свойству):

Пример №3

Дана плотность распределения непрерывного вектора  Найти вероятность того, что случайная точка принадлежит треугольнику с вершинами в точках O(0,0), A(1,2), B(0,1).

Решение.

Плотность распределения задана в квадрате. Область пересечения квадрата с заданным треугольником заштрихованный треугольник, ограниченный снизу прямой сверху – прямой , причем, , следовательно, 

Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему

Пусть известна плотность распределения случайного вектора. Согласно свойству 1 (условие согласованности) для функции распределения , можем записать, что,

Отсюда, дифференцированием первого равенства по х, а второго по у, получим, что плотности распределения одной из величин равны интегралу от плотности распределения системы в бесконечных пределах по аргументу, соответствующему другой случайной величине:

Ставится вопрос, как по известным законам распределения отдельных величин, входящих в систему, найти закон распределения системы. В общем случае эта задача не разрешима, но, с другой стороны, закон распределения системы должен содержать все сведения о величинах, входящих в систему, в том числе и сведения о том, как они связаны между собой.

Определение 65. Случайные величины X и Y, входящие в систему, называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае, они называются зависимыми.

Теорема. Для того, чтобы дискретные случайные величины X и Y , входящие в систему, были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

Для того, чтобы непрерывные случайные величины X и Y , входящие в систему, были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

Пример №4

Дана плотность распределения непрерывного вектора:

Зависимы или независимы случайные величины, входящие в систему?

Решение.

Представим плотность в виде произведения:

, следовательно, по теореме, X и Y – независимые величины.

Пример №5

Дано распределение дискретных независимых случайных величин Х и Y:

Записать закон распределения случайного вектора (Х + Y).

Решение.

Найдем возможные значения случайного вектора (Х+ Y): 1 + 3 = 4, 2 + 3 =5, 1+5 = 6, 2 + 5 = 7.

Найдем их вероятности, пользуясь условием независимости:

Следовательно, ряд распределения случайного вектора (Х + Y) имеет вид:

Замечание. Одним из наиболее простых распределений системы двух непрерывных величин является равномерное распределение.

Определение 66. Система двух непрерывных случайных величин имеет равномерное распределение в области D плоскости (Оху), если плотность распределения в точках области D постоянна и равна нулю в остальных точках плоскости:

В силу свойства 2 плотности имеем, что , где  – площадь области D. Тогда вероятность попадания случайной точки в некоторую область плоскости (Охy) находится по формуле:

Определение 67. Пусть Х и Y независимые величины, распределенные по нормальному закону, их плотности распределения имеет вид:

Следовательно, плотность распределения системы (Х,Y) на основании теоремы умножения плотностей распределения для случая независимых величин получим в виде

Если X и Y зависимы между собой, то закон распределения системы не может быть выражен через законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему, что привело к введению условных законов распределения.

Определение 68. Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина, входящая в систему, приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Обозначим G (х,у) – множество возможных значений случайного вектора (X, Y).

Рассмотрим СВДТ.

Условный закон распределения случайной компоненты X при условии, что Y приняла определенное значение у называется совокупность возможных значений и соответствующих этим значениям условных вероятностей определяемых равенством:

Рассмотрим CBHT.

Условный закон распределения случайной компоненты X при условии, что Y приняла определенное значение у :

Теорема (умножения законов распределения):

Условие нормировки: 

Условие независимости Х от Y:

Числовые характеристики системы

Определение 69. Начальным моментом порядка случайного вектора (X,Y) называется математическое ожидание произведения -ой степени Х на         s-ую степень Y:

Математическое ожидание дискретных случайных величин Х и Y, входящих в систему:

определяют координаты точки, называемой центром рассеивания системы на плоскости.

Определение 70. Центральным моментом порядка случайного вектора (Х,Y) называется математическое ожидание произведения -ой и s-ой степеней соответствующих центрированных величин:

Дисперсия случайных величин X и Y, входящих в систему – характеристика рассеивания случайной точки в направлении осей (ох) и (оу):

Дисперсия дискретных случайных величин Х и Y, входящих в систему:

Дисперсия непрерывных случайных величин Х и Y, входящих в систему:

Замечание. Для краткого описания условных законов распределения используются различные характеристики, наиболее важной из которых является математическое ожидание:

Определение 71. Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины X при условии, что Y принимает одно из своих возможных значений , называется сумма произведений возможных значений Х на их условные вероятности:

Для непрерывной случайной величины X:

Аналогично, вводится понятие условного мат. ожидания для СВ Y.

Пример №6

По некоторой цели производится два выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле равна р. Рассмотрим две случайные величины: X – число попаданий в цель, Y – число промахов. Составить таблицу распределения, записать функцию распределения системы F(x,y) и найти числовые характеристики

Решение.

Случайный вектор дискретного типа, следовательно, 

Пояснение: 

Ковариация, корреляция и линии регрессии

Особую роль при исследовании системы играет второй смешанный центральный момент.

Определение 72. Второй смешанный центральный момент называется корреляционным или моментом связи или ковариацией:

Теория корреляции решает две задачи: 1) установление формы связи между случайными величинами, 2) определение тесноты и силы этой связи.

, помимо рассеивания, характеризует взаимное влияние случайных величин X и Y, входящих в систему. Для оценки степени влияния используется не сам момент, а безразмерное соотношение, которое называется нормированной ковариацией или коэффициентом корреляции:

 – коэффициент корреляции двух случайных компонент X и Y случайного вектора.

(Иногда его обозначают как ).

Средние квадратические отклонения случайных величин X и Y равны

Определение 17. X и Y называются некоррелированными случайными величинами, если их коэффициент корреляции , и коррелированными, если отличен от нуля.

Свойства коэффициента корреляции

Свойства коэффициента корреляции :

1. Если X и Y – независимые СВ, то (X и Y некоррелированные случайные величины). Обратное утверждение неверно, так как X и Y могут быть зависимыми, но при этом

2. 

3. В случае говорят о положительной корреляции X и Y , что означает: при возрастании одной из них другая тоже имеет тенденцию в среднем возрастать. Например, вес и рост человека.

4. В случае говорят об отрицательной корреляции X и Y , что означает: при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем убывать. Например, время, потраченное на подготовку прибора к работе и количество неисправностей, обнаруженных при его работе.

Взаимная связь двух случайных величин, помимо , может быть описана с помощью линий регрессии. Действительно, хотя при каждом значении Х = х величина У остается случайной величиной, допускающей рассеивание своих значений, однако зависимость Y от X сказывается часто в изменении средних размеров Y при переходе от одного значения х к другому. С изменением х будет изменяться и Это означает, что можно рассматривать функцию областью определения которой является множество возможных значений случайной величины X. Эта функция носит название регрессии Y и X.

Аналогично, зависимость Х от Y описывает функция

– уравнения регрессии

Линии, определенные этими уравнениями, называются кривыми или линиями регрессии. (Вводятся лишь для непрерывных СВ, для ДСВ линии будут состоять из точек.)

Если обе линии регрессии – прямые, то корреляционную зависимость называют линейной (линейная корреляция). Для нормально распределенного случайного вектора (X,Y) уравнения регрессии линейные:

Связь коэффициента корреляции и линий регрессии

1) Если , то линии регрессии наклонены вправо.

2) Если , то линии регрессии наклонены влево.

3) Если , то линии регрессии проходят параллельно осям координат.

4) Если, , то линии регрессии сливаются в одну линию, а случайные величины X и Y связаны между собой линейной функциональной зависимостью , причем знак коэффициента корреляции () или () берется в зависимости от знака (+ или -) коэффициента а, который называется коэффициентом регрессии.

Часто пишут уравнение в виде: и называют его уравнением парной регрессии, где коэффициент регрессии

Определение 73. Ковариационной матрицей случайного вектора называется симметрическая действительная матрица, элемент которой представляет собой ковариации соответствующих пар компонент: 

Определение 74. Корреляционной матрицей случайного вектора называется нормированная ковариационная матрица 

Пример №7

Дано уравнение парной регрессии Выберите правильный коэффициент корреляции:

Решение.

Из рассмотрения исключаем так как по 2 свойству Коэффициент регрессии а = 2, т.е. со знаком «+», следовательно,

Замечание. Можно было знак  определить с помощью следующего рассуждения: возьмем два возрастающие значения х: , тогда , т.е. с возрастанием х возрастает у, отсюда, , следовательно,

Пример №8

Дано уравнение парной регрессии Найти .

Решение.

Из формулы выразим . Получим .

Свойства математического ожидания и дисперсии

1. X, Y как зависимые, так и независимые случайные величины, тогда

2. 

Если X, Y – некоррелированные, то

Если X, Y- независимые, то

3. 

Если X, Y- некоррелированные, то

4. Если X, Y-независимые, то 

Пример №9

Даны законы распределения случайных величин X, Y:

Найти

Решение.

.

Двумерной называют случайную величину

, возможные значения
которой есть пары чисел

. Составляющие

 и

, рассматриваемые
одновременно, образуют систему двух случайных величин. Двумерную величину
геометрически можно истолковать как случайную точку

 на плоскости

 либо как случайный вектор

.

Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.

Закон распределения дискретной двумерной СВ.
Безусловные и условные законы распределения составляющих

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие
между возможными значениями и их вероятностями.

Закон
распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан:

а) в
виде таблицы с двойными входом, содержащей возможные значения и их вероятности;

б) аналитически, например в виде функции распределения.

Зная
закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы
каждой из составляющих. В общем случае, для того чтобы найти вероятность

, надо просуммировать
вероятности столбца

. Аналогично сложив
вероятности строки

 получим вероятность

.

Пусть
составляющие

 и

 дискретны и имеют соответственно следующие
возможные значения:

; 

.

Условным распределением составляющей

 при

 (j сохраняет одно и то же
значение при всех возможных значениях

) называют совокупность
условных вероятностей:

Аналогично
определяется условное распределение

.

Условные
вероятности составляющих

 и

 вычисляют соответственно по формулам:

Для
контроля вычислений целесообразно убедиться, что сумма вероятностей условного
распределения равна единице.

Ковариация (корреляционный момент)

Ковариация двух случайных величин характеризует степень зависимости случайных величин, так
и их рассеяние вокруг точки

.

Ковариацию
(корреляционный момент) можно найти по формуле:

Свойства ковариации

Свойство 1.

Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю.

Свойство 2.

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их
произведение математических ожиданий.

Свойство 3.

Ковариация двухмерной случайной величины по абсолютной случайной величине не
превосходит среднеквадратических отклонений своих компонентов.

Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции – отношение ковариации двухмерной случайной
величины к произведению среднеквадратических отклонений.

Формула коэффициента корреляции:

Две
случайные величины

 и

 называют коррелированными, если их коэффициент
корреляции отличен от нуля.

 и

 называют некоррелированными величинами, если
их коэффициент корреляции равен нулю

Свойства коэффициента корреляции

Свойство 1.

Коэффициент корреляции двух независимых случайных величин равен нулю. Отметим,
что обратное утверждение неверно.

Свойство 2.

Коэффициент корреляции двух случайных величин не превосходит по абсолютной
величине единицы.

Свойство 3.

Коэффициент корреляции двух случайных величин равен по модулю единице тогда и
только тогда, когда между величинами существует линейная функциональная
зависимость.

Линейная регрессия

Рассмотрим
двумерную случайную величину

, где

 и

 – зависимые случайные величины. Представим
одну из величины как функцию другой. Ограничимся приближенным представлением
величины

 в виде линейной функции величины

:

где

 и

 – параметры, подлежащие определению. Это можно
сделать различными способами и наиболее употребительный из них – метод
наименьших квадратов.

Линейная
средняя квадратическая регрессия

 на

 имеет вид:

Коэффициент

называют
коэффициентом регрессии

 на

, а прямую

называют
прямой среднеквадратической регрессии

 на

.

Аналогично
можно получить прямую среднеквадратической регрессии

 на

:

Смежные темы решебника:

• Двумерная непрерывная случайная величина
• Линейный выборочный коэффициент корреляции
• Парная линейная регрессия и метод наименьших квадратов

Задача 1

Закон
распределения дискретной двумерной случайной величины (X,Y) задан таблицей.

Требуется:

–
определить одномерные законы распределения случайных величин X и Y;

– найти
условные плотности распределения вероятностей величин;

–
вычислить математические ожидания m_x и m_y;

–
вычислить дисперсии σ_x и σ_y;

–
вычислить ковариацию μ_xy;

–
вычислить коэффициент корреляции r_xy.

xy	3	5	8	10	12
-1	0.04	0.04	0.03	0.03	0.01
1	0.04	0.07	0.06	0.05	0.03
3	0.05	0.08	0.09	0.08	0.05
6	0.03	0.04	0.04	0.06	0.08

---

Задача 2

Задана
дискретная двумерная случайная величина (X,Y).

а) найти
безусловные законы распределения составляющих; б) построить регрессию случайной
величины Y на X;  в) построить регрессию случайной величины X на Y;  г) найти коэффициент ковариации; д) найти
коэффициент корреляции.

Y	X
1	2	3	4	5
30	0.05	0.03	0.02	0.01	0.01
40	0.03	0.02	0.02	0.04	0.01
50	0.05	0.03	0.02	0.02	0.01
70	0.1	0.03	0.04	0.03	0.01
90	0.1	0.04	0.01	0.07	0.2

---

Задача 3

Двумерная случайная величина (X,Y) задана
таблицей распределения. Найти законы распределения X и Y, условные
законы, регрессию и линейную регрессию Y на X.

x y	1	2	3
1.5	0.03	0.02	0.02
2.9	0.06	0.13	0.03
4.1	0.4	0.07	0.02
5.6	0.15	0.06	0.01

---

Задача 4

Двумерная
случайная величина (X,Y) распределена по закону

XY	1	2
-3	0,1	0,2
0	0,2	0,3
-3	0	0,2

Найти
законы распределения случайных величины X и Y, условный закон
распределения Y при X=0 и вычислить ковариацию.
Исследовать зависимость случайной величины X и Y.

---

Задача 5

Случайные
величины ξ и η имеют следующий совместный закон распределения:

P(ξ=1,η=1)=0.14

P(ξ=1,η=2)=0.18

P(ξ=1,η=3)=0.16

P(ξ=2,η=1)=0.11

P(ξ=2,η=2)=0.2

P(ξ=2,η=3)=0.21

1)
Выписать одномерные законы распределения случайных величин ξ и η, вычислить
математические ожидания Mξ, Mη и дисперсии Dξ, Dη.

2) Найти
ковариацию cov(ξ,η) и коэффициент корреляции ρ(ξ,η).

3)
Выяснить, зависимы или нет события {η=1} и {ξ≥η}

4)
Составить условный закон распределения случайной величины γ=(ξ|η≥2) и найти Mγ и
Dγ.

---

Задача 6

Дан закон
распределения двумерной случайной величины (ξ,η):

	ξ=-1	ξ=0	ξ=2
η=1	0,1	0,1	0,1
η=2	0,1	0,2	0,1
η=3	0,1	0,1	0,1

1) Выписать одномерные законы
распределения случайных величин ξ и η, вычислить математические ожидания M_ξ,
M_η и дисперсии D_ξ, D_η

2) Найти ковариацию cov(ξ,η) и
коэффициент корреляции ρ(ξ,η).

3) Являются ли случайные события |ξ>0|
и |η> ξ | зависимыми?

4) Составить условный закон
распределения случайной величины γ=(ξ|η>0) и найти M_γ  и D_γ.

---

Задача 7

Дано
распределение случайного вектора (X,Y). Найти ковариацию X и Y.

XY	1	2	4
-2	0,25	0	0,25
1	0	0,25	0
3	0	0,25	0

---

Задача 8

Случайные
приращения цен акций двух компаний за день имеют совместное распределение,
заданное таблицей. Найти ковариацию этих случайных величин.

YX	-1	1
-1	0,4	0,1
1	0,2	0,3

---

Задача 9

Найдите
ковариацию Cov(X,Y) для случайного дискретного вектора (X,Y),
распределенного по закону:

	X=-3	X=0	X=1
Y=-2	0,3	?	0,1
Y=1	0,1	0,1	0,2

---

Задача 10

Совместный
закон распределения пары

 задан таблицей:

xh	-1	0	1
-1	1/12	1/4	1/6
1	1/4	1/12	1/6

Найти
закон распределения вероятностей случайной величины xh и вычислить cov(2x-3h,x+2h).
Исследовать вопрос о зависимости случайных величин x и h.

---

Задача 11

Составить двумерный закон распределения случайной
величины (X,Y), если известны законы независимых составляющих. Чему равен коэффициент
корреляции r_xy?

X	20	25	30	35
P	0.1	0.1	0.4	0.4

и

---

Задача 12

Задано
распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (X,Y):

XY	0	1	2
-1	?	0,1	0,2
1	0,1	0,2	0,3

---

Задача 13

Совместное
распределение двух дискретных случайных величин ξ и η задано таблицей:

ξη	-1	1	2
0	1/7	2/7	1/7
1	1/7	1/7	1/7

Вычислить
ковариацию cov(ξ-η,η+5ξ). Зависимы ли ξ и η?

---

Задача 14

Рассчитать
коэффициенты ковариации и корреляции на основе заданного закона распределения
двумерной случайной величины и сделать выводы о тесноте связи между X и Y.

XY	2,3	2,9	3,1	3,4
0,2	0,15	0,15	0	0
2,8	0	0,25	0,05	0,01
3,3	0	0,09	0,2	0,1

---

Задача 15

Задан
закон распределения случайного вектора (ξ,η). Найдите ковариацию (ξ,η)
и коэффициент корреляции случайных величин.

xy	1	4
-10	0,1	0,2
0	0,3	0,1
20	0,2	0,1

---

Задача 16

Для
случайных величин, совместное распределение которых задано таблицей
распределения. Найти:

а) законы
распределения ее компонент и их числовые характеристики;

b) условные законы распределения СВ X при условии Y=b и СВ Y при
условии X=a, где a и b – наименьшие значения X и Y.

с)
ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y;

d) составить матрицу ковариаций и матрицу корреляций;

e) вероятность попадания в область, ограниченную линиями y=16-x² и y=0.

f) установить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми;
коррелированными.

XY	-1	0	1	2
-1	0	1/6	0	1/12
0	1/18	1/9	1/12	1/9
2	1/6	0	1/9	1/9

---

Задача 17

Совместный
закон распределения случайных величин X и Y задан таблицей:

XY	0	1	3
0	0,15	0,05	0,3
-1	0	0,15	0,1
-2	0,15	0	0,1

Найдите:

а) закон
распределения случайной величины X и закон распределения
случайной величины Y;

б) EX, EY, DX, DY, cov(2X+3Y, X-Y), а
также математическое ожидание и дисперсию случайной величины V=6X-8Y+3.

---

Задача 18

Известен
закон распределения двумерной случайной величины (X,Y).

а) найти
законы распределения составляющих и их числовые характеристики (M[X],D[X],M[Y],D[Y]);

б)
составить условные законы распределения составляющих и вычислить
соответствующие мат. ожидания;

в)
построить поле распределения и линию регрессии Y по X и X по Y;

г)
вычислить корреляционный момент (коэффициент ковариации) μ_xy и
коэффициент корреляции r_xy.

	5	20	35
100	—	—	0.05
115	—	0.2	0.15
130	0.15	0.35	—
145	0.1	—	—-