Как найти распределительное свойство умножения 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 9

Распределительный закон

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

– распределительный закон умножения;

– общий множитель.

Тезаурус

Раскрытие скобок – это замена выражения со скобками на равное ему выражение без скобок, а также от произведений числа и разности – к разности произведений.

Вынесение общего множителя за скобки – это замена суммы произведений к произведению числа и суммы, а также от разности произведений к произведению числа и разности.

Распределительный закон умножения: чтобы число умножить на сумму двух чисел, надо это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика: 5 класс. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
2. Потапов М. К. Математика. Книга для учителя. 5-6 классы. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2010.- 256 с.

Дополнительная литература

1. Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5-6 классы. // Составитель Т. А. Бурмистрова – М.: Просвещение, 2014.- 80 с.
2. Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 класс. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2010.- 118 с.
3. Чесноков А. С. Дидактические материалы по математике 5 класс. // А. С. Чесноков, К. И. Нешков. – М.: Академкнига, 2014.- 124 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Для любых чисел а, b и с верно равенство:

а ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ с

Оно выражает распределительный закон умножения: чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Посмотрим, как можно применить этот закон на практике.

Вычислим и сравним значения выражений 4 ∙ (3 + 5) и 4 ∙ 3 + 4 ∙ 5.

Решение:

4 ∙ (3 + 5) = 4 ∙ 8 = 32

4 ∙ 3 + 4 ∙ 5 = 12 + 20 = 32

Оба выражения имеют одинаковое значение, поэтому можно сделать вывод, что распределительный закон справедлив.

4 ∙ (3 + 5) = 4 ∙ 3 + 4 ∙ 5 = 32

Отметим, что распределительный закон верен не только для двух, но и для любого числа слагаемых. Например, верно следующее равенство:

4 ∙ (5 + 6 + 7 + 8) = 4 ∙ 5 + 4 ∙ 6 + 4 ∙ 7 + 4 ∙ 8

Кроме того, если b больше или равно с (b ≥ c), то верно равенство:

а ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ с

Например: 7 ∙ (9 – 5) = 7 ∙ 9 – 7 ∙ 5.

Говорят, что в произведениях 4 ∙ (3 + 5) и 7 ∙ (9 – 5) раскрыли скобки и получили соответствующую сумму 4 ∙ 3 + 4 ∙ 5 и разность 7 ∙ 9 – 7 ∙ 5.

Переход от произведений числа и суммы и числа, и разности соответственно к сумме произведений и разности произведений называют раскрытием скобок.

а ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ с

а ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ с

Переход от суммы произведений к произведению числа и суммы и от разности произведений к произведению числа и разности соответственно называют вынесением общего множителя за скобки.

a ∙ b + a ∙ с = а ∙ (b + c)

a ∙ b – a ∙ с = а ∙ (b – c)

Вынесение общего множителя за скобки позволяет упрощать вычисления.

Например, вычислим:

1. 27 ∙ 41 + 27 ∙ 59 = 27 ∙ (41 + 59) = 27 ∙ 100 = 2700
2. 55 ∙ 67 – 55 ∙ 66 = 55 ∙ (67 – 66) = 55 ∙ 1 = 55
3. 356 ∙ 73 + 644 ∙ 27 + 73 ∙ 644 + 27 ∙ 356 = 73 ∙ (356 + 644) + 27 ∙ (644 + 356) = 73 ∙ 1000 + 27 ∙ 1000 = 1000 ∙ (73 + 27) = 1000 ∙ 100 = 100000

Любое из чисел a, b и с в равенствах а ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ с и а ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ с (если b ≥ c) может быть нулём, поэтому распределительный закон верен и для целых неотрицательных чисел.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Вычислите, используя распределительный закон 125∙(8+ 10).

Решение: для вычисления значения данного выражения раскроем скобки 125∙(8+ 10)=125∙8+ 125∙10= 1000+ 1250= 2250.

Ответ: 2250.

№ 2. Найдите значение выражения 5 ∙ 38 – 30 ∙ 5. Выберите правильный ответ.

Варианты ответа: 40; 45; 42; 35.

Решение: для вычисления значения данного выражения, применим распределительный закон умножения. Вынесем общий множитель 5 за скобки:

5 ∙ 38 – 30 ∙ 5 = 5 ∙ (38 – 30) = 5 ∙ 8 = 40

Ответ: 40.

Краткое описание

Используемый в школе распределительный закон умножения позволяет ученикам максимально быстро выполнить все необходимые вычисления. Знание определенных нюансов поможет решить сложные уравнения и различные задачи. Процесс умножения представляет собой сокращенный процесс сложения. А это означает, что первый множитель выступает в роли числа, которое складывается само с собой определенное количество раз, соответствующее второму множителю. Пример: 4 * 8 = 4+4+4+4+4+4+4+4 = 32.

Элементарное математическое умножение было изобретено в то время, когда у человечества возникла необходимость выполнять большие вычисления, которые просто неудобно записывать в виде элементарного сложения. Всем хорошо известно, что можно 8 раз сложить число 4, а можно 4 раза сложить число 8, но итоговый результат от этого не поменяется. Именно в этом и состоит смысл переместительного умножения всех задействованных элементов. Умножение позволило человеку решить довольно много проблем, но вместе с этим в алгебру пришло и деление, но уже как противоположная математическая операция.

Ключевые особенности

Чтобы даже на начальном этапе ученик мог выполнить умножение суммы некоторых чисел, необходимо просто умножить каждое слагаемое по отдельности и сложить полученный результат. К примеру: (j + d) * s = sj + sd либо s * (j + d) = sj + sd. Чтобы немного упростить способ решения задачи, описанное правило можно использовать в обратном порядке: s * j + s * d = s * (j + d). В этом случае общий множитель выносится за пределы скобок.

Если попробовать задействовать многофункциональное распределительное свойство сложения, то в итоге можно будет решить следующие математические примеры:

• Классическая задача: 35 * 6. Следует представить число 35 как сумму двух чисел 30 и 5, которую просто нужно перемножить на 6: (30 + 5) * 6. Все вычисления выполняются элементарно: 30 * 6 + 5 * 6 = 210.
• Еще один пример: 4 * (20 + 13). Для решения нужно умножить число 4 на каждое задействованное слагаемое: 4 * 20 + 4 * 13. Сложение примет следующий вид: 80 + 52 = 132.
• Также следует рассмотреть более сложный пример: 8 * (45 — 3). Необходимо перемножить на число 9 уменьшаемое 45, а также вычитаемое 3. Пример: 8 * 45 — 8 * 3. Если все сделать верно, то итоговый результат примет следующий вид: 360 — 24 = 336.

Умелое применение распределительного свойства умножения поможет избежать распространенных ошибок. Так, основное правило актуально не только по отношению к сумме, но и к разности двух и более выражений. Для укрепления полученных навыков можно попробовать самостоятельно придумать задачу.

Основные математические возможности

Чтобы можно было выполнить определенные арифметические действия по отношению к числу, необходимо поочередно умножить его на каждое слагаемое и в итоге сложить полученные произведения. А это значит, что для любых частных чисел l, r, w верным будет следующее равенство: w * (l + r) = w * l + w * r. Этот пример отлично выражает распределительный закон сложения и последующего умножения. Так как число и сумма являются множителями, то после смены их места расположения, задействовав для этого переместительное свойство, можно будет сформировать наиболее подходящее свойство.

Всего специалисты выделяют три свойства распределительного умножения:

• Элементарное сочетательное. Именно это свойство применяется для тех примеров, где используется минимум 3 множителя. Основная мысль сочетательного свойства в том, что можно легко перемножить первые два множителя, а только потом умножить результат на третий множитель. Стоит учесть, что порядок перемножения может быть абсолютно любым.
• Переместительное. Произведение не меняется от перемены мест множителя. Для примера из двух множителей это свойство не является критичным, но для заданий с тремя и более множителями это направление может сэкономить много свободного времени.
• Распределительное. В математике это свойство получило большой спрос для умножения числа на сумму либо разность. Распределительный подход сокращает время решения задачи при правильном подходе. Суть свойства в том, что во время умножения числа на разность либо конкретную сумму можно каждое слагаемое умножить на основное число, а уже потом выполнить сложение.

Все перечисленные направления имеют свои особенности и правила использования на практике, которые обязательно нужно учесть для лучшего усвоения этой темы.

Правила вычитания

Умножение и последующее вычитание натуральных чисел обязательно связывается распределительным свойством. Учащимся обязательно нужно запомнить формулировку этого правила: умножить определенную разность двух рациональных чисел на конкретное число — это вычитание из произведения уменьшаемого числа произведения данного или неизвестного вычитаемого числа. Все математические примеры записываются при помощи обычных букв: (s — r)* n = s * n — r * n. Задействованными символами могут называться определенные рациональные целые и дробные числа.

Элементарные примеры распределительного свойства умножения позволяют ученикам освоить технику решения распространенных математических задач. Если необходимо убедиться в равенстве уравнения 5 * (8 — 3) = 5 * 8 — 5 * 3, тогда нужно выполнить несколько арифметических действий. Так как пример 8 − 3 всегда равен 5, то произведение 5 * (8 — 3) всегда будет иметь следующий результат: 5 * 5 = 5+5+5+5+5=25. Теперь нужно вычислить разность между 5 * 8 и 5 * 3. Решение выглядит следующим образом: 5 * 8 − 5 * 3 = (5+5+5+5+5+5+5+5) — (5+5+5) = 40 — 15 = 25. Это значит, что равенство 5 * (8 − 3) = 5 * 8 − 5 * 3.

Использование двух и более слагаемых

Распространенное в алгебре распределительное свойство элементарного умножения активно применяется не только по отношению к двум слагаемым, но и для неограниченного количества арифметических элементов. Этот подход можно применить для всех форм дробей, что очень удобно. Стандартная формула имеет следующий вид:

• d x (e + t + h) = d x e + d x t + d x h .
• d x (e — t — h) = dxe — dxt — dxh.

В качестве примера следует рассмотреть следующее уравнение: 678 * 4. Чтобы понять все нюансы, надо представить число 678 как сумму трех чисел: 600, 70 и 8. Если это сделать, то в итоге можно получить следующее решение: (600 + 70 + 8) * 4 = 600 * 4 + 70 * 4 + 8 * 4 = 2400 + 280 + 32 = 2712. Для более быстрого решения задачи нужно упростить несколько выражений, используя для этого упомянутое ранее свойство.

Если в качестве примера взять уравнение 8 * (4х + 3у), тогда первым делом раскрывают имеющиеся скобки, применяя для этого распределительный закон умножения: 8 * 4х + 8 * 3у = 32х + 24у. Конечно, полученный результат сложить просто невозможно, так как заявленные слагаемые не являются подобными, к тому же они имеют разную буквенную часть. Именно поэтому ответ будет выглядеть следующим образом: 32х + 24у.

Если ученик научится использовать при решении различных примеров универсальное распределительное свойство сложения и умножения, то в итоге он сможет легко решать даже самые сложные математические примеры, так как многие ситуации можно свести к устному счету. Также будет существенно экономиться время при решении многоуровневых задач. Благодаря полученным знаниям, можно будет с легкостью упростить выражения. Эксперты рекомендуют дважды проверять выполненную работу, так как только в этом случае можно будет избежать ошибок.

Умножение нуля

Несмотря на то что ноль не относится к категории естественных чисел, этому направлению тоже нужно уделить повышенное внимание. Это связано с тем, что такое свойство используется во время умножения натуральных чисел столбиком. Если строго соблюдать смысл умножения, тогда произведение 0 * х, где х выступает в роли произвольного естественного числа больше единицы, представляет собой сумму х слагаемых. В такой ситуации актуальной является следующая формула: 0 * х = 0+0+0+0+….+0. Свойства математического сложения позволяют специалистам утверждать, что последняя сумма неизбежно будет равна нулю.

Чтобы иметь возможность сохранить справедливость элементарного умножения используемого числа на единицу, можно считать верным следующее равенство: 0 * 1 = 0. Это значит, что для любого естественного числа х выполняется равенство 0 * х = 0. Чтобы оставалось актуальным переместительное свойство умножения, нужно помнить о справедливости равенства х * 0 = 0 для всех натуральных чисел х.

Произведение естественного числа и нуля равно нулю 0 * х = 0, а также х * 0 = 0. Используемый x представляет собой произвольное натуральное число. Экспертами было доказано, что последнее утверждение играет важную роль формулировки свойства умножения ранее полученного числа и нуля. К примеру, произведение чисел 87 и 0 равно нулю. Если попробовать умножить 0 на 897689, то в итоге тоже получим ноль.

Распределительное свойство относительно разности

Правильное решение математических уравнений возможно только в том случае, если ученик предварительно хорошо изучил теоретическую часть этой темы. Чтобы выполнить элементарное умножение разности на число, необходимо предварительно умножить на него уменьшаемое, а только после этого — вычитаемое, и выполнить вычисление полученных результатов. Пример: g x (y — u) = g x y — g x u или (y — u) x g = g x y — g x u .

Понять все нюансы помогут следующие три примера:

• Для решения уравнения 78 * (12 — 5) принято использовать распределительный закон. Первым делом умножают 78 на оба числа: 78 * 12 — 78 * 5. Необходимо отыскать разность полученных значений: 936 — 390 = 546 и записать полученный результат. Ответ: 546.
• Следующий пример: 78 * 5. Нужно найти значение математического выражения, используя для этого ранее изученные свойства. Следует представить 78 как разность двух чисел 83 и 5. Решение будет выглядеть следующим образом: 78 * 5 = (83 − 5) * 5 = 83 * 5 − 5 * 5 = 390.
• Еще один арифметический пример: 9 * (2 + 30). Решение этого уравнения довольно простое: 9 * 2 + 9 * 30 = 18 + 270 = 288.

Решать такие задачи элементарно и быстро, но для этого нужно хорошо усвоить все правила, а также рекомендации специалистов, так как только в этом случае можно будет избежать грубых ошибок.

Манипуляции с натуральным числом

Этот раздел связан с умножением единицы на конкретное число. Если следовать смыслу умножения, то в итоге произведение изучаемого арифметического выражения х будет равно сумме х слагаемых, каждое из которых тоже равно единице. Действует элементарная формула: 1 * х = 1+1+1+….+1 = х. Пример: произведение чисел 1 и 78 равно 78, а результатом умножения 1 и 456 есть число 456.

Произведение х * 1 лишено какого-либо смысла, так как это арифметическое выражение представляет собой сумму одного слагаемого, которое равно число х, но сложение определяют для двух и более слагаемых. Чтобы сохранить справедливое переместительное свойство поэтапного умножения, нужно считать верным равенство х * 1 = х.

Опытные математики утверждают, что произведение двух разных чисел, одно из которых приравнивается к нулю, равно другому числу. Это утверждение выступает в качестве официальной формулировки умножения единицы и определенного числа. При помощи букв это свойство записывается так: 1 * х = х * 1 = х. За основу могут использоваться любые натуральные числа.

Многим может показаться, что сегодня нет необходимости разбираться во всех свойствах распределительного умножения, так как под рукой всегда есть калькулятор. Но даже у программ существуют свои ограничения, что просто недопустимо в банковской отрасли и правительственных отраслях. Именно поэтому бухгалтеры в обязательном порядке изучают все особенности применения распределительного закона умножения.

Свойства умножения

• Переместительное свойство умножения
• Сочетательное свойство умножения
• Распределительное свойство умножения

Переместительное свойство умножения

От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.

Следовательно, для любых чисел  a  и  b  верно равенство:

a · b = b · a,

выражающее переместительное свойство умножения.

Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.

Сочетательное свойство умножения

Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  c  верно равенство:

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),

выражающее сочетательное свойство умножения.

Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:

25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500.

В данном случае можно было вычислить всё последовательно:

25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500,

но проще и легче сначала умножить  25  на  4  и получить  100,  а уже потом умножить  100  на  15.

Распределительное свойство умножения

Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  m  верно равенство:

m · (a + b) = m · a + m · b,

выражающее распределительное свойство умножения.

Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  m  верно равенство:

(a + b) · m = a · m + b · m.

Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  m  верно равенство:

m · (a – b) = m · a – m · b.

Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  m  верно равенство:

(a – b) · m = a · m – b · m.

Переход от умножения:

m · (a + b)    и    m · (a – b)

соответственно к сложению и вычитанию:

m · a + m · b    и    m · a – m · b

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

m · a + m · b    и    m · a – m · b

к умножению:

m · (a + b)    и    m · (a – b)

называется вынесением общего множителя за скобки.

Представим себе такую историю…

– 3 умножить
на 2 и умножить на 12… так, так, так… Получается 72, – считал Саша.

– Саша, что ты там считаешь? – спросил у
друга Паша.

– Папа привёз мне 3 коробки с шоколадными
плитками, в каждой коробке по 2 плитки, а в каждой плитке по 12 долек. Мне
стало так интересно, это же сколько шоколадных долек я съем. Представляешь,
получилось 72
шоколадные дольки, – радовался Саша.

– Здорово! – сказал Паша. – Но я бы посчитал
дольки по-другому. Смотри, у тебя есть 3 коробки, а в каждой коробке 2 шоколадные
плитки по 12 шоколадных долек каждая… Посчитаем… тоже получается, что у тебя 72 шоколадные дольки.

– Как же это так? – задумался Саша. – Мы с
тобой считали совсем по-разному, а количество долек получилось одинаковое.
Разве может быть такое?

– Не знаю, – ответил Паша, – но точно знаю,
кто может нам помочь!

– Ребята, прежде чем я вам объясню, почему у
вас получилось одинаковое количество шоколадных долек, давайте немного
разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Электроша.

– Давайте сверимся! Посмотрите, что у вас
должно было получиться!

– А теперь вернёмся к вашему вопросу, –
продолжил Электроша. – Чтобы посчитать количество
шоколадных долек, Саша 3 умножил на 2 и тем самым выяснил сколько шоколадных
плиток ему привёз папа. А так как в каждой шоколадной плитке по 12 долек, то
Саша полученное произведение умножил на 12. И получил, что всего у него 72
шоколадные дольки.

– Точно, Электроша!
Я так и считал, – подтвердил Саша.

– В свою очередь, Паша решил посчитать
количество шоколадных долек другим способом. Он 3 умножил на произведение 2 и 12,
так как в трёх коробках будет по 2 умножить на 12 шоколадных долек. И тоже
получил, что всего 72 шоколадные дольки.

– Да,
именно таким способом я считал, – сказал Паша.

– Вы заметили, что способы подсчёта разные, а
в результате получается одно и то же число – 72, – продолжил Электроша. – А почему так случилось? Да потому, что оба
способа подсчёта верны и показывают нам очередное свойство умножения, которое
называется сочетательное свойство умножения.

Запомните! Чтобы произведение двух чисел умножить на
третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего
чисел.

В буквенном виде это свойство записывают так: .

Сочетательное свойство умножения разрешает в
произведении ставить скобки и объединять множители как удобнее.

– Вот, например, давайте найдём значение
выражения: , – предложил ребятам Электроша.

– Электроша, это
сложный пример, – задумались мальчишки, – в уме нам такой не решить. Сначала
нужно умножить 737 на 25, а потом ещё и на 4. Без калькулятора тут нам не
обойтись.

– Ребята, пример кажется сложным только на
первый взгляд, – подбодрил ребят Электроша. – Давайте
применим сочетательное свойство умножения и возьмём в скобки множители 25 и 4.
Смотрите, произведение 25 и 4 совсем не сложно найти в уме, оно равно 100.
Останется посчитать, чему будет равно произведение 737 и 100.

–
Получится 73 700, –
сказали мальчишки.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Вы заметили, как быстро мы справились с
решением примера?

– Да… мы решили его за 5 секунд, – радовались
мальчишки.

– Польза от сочетательного свойства умножения
будет ещё больше, если применить его вместе с переместительным свойством. И
помните, прежде чем начать вычисления, нужно всегда подумать, как это сделать
проще!

– Давайте решим вот такой пример: .

– Сначала воспользуемся переместительным
свойством умножения и переставим местами множители 5 и 824, – начал Паша. – А
потом применим сочетательное свойство умножения и заключим в скобки множители 5
и 20.

– 5 умноженное на 20 равно 100, – продолжил
Саша. – А теперь 824 умножим на 100. Получим 82 400.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – А теперь давайте решим вот такую задачку: Саша
за 1 минуту может решить 3 примера, а Паша за это же время может решить 4 примера.
Сколько примеров решат за 5 минут Саша и Паша вместе?

– Электроша, это же
задача про нас! – обрадовались ребята.

– В задаче сказано, что я могу решить 3 примера
за 1 минуту, – начал Саша. – Значит, за 5 минут я могу решить 5 умножить на 3 примеров.

– А я за 1 минуту могу решить 4 примера, –
продолжил Паша. – Тогда за 5 минут я смогу решить 5 умножить на 4 примеров.

–
Осталось сложить наши решённые примеры, – сказали мальчишки. – И получим, что за 5 минут мы
вместе можем решить 35 примеров.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Но эту же задачу можно было решить и другим
способом. Смотрите, за 1 минуту вы можете вместе решить 3 + 4 примеров. Тогда
за 5 минут вы вместе решите 5 умноженное на сумму 3 и 4. Посчитаем… тоже
получаем 35 примеров.

Посмотрите, правые части наших равенств
равны, значит, будут равны и левые части. Получаем равенство, которое
иллюстрирует распределительное свойство умножения относительно сложения.

Запомните! Чтобы число умножить на сумму двух чисел,
можно это число умножить на каждое из слагаемых и полученные произведения
сложить.

В буквенном виде это свойство записывают так: .

Из распределительного свойства умножения
относительно сложения следует, что это равенство справедливо и справа налево: .

Кстати, распределительное свойство умножения
относительно сложения справедливо для трёх и более слагаемых.

–
Напомните мне, какую формулу мы применяем для нахождения периметра
прямоугольника, –
спросил у ребят Электроша.

– , – ответили мальчишки.

– Молодцы! Применяя распределительное
свойство умножения относительно сложения, формулу для нахождения периметра
прямоугольника можно записать и в таком виде: 𝑃=2𝑎+2𝑏=2(𝑎+𝑏).

– Распределительное свойство умножения
действует и относительно вычитания, – продолжил Электроша.

Запомните! Чтобы число умножить на разность двух чисел,
можно это число умножить на уменьшаемое и вычитаемое и
из первого произведения вычесть второе.

В буквенном виде это свойство записывают так: . Равенства справедливы для всех натуральных чисел при или .

– Давайте решим вот такой пример: , – предложил Электроша.

– Электроша, но тут
какие-то сложные вычисления получаются, – расстроился Саша.

– Тут совсем нет ничего сложного, – подбодрил
Сашу Электроша. – Применяя распределительное свойство
умножения относительно вычитания, мы можем записать это выражение как 4 умножить
на 250 минус 4 умножить на 25. Ну а теперь вы можете вычислить?

– Да, – обрадовались мальчишки. – Первое
произведение равно 1000, второе – 100. Тогда разность произведений будет равна 900.

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы
всё поняли, и выполним задание.

Задание первое: вычислите наиболее удобным
способом:

а) ;

б) ;

в) .

Решение: первое выражение: . Применим переместительное свойство умножения и поменяем местами второй
и третий множители. Затем применим сочетательное свойство умножения и заключим
в скобки первый и второй множители. Тогда в скобках получим 10. Осталось 10 умножить
на 497. В результате получим 4970.

Следующее выражение: . Применим распределительное свойство умножения относительно сложения
(справа налево). Получим произведение 209 и суммы чисел 19 и 81. В скобках
получаем 100. 209 умножим на 100. В результате получим 20 900.

И последнее выражение: . Применим распределительное свойство умножения относительно вычитания.
Получим произведение 28 и разности чисел 160 и 60. В скобках получаем 100.
Тогда 28 умножим на 100. В результате получим 2800.