Как найти расстояние до ортоцентра треугольника

Ортоцентр – это точка пересечения высот треугольника.

Рассмотрим остроугольный треугольник ABC:
O – ортоцентр,
∠ BAC = a,
∠ ABC = b,
∠ ACB = c.

Утверждения.
1. Треугольник ABC подобен треугольнику, образованному вершиной B и основанием двух высот:
Δ ABC ∼ Δ H₃BH₂,
коэффициент подобия:
H₃B / AB = H₂B / CB = H₃H₂ / AC = cos b.

2. Соотношение отрезков, на которые ортоцентр делит высоту, можно вычислить по формуле:
BO / OH₁ = cos b / (cos a * cos c).

3. Высоты треугольника можно вычислить по формуле:
BH₁ = AC * sin a * sin c / sin b.

4. Расстояние от ортоцентра до вершины треугольника:
OB = AC / tg b.

5. 1 / BH₁ + 1 / CH₂ + 1 / AH₃ = 1 / r,
r – радиус вписанной окружности.

Докажем эти утверждения.
1.

В треугольнике ABC проведены высоты BD и CE.
Докажем, что треугольник ABC подобен треугольнику ADE.

Решение.
Рассмотрим Δ ABD:
cos A = AD / AB.
Рассмотрим Δ ACE:
cos A = AE / AC.
Таким образом,
cos A = AD / AB = AE / AC.
Значит, Δ ABC ∼ Δ ADE по двум сторонам и углу между ними.

2.

Диагонали трапеции ABCD пересекаются под прямым углом.
CH – высота, проведенная к большему основанию AD.
∠ CAD = a,
∠ ACD = c,
∠ ADC = d.
Найдем отношение, в котором диагональ трапеции делит высоту CH.

Решение.
Пусть K – точка пересечения диагоналей трапеции,
O – точка пересечения диагонали BD и высоты CH. 
Найдем соотношение CO / OH.

Δ BOC подобен Δ DOH по двум углам,
так как ∠ BCO = ∠ DHO = 90,
∠ BOC = ∠ DOH как вертикальные.
Значит,
CO / OH = BC / DH. (*)

Рассмотрим Δ CKD:
KC = CD * cos c.
Рассмотрим Δ BCK:
BC = KC / cos a = (CD * cos c) / cos a.
Рассмотрим Δ CHD:
HD = CD * cos d.

Из (*) и последних трех равенств получаем:
CO / OH = BC / DH =
( (CD * cos c) / cos a ) : (CD * cos d) =

Таким образом, мы нашли соотношение отрезков, на которые ортоцентр O треугольника ABD делит высоту CH:

3.

Найдем расстояние от ортоцентра треугольника до его вершины, и высоту, проведенную из этой вершины, если известны углы треугольника и противолежащая сторона.

Решение.
Рассмотрим треугольник ABC.
O – ортоцентр.
∠ BAC = a,
∠ ABC = b,
∠ ACB = с,
также известна величина стороны AC. 
Найдем BH и OB.

Обозначим AH за x, тогда HC = AC – x.

Рассмотрим Δ AHB:
BH = x * tg a.
Рассмотрим Δ CHB:
BH = (AC – x) * tg c.

Таким образом,
BH = x * tg a = (AC – x) * tg c.

Рассмотрим Δ AHB:

Таким образом высоту можно вычислить по формуле, 

4.
Найдем теперь расстояние от вершины B до ортоцентра.

Так как BH = BO + OH, получаем:

Выражаем из уравнения (1) OH и подставляем в уравнение (2):

Значит, расстояние от ортоцентра до вершины можно вычислить по формуле: 

5.
1 / BH₁ + 1 / CH₂ + 1 / AH₃ = 1 / r.

Площадь треугольника ABC можно вычислить по формуле:
S = ½ * AC * BH₁ = ½ * AB * CH₂ = ½ * BC * AH₃,

Значит,
BH₁ = 2S / AC
CH₂ = 2S / AB
AH₃ = 2S / BC

1 / BH₁ = AC / 2S
1 / CH₂ = AB / 2S
1 / AH₃ = BC / 2S

1 / BH₁ + 1 / CH₂ + 1 / AH₃ = (AC + BC + AB) / 2S = p / S, (*)
где p – полупериметр.

Еще одна формула площади треугольника:
S = p * r,

откуда r = S / p
1 / r = p / S.

Из (*) и последнего равенства получаем нужное нам равенство.

Содержание 👉

A simple polygon having three sides and three vertices are called a triangle. The intersection point of the three altitudes of a triangle is called the “orthocenter of a triangle,” and it is generally represented by the letter “H.” An altitude of a triangle is a line segment drawn from each vertex to the opposite side that is perpendicular to its opposite side. As a triangle has three vertices and three sides, it has three altitudes, and the point of intersection of these three sides is called the orthocenter. 

For every triangle, the position of the orthocenter varies; i.e; for an equilateral triangle, the orthocenter, circumcenter, incenter, and centroid are the same, but in the case of the other triangles,, the position will be different. 

• In the case of an acute-angled triangle, the orthocenter lies inside the triangle.
• In the case of an obtuse-angled triangle, the orthocenter lies outside the triangle.
• In the case of a right-angled triangle, the orthocenter lies on the vertex of the right angle.

Determining the orthocenter of a triangle

Let’s consider a triangle ABC to determine the orthocenter of a triangle. AD, BE, and CF are the perpendiculars drawn from the vertices A (x₁, y₁), B (x₂, y₂), and C (x₃, y₃) to their respective opposite sides BC, AC, and AB and “H” is the point of their intersection.

Step 1: Calculate the slopes of the sides of the triangle ABC using the slope formula;

m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

Let the slope of the AB be m_AB.

m_AB = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

Let the slope of the BC be m_BC

So, m_BC = (y₃ – y₂)/(x₃ – x₂)

Step 2: Using the slopes of the sides of a triangle, find the slopes of altitudes.

We know that the altitude is perpendicular to the side. 

Product of slopes of two perpendicular slopes lines = m₁ × m₂ = -1 

So, the slope of the altitude = -1/slope of the side = -1/m

Now, the slopes of the respective altitudes CF and AD are,

m_CF = -1/m_AB

m_AD = -1/m_BC

Step 4: With the help of the point-slope form equation, find the equations of the altitudes using the slopes and the coordinates of the opposite vertices.

The equation of CF is (y – y₃) = m_CF(x – x₃)

The equation of AD is (y – y₁) = m_AD(x – x₁)

Step 4: Solve the equations of any two altitudes and the values of x and y obtained by solving both equations are the coordinates of the orthocenter of the triangle.

Sample Problems

Problem 1: Determine the coordinates of the orthocenter of a triangle whose vertices are A (3, 1), B (-5, 2), and C (0, 4).

Solution:

Given,

The vertices of a triangle are A (x₁, y₁) = (3,1), B (x₂, y₂) = (-5,2) and C (x₃, y₃) = (0,4)

Now, the slope of the side AB = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

⇒ m_AB = (2 – 1)/(-5 -3) = -(1/8)

The slope of the line perpendicular to AB i.e., slope of CF = -(1/slope of AB) = 8

So, the equation of the line CF with point C (0,4) and slope = 8 is y – y₃ = m(x – x₃) [point-slope form]

⇒ y – 4 = 8 (x – 0) 

⇒ y – 4 = 8x

⇒ 8x – y = -4 ⇢ (1)

Slope of the side BC = (y₃ – y₂)/(x₃ – x₂)

⇒ m_BC = (4 – 2)/(0 – (-5)) = 2/5

Now, the slope of the line perpendicular to BC i.e., the slope of AD = -(1/slope of BC) = -(5/2)

So, the equation of the line AD with point A (3,1) and slope = -(5/2) is y – y₁ = m(x – x₁) [point slope form]

⇒ y – 1 = -(5/2) (x – 3)

⇒ 2(y – 1) = -5(x – 3)

⇒ 2y – 2 = -5x + 15

⇒ 5x + 2y = 17 ⇢ (2)

Now, multiply the equation (1) with “2” on both sides and add both equations (1) and (2).

16x – 2y = -8

5x + 2y = 17

21x = 9 ⇒ x = 3/7

Now, substitute the value of x = 3/7 in equation (1)

⇒ 8(3/7) – y = -4

⇒ y = 24/7 + 4 = 52/7

Hence, the coordinates of the orthocenter (H) are (3/7, 52/7).

Problem 2:  Determine the coordinates of the orthocenter of a triangle whose vertices are A (5, -3), B (7, 0), and C (4, 9).

Solution:

Given,

The vertices of a triangle are A (x₁, y₁) = (5, -3), B (x₂, y₂) = (7, 0) and C (x_3, y₃) = (4, 9).

Now, the slope of the side AB = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

⇒ m_AB = (0 – (-3))/(7 – 5) = 3/2

The slope of the line perpendicular to AB i.e., slope of CF =  -(1/slope of AB) = -(2/3)

So, the equation of the line CF with point C (4, 9) and slope = -(2/3)  is y – y₃ = m(x – x₃) [point-slope form]

⇒ y – 9 = -(2/3) (x – 4)

⇒ 3(y – 9) = -2(x – 4)

⇒ 3y – 27 = -2x + 8

⇒ 2x + 3y = 35 ⇢ (1)

Slope of the side BC = (y₃ – y₂)/(x₃ – x₂)

⇒ m_BC = (9 – 0)/(4 – 7) = -(9/3) = -3

Now, the slope of the line perpendicular to BC i.e., the slope of AD = -(1/slope of BC) = 1/3

So, the equation of the line AD with point A (5, -3) and slope = 1/3 is y – y₁ = m(x – x₁) [point slope form]

⇒ y – (-3) = (1/3) (x – 5)

⇒ 3(y + 3) = x – 5

⇒ 3y + 9 = x – 5

⇒ x – 3y = 14 ⇢ (2)

Now, add equations (1) and (2)

2x + 3y = 35

x – 3y = 14

3x = 49  ⇒ x =49/3

Now, substitute the value of x = 49/3 in equation (2)

⇒ 49/3 – 3y = 14 ⇒ 3y = -1

⇒ y =7/9

Hence, the coordinates of the orthocenter (H) are (49/3, 7/9).

Problem 3: Find the orthocenter of a triangle whose vertices are A (2, -7), B (6, 3), and C (-8, 0).

Solution:

Given,

The vertices of a triangle are A (x₁, y₁) = (5, -3), B (x₂, y₂) = (7, 0) and C (x₃, y₃) = (4, 9)

Now, the slope of the side AB = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

⇒ m_AB = (3 – (-7))/(6 – 2) = 10/4 = 5/2

The slope of the line perpendicular to AB i.e., slope of CF = -(1/slope of AB) = -(2/5)

So, the equation of the line CF with point C (-8, 0) and slope = -(2/5)  is y – y₃ = m(x – x₃) [point-slope form]

⇒ y – 0 = -(2/5) (x – (-8))

⇒ 5y = -2(x + 8)

⇒ 5y = -2x -16

⇒ 2x + 5y = -16 ⇢ (1)

Slope of the side AC = (y₃ – y₁)/(x₃ – x₁)

⇒ m_AC = (0 – (-7))/(-8 – 2) = -(7/10)

Now, the slope of the line perpendicular to AC i.e., the slope of BE = -(1/slope of AC) = 10/7

So, the equation of the line BE with point B (6, 3) and slope = 10/7 is y – y₂ = m(x – x₂) [point slope form]

⇒ y – 3 = (10/7) (x – 6)

⇒ 7(y – 3) = 10(x – 6)

⇒ 7y – 21 = 10x – 60

⇒ 10x – 7y = 39 ⇢ (2)

Multiply equation (1) with “5” on both sides and subtract both equations.

10x + 25y = -80

10x – 7y = 39

(-)   (+)     (-)

——————

32y = -119 ⇒ y = – 119/32

Now, substitute the value of y = -119/32 in equation (1)

2x + 5(-119/32) = -16

⇒ 2x – 595/32 = -16 ⇒ 2x = 595/32 – 16

⇒ 2x = 83/32 ⇒ x = 83/64

Hence, the coordinates of the orthocenter (H) are (83/64, -119/32).

Problem 4: Find the orthocenter of a triangle whose vertices are A (6, 2), B (1, 1), and C (-4, 7).

Given,

The vertices of a triangle are A (x₁, y₁) = (6, 2), B (x₂, y₂) = (1, 1) and C (x₃, y₃) = (-4, 7).

Now, the slope of the side AC = (y₃ – y₁)/(x₃– x₁)

⇒ m_AC = (7 – 2)/(-4 – 6) = -(5/10) = -1/2

The slope of the line perpendicular to AC i.e., slope of BE = -(1/slope of AC) = 2

So, the equation of the line BE with point B (1,1) and slope = 2  is y – y₂ = m(x – x₂) [point-slope form]

⇒ y – 1 = 2(x – 1)

⇒ y – 1 = 2x – 2

⇒ 2x – y = 1 ⇢ (1)

Slope of the side BC = (y₃ – y₂)/(x₃ – x₂)

⇒ m_BC =(7 – 1)/(-4 – 1) = -(6/5)

Now, the slope of the line perpendicular to BC i.e., the slope of AD = -(1/slope of BC) = 5/6

So, the equation of the line BE with point A (6, 2) and slope = 10/7 is y – y₁ = m(x – x₁) [point slope form]

⇒ y – 2 = (5/6) (x – 6)

⇒ 6(y – 2) = 5(x – 6)

⇒ 6y – 12 = 5x – 30

⇒ 5x – 6y = 18 ⇢ (2)

Now, multiply equation (1) with “6” on both sides and subtract both equations.

12x – 6y = 6

5x – 6y = 18

(-) (+)     (-)

—————— 

7x = -12 ⇒ x = -12/7

Now, substitute the value of x = -12/7 in equation (1)

2(-12/7) – y = 1

⇒ y = -24/7 – 1 ⇒ y = -31/7

Hence, the coordinates of the orthocenter (H) are (-12/7, -31/7).

Problem 5: Determine the coordinates of the orthocenter of a triangle whose vertices are A (0,-5), B (3,-2), and C (-6, 0).

Given,

The vertices of a triangle are A (x₁, y₁) = (3,1), B (x₂, y₂) = (-5,2) and C (x₃, y₃) = (0,4)

Slope of the side BC = (y₃ – y₂)/(x₃ – x₂)

⇒ m_BC =(0 – (-2))/(-6 – 3) = -(2/9)

Now, the slope of the line perpendicular to BC i.e., the slope of AD = -(1/slope of BC) = (9/2)

So, the equation of the line AD with point A (3,1) and slope = (9/2) is y – y₁ = m(x – x₁) [point slope form]

⇒ y – (-5) = (9/2) (x – 0)

⇒ 2(y + 5) = 9x

⇒ 2y + 10 = 9x

⇒ 9x – 2y = 10 ⇢ (1)

Now, the slope of the side AB = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

⇒ m_AB = (-2 – (-5))/(3 – 0) = 3/3 = 1

The slope of the line perpendicular to AB i.e., slope of CF =  -(1/slope of AB) = -1

So, the equation of the line CF with point C (-6, 0) and slope = -1 is y – y₃ = m(x – x₃) [point-slope form]

⇒ y – 0 = (-1)(x – (-6))

⇒ y = -(x + 6)

⇒ y = -x – 6

⇒ x + y = -6 ⇢ (2)

Now, multiply equation (2) with “2” on both sides and add both equations.

9x – 2y = 10

2x + 2y = -12

11x = -2 ⇒ x = -2/11

Now, substitute the value of x = -2/11 in equation (2)

⇒ -2/11 + y = -6

⇒ y = -6 + 2/11 ⇒ y = -64/11

Now, by solving the equations of the lines AD and CF we get the coordinates of the orthocenter (H) are (-2/11, -64/11).

$newcommand{updownarrows}{uparrow!downarrow}$
$newcommand{tg}{mathop{rm tg}nolimits}$
$newcommand{ctg}{mathop{rm ctg}nolimits}$
$newcommand{sign}{mathop{rm sign}nolimits}$
$newcommand{arctg}{mathop{rm arctg}nolimits}$
$newcommand{arcctg}{mathop{rm arcctg}nolimits}$
$newcommand{deg}{^circ}$
$newcommand{a}{angle}$
$newcommand{archat}{arcbuildrel,,frownover}$
$newcommand{Vec}{overrightarrow}$

Ортоцентр

Теорема об ортоцентрической системе точек

Доказательство

Теорема

Доказательство

Теорема

Доказательство

Теорема

Доказательство

Теорема

Доказательство

Следствие

Высоты треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника
(следовательно, ортоцентр остроугольного треугольника является
центром окружности, вписанной в его ортотреугольник).

Теорема

Доказательство

Теорема

Доказательство

Первый случай: остроугольный треугольник

Второй случай: тупоугольный треугольник

Третий случай:прямоугольный треугольник

Теорема

Доказательство

Теорема

Доказательство

Следствие

Точки $Z$, $O$ и $H$ лежат на одной прямой, причем $H_{Z}^{-0,5}(H)=O$, в частности, $overrightarrow{ZH} = -2cdotoverrightarrow{ZO}$.

Теорема

Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем
расстояние от центра описанной окружности до противоположной
стороны.

Доказательство

Теорема

Доказательство

Теорема

Доказательство

Следствие

$OZ = dfrac{1}{3}sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$

$ZH = dfrac{2}{3}sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}$

Теорема

$HC = ABcdot|ctg{gamma}|$.

Доказательство

Ссылки

Теорема (расстояние между ортоцентром и инцентром)

$$HI = sqrt{4R^2-dfrac{a^3+b^3+c^3+abc}{2p}}.$$

Доказательство

Лемма 0

$$cos{alpha}cos{beta}cos{gamma} = dfrac{sin^2{alpha}+sin^2{beta}+sin^2{gamma}}{2}-1 = dfrac{a^2+b^2+c^2}{8R^2}-1$$

Лемма 1

Лемма 2

продолжение доказательства

Теорема

$$HI_a=sqrt{4R^2-dfrac{-a^3+b^3+c^3-abc}{2(p-a)}}$$

Доказательство

Лемма 3

продолжение доказательства

Ортоцентр
Высоты и ортоцентр
Барицентрические координаты
Трилинейные координаты
Код ЭЦТ	X(4)
Связанные точки
Изогонально сопряженная	центр описанной окружности
Дополнительная[es]	центр описанной окружности
Антидополнительная[es]	точка де Лоншама[en]

Ортоцентр (от др.-греч. ὀρθός «прямой») — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой . В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольном), вне его (в тупоугольном) или совпадать с вершиной (в прямоугольном — совпадает с вершиной при прямом угле). Ортоцентр относится к замечательным точкам треугольника и перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга как точка X(4).

Свойства[править | править код]

• Если в четвёрке точек , , , точка является точкой пересечения высот треугольника , то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют ортоцентрической системой точек (см. рис.).
  • Более того, при любом разбиении множества ортоцентрической системы точек на две пары, например, и или при любом другом подобном разбиении, всегда перпендикулярны образующиеся два отрезка прямых с концами в данных точках множеств (в нашем случае перпендикулярно ) независимо от выбора этих двух пар
  • Радиусы окружностей, проходящих через любые три точки ортоцентрической системы, равны (следствие теоремы Гамильтона для окружности Эйлера). Их часто называют окружностями Джонсона.
  • Последнее утверждение можно сформулировать так: Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих равные радиусы описанных окружностей (следствие теоремы Гамильтона для окружности Эйлера). При этом одинаковый радиус этих трех окружностей равен радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.

• Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
• Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
• Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют дополнительным треугольником по отношению к первому треугольнику.
• Последнее свойство можно сформулировать так: Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром дополнительного треугольника.
• Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности (см. рисунок)^[1].
• Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
• Если  — центр описанной окружности , то .
• При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.
• Любой отрезок, проведенный из ортоцентра до пересечения с описанной окружностью, всегда делится окружностью Эйлера пополам. Это следует из того, что ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей с коэффициентом .
• Четыре попарно пересекающиеся прямые, никакие три из которых не проходят через одну точку (четырёхсторонник), при пересечении образуют четыре треугольника. Их ортоцентры лежат на одной прямой (на прямой Обера).
• Если считать, что ортоцентр треугольника делит первую высоту на части длиной и , вторую высоту на части длиной и , третью высоту на части длиной и , тогда ^[4][5].
• Цепочка уравнений в последнем пункте: по сути означает, что три пары отрезков, на которые ортоцентр разделяет три высоты остроугольного треугольника, подчиняются правилу хорд, пересекающихся внутри окружности, например: . Отсюда автоматически следует то, что через четыре конца любых двух высот остроугольного треугольника всегда можно провести окружность (высоты в ней будут пересекающимися хордами). Оказывается, это утверждение сохраняет силу и для тупоугольного, и прямоугольного треугольников.
• Расстояние от стороны до центра описанной окружности равно половине расстояния от противоположной ей вершины до ортоцентра^[6][7].
• Сумма квадратов расстояний от вершин до ортоцентра плюс сумма квадратов сторон равна двенадцати квадратам радиуса описанной окружности^[8].
• Три основания высот остроугольного треугольника или три проекции ортоцентра на стороны треугольника образуют ортотреугольник.

• Трилинейной полярой ортоцентра является ортоцентрическая ось (Orthic axis) (см. рис.)

• Четыре ортоцентра четырёх треугольников, образованных четырьмя попарно пересекающимися прямыми, никакие три из которых не проходят через одну точку, лежат на одной прямой (Прямая Обера четырёхугольника). Здесь используются те же четыре треугольника, что и при построении точки Микеля.

• Существует формула Карно^[9]:

  ,

где , ,  — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон , , треугольника, , ,  — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин , , треугольника.

• Ортоцентрическая система. Здесь O₁, O₂, O₃ и O₄ — центры окружностей четырех возможных треугольников, образованных из ортоцентрических точек A₁, A₂, A₃ и A₄ (см. рис.). Три из них вершины исходного треугольника, а четвертая — его ортоцентр. Радиусы всех четырех окружностей равны. Центры трех из четырех окружностей (кроме описанной исходного треугольника) образуют вершины треугольника, равного исходному, со сторонами, попарно параллельными сторонам исходного треугольника.

• *Если прямая ℓ ортополюса P проходит через ортоцентр Q треугольника, то точка, расположенная на продолжении отрезка PQ, соединяющего ортополюс с ортоцентром, по другую сторону на расстоянии, равном PQ, лежит на окружности Эйлера этого треугольника.^[10]

История[править | править код]

Утверждение: «Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке», называемой теперь ортоцентром, в «Началах» Евклида отсутствует. Ортоцентр впервые в греческой математике использован в «Книге лемм» Архимеда, хотя явного доказательства существования ортоцентра Архимед не привёл.

Часть историков приписывает это утверждение Архимеду и называют его теоремой Архимеда^[11]. До середины девятнадцатого века, ортоцентр нередко называли архимедовой точкой^[12].

В явном виде это утверждение («Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке») встречается у Прокла (410—485) — комментатора Евклида^[13].

Другие историки математики считают автором первого доказательства Уильяма Чеппла  (англ.) (рус. (Miscellanea Curiosa Mathematica, 1749 год)^[14].

Термин ортоцентр впервые был использован У. Х. Безантом  (англ.) (рус. в работе «Конические сечения, исследованные геометрически (1869)» (^[15])^[16].

См. также[править | править код]

• Высота треугольника
• Высота (геометрия)
• Замечательные точки треугольника
• Центр вписанной окружности
• Ортотреугольник
• Ортоцентроидная окружность
• Центроид

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 37—39. — ISBN 5-94057-170-0.
• Nathan Altshiller-Court. College geometry : an introduction to the modern geometry of the triangle and the circle. — Dover Publications, Inc., 2007. — ISBN 0-486-45805-9.
• Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. — Mathematical Association of America, 1995. — Vol. 37. — P. 17—26. — (New Mathematical Library). — ISBN 0-88385-639-5 (Vol. 37). — ISBN 0-88385-600-X (complete set).

Ссылки[править | править код]

• Живой чертёж
• Weisstein, Eric W. Orthocenter (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Bernard Gibert Circumcubic K006 (недоступная ссылка)
• Clark Kimberling, «Encyclopedia of triangle centers».
• Weisstein, Eric W. «Orthocentric System.» From MathWorld–A Wolfram Web Resource. [1]

Например, имеются следующие данные точек:
А – 4,3;
В – 0,5;
С – 3,-6.

Первое , что необходимо найти наклон сторон, который обозначается – m , используется формула :

Из этого следует:

Далее необходимо найти наклон перпендикулярных сторон, для этого используется формула:

Имеем:

Когда найден наклон перпендикуляров, можно использовать уравнение линий, например, для линии AD, где точка 4,3, а наклон равен 3/11:

y-y1 = m(x-x1) y-3 = 3/11(x-4)

С помощью упрощения, имеем: 3х – 11у=-21
Для линии ВЕ, где точка 0,5, а наклон -1/9, имеем

Упрощение дает: х+9у=45.
И последние линии CF, где точка 3, -6, а наклон 2, имеем уравнение y+6 = 2(x-3).
И упрощение, 2x — y = 12.
Если решить два из трех уравнений будут найдены значения х и у. Для данного примера:
Значение х = 8,05263;
Значение у = 4,10526.
Которые в данном случае являются координатами искомого Ортоцентра.