Решение задач по математике у учащихся часто сопровождается многими трудностями. Помочь учащемуся справиться с этими трудности, а так же научить применять имеющиеся у него теоретические знания при решении конкретных задач по всем разделам курса предмета «Математика» – основное назначение нашего сайта.
Приступая к решению задач по теме «Расстояние между двумя точками на плоскости», учащиеся должны уметь строить точку на плоскости по ее координатам, а так же находить координаты заданной точки.
Вычисление расстояния между взятыми на плоскости двумя точками А(хА; уА) и В(хВ; уВ), выполняется по формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2), где d – длина отрезка, который соединяет эти точки на плоскости.
Если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а другой имеет координаты М(хМ; уМ), то формула для вычисления d примет вид ОМ = √(хМ2 + уМ2).
1. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек
Пример 1.
Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).
Решение.
В условии задачи дано: хА = 2; хВ = -4; уА = -5 и уВ = 3. Найти d.
Применив формулу d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2), получим:
d = АВ = √((2 – (-4))2 + (-5 – 3)2) = 10.
2. Вычисление координат точки, которая равноудалена от трех заданных точек
Пример 2.
Найти координаты точки О1, которая равноудалена от трех точек А(7; -1) и В(-2; 2) и С(-1; -5).
Решение.
Из формулировки условия задачи следует, что О1А = О1В = О1С. Пусть искомая точка О1 имеет координаты (а; b). По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) найдем:
О1А = √((а – 7)2 + (b + 1)2);
О1В = √((а + 2)2 + (b – 2)2);
О1С = √((а + 1)2 + (b + 5)2).
Составим систему из двух уравнений:
{√((а – 7)2 + (b + 1)2) = √((а + 2)2 + (b – 2)2),
{√((а – 7)2 + (b + 1)2) = √((а + 1)2 + (b + 5)2).
После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:
{(а – 7)2 + (b + 1)2 = (а + 2)2 + (b – 2)2,
{(а – 7)2 + (b + 1)2 = (а + 1)2 + (b + 5)2.
Упростив, запишем
{-3а + b + 7 = 0,
{-2а – b + 3 = 0.
Решив систему, получим: а = 2; b = -1.
Точка О1(2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки (рис. 2).
3. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на заданном расстоянии от данной точки
Пример 3.
Расстояние от точки В(-5; 6) до точки А, лежащей на оси Ох равно 10. Найти точку А.
Решение.
Из формулировки условия задачи следует, что ордината точки А равна нулю и АВ = 10.
Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А(а; 0).
По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) находим:
АВ = √((а + 5)2 + (0 – 6)2) = √((а + 5)2 + 36).
Получаем уравнение √((а + 5)2 + 36) = 10. Упростив его, имеем
а2 + 10а – 39 = 0.
Корни этого уравнения а1 = -13; а2 = 3.
Получаем две точки А1(-13; 0) и А2(3; 0).
Проверка:
А1В = √((-13 + 5)2 + (0 – 6)2) = 10.
А2В = √((3 + 5)2 + (0 – 6)2) = 10.
Обе полученные точки подходят по условию задачи (рис. 3).
4. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек
Пример 4.
Найти на оси Оу точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А(6; 12) и В(-8; 10).
Решение.
Пусть координаты нужной по условию задачи точки, лежащей на оси Оу, будут О1(0; b) (у точки, лежащей на оси Оу, абсцисса равна нулю). Из условия следует, что О1А = О1В.
По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) находим:
О1А = √((0 – 6)2 + (b – 12)2) = √(36 + (b – 12)2);
О1В = √((а + 8)2 + (b – 10)2) = √(64 + (b – 10)2).
Имеем уравнение √(36 + (b – 12)2) = √(64 + (b – 10)2) или 36 + (b – 12)2 = 64 + (b – 10)2.
После упрощения получим: b – 4 = 0, b = 4.
Необходимая по условию задачи точка О1(0; 4) (рис. 4).
5. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом расстоянии от осей координат и некоторой заданной точки
Пример 5.
Найти точку М, расположенную на координатной плоскости на одинаковом расстоянии от осей координат и от точки А(-2; 1).
Решение.
Необходимая точка М, как и точка А(-2; 1), располагается во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек А, Р1 и Р2 (рис. 5). Расстояния точки М от осей координат одинаковые, следовательно, ее координатами будут (-a; a), где а > 0.
Из условия задачи следует, что МА = МР1 = МР2, МР1 = а; МР2 = |-a|,
т.е. |-a| = а.
По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) находим:
МА = √((-а + 2)2 + (а – 1)2).
Составим уравнение:
√((-а + 2)2 + (а – 1)2) = а.
После возведения в квадрат и упрощения имеем: а2 – 6а + 5 = 0. Решим уравнение, найдем а1 = 1; а2 = 5.
Получаем две точки М1(-1; 1) и М2(-5; 5), удовлетворяющие условию задачи.
6. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом заданном расстоянии от оси абсцисс (ординат) и от данной точки
Пример 6.
Найти точку М такую, что расстояние ее от оси ординат и от точки А(8; 6) будет равно 5.
Решение.
Из условия задачи следует, что МА = 5 и абсцисса точки М равна 5. Пусть ордината точки М равна b, тогда М(5; b) (рис. 6).
По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) имеем:
МА = √((5 – 8)2 + (b – 6)2).
Составим уравнение:
√((5 – 8)2 + (b – 6)2) = 5. Упростив его, получим: b2 – 12b + 20 = 0. Корни этого уравнения b1 = 2; b2 = 10. Следовательно, есть две точки, удовлетворяющие условию задачи: М1(5; 2) и М2(5; 10).
Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения. Зачастую, найти путь к решению задачи без помощи преподавателя учащемуся не под силу. Необходимые консультации по решению задач учащийся и может получить на нашем сайте.
Остались вопросы? Не знаете, как найти расстояние между двумя точками на плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
Зарегистрироваться
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Здесь будет калькулятор
Расстояние между двумя точками на прямой
Рассмотрим координатную прямую, на которой отмечены 2 точки: AA и BB. Чтобы найти расстояние между этими точками, нужно найти длину отрезка ABAB. Это делается при помощи следующей формулы:
AB=∣a−b∣AB=|a-b|,
где a,ba, b — координаты этих точек на прямой (координатной прямой).
Ввиду того, что в формуле присутствует модуль, при решении не принципиально, из какой координаты какую вычитать (так как берется абсолютная величина этой разности).
То есть:
∣a−b∣=∣b−a∣|a-b|=|b-a|
Разберем пример, чтобы лучше понять решение подобных задач.
На координатной прямой отмечены точка AA, координата которой равна 99 и точка BB с координатой −1-1. Нужно найти расстояние между этими двумя точками.
Решение
Здесь a=9,b=−1a=9, b=-1
Пользуемся формулой и подставляем значения:
AB=∣a−b∣=∣9−(−1)∣=∣10∣=10AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10
Ответ
10
Расстояние между двумя точками на плоскости
Рассмотрим две точки, заданные на плоскости. Из каждой отмеченной на плоскости точки нужно опустить по два перпендикуляра: На ось OXOX и на ось OYOY. Затем рассматривается треугольник ABCABC. Так как он является прямоугольным (BCBC перпендикулярно ACAC), то найти отрезок ABAB, он же является и расстоянием между точками, можно с помощью теоремы Пифагора. Имеем:
AB2=AC2+BC2AB^2=AC^2+BC^2
Но, исходя из того, что длина ACAC равна xB−xAx_B-x_A, а длина BCBC равна yB−yAy_B-y_A, эту формулу можно переписать в следующем виде:
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},
где xA,yAx_A, y_A и xB,yBx_B, y_B — координаты точек AA и BB соответственно.
Необходимо найти расстояние между точками CC и FF, если координаты первой (8;−1)(8;-1), а второй — (4;2)(4;2).
Решение
xC=8x_C=8
yC=−1y_C=-1
xF=4x_F=4
yF=2y_F=2
CF=(xF−xC)2+(yF−yC)2=(4−8)2+(2−(−1))2=16+9=25=5CF=sqrt{(x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2}=sqrt{(4-8)^2+(2-(-1))^2}=sqrt{16+9}=sqrt{25}=5
Ответ
5
Расстояние между двумя точками в пространстве
Нахождение расстояния между двумя точками в этом случае происходит аналогично предыдущему за исключением того, что координаты точки в пространстве задаются тремя числами, соответственно, в формулу нужно добавить еще и координату оси аппликат. Формула примет такой вид:
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2AB=sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}
Найти длину отрезка FKFK в пространстве, если координаты точек его концов таковы: (−1;−1;8)(-1;-1;8) и (−3;6;0)(-3;6;0). Ответ округлить до целого числа.
Решение
F=(−1;−1;8)F=(-1;-1;8)
K=(−3;6;0)K=(-3;6;0)
FK=(xK−xF)2+(yK−yF)2+(zK−zF)2=(−3−(−1))2+(6−(−1))2+(0−8)2=117≈10.8FK=sqrt{(x_K-x_F)^2+(y_K-y_F)^2+(z_K-z_F)^2}=sqrt{(-3-(-1))^2+(6-(-1))^2+(0-8)^2}=sqrt{117}approx10.8
По условию задачи нам нужно округлить ответ до целого числа.
Ответ
10
На этой странице находится все необходимое, чтобы найти расстояние между двумя точками. Просто введите координаты точек и получите ответ и подробное решение с помощью наших онлайн-калькуляторов. Кроме того на сайте можно найти координаты середины отрезка.
Расстояние между двумя точками – это длина отрезка, соединяющего эти точки.
Формула расстояния между двумя точками на плоскости:
d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}}
xa и ya – координаты первой точки A,
xb и yb – координаты второй точки B
Нахождение расстояния между двумя точками на плоскости сводится к решению треугольника, а точнее – нахождению его гипотенузы. Для этого используется теорема Пифагора. Посмотрите на рисунок.
Соединив отрезком точки A и B, а также опустив перпендикуляры на оси мы получим треугольник ABC. В этом треугольнике стороны AC и BC являются катетами прямоугольного треугольника, а AB – его гипотенузой. Длины катетов AC и BC найти довольно просто:
AC = xb – xa
BC = yb – ya
Осталось применить теорему Пифагора и получить сторону AB, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника и расстоянием между точками A и B:
AB=sqrt{{AC}^2 + {BC^2}}
Подставив вместо отрезков AC и BC их длины, получим итоговую формулу расстояния между двумя точками:
AB=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}} или d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}}
Формула расстояния между двумя точками в пространстве:
{d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2} + {(z_b – z_a)^2}}}
xa, ya и za – координаты первой точки A,
xb, yb и zb – координаты второй точки B
Примеры задач на вычисление середины отрезка
Задача 1
Найдите расстояние между точками А и В, если А(2; 7), В(-2; 7).
Решение
Подставим координаты точек в формулу расстояния между двумя точками на плоскости и вычислим результат:
d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}} = sqrt{{(-2 – 2)}^2 + {(7 – 7)^2}} = sqrt{{-4}^2 + {0^2}} = sqrt{16 + 0} = sqrt{16} = 4
Мы получили расстояние между точками и оно равно 4.
Ответ: 4.
Проверим результат с помощью калькулятора .
В данной публикации мы рассмотрим, чему равно расстояние между двумя точками, и по какой формуле оно считается (на плоскости и в пространстве). Также разберем примеры решения задач по этой теме.
- Расчет расстояния между двумя точками
- Примеры задач
Расчет расстояния между двумя точками
Расстояние между двумя точками — это длина отрезка (d), который получится, если их соединить.
Если точки A (xa, ya) и B (xb, yb) расположены на плоскости, то расстояние между ними считается по формуле:
Если точки A (xa, ya, za) и B (xb, yb, zb) находятся в трехмерном пространстве, расстояние вычисляется так:
Примеры задач
Задание 1
На плоскости даны две точки: A (2, 5) и B (-3, 7). Найдем расстояние между ними.
Решение:
Воспользуемся первой формулой, представленной выше:
Задание 2
Найдем расстояние между точками A (-1, 0, 12) и B (2, 6, -4).
Решение:
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известные нам значения:
The length of the line segment connecting two points is defined as the distance between them. The length of the line segment connecting the specified coordinates can be used to compute the distance between two points in coordinate geometry. Let’s look at the formula for calculating the distance between two points in a two-dimensional or three-dimensional plane.
What is the Distance Between Two Points?
The distance of the line segment connecting any two points is the distance between them. There is only one line that connects two points. As a result, the distance between two points may be computed by determining the length of the line segment that connects the two spots. For example, if A and B are two points and A B = 20 cm, it implies the distance between A and B is 20 cm.
The length of the line segment connecting two points is the distance between them (but this CANNOT be the length of the curve joining them). It is important to note that the distance between two places is always positive.
Distance Between Two Points Formula
The distance formula is used to determine the distance between two points using the provided coordinates. We use the 2D distance formula or the Euclidean distance formula to calculate the distance between any two points in the 2-D plane.
Formula for Distance Between Two Points
The formula for the distance, d, between two points whose coordinates are (x1, y1) and (x2, y2) is
![d = sqrt{[(x_2 - x_1 )^2 +(y_2 - y_1)^2]}](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3140d87c791fc103f4ae8e1bc9f1f6b6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
This is called the Distance Formula.
To find the distance between two points given in 3-D plane, we can apply the 3D distance formula, given as,
![d = sqrt{[(x_2 - x_1 )^2 +(y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1 )^2]}](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e775ca601d2ff593f3df5bccca855f9e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Derivation of Formula for Distance Between Two Points
To obtain the formula for calculating the distance between two points on a two-dimensional plane, assume there are two points with the coordinates, A (x1,y1) and B (x2,y2). Following that, we will suppose that the line segment connecting A and B is AB = d. We will now plot the specified points on the coordinate plane and connect them with a line.
Next, we will construct a right-angled triangle using AB as the hypotenuse.
Using Pythagoras Theorem,
AB2 = AC2 + BC2
d2 = (x2−x1)2 + (y2−y1)2
Here, the vertical distance between the given points is | y2 – y1|
The horizontal distance between the given points is | x2 – x1 |
![d = sqrt{[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2] }](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-03fd85f85b23beb381f3f8e3c5e7106d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(Taking square root on both sides)
Thus, the distance formula to find the distance between two points is proved.
Using similar steps and concept, we can also derive the formula to find the distance between two points given in the 3D plane.
Steps to find the distance between two points
The following steps may be used to determine the distance between two places using the provided coordinates:
- Make a note of the coordinates of the two given points on the coordinate plane as follows: A(x1,y1) and B(x2,y2).
- We may use the distance formula to calculate the distance between two places,
![d = sqrt{[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2]}.](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'%20viewBox='0%200%20357%2032'%3E%3C/svg%3E "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Express the given answer in units.
![d = sqrt{[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2]}.](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66d2cf4b660d0aea364034dcad27d1fb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Note: We can apply the 3D distance formula in case the two points are given in 3D plane,
Sample Problems
Problem 1: Find the distance between the two points with the coordinates given as, A(1,5) and B (2,7).
Solution:
Let (x1, y1) be (2,7) and (x2, y2) be (1,5).
The distance d between the points :
The distance between the two points is √5 units.
![d = sqrt{[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2]}](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eccfde3b56ba87fa0e65a686b3429096_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![implies sqrt{[(2-1)^2 + (7-5)^2]}](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b00912643603518992ad8abc535c9819_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![implies sqrt{[1^2 + 2^2]}](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f53e212f303b34f9002e1df88a99b2c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Problem 2: Find the distance between the two points with the coordinates given as, P (2,-6,2) and Q(7, 3, 1).
Solution:
Let (x1, y1, z1) be P (2,-6,2) and (x2, y2, z2) be Q (7,3,1).
The distance d between the points P and Q :
![d = sqrt{[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2+(z_2-z_1)^2]}](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3fe5a616f5a474420d2f53853d99518_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Problem 3: Prove that the vertices of a right-angled triangle are the points (3, 4), (7, 4), and (3, 8).
Solution:
Let us say the given points be:
P = (3, 4)
Q = (7, 4)
R = (3, 8)
Now, we will find each vertices of the right-angle triangle by distance formula.
As we know the length of the sided of the right-angled triangle, by Pythagoras Theorem;
AB2 + AC2 = BC2
42+42=(4√2)2
16+16 = 32⟹32 = 32
This proves that ABC is a right-angle triangle.
Distance Between Two Points in Complex Plane
The distance between two points in a complex plane or two complex numbers z1=a+ib and z2=c+id in the complex ⟹1−2k=9+4k plane is the distance between points (a, b) and (c, d), given as,
![| z_2 - z_1 |= sqrt{[(a − c)^2 + (b − d)^2]}](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-759a065ac7716c62761c0b270e2ad16d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Problem 4: Find the distance between the two complex numbers z1 = 2−5i and z2 = 7+7i
Solution:
Here, we have two complex numbers z1 = 2-5i and z2 = 7+7i.
The distance between these complex numbers is equidistance to the two points in the plane, with coordinates, (2,-5) and (7,7).
Thus, distance between the two points is
Hence, the distance between two complex numbers z_1=2-5i and z_2=7+7i is 13 units.
Problem 5: A complex number ω is 6 units apart from z1 = -3 – i and 6 units apart from z2 = 3 + 5i. Check whether the triangle formed by ω, z1, z2 is right – angled or not.
Solution:
There are 3 complex numbers ω, z1, z2.
As we know the distance between ω and z1 is 6 units and distance between ω and z2 is 6 units.
Given, ω, z1 = 6 units
ω, z2 = 6 units
Now, we will find the distance between z1 and z2 by using distance formula.
By Pythagoras Theorem, we have;
(z1z2)2=(ωz1)2+(ωz2)2
Hence, we conclude that the given triangle is right-angle triangle.
Problem 6: Find a point on the x-axis that is equidistant from the points (1, -2) and (-2, -3).
Solution:
We know that any point on the x-axis has an y-coordinate of 0. As a result, we consider the point equidistant from the provided points to be (k,0). i.e., Distance between ( k,0) and (1, -2) = Distance between (k, 0) and (-2, -3).
implies -4k-2k= 9-1
Therefore, the required point is (k, 0) =
![implies sqrt{[(1-k)^2 + (-2-0)^2]} = sqrt{[(-2-k)^2 + (-3-0)^2]}](https://www.geeksforgeeks.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c25e8ce966bde683d918dee4c5553bd8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
