В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.
Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.
Расстояние между точками на координатной прямой
Исходные данные: координатная прямая Ox и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число хA, оно же – координата точки А.
В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.
Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой ОА отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка OA по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.
К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату -4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние ОА равно 3; во втором случае ОА = 4.
Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4111.
Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна 11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то OA=xA (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то OA=-xA . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа xA.
Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:
- 0, если точка совпадает с началом координат;
- xA , если xA>0;
- -xA , если xA<0 .
При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой xA: OA=xA
Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B, лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты xA и xB : AB=xB-xA.
Расстояние между точками на плоскости
Исходные данные: точки A и B, лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy с заданными координатами: A(xA, yA) и B(xB, yB) .
Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат Ox и Oy и получим в результате точки проекции: Ax, Ay, Bx, By. Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:
– если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;
– если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Ox (оси абсцисс), то точки и совпадают, а |АВ| = |АyBy|. Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то AyBy=yB-yA , а, следовательно AB=AyBy=yB-yA.
– если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси Oy (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: AB=AxBx=xB-xA
– если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:
Мы видим, что треугольник АВС является прямоугольным по построению. При этом AC=AxBx и BC=AyBy. Используя теорему Пифагора, составим равенство: AB2=AC2+BC2⇔AB2=AxBx2+AyBy2 , а затем преобразуем его: AB=AxBx2+AyBy2=xB-xA2+yB-yA2=(xB-xA)2+(yB-yA)2
Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек
AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2
Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+02=0
Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:
AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+(yB-yA)2=yB-yA
Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:
AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=(xB-xA)2+02=xB-xA
Расстояние между точками в пространстве
Исходные данные: прямоугольная система координат Oxyz с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB) . Необходимо определить расстояние между этими точками.
Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz
Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: AxBx, AyBy и AzBz
Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2
Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:
AxBx=xB-xA, AyBy=yB-yA, AzBz=zB-zA
Преобразуем выражение:
AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2=xB-xA2+yB-yA2+zB-zA2==(xB-xA)2+(yB-yA)2+zB-zA2
Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:
AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2
Полученная формула действительна также для случаев, когда:
– точки совпадают;
– лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.
Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками
Исходные данные: задана координатная прямая и точки, лежащие на ней с заданными координатами A(1-2) и B(11+2) . Необходимо найти расстояние от точки начала отсчета O до точки A и между точками A и B.
Решение
- Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно OA=1-2=2-1
- Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: AB=11+2-(1-2)=10+22
Ответ: OA=2-1, AB=10+22
Исходные данные: задана прямоугольная система координат и две точки, лежащие на ней A(1, -1) и B (λ+1, 3) . λ – некоторое действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние АВ будет равно 5.
Решение
Чтобы найти расстояние между точками A и B, необходимо использовать формулу AB=(xB-xA)2+yB-yA2
Подставив реальные значения координат, получим:AB=(λ+1-1)2+(3-(-1))2=λ2+16
А также используем имеющееся условие, что АВ=5 и тогда будет верным равенство:
λ2+16=5λ2+16=25λ=±3
Ответ: АВ = 5, если λ=±3 .
Исходные данные: задано трехмерное пространство в прямоугольной системе координат Oxyz и лежащие в нем точки A (1, 2, 3) и B-7, -2, 4 .
Решение
Для решения задачи используем формулу AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2
Подставив реальные значения, получим: AB=(-7-1)2+(-2-2)2+(4-3)2=81=9
Ответ: |АВ| = 9
Расстояния
Задача на нахождения расстояния в стереометрической фигуре является главной и самой важной из всех. Прежде всего определимся с тем, что имеется ввиду под словом «расстояние», ведь их может быть бесконечно много.
Расстояние между объектами в геометрии – это кратчайшее из расстояний между ними.
Обозначение:
В стереометрии найти расстояние можно между следующими комбинациями фигур:
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ
Расстояние между точками– это длина отрезка, соединяющего эти точки.
В задачах на стереометрию мы не можем просто воспользоваться линейкой, и длину этого отрезка должны найти аналитически. Поэтому длину отрезка AB между точками A и B находят как сторону треугольника, если отрезок AB удается включить в некоторый треугольник в качестве одной из его сторон.
То есть если в задаче предлагается найти расстояние между точками, нужно задать себе вопрос: «В каком треугольнике этот отрезок является стороной?», затем построить этот треугольник и найти в нем нужную сторону.
Например:
|
|
|
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПРЯМОЙ
Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Этот отрезок перпендикуляра можно вычислить, включив его в треугольник (или трапецию) в качестве одной из высот. То есть нужно задать себе вопрос: «В каком треугольнике этот отрезок является высотой?», затем построить этот треугольник и найти в нем высоту.
Например:
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
Существует несколько способов нахождения расстояния от точки до плоскости:
- Построение перпендикуляра из точки на плоскость.
- К этому способу обращаются, если расстояние из точки M на плоскость опускать неудобно, а удобно опустить равный ему перпендикуляр из другой точки, лежащей на одной линии с M.
- Построение перпендикуляра из точки прямой к плоскости.
- Построение перпендикуляра из точки плоскости на плоскость.
К этому способу, аналогично, обращаются, если расстояние из точки M на плоскость опускать неудобно, а удобно опустить равный ему перпендикуляр из другой точки, лежащей на одной плоскости с M.
- Через двойное выражение объема.
Расстояние от точки M до плоскости β – это перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, то есть по сути это высота в некоторой пирамиде с вершиной M и плоскостью основания, лежащей на β. Если легко вычислить объем этой пирамиды, используя другое основание и другую высоту, то через этот объем можно найти нужное расстояние.
Например:
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
Существует несколько способов нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
1. Построение взаимного перпендикуляра.
2. Построение параллельной прямой.
К этому способу обращаются, если строить взаимный перпендикуляр неудобно и одна из скрещивающихся прямых уже заключена в удобную плоскость.
К этому способу обращаются, если строить взаимный перпендикуляр неудобно и скрещивающиеся прямые уже заключены в удобные плоскости.
3. Построение параллельной плоскости.
На этой странице находится все необходимое, чтобы найти расстояние между двумя точками. Просто введите координаты точек и получите ответ и подробное решение с помощью наших онлайн-калькуляторов. Кроме того на сайте можно найти координаты середины отрезка.
Расстояние между двумя точками – это длина отрезка, соединяющего эти точки.
Формула расстояния между двумя точками на плоскости:
d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}}
xa и ya – координаты первой точки A,
xb и yb – координаты второй точки B
Нахождение расстояния между двумя точками на плоскости сводится к решению треугольника, а точнее – нахождению его гипотенузы. Для этого используется теорема Пифагора. Посмотрите на рисунок.
Соединив отрезком точки A и B, а также опустив перпендикуляры на оси мы получим треугольник ABC. В этом треугольнике стороны AC и BC являются катетами прямоугольного треугольника, а AB – его гипотенузой. Длины катетов AC и BC найти довольно просто:
AC = xb – xa
BC = yb – ya
Осталось применить теорему Пифагора и получить сторону AB, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника и расстоянием между точками A и B:
AB=sqrt{{AC}^2 + {BC^2}}
Подставив вместо отрезков AC и BC их длины, получим итоговую формулу расстояния между двумя точками:
AB=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}} или d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}}
Формула расстояния между двумя точками в пространстве:
{d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2} + {(z_b – z_a)^2}}}
xa, ya и za – координаты первой точки A,
xb, yb и zb – координаты второй точки B
Примеры задач на вычисление середины отрезка
Задача 1
Найдите расстояние между точками А и В, если А(2; 7), В(-2; 7).
Решение
Подставим координаты точек в формулу расстояния между двумя точками на плоскости и вычислим результат:
d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}} = sqrt{{(-2 – 2)}^2 + {(7 – 7)^2}} = sqrt{{-4}^2 + {0^2}} = sqrt{16 + 0} = sqrt{16} = 4
Мы получили расстояние между точками и оно равно 4.
Ответ: 4.
Проверим результат с помощью калькулятора .
One of the most powerful tools in any engineer or scientist’s toolkit is 3D geometry. 3D geometry comes to picture into model real-world quantities such as velocity, fluid flows, electrical signals, and many other physical quantities. In this article, we are going to discuss two important formulas Distance and Section along with some important examples. One can understand any 3D space in terms of 3 coordinates- x, y, and z. Below is a simple representation of 3D space.
Distance Formula and Its Use in 3D Geometry
The distance formula states the distance between any two points in the XYZ space.
Formula:
For two points P1(x1, y1, z1) and P2(x2, y2, z2)
Distance (d) =
This distance formula is used to calculate the distance between two points in any 3D space. When we know the coordinates of the two points in the plane (in form of ordered pair (x, y, z)) we can easily get the distance between two points by substituting in the distance formula.
The Distance Between Two Points: Formulas, and Solved Examples
Suppose there are two points P(x1, y1, z1) and Q(x2, y2, z2) in the 3D space. To find the distance between them, the formula is,
Distance (d) =
Example 1: Find the distance between the points P(1, –3, 4) and Q (– 4, 1, 2)?
Solution:
Using the formula to calculate the distance between point P and Q,
Distance (d) =
d =
Example 2: Show that the points P (–2, 3, 5), Q (1, 2, 3) and R (7, 0, –1) are collinear?
Solution:
We know that points are said to be collinear if they lie on a line.
As PQ + QR = PR
Hence P, Q and R are collinear.
The Distance of Point From a Line: Meaning, Formulas, and Examples
The distance of a point from a line is the perpendicular distance from the point to the line. Suppose we have to find the distance of a point P(x0, y0, z0) from line l, then the formula is,
Distance (d) =
Where ‘s’ is the directing vector of line l.
Example: Find the distance from point P(-6, 1, 21) to a line ?
Solution:
The Distance of a Point from a Plane: Formulas, Equations, and Examples
The distance from a point to a plane is the perpendicular distance from a point on a plane. If Qx + Ry + Sz + T = 0 is a plane equation, then the distance from point P(Px, Py, Pz) to plane can be found using the following formula:
Distance (d) =
Example: To find a distance between plane 2x + 4y – 4z – 6 = 0 and point P(0, 3, 6)?
Solution:
Using the formula:
Distance (d) =
The Distance Between Parallel Lines: Formulas and Examples
The distance between any two parallel lines is the perpendicular distance from any point on one line to the other line. Suppose there are two parallel lines y = mx + c1 and y = mx + c2, then the formula is,
Distance (d) =
If the equation of two parallel lines is given as:
ax + by + d1 = 0 and ax + by + d2 = 0, then the formula is,
Distance (d) =
Where a and b are the coefficients of variables x and y in the line.
Example 1: Find the distance between lines y = 2x + 10 and y = 2x + 12? (Note: Both lines are parallel to each other)
Solution:
The lines y = 2x + 10 and y = 2x + 12 are in form y = mx + c.
Where c1 = 10, c2 = 12, m = 2
Using formula, the distance (d) =
Example 2: Find the distance between two parallel lines 4x + 3y + 6 = 0 and 4x + 3y – 3 = 0?
Solution:
The lines given are 4x + 3y + 6 = 0 and 4x + 3y – 3 = 0. Both lines are in form ax + by + d = 0.
Hence, d1 = 6, d2 = −3, a = 4, b = 3
Using formula for this case, distance (d) will be calculated as:
Section Formula: Definition, Vector Formula, Case, and Examples
Section formula is the concept that can be implemented in 2D and 3D space as well. In three dimension system, we have to choose a coordinate system. Suppose two points P(x1, y1, z1) and Q (x2, y2, z2) are given and let the point R (x, y, z) divide PQ in the given ratio m: n internally. Hence, the coordinates of the point R which divides the line segment joining two points P (x1, y1, z1) and Q (x2, y2, z2) internally in the ratio m: n can be calculated using the formula,
If the point R divides PQ externally in the ratio m: n, then its coordinates are obtained by replacing n by – n, and the formula for the same is,
Case 1: Coordinates of the mid-point: In case R is the mid-point of PQ, then m : n = 1 : 1 so that
x = , y = and z =
These are the coordinates of the midpoint of the segment joining P (x1, y1, z1)and Q (x2, y2, z2).
Case 2: The coordinates of the point R which divides PQ in the ratio k: 1 are obtained by taking k= which are as given below,
Example 1: Find the coordinates of the point which divides the line segment joining the points (1, –2, 3) and (3, 4, –5) in the ratio 2 : 3 (i) internally, and (ii) externally?
Solution:
(i) Let P (x, y, z) be the point that divides the line segment joining A(1, – 2, 3)
and B (3, 4, –5) internally in the ratio 2 : 3. Therefore
Thus, the required point is
(ii) Let P (x, y, z) be the point which divides segment joining A (1, –2, 3) and
B (3, 4, –5) externally in the ratio 2 : 3. Then,
Therefore, the required point is (–3, –14, 19).
Example 2: Using section formula, prove that the three points (– 4, 6, 10), (2, 4, 6), and (14, 0, –2) are collinear?
Solution:
Let A (– 4, 6, 10), B (2, 4, 6), and C(14, 0, – 2) be the given points. Let the
point P divides AB in the ratio k: 1. Then coordinates of the point P are
Let us examine whether, for some value of k, the point P coincides with point C.
On putting , When k=then,
Therefore, C (14, 0, –2) is a point that divides AB externally in the ratio 3: 2 and is
same as P. Hence A, B, C are collinear.
В данной публикации мы рассмотрим, чему равно расстояние между двумя точками, и по какой формуле оно считается (на плоскости и в пространстве). Также разберем примеры решения задач по этой теме.
- Расчет расстояния между двумя точками
- Примеры задач
Расчет расстояния между двумя точками
Расстояние между двумя точками — это длина отрезка (d), который получится, если их соединить.
Если точки A (xa, ya) и B (xb, yb) расположены на плоскости, то расстояние между ними считается по формуле:
Если точки A (xa, ya, za) и B (xb, yb, zb) находятся в трехмерном пространстве, расстояние вычисляется так:
Примеры задач
Задание 1
На плоскости даны две точки: A (2, 5) и B (-3, 7). Найдем расстояние между ними.
Решение:
Воспользуемся первой формулой, представленной выше:
Задание 2
Найдем расстояние между точками A (-1, 0, 12) и B (2, 6, -4).
Решение:
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известные нам значения:
