Как найти расстояние которое прошел объект

С древних времен людей беспокоит мысль о достижении сверх скоростей, так же как не дают покоя раздумья о высотах, летательных аппаратах. На самом деле это два очень сильно связанных между собой понятия. То, насколько быстро можно добраться из одного пункта в другой на летательном аппарате в наше время, зависит полностью от скорости. Рассмотрим же способы и формулы расчета этого показателя, а также времени и расстояния.

Как же рассчитать скорость?

На самом деле, рассчитать ее можно несколькими способами:

• через формулу нахождения мощности;
• через дифференциальные исчисления;
• по угловым параметрам и так далее.

В этой статье рассматривается самый простой способ с самой простой формулой – нахождение значения этого параметра через расстояние и время. Кстати, в формулах дифференциального расчета также присутствуют эти показатели. Формула выглядит следующим образом:

v=S/t, где

• v – скорость объекта,
• S – расстояние, которое пройдено или должно быть пройдено объектом,
• t – время, за которое пройдено или должно быть пройдено расстояние.

Как видите, в формуле первого класса средней школы нет ничего сложного. Подставив соответствующие значения вместо буквенных обозначений, можно рассчитать быстроту передвижения объекта. Например, найдем значение скорости передвижения автомобиля, если он проехал 100 км за 1 час 30 минут. Сначала требуется перевести 1 час 30 минут в часы, так как в большинстве случаев единицей измерения рассматриваемого параметра считается километр в час (км/ч). Итак, 1 час 30 минут равно 1,5 часа, потому что 30 минут есть половина или 1/2 или 0,5 часа. Сложив вместе 1 час и 0,5 часа получим 1,5 часа.

Теперь нужно подставить имеющиеся значения вместо буквенных символов:

v=100 км/1,5 ч=66,66 км/ч

Здесь v=66,66 км/ч, и это значение очень приблизительное (незнающим людям об этом лучше прочитать в специальной литературе), S=100 км, t=1,5 ч.

Таким нехитрым способом можно найти скорость через время и расстояние.

А что делать, если нужно найти среднее значение? В принципе, вычисления, показанные выше, и дают в итоге результат среднего значение искомого нами параметра. Однако можно вывести и более точное значение, если известно, что на некоторых участках по сравнению с другими скорость объекта была непостоянной. Тогда пользуются таким видом формулы:

vср=(v1+v2+v3+…+vn)/n, где v1, v2, v3, vn – значения скоростей объекта на отдельных участках пути S, n – количество этих участков, vср – средняя скорость объекта на всем протяжении всего пути.

Эту же формулу можно записать иначе, используя путь и время, за которое объект прошел этот путь:

• vср=(S1+S2+…+Sn)/t, где vср – средняя скорость объекта на всем протяжении пути,
• S1, S2, Sn – отдельные неравномерные участки всего пути,
• t – общее время, за которое объект прошел все участки.

Можно записать использовать и такой вид вычислений:

• vср=S/(t1+t2+…+tn), где S – общее пройденное расстояние,
• t1, t2, tn – время прохождения отдельных участков расстояния S.

Но можно записать эту же формулу и в более точном варианте:

vср=S1/t1+S2/t2+…+Sn/tn, где S1/t1, S2/t2, Sn/tn – формулы вычисления скорости на каждом отдельном участке всего пути S.

Таким образом, очень легко найти искомый параметр, используя данные выше формулы. Они очень просты, и как уже было указано, используются в начальных классах. Более сложные формулы базируются на этих же формулах и на тех же принципах построения и вычисления, но имеют другой, более сложный вид, больше переменных и разных коэффициентов. Это нужно для получения наиболее точного значения показателей.

Другие способы вычисления

Существую и другие способы и методы, которые помогают вычислить значения рассматриваемого параметра. В пример можно привести формулу вычисления мощности:

N=F*v*cos α , где N – механическая мощность,

F – сила,

v – скорость,

cos α – косинус угла между векторами силы и скорости.

Способы вычисления расстояния и времени

Можно и наоборот, зная скорость, найти значение расстояния или времени. Например:

S=v*t, где v – понятно что такое,

S – расстояние, которое требуется найти,

t – время, за которое объект прошел это расстояние.

Таким образом вычисляется значение расстояния.

Или вычисляем значение времени, за которое пройдено расстояние:

t=S/v, где v – все та же скорость,

S – расстояние, пройденный путь,

t – время, значение которого в данном случае нужно найти.

Для нахождения средних значений этих параметров существует довольно много представлений как данной формулы, так и всех остальных. Главное, знать основные правила перестановок и вычислений. А еще главнее знать сами формулы и лучше наизусть. Если же запомнить не получается, тогда лучше записывать. Это поможет, не сомневайтесь.

Пользуясь такими перестановками можно с легкостью найти время, расстояние и другие параметры, используя нужные, правильные способы их вычисления.

И это еще не предел!

Видео

В нашем видео вы найдете интересные примеры решения задач на нахождение скорости, времени и расстояния.

Для решения задач на движение по прямой используется одна основная формула:

где:

• Скорость (V) — расстояние, пройденное за единицу времени.
• Время (t) — время в пути.
• Расстояние (S) — пройденный путь, или расстояние.

Зная эту формулу (для расстояния), вы можете легко  вывести из неё формулу для скорости, или времени.

Если вы запомните эту формулу, то сможете решить любую задачу на движение, так как все задачи на движение по прямой — это применение данной формулы к одному или нескольким взаимосвязанным объектам.

Рассмотрим, как решать разные задачи на движение в зависимости от условий и уровня сложности.

Все задачи на движение делятся на следующие типы:

• простые задачи на скорость, время и расстояние;
• задачи на движение в разных направлениях: сближение и удаление;
• задачи на движение в одном направлении: сближение и удаление;
• решение задач на движение по реке.

Решение простых задач на движение: скорость, время и расстояние

В простых задачах на движение, как правило, есть один движущийся объект, для которого нужно найти неизвестную величину: скорость, время или расстояние. В данном случае применяется формула в ее первоначальном виде:

Задача 1. Автомобиль ехал 2ч со скоростью 85 км/ч. Определите расстояние. 
Решение: Вычислим путь по формуле: S=V × t= 2 ч * 85 км/ч = 170 км.

Задача 2. Велосипедист проехал 60 км за 5ч. Определите скорость.
Решение: Вычислим скорость велосипедиста по формуле: V = S:t = 60 км : 5 ч = 12 км/ч.

Задача 3. Мотоциклист проехал 30 км со скоростью 15км/ч. Сколько времени он затратил на этот путь? 
Решение: Вычислим время движения мотоциклиста по формуле: t = S:V = 30 км : 15 км/ч = 2 ч.

В таких задачах нужно также следить, чтобы были одинаковыми единицы измерения. Например, если расстояние измеряется в километрах, а время — в часах,  то скорость буде измеряться в км/час. Но если единицы измерения скорости — метр/час, а время дано в минутах, то в этом случае скорость и время нужно привести к одинаковым единица измерения, иначе ответ будет неверным.

Задача 4. Мотоциклист ехал 30 минут со скоростью 60 км/ч. Какое расстояние он проехал?
Решение: для того, чтобы вычислить расстояние, нужно время и скорость привести к одинаковым единицам измерения. При этом есть 2 способа:
1) Переведем время: 30 минут = 30/60 = 0,5 часа.
Найдем расстояние: 60 км/ч * 0,5 ч = 30 км.
2) Переведем скорость: 60 км/ч = 60км / 1час = 60км / 60 мин = 1км/мин.
Найдем расстояние: 1км/мин*30минут = 30 км.

Решение задач на движение в разных направлениях: сближение (встречное движение) и удаление (противоположное движение)

При встречном движении расстояние между объектами уменьшается. Объекты приближаются друг к другу со скоростью сближения.
Скорость сближения находится по формуле:

При движении в противоположных направлениях скорости объектов направлены в разные стороны. Объекты удаляются друг от друга со скоростью удаления.
Скорость удаления находится по формуле: 

При решении подобных задач лучше нарисовать схему движения, чтобы было легче решать.

Задача 5. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого велосипедиста 10 км/ч, второго — 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся? 
Решение: 1) Найдем скорость сближения: V=10+8 = 18 км/ч.
2) Найдем время: t = S:V = 36 : 18 = 2 ч.

Задача 6. Два пешехода вышли одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого пешехода 3км/ч, второго — 4км/ч. Какое расстояние между ними будет через 30 минут?
Решение: 1) Найдем скорость удаления пешеходов: V = 3+4=7 км/час.
2) Переведем в соответствие единицы измерения: t=30 мин = 0,5 ч.
3) Найдем расстояние: S=V × t = 7 × 0,5 = 3,5 км.

Задача 7. Два автобуса выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 300 км. Через 2 часа они встретились. Найдите второго второго автобуса, если первый ехал со скоростью 70 км/ч.
Решение. 1) Нам известно расстояние и скорость, поэтому найдем скорость по формуле: V = S:t = 300:2=150км/ч. Это скорость сближения.
2) Найдем скорость второго автобуса: 150-70 = 80км/ч.

Решение задач на движение в одном направлении: сближение и удаление

Если два объекта движутся в одном направлении и один объект “догоняет” второй, то расстояние между объектами уменьшается.
Скорость сближения при таком движении определяют по формуле:

Если два объекта движутся в одном направлении и один объект “отстает” от второго, то расстояние между объектами увеличивается.
Скорость удаления при таком движении определяют по формуле:

Если объект движется в стоячей воде (озере), то его скорость называют собственной скоростью объекта. То есть, скорость объекта равная собственной скорости объекта.

Заметим, что плот — это тело, у которого собственная скорость равна нулю (V=0). Значит, плот может плыть только по течению и со скоростью течения.

Задача 8. Расстояние между двумя автомобилями, движущимися в одном направлении, составляет 20 км. Первый автомобиль едет со скоростью 40км/ч, второй — со скоростью 30км/ч. Через сколько часов первый автомобиль догонит второй?
Решение. 1) Найдем скорость сближения автомобилей: V=40-30=10км/ч.

2) Зная расстояние (20км) и скорость сближения (10км/ч) найдем время: 20:10=2 часа.

Задача 9. Из одного населенного пункта выехали автомобиль и автобус. скорость автомобиля 70 км/ч, скорость автобуса — 50 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?
Решение. 1) Найдем скорость удаления : V=70-50=20км/ч.
2) Зная скорость удаления и время, найдем расстояние: S = 20*3 =60 км.

Решение задач на движение по реке

Особенностью задач на движение реке является то, что у объекта появляется дополнительная скорость — скорость течения реки. При этом возможно два варианта:

• по течению реки → скорость увеличивается;
• против течения реки → скорость уменьшается.

Таким образом, в задачах рассматривают 2 скорости: 

• Скорость собственная — Vs;
• Скорость течения реки — Vt.

Задача 9. Собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Какое расстояние проплывёт лодка через 3 часа, если она плывёт по течению реки?
Решение. 1) Найдем скорость лодки. Так как она плывет по течению реки, ее скорость увеличивается. 
V = Vs+ Vt = 12+3 =15км/ч.
2) Найдем расстояние: S=V×t = 15×3=45км.

Задача 10. Собственная скорость катера составляет 30 км/ч. Скорость течения реки равна 4 км/ч. Какое расстояние преодолеет катер через 4 часа, если он плывёт против течения реки?
Решение. 1) Найдем скорость. Так как катер плывет против течения реки, его скорость уменьшится. 
V = Vs- Vt = 30-4 =26 км/ч.
2) Найдем расстояние: S=V×t = 26 * 4 = 104 км.

Задача 10. Скорость лодки равна 10 км/ч. При этом надо успеть проплыть 25 км за 2 часа по течению реки. Какой должна быть скорость течения реки, чтобы успеть в срок? 
Решение. 1) Найдем нужную скорость: V=S:t = 25:2=12,5 км/ч.
2) Найдем скорость, которую нужно прибавить до нужно (скорость течения реки): 12,5-10=2,5км/ч.

Задача 11. Уровень ЕГЭ.
Катер прошёл по течению реки 120 км и вернулся обратно. Известно, что обратный путь занял на 1 час больше времени, а скорость катера в неподвижной воде равна 27 км/ч. Найдите скорость течения.
Решение: Пусть Vt — cкорость течения реки, тогда:
1) В одну сторону: 27+Vt  – скорость перемещения катера по течению, S=120км.
2) В обратную сторону: 27-Vt  – скорость перемещения катера против течения, S=120км.
Выразим время:
1) В одну сторону:  t=S:V = 120:(27+Vt) – время, затраченное катером на перемещение по течению,
2) В обратную сторону:  t=S:V = 120:(27-Vt) – время, затраченное катером на перемещение против течения.
Так как время перемещения против течения на час больше, чем время по течению, то:
120:(27+Vt) +1 = 120:(27-Vt).
Далее решаем уравнение и получаем ответ 3 км/ч.

Больше задач на движение Ваш ребёнок может решить, скачав программы:

Правильность решения задач вы можете проверить на сайте intmag24.ru с помощью калькулятора решения задач на движение.

Полезные советы для решения задач на движения

• В процессе решения задач на движение может быть составлена формула квадратного уравнения, которое будет иметь два корня. В этом случае нужно взять тот ответ, который  будет логичен для задачи (положительный). Отрицательный корень не берется во внимание.
• Внимательно следите, чтобы в задаче все данные измерялись одними величинами. Если это не так, нужно се привести к единым единицам измерения.
• При решении задач на движение рисуйте картинки. Особенно, когда текст задачи большой и сразу в голове не укладывается. Чаще всего это нужно делать в задачах, где кто-то кого-то догоняет, встречается, или перемещается между пунктами А и В туда и обратно. На картинке сразу видно, какие отрезки пути можно просчитать. Картинка облегчает составление математической модели.

Для решения более сложных задач на движение посмотрите, как составлять схемы и таблицы данных для наглядного представления и структурирования данных.

Задачи на движение навстречу друг другу (встречное движение) — один из трех основных видов задач на движение.

Если два объекта движутся навстречу друг другу, то они сближаются:

Чтобы найти скорость сближения двух объектов, движущихся навстречу друг другу, надо сложить их скорости:  

   

Скорость сближения больше, чем скорость каждого из них.

Скорость, время и расстояние связаны между собой формулой пути:

   

Рассмотрим некоторые задачи на встречное движение.

Задача 1

Два велосипедиста выехали навстречу друг другу. Скорость одного из низ 12 км/ч, а другого — 10 км/ч. Через 3 часа они встретились. Какое расстояние было между ними в начале пути?

Решение:

Условие задач на движение удобно оформлять в виде таблицы:

	v, км/ч	t, ч	s, км
I велосипедист	12	3	?
II велосипедист	10	3	?

1) 12+10=22 (км/ч) скорость сближения велосипедистов

2) 22∙3=66 (км) было между велосипедистами в начале пути.

Ответ: 66 км.

Задача 2

Два поезда идут навстречу друг другу. Скорость одного из них 50 км/ч, скорость другого —  60 км/ч. Сейчас между ними 440 км. Через сколько часов они встретятся?

Решение:

	v, км/ч	t, ч	s, км
I поезд	60	?	?
II поезд	50	?	?

1) 60+50=110 (км/ч) скорость сближения поездов

2) 440:110=4 (ч) время, через которое поезда встретятся.

Ответ: через 4 ч.

Задача 3.

Два пешехода находились на расстоянии 20 км друг от друга. Они вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 2 часа. Скорость одного пешехода 6 км/ч. Найти скорость другого пешехода.

	v, км/ч	t, ч	s, км
I пешеход	6	2	?
II пешеход	?	2	?

1) 20:2=10 (км/ч) скорость сближения пешеходов

2) 10-6=4 (км/ч) скорость другого пешехода.

Ответ: 4 км/ч.

А что делать, если нужно найти среднее значение? В принципе, вычисления, показанные выше, и дают в итоге результат среднего значение искомого нами параметра. Однако можно вывести и более точное значение, если известно, что на некоторых участках по сравнению с другими скорость объекта была непостоянной. Тогда пользуются таким видом формулы:

vср=(v1+v2+v3+…+vn)/n

где v1, v2, v3, vn – значения скоростей объекта на отдельных участках пути S,

n – количество этих участков,

vср – средняя скорость объекта на всем протяжении всего пути.

Эту же формулу можно записать иначе, используя путь и время, за которое объект прошел этот путь:

vср=(S1+S2+…+Sn)/t,

где vср – средняя скорость объекта на всем протяжении пути,

S1, S2, Sn – отдельные неравномерные участки всего пути,

t – общее время, за которое объект прошел все участки.

Можно записать использовать и такой вид вычислений:

vср=S/(t1+t2+…+tn),

где S – общее пройденное расстояние,

t1, t2, tn – время прохождения отдельных участков расстояния S.

Но можно записать эту же формулу и в более точном варианте:

vср=S1/t1+S2/t2+…+Sn/tn,

где S1/t1, S2/t2, Sn/tn – формулы вычисления скорости на каждом отдельном участке всего пути S.

Таким образом, очень легко найти искомый параметр, используя данные выше формулы. Они очень просты, и как уже было указано, используются в начальных классах. Более сложные формулы базируются на этих же формулах и на тех же принципах построения и вычисления, но имеют другой, более сложный вид, больше переменных и разных коэффициентов. Это нужно для получения наиболее точного значения показателей.

Математика

5 класс

Урок № 35

Задачи на движение

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1. Понятия скорости, времени, расстояния.
2. Формулы нахождения скорости, времени, расстояния.
3. Понятия скорости сближения, скорости удаления.

Глоссарий по теме

Расстояние – это длина от одного пункта до другого.

Большие расстояния, в основном, измеряются в метрах и километрах.

Расстояние обозначается латинской буквой S.

Чтобы найти расстояние, надо скорость умножить на время движения:

S = v ∙ t

Скорость – это расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда.

Скорость обозначается латинской буквой v.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения:

v = S : t

Время – это продолжительность каких-то действий, событий.

Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость движения:

t = S : v

Скорость сближения – это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Скорость удаления – это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

Основная литература

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К., Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

2. Потапов М. К., Шевкин А. В. Математика. Книга для учителя. 5 – 6 классы — М.: Просвещение, 2010

Дополнительная литература

1. Чесноков А. С., Нешков К. И. Дидактические материалы по математике 5 кл. – М.: Академика учебник, 2014

2. Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5–6 классы // Составитель Бурмистрова Т. А.

3. Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 кл. // Потапов М. К., Шевкин А. В. — М.: Просвещение, 2010

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Очень часто нам встречаются задачи на нахождение скорости, времени и расстояния. Что же всё это такое? Сейчас нам предстоит в этом разобраться.

Расстояние – это длина от одного пункта до другого. (Например, расстояние от дома до школы 2 километра). В основном большие расстояния измеряются в метрах и километрах. Общепринятое обозначение расстояния – заглавная латинская буква S.

Скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. Скорость обозначается маленькой латинской буквой v.

Рассмотрим задачу:

Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние от двора до спортплощадки 200 метров. Первый школьник добежал за 50 секунд. Второй за 100 секунд. Кто из ребят бежал быстрее?

Решение:

Быстрее бежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения.

Давайте найдём скорость первого школьника. Для этого разделим 200 метров на время движения первого школьника, то есть на 50 секунд:

200 м : 50 с = 4

Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч). 

У нас расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, скорость измеряется в метрах в секунду:

200 м : 50 с = 4 (м/с)

Скорость движения первого школьника составляет 4 метра в секунду.

Теперь найдём скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника:

200 м : 100 c = 2 (м/с)

Скорость движения первого школьника – 4 (м/с).

Скорость движения второго школьника – 2 (м/с).

4 (м/с) > 2 (м/с)

Скорость первого школьника больше. Значит, он бежал до спортплощадки быстрее.

Иногда возникает ситуация, когда требуется узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние. Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

Рассмотрим задачу:

От дома до спортивной секции 1200 метров. Мы должны доехать туда на велосипеде. Наша скорость будет 600 метров в минуту. За какое время мы доедем до спортивной секции?

Решение:

Если за одну минуту мы будем проезжать 600 метров, то сколько таких минут нам понадобится для преодоления тысячи двухсот метров? Очевидно, что надо разделить 1200 метров на то расстояние, которое мы будем проезжать за одну минуту, то есть на 600 метров. Тогда мы получим время, за которое мы доедем до спортивной секции:

1200 : 600 = 2 (мин)

Ответ: мы доедем до спортивной секции за 2 минуты.

Скорость, время и расстояние связаны между собой.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время:

S = v ∙ t

Рассмотрим задачу:

Мы вышли из дома и направились в магазин. Мы дошли до магазина за 15 минут. Наша скорость была 60 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?

Решение:

Если за одну минуту мы прошли 60 метров, то сколько таких отрезков по шестьдесят метров мы пройдём за 15 минут? Очевидно, что умножив 60 метров на 15 минут, мы определим расстояние от дома до магазина:

v = 60 (м/мин)

t = 15 (минут)

S = v ∙ t = 60 ∙ 15 = 900 (метров)

Ответ: мы прошли 900 метров.

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость:

v = S : t

Рассмотрим задачу:

Расстояние от дома до школы 800 метров. Школьник дошёл до этой школы за 8 минут. Какова была его скорость?

Скорость движения школьника – это расстояние, которое он проходит за одну минуту. Если за 10 минут он преодолел 800 метров, то какое расстояние он преодолевал за одну минуту?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно разделить расстояние на время движения школьника:

S = 800 метров

t = 8 минут

v = S : t = 800 : 8 = 100 (м/мин)

Ответ: скорость школьника была 100 м/мин.

Если известна скорость и расстояние, то можно найти время:

t = S : v

Рассмотрим задачу:

От дома до спортивной секции 600 метров. Мы должны дойти до неё пешком. Наша скорость будет 120 метров в минуту (120 м/мин). За какое время мы дойдём до спортивной секции?

Если за одну минуту мы будем проходить 120 метров, то сколько таких минут со ста двадцатью метрами будет в шестистах метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 600 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 120. Тогда мы получим время, за которое мы дойдём до спортивной секции:

S = 600 метров

v = 120 (м/мин)

t = S : v = 600 : 120 = 5 (минут).

Ответ: мы дойдём до спортивной секции за 5 минут.

Итак, все рассмотренные нами формулы мы можем представить в виде треугольника для лучшего запоминания:

Теперь рассмотрим типы задач на движение.

Задачи на сближение.

Скорость сближения – это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Например, если из двух пунктов навстречу друг другу отправятся два пешехода, причём скорость первого будет 100 метров в минуту, а второго – 105 метров в минуту, то скорость сближения будет составлять 100 плюс 105, то есть 205 метров в минуту. Значит, каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 205 метров.

Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Задача.

Из двух пунктов навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 13 км/ч, а скорость второго – 15 км/ч. Через 3 часа они встретились. Определите расстояние между населёнными пунктами.

Решение:

1. Найдём скорость сближения велосипедистов:

13 км/ч + 15 км/ч = 28 км/ч

1. Определим расстояние между населёнными пунктами. Для этого скорость сближения умножим на время движения:

28 ∙ 3 = 84 км

Ответ: расстояние между населёнными пунктами 84 км.

Задачи на скорость удаления.

Скорость удаления – это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Например, если два пешехода отправятся из одного и того же пункта в противоположных направлениях, причём скорость первого будет 4 км/ч, а скорость второго 6 км/ч, то скорость удаления будет составлять 4 плюс 6, то есть 10 км/ч. Каждый час расстояние между двумя пешеходами будет увеличиваться на 10 километров.

Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.

Рассмотрим задачу:

С причала одновременно в противоположных направлениях отправились теплоход и катер. Скорость теплохода составляла 60 км/ч, скорость катера 130 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

Решение:

1. Определим скорость удаления. Для этого сложим их скорости:

60 + 130 = 190 км/ч.

Получили скорость удаления равную 190 км/ч. Данная скорость показывает, что за час расстояние между теплоходом и катером будет увеличиваться на 190 километров.

1. Чтобы узнать какое расстояние будет между ними через два часа, нужно 190 умножить на 2:

190 ∙ 2 = 380 км.

Ответ: через 2 часа расстояние между теплоходом и катером будет составлять 380 километров.

Задачи на движение объектов в одном направлении.

В предыдущих пунктах мы рассматривали задачи, в которых объекты (люди, машины, лодки) двигались либо навстречу друг другу, либо в противоположных направлениях. В первом случае мы находили скорость сближения – в ситуации, когда два объекта двигались навстречу друг другу. Во втором случае мы находили скорость удаления – в ситуации, когда два объекта двигались в противоположных направлениях. Но объекты также могут двигаться в одном направлении, причём с различной скоростью.

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

Рассмотрим задачу:

Из города в одном и том же направлении выехали легковой автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 130 км/ч, а скорость автобуса 90 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 час? Через 3 часа?

Решение:

1. Найдём скорость удаления. Для этого из большей скорости вычтем меньшую:

130 км/ч − 90 км/ч = 40 км/ч

1. Каждый час легковой автомобиль отдаляется от автобуса на 40 километров. За один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км. За 3 часа в три раза больше:

40 ∙ 3 = 120 км

Ответ: через один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км, через три часа – 120 км.

Рассмотрим ситуацию, в которой объекты начали своё движение из разных пунктов, но в одном направлении.

Задача.

Пусть на одной улице имеется дом, школа и аттракцион. Дом находится на одном конце улицы, аттракцион на другом, школа между ними. От дома до школы 900 метров. Два пешехода отправились в аттракцион в одно и то же время. Причём первый пешеход отправился в аттракцион от дома со скоростью 90 метров в минуту, а второй пешеход отправился в аттракцион от школы со скоростью 85 метров в минуту. Какое расстояние будет между пешеходами через 3 минуты? Через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?

Решение:

1. Определим расстояние, пройденное первым пешеходом за 3 минуты. Он двигался со скоростью 90 метров в минуту. За три минуты он пройдёт в три раза больше, то есть 270 метров:

90 ∙ 3 = 270 метров

1. Определим расстояние, пройденное вторым пешеходом за 3 минуты. Он двигался со скоростью 85 метров в минуту. За три минуты он пройдёт в три раза больше, то есть 255 метров:

85 ∙ 3 = 255 метров

1. Теперь найдём расстояние между пешеходами. Чтобы найти расстояние между пешеходами, можно к расстоянию от дома до школы (900м) прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (255м), и из полученного результата вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (270м):

900 + 255 = 1155 м

1155 – 270 = 885 м

Либо из расстояния от дома до школы (900 м) вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (270 м), и к полученному результату прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (255 м):

900 – 270 = 630 м

630 + 255 = 885 м

Таким образом, через три минуты расстояние между пешеходами будет составлять 885 метров.

1. Теперь давайте ответим на вопрос: через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?

В самом начале пути между пешеходами было расстояние 900 м. Через минуту после начала движения расстояние между ними будет составлять 895 метров, поскольку первый пешеход двигается на 5 метров в минуту быстрее второго:

90 ∙ 1 = 90 м

85 ∙ 1 = 85 м

900 + 85 – 90 = 985 – 90 = 895 м

Через три минуты после начала движения расстояние уменьшится на 15 метров и будет составлять 885 метров. Это был наш ответ на первый вопрос задачи:

90 ∙ 3 = 270 м

85 ∙ 3 = 255 м

900 + 255 – 270 = 1155 – 270 = 885 м

Можно сделать вывод, что каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 5 метров.

А раз изначальные 900 метров с каждой минутой уменьшаются на одинаковые 5 метров, то мы можем узнать сколько раз 900 метров содержат по 5 метров, тем самым определяя через сколько минут первый пешеход догонит второго:

900 : 5 = 180 минут.

Ответ: через три минуты расстояние между пешеходами будет составлять 885 метров, первый пешеход догонит второго через 180 минут = 3 часа.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Заполните таблицу:

	S	v	t
1.	135 км	9 км/ч	____ ч
2.	____ м	12 м/с	4 с
3.	132 м	____ м/мин	11 мин

Для заполнения пропусков воспользуемся формулами нахождения скорости, времени, расстояния:

1. Надо найти время: t = S : v

135 : 9 = 15 часов.

1. Надо найти расстояние: S = v ∙ t

12 ∙ 4 = 48 м.

1. Надо найти скорость: v = S : t

132 : 11 = 12 м/мин.

Верный ответ:

	S	v	t
1.	135 км	9 км/ч	15 часов
2.	48 м	12 м/с	4 с
3.	132 м	12 м/мин	11 мин

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор

Выберите верный ответ к задаче:

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 300 км, отправились одновременно навстречу друг другу мотоциклист и автомобилист. Скорость автомобиля 60 км/ч, а мотоцикла 30 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Варианты ответов:

1. 70
2. 30
3. 270
4. 240

Эта задача относится к типу задач на сближение, т.е. нам надо:

1. сложить скорости мотоциклиста и автомобилиста:

60 + 30 = 90 км/ч – скорость сближения;

1. узнать, сколько километров они пройдут за 3 часа вместе. Для этого:

90 ∙ 3 = 270 км;

1. из общего расстояния нам осталось вычесть пройденное:

300 – 270 = 30 км

Верный ответ: 2. 30 км.