Расстояние между плоскостями.
Определение. Расстояние между плоскостями — равно длине перпендикуляра, опущенного с одной плоскости на другую.
Формула для вычисления расстояния между плоскостями
Если заданы уравнения параллельных плоскостей Ax + By + Cz + D1 = 0 и Ax + By + Cz + D2 = 0, то расстояние между плоскостями можно найти, используя следующую формулу
| d = | |D2 – D1| |
| √A2 + B2 + C2 |
Примеры задач на вычисление расстояния между плоскостями
Пример 1.
Найти расстояние между плоскостями 2x + 4y – 4z – 6 = 0 и x + 2y – 2z + 9 = 0.
Решение. Проверим, параллельны ли плоскости, для этого умножим уравнение второй плоскости на 2
2x + 4y – 4z + 18 = 0
Так как коэффициенты при неизвестных величинах у полученного уравнения и первого уравнения равны, то для вычисления расстояния между плоскостями можно использовати приведенную выше формулу:
| d = | |18 – (-6)| | = | |24| | = | 24 | = 4 |
| √22 + 42 + (-4)2 | √36 | 6 |
Ответ: расстояние между плоскостями равно 4.
Расстояние между плоскостями. Онлайн калькулятор
Страница обновляется. Могут возникнуть ошибки. Спасибо за понимание!
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между плоскостями. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения расстояния между плоскостями, введите элементы уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Расстояние между плоскостями − теория
Заметим, сначала, что расстояние между плоскостями определена, если плоскости параллельны или, что то же самое, нормальные векторы этих плоскостей коллинеарны. Вычисление расстояния между двумя плоскостями можно свести к вычислению расстояния от точки первой плоскости до второй плоскости. Вычисление расстояния от точки до плоскости (онлайн калькулятор, теория, примеры) посмотрите на странице Расстояние от точки до плоскости онлайн.
Алгоритм вычисления расстояния между плоскостями содержит следующие шаги:
- Проверка коллинеарности нормальных векторов плоскостей.
- Нахождение некоторой точки M0 на первой плоскости.
- Вычисление расстояния между точкой M0 и второй плоскостью.
Выведем формулу вычисления расстояния между плоскостями.
Запишем уравнения двух плоскостей:
1. Проверяем коллинеарность нормальных векторов n1=(A1, B1, C1) и n2=(A2, B2, C2).
Очевидно, что нормальные векторы n1 и n2 не могут быть нулевыми векторами.Если из пары коэффициентов (A1,A2),(B1,B2), (C1,C2) один нулевой а другой − нет, то нормальные векторы n1 и n2 неколлинеарны. Т.е. задача неразрешима.
Пусть A1≠0, A2≠0. Уравнение плоскости (2) не изменится, если умножим на A1/A2:
Нормальный вектор уравнения (2′) имеет следующий вид:
Для коллинеарности векторов n1 и n’2(или n1 и n2) необходимо и достаточно выполнение следующих равенств:
или
Если удовлетворяется условие (3) (или (3′)), то векторы n1 и n’2(или n1 и n2) коллинеарны, т.е. плоскости (1) и (2′) (или (1) и (2) ) параллельны. Тогда уравнение плоскости (2′) можно представить так:
где
2. Найдем некоторую точку на плоскости (1).
Легко убедится, что точка
принадлежит плоскости (1):
3. Расстояние от точки M0(x0, y0, z0) до плоскости (2”) вычисляется с помощью выражения (подробнее смотрите на странице расстояние от точки до плоскости):
Подставляя координаты точки M0 из (4) в (5), получим формулу вычисления расстояния между плоскостями (1) и (2”) (или (1) и (2)):
где
Расстояние между плоскостями − примеры и решения
Пример 1. Найти расстояние между плоскостями
и
Решение.
Проверим, являются ли эти плоскости параллельными. Для этого умножим второе уравнение на 1/3.
Общее уравнение плоскости имеет вид:
где n=(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.
Нормальный вектор плоскости (7) равен n1=(1, 2, −4), нормальный вектор плоскости (8′) равен n2=(1, 2, −4). n1=n2. Следовательно эти плоскости параллельны.
Найдем расстояние между плоскостями (7) и (8′), используя следующую формулу:
Подставим значения A, B, C, D1, D2 в (9):
Упростим и решим:
Ответ. Расстояние между плоскостями равен:
Пример 2. Найти расстояние между плоскостями
и
Решение.
Эти плоскости не параллельны, так как коэффициент переменного z уравнения (10) нулевой а коэффициент переменного z уравнения (11)−нет. Невозможно найти расстояние между непараллельными плоскостями.
Пример 3. Найти расстояние между плоскостями
и
Решение.
Проверим, являются ли эти плоскости параллельными. Для этого умножим второе уравнение на 4/3.
Нормальный вектор плоскости (12) равен n1=(4, 2, 8), нормальный вектор плоскости (13′) равен n2=(4, 16/3, 64/3). n1≠n2. Нормальные векторы этих плоскостей неколлинеарны. Тогда эти плоскости не параллельны и, следовательно, задача неразрешима.
Вы здесь
-
Расстояние между двумя плоскостями
Чтобы найти расстояние между двумя плоскостями, необходимо для начала убедиться в том, что они параллельны. Это значит, что система, составленная из уравнений, задающих данные плоскости, должна быть несовместной, так как коэффициенты одного уравнения можно беспрепятственно трансформировать в коэффициенты другого уравнения (за исключением свободного члена). В примере указаны два таких уравнения, где при умножении первого на два можно получить идентичные коэффициенты.
В связи с этим, формула для расстояния между двумя плоскостями представляет собой разность свободных коэффициентов уравнений плоскостей под модулем, за счет которого последовательность не имеет значения, деленную на квадратный корень из суммы квадратов свободных коэффициентов.
Смотрите также
5.3.3. Как найти расстояние между плоскостями?
Об этом расстоянии заходит речь, когда плоскости параллельны:
И если мы знаем точки 
, то никаких проблем. Впрочем, знать их не обязательно, поскольку перпендикуляр между плоскостями можно «протянуть» в любом месте. Гораздо выгоднее располагать уравнениями 
.
В этом случае можно найти любую точку любой плоскости и воспользоваться формулой предыдущего параграфа.
Но и тут есть спецформула:
Расстояние между параллельными плоскостями 
, заданными в декартовой системе, выражается формулой: 
.
Задача 139
Найдём расстояние между параллельными плоскостями 
Это плоскости из Задачи 137.
Решение: используем формулу:
Ответ: 
И вот здесь уже можно предложить занятный пример:
Задача 140
Найти расстояние между параллельными плоскостями 
Есть два пути решения:
1) Найти какую-нибудь точку, принадлежащую любой из плоскостей. Проще всего взять первую плоскость и обнулить «икс» и «зет». Далее используем формулу расстояния от точки до плоскости.
2) Используем формулу 
.
…Предложенные уравнения не имеют вид 
? Подумайте, что можно сделать 😉 Решение и ответ в конце книги.
5.3.4. Взаимное расположение двух плоскостей
5.3.2. Как найти расстояние от точки до плоскости?
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Расстояние между плоскостями
Устал от плоскостей? Все кажется двумерным и скучным?
Выход есть – попробуй стереометрию!
Так, ладно, хватит говорить, как человек из рекламы.
В этой статье ты научишься одной важной вещи – находить расстояние между плоскостями. Это умение поможет тебе в решении множества задач по стереометрии.
Начнем!
Определение расстояния между параллельными плоскостями
Расстояние между параллельными плоскостями – длина отрезка их общего перпендикуляра, заключенного между плоскостями
Вот так:
( displaystyle AB) – расстояние между плоскостями.
Да, но как найти это расстояние в задачах?
Иногда бывает так, что по каким-то соображениям можно прямо увидеть этот общий перпендикуляр.
Вот, например:
Решение задачи №1
В кубе ( displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}) найти расстояние между плоскостями ( displaystyle {{A}_{1}}BD) и ( displaystyle {{B}_{1}}{{D}_{1}}{{C}_{1}}), если ребро куба равно ( displaystyle 1).
В кубе ( displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}) найти расстояние между плоскостями ( displaystyle {{A}_{1}}BD) и ( displaystyle {{B}_{1}}{{D}_{1}}{{C}_{1}}), если ребро куба равно ( displaystyle 1).
Решаем:
Проведем диагональ куба ( displaystyle A{{C}_{1}}).
Докажем, что ( displaystyle A{{C}_{1}}bot {{A}_{1}}BD) (тогда будет и ( displaystyle A{{C}_{1}}bot B{{D}_{1}}C))
1) ( displaystyle C{{C}_{1}}bot ABCDrightarrow AC) – проекция ( displaystyle A{{C}_{1}}) на ( displaystyle ABCD).
( displaystyle ACbot BD) т.к. (( displaystyle ABCD) – квадрат), значит (Внимание!) по теореме о трех перпендикулярах ( displaystyle A{{C}_{1}}bot BD)
2) ( displaystyle {{C}_{1}}{{B}_{1}}bot A{{A}_{1}}{{B}_{1}}Brightarrow A{{B}_{1}}) – проекция ( displaystyle A{{C}_{1}}) на плоскость ( displaystyle A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B).
( displaystyle A{{B}_{1}}bot {{A}_{1}}B) (так как ( displaystyle A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B) – квадрат) ( displaystyle rightarrow ) по теореме о трех перпендикулярах ( displaystyle A{{C}_{1}}bot {{A}_{1}}B).
Итак, вышло:
( displaystyle left. begin{array}{l}A{{C}_{1}}bot BD\A{{C}_{1}}bot {{A}_{1}}Bend{array} right}Rightarrow A{{C}_{1}}bot {{A}_{1}}BD)
(смотри тему «Перпендикулярность в пространстве», если не совсем хорошо помнишь все теоремы).
Теперь нужно найти ( displaystyle KM) — и все!
Вспомним, что ( displaystyle A{{C}_{1}}^{2}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}+C{{C}_{1}}^{2}=1+1+1=3)( displaystyle A{{C}_{1}}=sqrt{3}).
Нарисуем теперь плоскость ( displaystyle A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C) отдельно.
Посмотри внимательно и убедись, что чертеж именно такой! А теперь уже легко:
( displaystyle begin{array}{l}Delta {{O}_{1}}{{C}_{1}}Msim Delta CAMRightarrow frac{{{O}_{1}}{{C}_{1}}}{AC}=frac{{{C}_{1}}M}{MA}Rightarrow frac{1}{2}=frac{{{C}_{1}}M}{MA}Rightarrow \Rightarrow {{C}_{1}}M=frac{1}{3}A{{C}_{1}}end{array}),
Точно так же ( displaystyle Delta AKOsim Delta {{C}_{1}}K{{A}_{1}}Rightarrow AK=frac{1}{3}A{{C}_{1}}).
И в итоге: ( displaystyle KM=A{{C}_{1}}-frac{1}{3}A{{C}_{1}}-frac{1}{3}A{{C}_{1}}=-frac{1}{3}A{{C}_{1}}).
( displaystyle KM=frac{sqrt{3}}{3}).
Вот и нашли.
Не очень–то просто?
Но иногда бывает еще хуже: общего перпендикуляра не видно. Нельзя сказать: вот эта линия перпендикулярна обеим плоскостям. Что же тогда делать?
Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, часто нужно подобрать удобную точку на одной плоскости и найти расстояние от этой точки до другой плоскости.
Как найти расстояние от точки до плоскости, мы подробно обсуждаем в теме «Расстояние от точки до плоскости».
Здесь же мы рассмотрим один пример, чтобы понять, как же это «подобрать удобную точку» в конкретных задачах.
Решение задачи №2
В правильной шестиугольной пирамиде ( displaystyle SABCDEF) точки ( displaystyle M) и ( displaystyle N) — середины ребер ( displaystyle SD) и ( displaystyle SE) соответственно.
Найти расстояние между плоскостями ( displaystyle MNC) и ( displaystyle SAB), если сторона основания пирамиды равна ( displaystyle 1), а боковое ребро равно ( displaystyle 2).
( displaystyle CF||MNRightarrow ) точка ( displaystyle Fin CMN) и ( displaystyle CMNF) – трапеция.
Какая же удобная точка?
Вот представь себе – это точка ( displaystyle O)!
Почему же?
Ну, во первых она лежит на плоскости ( displaystyle CMN) — это уже хорошо. А во-вторых из нее удобно опускать перпендикуляр на плоскость ( displaystyle SAB). Давай увидим это:
Пусть ( displaystyle K) – середина ( displaystyle AB).
Тогда ( displaystyle SKbot AB) и ( displaystyle OKbot AB).
Значит ( displaystyle ABbot SOK)
Опустим ( displaystyle OH) – высоту в ( displaystyle Delta SOK)
Тогда ( displaystyle OHbot SK) – по построению и ( displaystyle OHbot AB), т.к. ( displaystyle ABbot SOK) ( displaystyle rightarrow OHbot SAB).
Значит, ( displaystyle OH) и есть расстояние между ( displaystyle SAB) и ( displaystyle CMN).
Осталось это ( displaystyle OH) найти.
( displaystyle OA=OB=AB=1Rightarrow OK=1cdot sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2})
( displaystyle S{{O}^{2}}+O{{E}^{2}}=S{{E}^{2}}left( Delta SOE right))
( displaystyle S{{O}^{2}}+1=4Rightarrow S{{O}^{2}}=3); ( displaystyle SO=sqrt{3}).
( displaystyle S{{O}^{2}}+O{{K}^{2}}=S{{K}^{2}}left( Delta SOK right)Rightarrow )
( displaystyle Rightarrow 3+frac{3}{4}=S{{K}^{2}}); ( displaystyle SK=frac{sqrt{15}}{2})
( displaystyle OH=frac{SOcdot OK}{SK}) (высота прямоугольного треугольника)
( displaystyle OH=frac{sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{2}}{frac{sqrt{15}}{2}}=sqrt{frac{3}{5}})
Ответ: ( displaystyle sqrt{frac{3}{5}})
КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Расстояние между параллельными плоскостями – длина отрезка их общего перпендикуляра, заключенного между плоскостями
Вот так:
( displaystyle AB) – расстояние между плоскостями.
