Как найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Статья нацелена на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Будет рассмотрено определение расстояния между этими прямыми, получим алгоритм при помощи которого преобразуем нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Закрепим тему решением подобных примеров.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение

Предварительно необходимо доказать теорему, которая определяет связь между заданными скрещивающимися прямыми.

Раздел взаимного расположения прямых в пространстве говорит о том, что если две прямые называют скрещивающимися, если их расположение не в одной плоскости.

Через каждую пару скрещивающихся прямых может проходить плоскость, параллельная данной, причем только одна.

При переходе от определения расстояния между скрещивающимися прямыми определяем расстояние через расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью. 

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

То есть расстояние между прямой и плоскостью является расстоянием от заданной точки к плоскости. Тогда применима формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние от некоторой точки скрещивающихся прямых к плоскости, проходящей через другую прямую, параллельную первой прямой.

Произведем подробное рассмотрение прямых a и b. Точка М1 располагается на прямой a, через прямую b проводится плоскость χ, параллельная прямой a. Из точки М1 проводим перпендикуляр М1Н1 к плоскости χ. Длина этого перпендикуляра является расстоянием между скрещивающимися прямыми a и b. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми – теория, примеры, решения

Расстояния между скрещивающимися прямыми находятся при построении отрезка. Искомое расстояние равняется длине этого отрезка. По условию задачи его длина находится по теореме Пифагора, по признакам равенства или подобия треугольников или другим.

Когда имеем трехмерное пространство с системой координат Охуz с заданными в ней прямыми a и b, то вычисления следует проводить, начиная с расстояния между заданными скрещивающимися при помощи метода координат. Произведем подробное рассмотрение.

Пусть по условию χ является плоскостью, проходящей через прямую b, которая параллельна прямой a. Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b равняется расстоянию от точки М1, расположенной на прямой a, к плоскости _χ. Для того, чтобы получить нормальное уравнение плоскости χ, необходимо определить координаты точки M1(x1, y1, z1)_, расположенной на прямой a. Тогда получим cos α·x+cos β·y+cos γ·z-p=0, которое необходимо для определения расстояния M1H1 от точки M1x1, y1, z1 к плоскости χ. Вычисления производятся по формуле M1H1=cos α·x1+cos β·y1+cos γ·z1-p. Необходимое расстояние равняется искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Данная задача предполагает получение координат точки М1, которая располагается на прямой a, нахождение нормального уравнения плоскости χ.

Определение координат точки М1 необходимо и возможно при знании основных видов уравнений прямой в пространстве. Чтобы получить уравнение плоскости χ, необходимо остановиться подробней на алгоритме вычисления.

Если координаты x2, y2, z2 будут определены при помощи точки М2, через которую проведена плоскость χ, получаем нормальный вектор плоскости χ в виде вектора n→=(A, B, C). Следуя из этого, можно записать общее уравнение плоскости χ в виде A·x-x2+B·(y-y2)+C·(z-z2)=0.

Вместо точки М2 может быть взята любая другая точка, принадлежащая прямой b, потому как плоскость χ проходит через нее. Значит, координаты точки М2 найдены. Необходимо перейти к нахождению нормального вектора плоскости χ.

Имеем, что плоскость χ проходит через прямую b, причем параллельна прямой a. Значит, нормальный вектор плоскости χ перпендикулярен направляющему вектору прямой a, обозначим a→, и направляющему вектору прямой b, обозначим b→. Вектор n→ будет равняться векторному произведению a→ и b→, что значит, n→=a→×b→. После определения координат ax, ay, az и bx, by, bz направляющих векторов заданных прямых a и b, вычисляем

n→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz

Отсюда находим значение координат A, B, C нормального вектора к плоскости χ.

Знаем, что общее уравнение плоскости χ имеет вид A·(x-x2)+B·(y-y2)+C·(z-z2)=0.

Необходимо привести уравнение к нормальному виду cos α·x+cos β·y+cos γ·z-p=0. После чего нужно произвести вычисления искомого расстояния между скрещивающимися прямыми a и b, исходя из формулы M1H1=cos α·x1+cos β·y1+cos γ·z1-p.

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b, необходимо следовать алгоритму:

• определение координат (x1, y1, z1) и x2, y2, z2 точек М1 и М2, расположенных на прямых a и b соответственно;
• получение координат ax, ay, az и bx, by, bz, принадлежащих направляющим векторам прямых a и b;
• нахождение координат A, B, C, принадлежащих  вектору n→ на плоскости χ, проходящей через прямую b, расположенную параллельно a, по равенству n→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz;
• запись общего уравнения плоскости χ в виде A·x-x2+B·(y-y2)+C·(z-z2)=0;
• приведение полученного уравнения плоскости χ к уравнению нормального вида cos α·x+cos β·y+cos γ·z-p=0;
• вычисление расстояния M1H1 от M1x1, y1, z1 к плоскости χ, исходя из формулы M1H1=cos α·x1+cos β·y1+cos γ·z1-p.

Напомним, что скрещивающимися прямыми называют прямые, не принадлежащие одной плоскости и не имеющие между собой общих точек.

В качестве наглядного представления скрещивающихся прямых можно привести транспортную развязку. Верхнюю из дорог следует считать за одну прямую, нижнюю принять за другую.

Различные определения расстояния между скрещивающимися прямыми

Ка найти расстояние между скрещивающимися прямыми

Главная трудность здесь состоит в построении отрезка равного по своей длине расстоянию, которое нам требуется найти. Если его удалось построить, то используя теорему Пифагора, признаки подобия или равенства треугольников либо иные подобные пути, расстояние получится найти достаточно легко.

Как следует искать расстояние между скрещивающимися прямыми методом координат

Он основан на определении 5 и использовании формулы расстояния от точки M до плоскости α.

r(M, a) = (ax₀ + by₀ + cz₀ + d)/ √(a² + b² + c²)

Последовательность действий здесь следующая:

1. Выясняем, какие координаты имеют точки M₁ (x_1, y_1, z₁)и M₂(x_2, y_2,z₂) , принадлежащие прямым a и b;
2. Выясняем координаты (a_x,a_y,a_z) и (b_x,b_y,b_z), принадлежащие направляющим векторам a и b;
3. Выясняем, какие координаты (A,B,C) имеет нормальный вектор n плоскости χ, который проходит через b, параллельной a. Проще всего это сделать из равенства

[mathrm{n}=left[begin{array}{llll}
mathrm{a} X mathrm{~b}
end{array}right]=begin{array}{ccc}
i & j & k \
ax & ay & a z \
b x & b y & b z
end{array}]

1. Записываем общее уравнение плоскости χ как
   [mathrm{A}left(mathrm{x}-mathrm{x}_{1}right)+mathrm{B}left(mathrm{y}-mathrm{y}_{1}right)+mathrm{C}left(mathrm{z}-mathrm{z}_{1}right)=0;]
2. Приводим полученное уравнение к нормальному виду
   [cos alpha * mathrm{x}+cos beta * mathrm{y}+cos gamma * mathrm{z}-mathrm{p}=0;]
3. Вычисляем величину промежутка M₁H₁ от точки M(x_1,y_1,z₁) до плоскости χ по формуле

[mathrm{M}_{1} mathrm{H}_{1}=cos alpha mathrm{x}_{1}+cos beta mathrm{y}_{1}+cos gamma mathrm{z}_{1}-mathrm{p}]

Метод базирующийся на определении 1

Его покажем сразу на решении конкретно задачи. Так будет понятнее и яснее.

Метод объёмов

Он использует вспомогательную пирамиду, высота которой и будет искомым расстоянием, разделяющем скрещивающиеся прямые. Для нахождения упомянутой высоты сначала нужно узнать объём указанной пирамиды. Отсюда и название метода.

Отметим, что данный метод исключает проведение перпендикуляра к скрещивающимся прямым.

Скрещивающиеся прямые — это прямые, не лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся между собой.

Наименьшим расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми является перпендикуляр, опущенный с одной прямой на другую. У каждой пары скрещивающихся прямых при этом есть только один такой общий перпендикуляр.

Через каждую из скрещивающихся прямых возможно провести лишь одну плоскость, параллельную второй скрещивающейся прямой, соответственно, для определения расстояния между скрещивающимися прямыми, достаточно определить расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, на которой лежит вторая прямая.

Соответственно, задачу поиска расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью можно свести к поиску расстояния между любой точкой, лежащей на вышеозначенной прямой, и плоскостью.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми: координатный метод

Рассмотрим методику нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$ через координатный метод.

Прямая $L_1$ задана каноническими уравнениями $frac{x-x_1}{l_1} =frac{y-y_1}{m_1}=frac{z-z_1}{n_1}$, а прямая $L_2$ — $frac{x-x_2}{l_2}=frac{y-y_2}{m_2}=frac{z-z_2}{n_2}$.

Прежде всего необходимо найти уравнение плоскости $β$, параллельной прямой $L_1$. Для этого необходимо найти векторное произведение направляющих векторов прямых $L_1$ и $L_2$, данное произведение представляет собой координаты нормального вектора плоскости $β$:

«Расстояние между скрещивающимися прямыми: формула» 👇

$[ {l_1;m_1;n_1} cdot {l_2;m_2;n_2}]=begin{array}{|ccc|} i & j & k \ l_1 & m_1 &n_1 \ l_2 & m_2 &n_2 \ end{array}left(1right)$.

При вычислении выражения $(1)$ мы получим коэффициенты для общего уравнения плоскости $β$ — $A, B$ и $C$.

Для того чтобы записать всё общее выражение плоскости, подставим координаты любой точки, лежащей на $L_2$ в общую форму, например, можно подставить точку с координатами $(x_2;y_2; z_2)$, получим следующее:

$A (x-x_2) + B (y – y_2) + C(z- z_2) + D=0$.

Теперь достаточно выбрать любую точку на прямой $L_1$, пусть это будет точка $M_1$ с координатами $(x_1;y_1; z_1)$.

Расстояние от плоскости $β$ до точки $M_1$ составит:

$ρ=frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}left(2right)$,

где $A, B, C$ и $D$ — коэффициенты уравнения плоскости $β$, а $(x_1;y_1; z_1)$ — координаты точки, лежащей на прямой $L_1$.

Координатная формула вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми

Также аналогичное уравнение для поиска расстояния между скрещивающимися прямыми можно использовать сразу в полной координатной форме:

$ρ=frac{begin{array}{|ccc|} l_1 & m_1 &n_1\ l_2 &m_2 &n_2\ (x_2 – x_1) &(y_2-y_1) &(z_2-z_1) \ end{array}}{sqrt{begin{array}{|cc|} m_1 &n_1 \ m_2 &n_2 \ end{array}^2 + begin{array}{|cc|} l_1 &n_1 \ l_2 &n_2 \ end{array}^2 + begin{array}{|cc|} l_1 &m_1 \ l_2 &m_2 \ end{array}^2}}left(3right)$

Для того чтобы воспользоваться данной формулой, возможно нужно освежить в памяти способы нахождения определителей матриц.

Среди огромного количества стереометрических
задач в учебниках геометрии, в различных
сборниках задач, пособиях по подготовке в ВУЗы
крайне редко встречаются задачи на нахождение
расстояния между скрещивающимися прямыми.
Возможно, это обусловлено как узостью их
практического применения (относительно школьной
программы, в отличие от “выигрышных” задач на
вычисление площадей и объемов), так и сложностью
данной темы.

Практика проведения ЕГЭ показывает, что многие
учащиеся вообще не приступают к выполнению
заданий по геометрии, входящих в экзаменационную
работу. Для обеспечения успешного выполнения
геометрических заданий повышенного уровня
сложности необходимо развивать гибкость
мышления, способность анализировать
предполагаемую конфигурацию и вычленять в ней
части, рассмотрение которых позволяет найти путь
решения задачи.

Школьный курс предполагает изучение четырех
способов решения задач на нахождение расстояния
между скрещивающимися прямыми. Выбор способа
обусловлен, в первую очередь, особенностями
конкретной задачи, предоставленными ею
возможностями для выбора, и, во вторую очередь,
способностями и особенностями
“пространственного мышления” конкретного
учащегося. Каждый из этих способов позволяет
решить самую главную часть задачи – построение
отрезка, перпендикулярного обеим скрещивающимся
прямым (для вычислительной же части задач
деление на способы не требуется).

Основные способы решения задач на нахождение
расстояния между скрещивающимися прямыми

Нахождение длины общего перпендикуляра двух
скрещивающихся прямых, т.е. отрезка с концами на
этих прямых и перпендикулярного каждой из этих
прямых.

Нахождение расстояния от одной из
скрещивающихся прямых до параллельной ей
плоскости, проходящей через другую прямую.

Нахождение расстояния между двумя
параллельными плоскостями, проходящими через
заданные скрещивающиеся прямые.

Нахождение расстояния от точки, являющейся
проекцией одной из скрещивающихся прямых, на
перпендикулярную ей плоскость (так называемый
“экран”) до проекции другой прямой на ту же
самую плоскость.

Проведем демонстрацию всех четырех способов на
следующей простейшей задаче: “В кубе с
ребром а найти расстояние между любым ребром
и диагональю не пересекающей его грани”. Ответ: .

1 способ.

Рисунок 1

h_скр перпендикулярна плоскости боковой
грани, содержащей диагональ d и
перпендикулярна ребру, следовательно, h_скр
и является расстоянием между ребром а и
диагональю d.

2 способ.

Рисунок 2

Плоскость A параллельна ребру и проходит через
данную диагональ, следовательно, данная h_скр
является не только расстоянием от ребра до
плоскости A, но и расстоянием от ребра до данной
диагонали.

3 способ.

Рисунок 3

Плоскости A и B параллельны и проходят через две
данные скрещивающиеся прямые, следовательно,
расстояние между этими плоскостями равно
расстоянию между двумя скрещивающимися прямыми.

4 способ.

Рисунок 4

Плоскость A перпендикулярна ребру куба. При
проекции на A диагонали d данная диагональ
обращается в одну из сторон основания куба.
Данная h_скр является расстоянием между
прямой, содержащей ребро, и проекцией диагонали
на плоскость C, а значит и между прямой,
содержащей ребро, и диагональю.

Остановимся подробнее на применении каждого
способа для изучаемых в школе многогранников.

СПОСОБ I.

Применение первого способа достаточно
ограничено: он хорошо применяется лишь в
некоторых задачах, так как достаточно сложно
определить и обосновать в простейших задачах
точное, а в сложных – ориентировочное
местоположение общего перпендикуляра двух
скрещивающихся прямых. Кроме того, при
нахождении длины этого перпендикуляра в сложных
задачах можно столкнуться с непреодолимыми
трудностями.

Примеры

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде с
размерами a, b, h найти расстояние между
боковым ребром и не пересекающейся с ним
диагональю основания.

Рисунок 5

Пусть AHBD.
Так как А₁А перпендикулярна плоскости АВСD ,
то А₁А
AH.

AH перпендикулярна обеим из двух скрещивающихся
прямых, следовательно AH?- расстояние между
прямыми А₁А и BD. В прямоугольном
треугольнике ABD, зная длины катетов AB и AD, находим
высоту AH, используя формулы для вычисления
площади прямоугольного треугольника. Ответ:

Задача 2. В правильной 4-угольной пирамиде с
боковым ребром L и стороной основания a
найти расстояние между апофемой и стороной
основания, пересекающей боковую грань,
содержащую эту апофему.

Рисунок 6

SHCD как
апофема, ADCD,
так как ABCD – квадрат. Следовательно, DH –
расстояние между прямыми SH и AD. DH равно половине
стороны CD. Ответ:

СПОСОБ II

Применение этого способа также ограничено в
связи с тем, что если можно быстро построить (или
найти уже готовую) проходящую через одну из
скрещивающихся прямых плоскость, параллельную
другой прямой, то затем построение
перпендикуляра из любой точки второй прямой к
этой плоскости (внутри многогранника) вызывает
трудности. Однако в несложных задачах, где
построение (или отыскивание) указанного
перпендикуляра трудностей не вызывает, данный
способ является самым быстрым и легким, и поэтому
доступен.

Примеры

Задача 2. Решение уже указанной выше задачи
данным способом особых трудностей не вызывает.

Рисунок 7

Плоскость EFM параллельна прямой AD, т. к AD || EF.
Прямая MF лежит в этой плоскости, следовательно,
расстояние между прямой AD и плоскостью EFM равно
расстоянию между прямой AD и прямой MF. Проведем OHAD. OHEF, OHMO,
следовательно, OH(EFM),
следовательно, OH – расстояние между прямой AD и
плоскостью EFM, а значит, и расстояние между прямой
AD и прямой MF. Находим OH из треугольника AOD.

Ответ:

Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде с
размерами a,b и h найти расстояние между
боковым ребром и не пересекающейся с ним
диагональю параллелепипеда.

Рисунок 8

Прямая AA₁ параллельна плоскости BB₁D₁D,
B₁D принадлежит этой плоскости,
следовательно расстояние от AA₁ до
плоскости BB₁D₁D равно расстоянию между
прямыми AA₁ и B₁D. Проведем AHBD. Также, AH B₁B,
следовательно AH(BB₁D₁D), следовательно AHB₁D, т. е. AH –
искомое расстояние. Находим AH из прямоугольного
треугольника ABD.

Ответ:

Задача 4. В правильной шестиугольной призме
A:F₁ c высотой h и стороной основания a
найти расстояние между прямыми:

Рисунок 9 Рисунок 10

а) AA₁ и ED₁.

Рассмотрим плоскость E₁EDD₁. A₁E₁EE₁, A₁E₁E₁D₁,
следовательно

A₁E₁ (E₁EDD₁). Также A₁E₁ AA₁.
Следовательно, A₁E₁ является
расстоянием от прямой AA₁ до плоскости E₁EDD₁.
ED₁(E₁EDD₁).,
следовательно AE₁ – расстояние от прямой AA₁
до прямой ED₁. Находим A₁E₁ из
треугольника F₁A₁E₁ по теореме
косинусов. Ответ:

б) AF и диагональю BE₁.

Проведем из точки F прямую FH перпендикулярно BE.
EE₁FH, FHBE, следовательно
FH(BEE₁B₁),
следовательно FH является расстоянием между
прямой AF и (BEE₁B₁), а значит и
расстоянием между прямой AF и диагональю BE₁.
Ответ:

СПОСОБ III

Применение этого способа крайне ограничено,
так как плоскость, параллельную одной из прямых
(способ II) строить легче, чем две параллельные
плоскости, однако способ III можно использовать в
призмах, если скрещивающиеся прямые принадлежат
параллельным граням, а также в тех случаях, когда
в многограннике несложно построить параллельные
сечения, содержащие заданные прямые.

Примеры

Задача 4.

Рисунок 11

а) Плоскости BAA₁B₁ и DEE₁D₁
параллельны, так как AB || ED и AA₁ || EE₁. ED₁DEE₁D₁,
AA₁(BAA₁B₁),
следовательно, расстояние между прямыми AA₁
и ED₁ равно расстоянию между плоскостями BAA₁B₁
и DEE₁D₁. A₁E₁AA₁, A₁E₁A₁B₁, следовательно, A₁E₁BAA₁B₁.
Аналогично доказываем, что A₁E₁(DEE₁D₁). Т.о., A₁E₁
является расстоянием между плоскостями BAA₁B₁
и DEE₁D₁, а значит, и между прямыми AA₁
и ED₁. Находим A₁E₁ из треугольника
A₁F₁E₁, который является
равнобедренным с углом A₁F₁E₁,
равным .
Ответ:

Рисунок 12

б) Расстояние между AF и диагональю BE₁
находится аналогично.

Ответ:.

Задача 5. В кубе с ребром а найти
расстояние между двумя непересекающимися
диагоналями двух смежных граней.

Данная задача рассматривается как
классическая в некоторых пособиях, но, как
правило, ее решение дается способом IV, однако
является вполне доступной для решения с помощью
способа III.

Рисунок 13

Некоторую трудность в данной задаче вызывает
доказательство перпендикулярности диагонали A₁C
обеим параллельным плоскостям (AB₁D₁ ||
BC₁D). B₁CBC₁ и BC₁A₁B₁, следовательно,
прямая BC₁ перпендикулярна плоскости A₁B₁C,
и следовательно, BC₁A₁C. Также, A₁CBD.
Следовательно, прямая A₁C перпендикулярна
плоскости BC₁D. Вычислительная же часть
задачи особых трудностей не вызывает, так как h_скр
= EF находится как разность между диагональю куба
и высотами двух одинаковых правильных пирамид A₁AB₁D₁
и CC₁BD.

Ответ:

СПОСОБ IV.

Данный способ имеет достаточно широкое
применение. Для задач средней и повышенной
трудности его можно считать основным. Нет
необходимости применять его только тогда, когда
один из трех предыдущих способов работает проще
и быстрее, так как в таких случаях способ IV может
только усложнить решение задачи, или сделать его
труднодоступным. Данный способ очень выгодно
использовать в случае перпендикулярности
скрещивающихся прямых, так как нет необходимости
построения проекции одной из прямых на “экран”

Примеры.

Задача 5. Все та же “классическая” задача
(с непересекающимися диагоналями двух смежных
граней куба) перестает казаться сложной, как
только находится “экран” – диагональное
сечение куба.

Рисунок 14

Экран:

Рисунок 15

Рассмотрим плоскость A₁B₁CD. C₁F (A₁B₁CD),
т. к. C₁FB₁C
и C₁FA₁B₁.
Тогда проекцией C₁D на “экран” будет
являться отрезок DF. Проведем EMDF. Отрезок EM и будет являться расстоянием
между двумя непересекающимися диагоналями двух
смежных граней. Находим EM из прямоугольного
треугольника EDF. Ответ:.

Задача 6. В правильной треугольной пирамиде
найти расстояние и угол между скрещивающимися
прямыми: боковым ребром l и стороной
основания a.

Рисунок 16

В данной и аналогичных ей задачах способ IV
быстрее других способов приводит к решению, так
как построив сечение, играющее роль “экрана”,
перпендикулярно AC (треугольник BDM), видно, что
далее нет необходимости строить проекцию другой
прямой (BM) на этот экран. DH – искомое расстояние. DH
находим из треугольника MDB, используя формулы
площади. Ответ: .