Как найти расстояние между двумя вписанными окружностями

Как найти расстояние между двумя вписанными окружностями

Найти расстояние между центрами вписанных окружностей

2021-11-23
Дан треугольник со сторонами 25, 25 и 48.
а) Докажите, что он тупоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей.

а) Пусть $AB=AC=25$, $BC=48$ – стороны треугольника $ABC$ (рис.1). По теореме косинусов

Следовательно, $angle BACgt180^<circ>$.
б) Пусть $AH$ – высота равнобедренного треугольника $ABC$ (рис.2). Тогда $H$ – середина $BC$, а т.к. $AH$ – биссектриса треугольника, то центр $O_<1>$ вписанной окружности лежит на отрезке $OH$. Поскольку треугольник $ABC$ тупоугольный с тупым углом при вершине $A$, центр $O$ его описанной окружности и вершина $A$ лежат по разные стороны от прямой $BC$, причём точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$, т.е. на прямой $AH$. Значит, $OO_<1>=OA-O_<1>A$.
Из прямоугольного треугольника $AHB$ находим, что

Пусть $OA=R$ – радиус описанной окружности треугольника $ABC$. По теореме синусов

Пусть $S$ – площадь треугольника $ABC$, $p$ – полупериметр, $r=O_<1>H$ – радиус вписанной окружности. Тогда

Как найти расстояние между центрами окружностей

У Вас недостаточно прав для добавления комментариев.
Вам необходимо зарегистрироваться на сайте

Все права защищены 2019
Перепечатка информации возможна только при наличии
согласия администратора и активной ссылки на источник!

Взаимное расположение двух окружностей

Фигура Рисунок Свойства
Две окружности на плоскости

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точках

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точках

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точках

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутреннее касание двух окружностей

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точках

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутреннее касание двух окружностей

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точках

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешнее касание двух окружностей

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Фигура Рисунок Формула
Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Внешняя касательная к двум окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Ответ

Проверено экспертом

Уравнение окружности с центром (a;b) и радиусом R

центр окружности (-2;6) радиус 6

центр окружности (4;-5)радиус 5

по формуле расстояние между двумя точками :

находим расстояние между центрами заданных окружностей

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac<1><2>(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac<1><2>(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.

    • Примеры вписанной окружности

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    [spoiler title=”источники:”]

    http://games-on-pc.ru/info/kak-najti-rasstojanie-mezhdu-centrami-okruzhnostej/

    http://colibrus.ru/vpisannaya-okruzhnost/

    [/spoiler]

    Источник

    Нахождение расстояния между центрами окружностей

    Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит вершина С, на другой — основания AB равнобедренного треугольника ABC. Известно, что AB=10. Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника ABC.

    Решение задачи

    с4 - в

    В данном уроке демонстрируется решение геометрической задачи, которое можно использовать в качестве примера при решении задач типа С4 при подготовке к ЕГЭ.

    Условие задачи и ход решения для наглядности изображается схематически на рисунке. Касательно прямоугольного треугольника применяется теорема Пифагора: сумма гипотенузы равна сумма квадратов катетов. Далее площадь треугольника вычисляется с одной стороны как полупроизведение основания на высоту, а с другой — как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности. Учитывая это, определяется радиус вписанной окружности. Затем, из подобия треугольников и следует соотношение его соответствующих сторон и, как следствие, вычисляется значение стороны . По теореме Пифагора определяется значения сторон , и . Во втором случае, когда обе окружности касаются сторон угла , их центры лежат на биссектрисе данного угла. Учитывая подобие треугольников и по первому признаку подобия, а также рассматривая трапецию , искомое расстояние между центрами окружностей определяется по формуле .

    Как найти расстояние между центрами окружностей

    Все права защищены 2019
    Перепечатка информации возможна только при наличии
    согласия администратора и активной ссылки на источник!

    Взаимное расположение двух окружностей
    Общие касательные к двум окружностям
    Формулы для длин общих касательных и общей хорды
    Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

    Взаимное расположение двух окружностей

    Фигура Рисунок Свойства
    Две окружности на плоскости

    Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

    Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

    d r1 и r2 с центрами O1 и O2определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

    Каждая из окружностей лежит вне другой

    Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

    Внешнее касание двух окружностей

    Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

    Внутреннее касание двух окружностей

    Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

    Окружности пересекаются в двух точках

    Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

    d r1 и r2 с центрами O1 и O2определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

    Каждая из окружностей лежит вне другой

    Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

    Окружности пересекаются в двух точках

    Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

    Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

    d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

    Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

    Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

    Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
    две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Каждая из окружностей лежит вне другой

    Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

    Внешняя касательная к двум окружностям

    Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

    Внутренняя касательная к двум окружностям

    Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

    Внутреннее касание двух окружностей

    Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

    Окружности пересекаются в двух точках

    Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Внешнее касание двух окружностей

    Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Каждая из окружностей лежит вне другой

    Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

    Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

    Внутренняя касательная к двум окружностям

    Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

    Внутреннее касание двух окружностей

    Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

    Окружности пересекаются в двух точках

    Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Внешнее касание двух окружностей

    Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

    Каждая из окружностей лежит вне другой

    Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

    Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

    Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

    Внешняя касательная к двум окружностям

    Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Внутренняя касательная к двум окружностям

    Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Общая хорда двух пересекающихся окружностей

    Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

    Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Внутренняя касательная к двум окружностям

    Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

    Общая хорда двух пересекающихся окружностей

    Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

    Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

    Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

    что и требовалось доказать.

    Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

    Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

    Как найти расстояние между центрами окружностей?

    Найдите расстояние О1О2 между центрами окружносей, вписанных и описанных около АВС.?

    Для начала нужно найти гипотенузу,по теореме Пифагора «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов», это будет 36+64=100,соответственно Гипотенуза равна 10,после чего есть несколько формул,но я возьму 1,R=a*b*c/4S ,есть еще 1 формула для вписанной окружности это r=2*S/P

    Скорее всего загвоздка в определении слова «периметр». Вагончик имеет три измерения: длину, ширину и высоту. Что такое периметр в обыденном понимании? Сумма сторон плоской фигуры, в данном случае прямоугольника, который получится, если начертить его в плане. Для этого нужно сложить длину и ширину вагончика, и умножить на два. Но ширина вагончика не указана, то ли забыли, то ли специально. Если бы ширина вагончика была 4 метра, то периметр и был бы 16. Но с другой стороны, трудно представить, чтобы вагончик был квадратной формы, и ширина вагончика равнялась его длине.

    А показанная на рисунке формула (4+2)*2 позволяет определить периметр боковой стенки вагончика. Но ведь периметр боковой стенки нельзя назвать периметром вагончика.

    P.S. И вообще, даже картинка нарисована «тяп-ляп». Все ошибки описывать не буду, но вот та, что сразу бросается в глаза: двери трамвая нарисованы с левой стороны (при правостороннем движении)Ю или с правой стороны (при левостороннем движении, такое тоже возможно), т.е. вход и выход пассажиров должны осуществляться с междупутья.

    Минимизация по всем законам геометрической оптики должна сводиться к том, что отрезки от пунктов до реки параллельны

    имеем два прямоугольных треугольника с общим катетом длиной а и

    вторыми катетами, разность между которыми равна ширине реки х (b и b-x) и гипотенузами 3,8 для одного и 4 — х для другого (с меньшим вторым катетом)

    Источник

    Помогите пожалуйста вывести формулу расстояния между двумя окружностями

    Никуська



    Профи

    (538),
    на голосовании



    14 лет назад

    Голосование за лучший ответ

    Аццкий скорпиончег

    Просветленный

    (23519)


    14 лет назад

    А как они заданы? Если две окружности заданы координатами центра и радиусами, то:

    1) расстояние между центрами равно:

    d^2 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2

    2) расстояние между самими окружностями:

    s = d – r1 – r2

    Похожие вопросы

    Источник

    Формулы для центров вневписанных окружностей треугольников

    Речь пойдет о формулах для определения расстояний между
    центрами вписанной и вневписанной окружностей произвольного треугольника.

    Пусть α,
    β,
    γ — внутренние углы
    треугольника, а r — радиус вписанной в него окружности. Обозначим
    расстояния между центром O вписанной окружности и центрами A, B,
    C вневписанных окружностей соответственно:

    OA – la, OB – lb,
    OC – lc;

    аналогично — расстояния между центрами вневписанных
    окружностей:

    BC – La, CA – Lb,
    AB – Lc.

    Тогда имеют место шесть следующих легко запоминающихся
    соотношений:


    В случае равностороннего треугольника формулы предельно
    упрощаются:

    la = lb = lc
    = l = 4r;

    La = Lb = Lc = L =

    Формулам можно придать другой вид, если учесть, что:

    где a, b, c — стороны треугольника,

     — его полупериметр.

    После соответствующих подстановок и следующих за ними
    сокращений окончательно получим:

    Для равностороннего треугольника

    Сарбаш Р.

    Источник

    Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 14 августа 2022 года; проверки требуют 2 правки.

    Лемма о трезубце вики7.png

    Формула Эйлера — теорема планиметрии, связывает расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей и их радиусами.

    Теорема названа в честь Леонарда Эйлера, который опубликовал её в 1765 году.[1]
    Однако тот же результат был получен ранее Уильямом Чапплом[en] в 1746 году.[2]

    Формулировка[править | править код]

    Расстояние d между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника может быть определено по формуле

    {displaystyle d^{2}=R^{2}-2Rr.}

    где R — радиус описанной, r — радиус вписанной окружности.

    В 1969 году Георгий Александров дал развернутую формулу:

    {displaystyle d^{2}={frac {a,b,c,}{a+b+c}}left[{frac {a,b,c,}{(a+b-c),(a-b+c),(-a+b+c)}}-1right]}

    где a,b,c — стороны треугольника.

    Замечания[править | править код]

    • Приведённую формулу можно переписать следующим образом
      {displaystyle {frac {1}{R-d}}+{frac {1}{R+d}}={frac {1}{r}}}.
    или

    {displaystyle (R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},}
    где a,b,c — стороны треугольника.
    • Для сферического треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной может быть меньше 2. Более того, для любого числа между 1 и 2 существует правильный сферический треугольник с отношением радиуса описанной к радиусу вписанной окружности, равным этому числу.

    Доказательство[править | править код]

    Вики .png

    Пусть O — центр описанной окружности треугольника Delta ABC, а I — центр вписанной окружности.
    Если луч {displaystyle AI} пересекает описанную окружность в точке L, то L является средней точкой дуги BC.
    Проведём луч {displaystyle LO} и обозначим его точку пересечения с описанной окружностью как M.
    Тогда {displaystyle LM} будет диаметром описанной окружности. Из точки I опустим перпендикуляр {displaystyle ID} на {displaystyle AB.} Тогда {displaystyle ID=r.} Запишем формулу Эйлера немного в другом виде

    {displaystyle R^{2}-d^{2}=2Rr.}

    Можно заметить, что слева стоит степень точки I относительно описанной окружности (если быть точным, то минус степень точки).
    То есть, достаточно доказать равенство {displaystyle LIcdot IA=2Rr}.
    По лемме о трезубце {displaystyle LI=LB,} значит, достаточно доказать, что {displaystyle LBcdot IA=2Rr}.
    Теперь заметим, что {displaystyle 2R=LM} и {displaystyle r=ID,} то есть, требуемое равенство можно переписать в виде {displaystyle LBcdot IA=LMcdot ID.} Перепишем его ещё немного: {displaystyle LB/LM=ID/IA}.
    Это равенство следует из подобия треугольников {displaystyle triangle AID} и {displaystyle triangle MLB}.
    В самом деле, углы B и D у этих треугольников прямые, а углы A и M равны, потому что оба опираются на дугу BL (более того, отношение {displaystyle LB/LM=ID/IA} равно синусу угла {displaystyle angle BAL}).

    Вариации и обобщения[править | править код]

    Для центра вневписанной окружности[править | править код]

    Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

    {displaystyle (R+r_{out})^{2}=d_{out}^{2}+r_{out}^{2},}

    где {displaystyle r_{out}} — радиус одной из вневписанных окружностей, а {displaystyle d_{out}} — расстояние от центра описанной окружности до центра этой вневписанной окружности[4][5][6].

    Для многоугольников[править | править код]

    Во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центрами вписанной и вписанной окружностей соответственно I и О.

    или эквивалентно,

    {displaystyle d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}
    • Это соотношение называют Теоремой Фусса[en]. Оно получено Николаем Ивановичем Фуссом[7] в 1792 году.
    • Теорема Кэли о цепи Понселе обобщает теорему Эйлера на вписанно-описанные n-угольники[1].

    См. также[править | править код]

    • Поризм Понселе

    Примечания[править | править код]

    1. ↑ 1 2 Авксентьев, Е. А. Инвариантные меры и теоремы о замыкании типа Понселе Архивная копия от 14 августа 2016 на Wayback Machine
    2. ↑ Chapple, William (1746), An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles, Miscellanea Curiosa Mathematica Т. 4: 117–124, <https://archive.org/details/miscellaneacuri01unkngoog/page/n142>. The formula for the distance is near the bottom of p.123.
    3. ↑ Svrtan, Dragutin & Veljan, Darko (2012), Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities, Forum Geometricorum Т. 12: 197–209, <http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html> Архивная копия от 28 октября 2019 на Wayback Machine.
    4. ↑ Roger Nelson. Euler’s triangle inequality via proof without words // Mathematics Magazine. — February 2008. — Вып. 81(1). — С. 58—61.
    5. ↑ R. A. Johnson. Modern Geometry. — Boston: Houghton Mifflin, 1929. — С. 187.
    6. ↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Euler’s formula and Poncelet’s porism // Forum Geometricorum. — 2001. — Вып. 1. — С. 137–140..
    7. ↑ Nicolas Fuss// https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Fuss Архивная копия от 17 февраля 2020 на Wayback Machine

    Ссылки[править | править код]

    • Weisstein, Eric W. Euler Triangle Formula (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
    Источник

    Добавить комментарий