Как найти расстояние между плоскостями оснований параллелепипеда

Материал данной статьи позволяет получить навык определения расстояния между двумя параллельными плоскостями при помощи метода координат. Дадим определение расстояния между параллельными плоскостями, получим формулу для его расчета и рассмотрим теорию на практических примерах.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями: определение

Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние от произвольной точки одной из рассматриваемых параллельных плоскостей до другой плоскости.

Пусть заданы две параллельные плоскости ϒ1 и ϒ2. Из произвольной точки М1 плоскости ϒ1 опустим перпендикуляр М1Н1 на другую плоскость ϒ2. Длина перпендикуляра М1Н1 и будет являться расстоянием между заданными плоскостями.

Указанное определение расстояния между параллельными плоскостями имеет взаимосвязь со следующей теоремой.

Если две плоскости параллельны, то все точки одной из параллельных плоскостей находятся на одном и том же расстоянии от другой плоскости.

Заметим также, что расстояние между параллельными плоскостями – наименьшее из расстояний между произвольными точками этих плоскостей.

Нахождение расстояния между параллельными плоскостями

По программе 10-11 классов расстояние между параллельными плоскостями определяется построением перпендикуляра из любой точки одной плоскости, опущенного к другой плоскости; после чего находится длина этого перпендикуляра (при помощи теоремы Пифагора, признаков равенства, или подобия треугольников, или определения синуса, косинуса, тангенса угла).

В случае, когда уже задана или есть возможность задать прямоугольную систему координат, то мы имеем возможность определить расстояние между параллельными плоскостями при помощи метода координат.

Пусть задано трехмерное пространство, а в нем – прямоугольная система координат и две параллельные плоскости ϒ1 и ϒ2. Найдем расстояние между этими плоскостями, опираясь, в том числе, на определение расстояния между плоскостями, данное выше.

В исходных данных – плоскости ϒ1 и ϒ2, и мы можем определить координаты (x1, y1, z1) некой точки M1, принадлежащей одной из заданных плоскостей: пусть это будет плоскость ϒ1. Также получим нормальное уравнение плоскости ϒ2: cos α·x+cos β·y+cos λ·z-p=0. В таком случае, искомое расстояние |М1Н1| будет равно расстоянию от точки М1(x1, y1, z1) до плоскости ϒ2 (ей соответствует нормальное уравнение cos α·x+cos β·y+cosγ·z-p=0). Тогда нужное расстояние вычислим по формуле: M1H1=cos α·x1+cos β·y1+cosγ·z1-p. Вывод данной формулы можно изучить в теме вычисления расстояния от точки до плоскости.

Резюмируем. Для того,чтобы определить расстояние между двумя параллельными плоскостями, необходимо:

Если в прямоугольной системе координат плоскость ϒ1 задается общим уравнением плоскости A·x+B·y+C·z+D1=0, а плоскость ϒ2 – общим уравнением A·x+B·y+C·z+D2=0, тогда расстояние между параллельными плоскостями необходимо вычислять по формуле:

M1H1=D2-D1A2+B2+C2

Покажем, как данная формула получена.

Пусть точка М1(x1, y1, z1) принадлежит плоскости ϒ1. В таком случае координаты этой точки будут отвечать уравнению плоскости A·x+B·y+C·z+D1=0, или верным будет равенство: A·x1+B·y1+C·z1+D1=0. Отсюда получим: A·x1+B·y1+C·z1+D1=0. Полученное равенство нам еще пригодится.

Плоскость ϒ2 будет описываться нормальным уравнением плоскости A·x+B·y+C·z+D2A2+B2+C2=0 или -A·x+B·y+C·z+D2A2+B2+C2=0 (в зависимости от знака числа D2). Однако при любом значение D2 расстояние |М1Н1| возможно рассчитать, используя формулу:

M1H1=A·x1+B·y1+C·z1+D2A2+B2+C2=A·x1+B·y1+C·z1+D2A2+B2+C2

Теперь задействуем полученное ранее равенство A·x1+B·y1+C·z1=-D1 и преобразуем формулу:

M1H1=-D1+D2A2+B2+C2=D2-D1A2+B2+C2

Расстояние между плоскостями

Устал от плоскостей? Все кажется двумерным и скучным?

Выход есть – попробуй стереометрию!

Так, ладно, хватит говорить, как человек из рекламы.

В этой статье ты научишься одной важной вещи – находить расстояние между плоскостями. Это умение поможет тебе в решении множества задач по стереометрии.

Начнем!

Определение расстояния между параллельными плоскостями

Расстояние между параллельными плоскостями – длина отрезка их общего перпендикуляра, заключенного между плоскостями

Вот так:

( displaystyle AB) – расстояние между плоскостями.

Да, но как найти это расстояние в задачах?

Иногда бывает так, что по каким-то соображениям можно прямо увидеть этот общий перпендикуляр.

Вот, например:

Решение задачи №1

В кубе ( displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}) найти расстояние между плоскостями ( displaystyle {{A}_{1}}BD) и ( displaystyle {{B}_{1}}{{D}_{1}}{{C}_{1}}), если ребро куба равно ( displaystyle 1).

В кубе ( displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}) найти расстояние между плоскостями ( displaystyle {{A}_{1}}BD) и ( displaystyle {{B}_{1}}{{D}_{1}}{{C}_{1}}), если ребро куба равно ( displaystyle 1).

Решаем:

Проведем диагональ куба ( displaystyle A{{C}_{1}}).

Докажем, что ( displaystyle A{{C}_{1}}bot {{A}_{1}}BD) (тогда будет и ( displaystyle A{{C}_{1}}bot B{{D}_{1}}C))

1) ( displaystyle C{{C}_{1}}bot ABCDrightarrow AC) – проекция ( displaystyle A{{C}_{1}}) на ( displaystyle ABCD).

( displaystyle ACbot BD) т.к. (( displaystyle ABCD) – квадрат), значит (Внимание!) по теореме о трех перпендикулярах ( displaystyle A{{C}_{1}}bot BD)

2) ( displaystyle {{C}_{1}}{{B}_{1}}bot A{{A}_{1}}{{B}_{1}}Brightarrow A{{B}_{1}}) – проекция ( displaystyle A{{C}_{1}}) на плоскость ( displaystyle A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B).

( displaystyle A{{B}_{1}}bot {{A}_{1}}B) (так как ( displaystyle A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B) – квадрат) ( displaystyle rightarrow ) по теореме о трех перпендикулярах ( displaystyle A{{C}_{1}}bot {{A}_{1}}B).

Итак, вышло:

( displaystyle left. begin{array}{l}A{{C}_{1}}bot BD\A{{C}_{1}}bot {{A}_{1}}Bend{array} right}Rightarrow A{{C}_{1}}bot {{A}_{1}}BD)

(смотри тему «Перпендикулярность в пространстве», если не совсем хорошо помнишь все теоремы).

Теперь нужно найти ( displaystyle KM) — и все!

Вспомним, что ( displaystyle A{{C}_{1}}^{2}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}+C{{C}_{1}}^{2}=1+1+1=3)( displaystyle A{{C}_{1}}=sqrt{3}).

Нарисуем теперь плоскость ( displaystyle A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C) отдельно.

Посмотри внимательно и убедись, что чертеж именно такой! А теперь уже легко:

( displaystyle begin{array}{l}Delta {{O}_{1}}{{C}_{1}}Msim Delta CAMRightarrow frac{{{O}_{1}}{{C}_{1}}}{AC}=frac{{{C}_{1}}M}{MA}Rightarrow frac{1}{2}=frac{{{C}_{1}}M}{MA}Rightarrow \Rightarrow {{C}_{1}}M=frac{1}{3}A{{C}_{1}}end{array}),

Точно так же ( displaystyle Delta AKOsim Delta {{C}_{1}}K{{A}_{1}}Rightarrow AK=frac{1}{3}A{{C}_{1}}).

И в итоге: ( displaystyle KM=A{{C}_{1}}-frac{1}{3}A{{C}_{1}}-frac{1}{3}A{{C}_{1}}=-frac{1}{3}A{{C}_{1}}).

( displaystyle KM=frac{sqrt{3}}{3}).

Вот и нашли.

Не очень–то просто?

Но иногда бывает еще хуже: общего перпендикуляра не видно. Нельзя сказать: вот эта линия перпендикулярна обеим плоскостям. Что же тогда делать?

Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, часто нужно подобрать удобную точку на одной плоскости и найти расстояние от этой точки до другой плоскости.

Как найти расстояние от точки до плоскости, мы подробно обсуждаем в теме «Расстояние от точки до плоскости».

Здесь же мы рассмотрим один пример, чтобы понять, как же это «подобрать удобную точку» в конкретных задачах.

Решение задачи №2

В правильной шестиугольной пирамиде ( displaystyle SABCDEF) точки ( displaystyle M) и ( displaystyle N) — середины ребер ( displaystyle SD) и ( displaystyle SE) соответственно.

Найти расстояние между плоскостями ( displaystyle MNC) и ( displaystyle SAB), если сторона основания пирамиды равна ( displaystyle 1), а боковое ребро равно ( displaystyle 2).

( displaystyle CF||MNRightarrow ) точка ( displaystyle Fin CMN) и ( displaystyle CMNF) – трапеция.

Какая же удобная точка?

Вот представь себе – это точка ( displaystyle O)!

Почему же?

Ну, во первых она лежит на плоскости ( displaystyle CMN) — это уже хорошо. А во-вторых из нее удобно опускать перпендикуляр на плоскость ( displaystyle SAB). Давай увидим это:

Пусть ( displaystyle K) – середина ( displaystyle AB).

Тогда ( displaystyle SKbot AB) и ( displaystyle OKbot AB).

Значит ( displaystyle ABbot SOK)

Опустим ( displaystyle OH) – высоту в ( displaystyle Delta SOK)

Тогда ( displaystyle OHbot SK) – по построению и ( displaystyle OHbot AB), т.к. ( displaystyle ABbot SOK) ( displaystyle rightarrow OHbot SAB).

Значит, ( displaystyle OH) и есть расстояние между ( displaystyle SAB) и ( displaystyle CMN).

Осталось это ( displaystyle OH) найти.

( displaystyle OA=OB=AB=1Rightarrow OK=1cdot sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2})

( displaystyle S{{O}^{2}}+O{{E}^{2}}=S{{E}^{2}}left( Delta SOE right))

( displaystyle S{{O}^{2}}+1=4Rightarrow S{{O}^{2}}=3); ( displaystyle SO=sqrt{3}).

( displaystyle S{{O}^{2}}+O{{K}^{2}}=S{{K}^{2}}left( Delta SOK right)Rightarrow )

( displaystyle Rightarrow 3+frac{3}{4}=S{{K}^{2}}); ( displaystyle SK=frac{sqrt{15}}{2})

( displaystyle OH=frac{SOcdot OK}{SK}) (высота прямоугольного треугольника)

( displaystyle OH=frac{sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{2}}{frac{sqrt{15}}{2}}=sqrt{frac{3}{5}})

Ответ: ( displaystyle sqrt{frac{3}{5}})

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Расстояние между параллельными плоскостями – длина отрезка их общего перпендикуляра, заключенного между плоскостями

Вот так:

( displaystyle AB) – расстояние между плоскостями.

Расстояние между плоскостями. Онлайн калькулятор

Страница обновляется. Могут возникнуть ошибки. Спасибо за понимание!

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между плоскостями. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения расстояния между плоскостями, введите элементы уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.

Расстояние между плоскостями − теория

Заметим, сначала, что расстояние между плоскостями определена, если плоскости параллельны или, что то же самое, нормальные векторы этих плоскостей коллинеарны. Вычисление расстояния между двумя плоскостями можно свести к вычислению расстояния от точки первой плоскости до второй плоскости. Вычисление расстояния от точки до плоскости (онлайн калькулятор, теория, примеры) посмотрите на странице Расстояние от точки до плоскости онлайн.

Алгоритм вычисления расстояния между плоскостями содержит следующие шаги:

1. Проверка коллинеарности нормальных векторов плоскостей.
2. Нахождение некоторой точки M₀ на первой плоскости.
3. Вычисление расстояния между точкой M₀ и второй плоскостью.

Выведем формулу вычисления расстояния между плоскостями.

Запишем уравнения двух плоскостей:

1. Проверяем коллинеарность нормальных векторов n₁=(A₁, B₁, C₁) и n₂=(A₂, B₂, C₂).

Очевидно, что нормальные векторы n₁ и n₂ не могут быть нулевыми векторами.Если из пары коэффициентов (A₁,A₂),(B₁,B₂), (C₁,C₂) один нулевой а другой − нет, то нормальные векторы n₁ и n₂ неколлинеарны. Т.е. задача неразрешима.

Пусть A₁≠0, A₂≠0. Уравнение плоскости (2) не изменится, если умножим на A₁/A₂:

Нормальный вектор уравнения (2′) имеет следующий вид:

Для коллинеарности векторов n₁ и n’₂(или n₁ и n₂) необходимо и достаточно выполнение следующих равенств:

или

Если удовлетворяется условие (3) (или (3′)), то векторы n₁ и n’₂(или n₁ и n₂) коллинеарны, т.е. плоскости (1) и (2′) (или (1) и (2) ) параллельны. Тогда уравнение плоскости (2′) можно представить так:

где

2. Найдем некоторую точку на плоскости (1).

Легко убедится, что точка

принадлежит плоскости (1):

3. Расстояние от точки M₀(x₀, y₀, z₀) до плоскости (2”) вычисляется с помощью выражения (подробнее смотрите на странице расстояние от точки до плоскости):

Подставляя координаты точки M₀ из (4) в (5), получим формулу вычисления расстояния между плоскостями (1) и (2”) (или (1) и (2)):

где

Расстояние между плоскостями − примеры и решения

Пример 1. Найти расстояние между плоскостями

и

Решение.

Проверим, являются ли эти плоскости параллельными. Для этого умножим второе уравнение на 1/3.

Общее уравнение плоскости имеет вид:

где n=(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Нормальный вектор плоскости (7) равен n₁=(1, 2, −4), нормальный вектор плоскости (8′) равен n₂=(1, 2, −4). n₁=n₂. Следовательно эти плоскости параллельны.

Найдем расстояние между плоскостями (7) и (8′), используя следующую формулу:

Подставим значения A, B, C, D₁, D₂ в (9):

Упростим и решим:

Ответ. Расстояние между плоскостями равен:

Пример 2. Найти расстояние между плоскостями

и

Решение.

Эти плоскости не параллельны, так как коэффициент переменного z уравнения (10) нулевой а коэффициент переменного z уравнения (11)−нет. Невозможно найти расстояние между непараллельными плоскостями.

Пример 3. Найти расстояние между плоскостями

и

Решение.

Проверим, являются ли эти плоскости параллельными. Для этого умножим второе уравнение на 4/3.

Нормальный вектор плоскости (12) равен n₁=(4, 2, 8), нормальный вектор плоскости (13′) равен n₂=(4, 16/3, 64/3). n₁≠n₂. Нормальные векторы этих плоскостей неколлинеарны. Тогда эти плоскости не параллельны и, следовательно, задача неразрешима.

Обновлено: 16.05.2023

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между плоскостями. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения расстояния между плоскостями, введите элементы уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние между плоскостями − теория

Заметим, сначала, что расстояние между плоскостями определена, если плоскости параллельны или, что то же самое, нормальные векторы этих плоскостей коллинеарны. Вычисление расстояния между двумя плоскостями можно свести к вычислению расстояния от точки первой плоскости до второй плоскости. Вычисление расстояния от точки до плоскости (онлайн калькулятор, теория, примеры) посмотрите на странице Расстояние от точки до плоскости онлайн.

Алгоритм вычисления расстояния между плоскостями содержит следующие шаги:

1. Проверка коллинеарности нормальных векторов плоскостей.
2. Нахождение некоторой точки M₀ на первой плоскости.
3. Вычисление расстояния между точкой M₀ и второй плоскостью.

Выведем формулу вычисления расстояния между плоскостями.

Запишем уравнения двух плоскостей:

1. Проверяем коллинеарность нормальных векторов n₁=(A₁, B₁, C₁) и n₂=(A₂, B₂, C₂).

Очевидно, что нормальные векторы n₁ и n₂ не могут быть нулевыми векторами.Если из пары коэффициентов (A₁,A₂),(B₁,B₂), (C₁,C₂) один нулевой а другой − нет, то нормальные векторы n₁ и n₂ неколлинеарны. Т.е. задача неразрешима.

Пусть A₁≠0, A₂≠0. Уравнение плоскости (2) не изменится, если умножим на A₁/A₂:

(2′)

Нормальный вектор уравнения (2′) имеет следующий вид:

Для коллинеарности векторов n₁ и n’₂(или n₁ и n₂) необходимо и достаточно выполнение следующих равенств:

(3)

(3′)

Если удовлетворяется условие (3) (или (3′)), то векторы n₁ и n’₂(или n₁ и n₂) коллинеарны, т.е. плоскости (1) и (2′) (или (1) и (2) ) параллельны. Тогда уравнение плоскости (2′) можно представить так:

2. Найдем некоторую точку на плоскости (1).

Легко убедится, что точка

(4)

принадлежит плоскости (1):

3. Расстояние от точки M₀(x₀, y₀, z₀) до плоскости (2”) вычисляется с помощью выражения (подробнее смотрите на странице расстояние от точки до плоскости):

(5)

Подставляя координаты точки M₀ из (4) в (5), получим формулу вычисления расстояния между плоскостями (1) и (2”) (или (1) и (2)):

(6)

Расстояние между плоскостями − примеры и решения

Пример 1. Найти расстояние между плоскостями

(7)

(8)

Проверим, являются ли эти плоскости параллельными. Для этого умножим второе уравнение на 1/3.

(8′)

Общее уравнение плоскости имеет вид:

где n=(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Нормальный вектор плоскости (7) равен n₁=(1, 2, −4), нормальный вектор плоскости (8′) равен n₂=(1, 2, −4). n₁=n₂. Следовательно эти плоскости параллельны.

Найдем расстояние между плоскостями (7) и (8′), используя следующую формулу:

(9)

Подставим значения A, B, C, D₁, D₂ в (9):

Упростим и решим:

Ответ. Расстояние между плоскостями равен:

Пример 2. Найти расстояние между плоскостями

(10)

(11)

Эти плоскости не параллельны, так как коэффициент переменного z уравнения (10) нулевой а коэффициент переменного z уравнения (11)−нет. Невозможно найти расстояние между непараллельными плоскостями.

Пример 3. Найти расстояние между плоскостями

(12)

(13)

Проверим, являются ли эти плоскости параллельными. Для этого умножим второе уравнение на 4/3.

(13′)

Нормальный вектор плоскости (12) равен n₁=(4, 2, 8), нормальный вектор плоскости (13′) равен n₂=(4, 16/3, 64/3). n₁≠n₂. Нормальные векторы этих плоскостей неколлинеарны. Тогда эти плоскости не параллельны и, следовательно, задача неразрешима.

Определение. Расстояние между плоскостями — равно длине перпендикуляра, опущенного с одной плоскости на другую.

Формула для вычисления расстояния между плоскостями

Если заданы уравнения параллельных плоскостей A x + B y + C z + D₁ = 0 и A x + B y + C z + D₂ = 0, то расстояние между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

Примеры задач на вычисление расстояния между плоскостями

Решение. Проверим, параллельны ли плоскости, для этого умножим уравнение второй плоскости на 2

2 x + 4 y – 4 z + 18 = 0

Так как коэффициенты при неизвестных величинах у полученного уравнения и первого уравнения равны, то для вычисления расстояния между плоскостями можно использовати приведенную выше формулу:

d =	|18 – (-6)|	=	|24|	=	24	= 4
√ 2 2 + 4 2 + (-4) 2	√ 36	6

Ответ: расстояние между плоскостями равно 4.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Устал от плоскостей? Все кажется двумерным и скучным?

Выход есть – попробуй стереометрию!

Так, ладно, хватит говорить, как человек из рекламы.

В этой статье ты научишься одной важной вещи – находить расстояние между плоскостями. Это умение поможет тебе в решении множества задач по стереометрии.

Определение расстояния между параллельными плоскостями

Расстояние между параллельными плоскостями – длина отрезка их общего перпендикуляра, заключенного между плоскостями

( displaystyle AB) – расстояние между плоскостями.

Да, но как найти это расстояние в задачах?

Иногда бывает так, что по каким-то соображениям можно прямо увидеть этот общий перпендикуляр.

Решение задачи №1

Решаем:

Проведем диагональ куба ( displaystyle A_>).

1) ( displaystyle C_>bot ABCDrightarrow AC) – проекция ( displaystyle A_>) на ( displaystyle ABCD).

( displaystyle ACbot BD) т.к. (( displaystyle ABCD) – квадрат), значит (Внимание!) по теореме о трех перпендикулярах ( displaystyle A_>bot BD)

Теперь нужно найти ( displaystyle KM) — и все!

Нарисуем теперь плоскость ( displaystyle A>_>C) отдельно.

Посмотри внимательно и убедись, что чертеж именно такой! А теперь уже легко:

Не очень–то просто?

Но иногда бывает еще хуже: общего перпендикуляра не видно. Нельзя сказать: вот эта линия перпендикулярна обеим плоскостям. Что же тогда делать?

Для того, чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями, часто нужно подобрать удобную точку на одной плоскости и найти расстояние от этой точки до другой плоскости.

Решение задачи №2

В правильной шестиугольной пирамиде ( displaystyle SABCDEF) точки ( displaystyle M) и ( displaystyle N) — середины ребер ( displaystyle SD) и ( displaystyle SE) соответственно.

Найти расстояние между плоскостями ( displaystyle MNC) и ( displaystyle SAB), если сторона основания пирамиды равна ( displaystyle 1), а боковое ребро равно ( displaystyle 2).

( displaystyle CF||MNRightarrow ) точка ( displaystyle Fin CMN) и ( displaystyle CMNF) – трапеция.

Какая же удобная точка?

Вот представь себе – это точка ( displaystyle O)!

Ну, во первых она лежит на плоскости ( displaystyle CMN) — это уже хорошо. А во-вторых из нее удобно опускать перпендикуляр на плоскость ( displaystyle SAB). Давай увидим это:

Пусть ( displaystyle K) – середина ( displaystyle AB).

Тогда ( displaystyle SKbot AB) и ( displaystyle OKbot AB).

Значит ( displaystyle ABbot SOK)

Опустим ( displaystyle OH) – высоту в ( displaystyle Delta SOK)

Тогда ( displaystyle OHbot SK) – по построению и ( displaystyle OHbot AB), т.к. ( displaystyle ABbot SOK) ( displaystyle rightarrow OHbot SAB).

Значит, ( displaystyle OH) и есть расстояние между ( displaystyle SAB) и ( displaystyle CMN).

Осталось это ( displaystyle OH) найти.

( displaystyle OA=OB=AB=1Rightarrow OK=1cdot sin 60<>^circ =frac>)

( displaystyle S^>+1=4Rightarrow S^>=3); ( displaystyle SO=sqrt).

( displaystyle S^>+O^>=S^>left( Delta SOK right)Rightarrow )

( displaystyle Rightarrow 3+frac=S^>); ( displaystyle SK=frac>)

( displaystyle OH=frac) (высота прямоугольного треугольника)

Ответ: ( displaystyle sqrt>)

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Расстояние между параллельными плоскостями – длина отрезка их общего перпендикуляра, заключенного между плоскостями

Знаешь геометрический смысл определителя?
Если да, то можно достаточно простым способом через объем параллелепипеда и площадь его грани расстояние посчитать.

PS. Начерталка – тогда я спать.

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Читайте также:

  

• Кто должен подписывать путевой лист за механика в школе

  

• Как устроена одноранговая локальная сеть кратко

  

• Как правильно оформить договор дарения в доу

  

• Кто отвечает за освещение в детском саду

  

• Почему наступает осень для детей кратко

Открытый урок по геометрии в 10 классе

Тема: «Расстояния между прямыми и плоскостями в прямоугольном параллелепипеде»

Цели урока:

1. Образовательные: вспомнить и систематизировать те знания, которые ученики уже имеют по данной теме; активизировать работу по применению этих знаний для нахождения расстояний между прямыми и плоскостями в прямоугольном параллелепипеде.

2. Развивающие: формировать пространственное воображение, развивать логическое мышление, умение распознавать на чертежах пространственные формы; проводить доказательные рассуждения, делать выводы, используя необходимые теоремы и свойства фигур на плоскости и в пространстве.

3. Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к геометрии, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

Тип урока: обобщение и систематизация.

Структура урока

1. Подготовительный этап.

2. Актуализация знаний, умений и навыков.

3. Обобщение и систематизация.

4. Отработка знаний, умений и навыков по теме.

5. Подведение итогов урока и домашнее задание.

Ход урока

1. Подготовительный этап (5 мин.).

– Проверим домашнее задание.

№ 187(б) – с места ответ.

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 8, 9, 12.

№ 190(а) – с места ответ, обсуждая по рисунку.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите двугранный угол ABB₁C

Двугранный угол ABB₁C – это угол между плоскостями (ABB₁) и (BB₁C), он равен линейному углу A₁B₁C₁.

Ответ: 90º.

№ 190(б) – с места ответ, обсуждая по рисунку.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите двугранный угол ADD₁B

Двугранный угол ADD₁B – это угол между плоскостями (ADD₁) и (BDD₁), он равен линейному углу ADB. Так как ABCD – куб, то угол ADB равен 45º.

Ответ: 45º.

1. Актуализация знаний, умений и навыков (2 мин.).

– Проверим знание формулировок тех теорем, которые будут использоваться сегодня на уроке (спрашивать с места по одному ученику):

1. Признак параллельности прямой и плоскости

– Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

– Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

1. Признак перпендикулярности двух плоскостей

– Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

1. Теорема о трех перпендикулярах

– Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

1. Обобщение и систематизация (10 мин.).

– Тема урока: «Расстояния между прямыми и плоскостями в прямоугольном параллелепипеде».

– Сначала вспомним и систематизируем все, что вы уже знаете о расстояниях между точками, прямыми и плоскостями в пространстве. Для этого посмотрим на экран.

На экране отображаются слайды презентации. Сначала появляется заголовок и рисунок. Ученики сами отвечают, формулируя определения соответствующих расстояний. После этого на слайде по щелчку мыши появляется формулировка.

1. Отработка знаний, умений и навыков по теме (21 мин.).

– Теперь давайте устно решим несколько простых задач, на нахождение расстояний в кубе и прямоугольном параллелепипеде.

На экране отображаются слайды презентации. Сначала появляется условие задачи и рисунок. Ученики находят расстояние и объясняют, почему именно оно является искомым. После этого на слайде по щелчку мыши выделяется красным цветом соответствующий отрезок и появляется ответ.

Замечание: если возникнут трудности при решении этой задачи, то ее решение нужно законспектировать в тетрадь.

– Следующие две задачи требуют более подробного решения, поэтому их решение мы запишем в тетрадях.

На экране отображаются слайды презентации. Сначала появляется условие задачи и рисунок. Ученики обсуждают условие задачи и указывают, какой отрезок будет искомым расстоянием. При этом они должны доказать, опираясь на признаки перпендикулярности, почему это расстояние будет искомым.

Пояснение к задаче.

В процессе обсуждения доказательства на слайде по щелчку появляются пункты решения и проводятся соответствующие построения на рисунке. При появлении последнего пункта решения на рисунке красным цветом выделяется искомый отрезок. После того как ученики вычислят нужное расстояние, появляется ответ.

Пояснение к задаче.

Решение и соответствующая анимация проходят в такой же последовательности, как в предыдущей задаче.

Нужно обратить внимание учеников на то, что в этой задаче фактически находится то же самое расстояние. Ученики должны понять, что куб можно поставить на грань BCC₁B₁ как на основание. Тогда данная задача легко сводится к предыдущей (расстояние между прямой AB и плоскостью A₁B₁C будет равно расстоянию от точки B до плоскости A₁B₁C).

1. Подведение итогов и домашнее задание (2 мин.).

1. В начале урока вспомнили основные теоремы о перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.

2. Потом мы с вами систематизировали знания о расстояниях между точками, прямыми и плоскостями в пространстве.

3. Затем решили задачи, на нахождение расстояний в кубе и прямоугольном параллелепипеде. В этих задачах использовали систематизированные выше знания о расстояниях.

4. Домашнее задание:

№189 – задача на расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, только куб не единичный, а с заданной диагональю либо грани, либо параллелепипеда;

193(в) – задача на расстояние между ребром прямоугольного параллелепипеда и параллельной ей плоскостью, проходящей через диагональ основания;

194(а) – задача на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми, содержащими диагональ куба и ребро куба.

1. Объявить оценки за урок.

8