Как найти расстояние между плоскостями сечений шара

Шар радиусом 13см. пересечен двумя параллельными плоскостями, расположенными по разные стороны от центра шара.Площади образовавшихся сечений равны 64 пи см^2 и 49 пи см^2. Найти расстояние между плоскостями сечений.

ЭСО «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ»

Сечение сферы (шара) плоскостью

О сечении сферы плоскостью

Сечение сферы плоскостью есть окружность.

Пусть плоскость α пересекает сферу W(O,R). Из центра O опустим перпендикуляр OC на плоскость α.

Соединим произвольную точку M линии пересения плоскости α со сферой W(O,R) с точками O и C. Т.к. OC ⊥ α, то OC ⊥ CM.

В прямоугольном треугольнике ∆OCM CM 2 = OM 2 – OC 2 . Т.к. OM и OC – величины постоянные, то и CM – величина постоянная. Таким образом все точки линии пересечения плоскости α и сферы W(O,R) равноудалены от точки C, поэтому эта линия пересечения является окружностью с центром в точке C и радиусом r = CM.

Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра проведенного из центра шара к пересекаемой плоскости есть центр круга, полученного в сечении.

Плоскость, проходящая через центр сферы (шара) называется диаметральной плоскостью.

Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).

Статистика посещений | Номер ресурса в БелГИЭ: 137297 | Номер свидетельства в НИРУП «ИППС»: 4141816821

Урок геометрии в 11-м классе по теме “Шар и сфера. Сечение шара плоскостью”

Разделы: Математика

ТИП УРОКА: урок систематизации и обобщения знаний по данной теме.

ЦЕЛИ УРОКА (Слайд 2)

1. Образовательные:

• повторить определения сферы и шара и связанных с ними понятий (центр, радиус, диаметр, хорда, ось, диаметрально противоположные точки, большой круг, большая окружность);
• рассмотреть сечение шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса шара

2. Развивающие:

• развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание;
• учить учащихся учиться математике, самостоятельно добывать знания.

3. Воспитательные:

• воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волю;
• формировать эмоциональную культуру и культуру общения.

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ: словесный, наглядный, деятельностный.

ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ: коллективная, индивидуальная.

ОБОРУДОВАНИЕ: карточки с заданиями на каждый этап урока, оценочные листы учащихся, компьютер, проекционный экран, проектор

ХОД УРОКА

ОРГМОМЕНТ

Сегодня на уроке мы закрепим навыки решения задач по данной теме, рассмотрим сечения шара плоскостью, удаленной от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса.

Наша цель-развитие пространственного воображения, геометрического мышления, грамотной математической речи.

ПРОВЕРКА ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ осуществляется до урока с целью уже на уроке акцентировать внимание всех обучающихся на возникших затруднениях.

УСТНАЯ РАБОТА (вопросы классу ): (Слайды 3-6)

1. Назовите формулу для нахождения высоты равностороннего треугольника со стороной а.

2. В каком отношении делится медиана точкой пересечения медиан треугольника?

3. Назовите формулу для вычисления:

а) площади произвольного треугольника;

б) площади прямоугольного треугольника.

4. Как найти высоту, опущенную на гипотенузу в прямоугольном треугольнике, зная длины катетов и гипотенузы? (Из какого равенства можно выразить высоту?)

5. Как записать формулу Герона для вычисления площади треугольника?

6. Как выразить расстояние от центра шара до секущей плоскости через радиус шара и радиус сечения? Показ соответствующих слайдов.

ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ (Слайд 7)

Проводится инструктаж по заполнению листов.

Задачи	Тестовая работа	Дополнительные задачи	Сумма баллов	Оценка
1	2	3	1	2	3	4	5	6	7	8	1	2	3

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: ПО 1 БАЛЛУ ЗА КАЖДОЕ ВЕРНО ВЫПОЛНЕННОЕ ЗАДАНИЕ;

• “5” – НЕ МЕНЕЕ 11 БАЛЛОВ;
• “4” – 9,10 БАЛЛОВ;
• “3” – МЕНЕЕ 9 БАЛЛОВ.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ (Слайды 8,9)

1. Шар радиуса 2см касается всех сторон правильного треугольника со стороной 6см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

2. Стороны треугольника 8см,15см и 17см. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника, если радиус шара равен 3 см.

3. Диагонали ромба 9см и 12см. Шаровая поверхность касается всех его сторон. Радиус шара 8,5см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба.

Желающий ученик приглашается для решения первой задачи за крылом доски. Учитель, проходя по рядам, отмечает в оценочных листах учащихся выполнение ими соответствующего задания. Затем проверка по решению на доске для тех, кто затрудняется. Аналогично проверяются остальные задачи. При необходимости учитель предлагает ребятам-консультантам оказать помощь нуждающимся.

ОТВЕТЫ: 1. 3см, 2. 6см, 3. 7,7см.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ (Слайд 10)

(задается по два-три вопроса, ученику, отвечающему у доски; при возникновении затруднений может помогать другой ученик):

• Что такое шар?
• Что такое шаровая поверхность или сфера?
• Что такое радиус, диаметр, хорда шара?
• Какие точки называются диаметрально противоположными?
• Что является сечением шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстояние, меньшее радиуса шара?
• Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара?
• Что такое большой круг, большая окружность?

ТЕСТОВАЯ РАБОТА (Слайд 11)

Укажите верные ответы:

1. Все точки шара удалены от центра на расстояние, равное радиусу.

2. Центр сферы не принадлежит данной сфере.

3. Расстояние между любыми точками шара не больше диаметра.

4. Расстояние между любыми точками сферы не больше диаметра.

5. Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность.

6. Всякое сечение шара плоскостью есть окружность.

7. Из двух сечений шара плоскостями больше площадь того, которое ближе к центру.

8. Радиус любого сечения сферы плоскостью не больше радиуса сферы.

1	2	3	4	5	6	7	8
н	в	в	в	в	н	в	в

Ребята ставят в оценочных листах букву “В” при верном ответе или букву” Н” при неверном. После выполнения тестовой работы осуществляется проверка выполнения по ответам на слайде.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ (Слайд 13)

Даются комментарии учителя по выполнению домашнего задания (в рамках подготовки к контрольной работе).

1. Радиус шара 25см. Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 15см. Найдите: а) площадь сечения; б) длину окружности сечения.

2. Радиус шара равен 2см. Через конец радиуса под углом 30° к нему проведена плоскость. Найдите площадь получившегося сечения шара.

3. На расстоянии 2см от центра шара проведено сечение шара, площадь которого в 2 раза меньше площади большого круга. Найдите радиус шара.

ОТВЕТЫ: 1. 400 см 2 , 40 см, 2. 9 см 2 , 3. 2 см. (Слайд 16)

Для желающих предлагается выполнить дома задачи 4-6 из карточки с дополнительным заданием на отдельную оценку. (Слайд 14)

ИТОГИ УРОКА (Слайд 19)

Учитель подводит итоги урока, задавая вопросы обучающимся по количеству набранных баллов. Просит сдать оценочные листы. Выставляются оценки в журнал и в дневник. Устное поощрение тех, кто успешно трудился на протяжении всего урока. Сбор листов успеха.

ЛИСТ УСПЕХА ОБУЧАЮЩЕГОСЯ

Рефлексия (Слайд 20)

Вид работы	Устная работа	Решение задач	Тест	Дополнительное задание	Итог
Мнение ученика
Примерные варианты ответов	Все ли понятно?	Было ли трудно?	Было ли интересно?	Можешь ли рассказать другим?	Итоговое мнение

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ (Слайд 17)

Те ребята, которые быстро справляются с предлагаемыми заданиями, получают карточки с задачами для дополнительного решения:

1. Найдите площадь сечения шара плоскостью, отстоящей от центра шара на 5см, если радиус шара равен 13см.

2. Радиус шара R образует с радиусом сечения шара плоскостью угол a. Найдите площадь сечения шара.

3. Точка В принадлежит окружности большого круга шара с центром О, а точка А принадлежит окружности с центром О₁ сечения шара плоскостью. АОВ равен a, АВ=m. Найдите длину отрезка О₁А.

4. В треугольнике АВС В-прямой, АВ=9, ВС=12. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника, если радиус шара равен 5.

5. Треугольник АВС вписан в окружность сечения шара плоскостью. АВ=ВС=40, АС=48, ОО₁=5. Найдите радиус шара.

6. Треугольник АВС вписан в окружность сечения шара плоскостью. АВ=m, АСВ= a.

Найдите расстояние от центра шара радиуса R до плоскости сечения.

ОТВЕТЫ: 1. 144, 2. R 2 cos 2 a, 3. R-m sin, 4. 4, 5. 5, 6. .

Указание для решения задачи №5: (Слайд 15)

рассмотреть нахождение радиуса сечения шара плоскостью треугольника двумя способами:

а) используя подобие прямоугольных треугольников;

Сечение шара

Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Доказательство. Пусть б — секущая плоскость и О — центр шара (рис. 453). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость б и обозначим через О’ основание этого перпендикуляра.

Пусть X — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости б . По теореме Пифагора 0X2 = 00’2+О’Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то т. е. любая точка сечения шара плоскостью б находится от точки О’ на расстоянии, не большем , следовательно, она принадлежит кругу с центром О’ и радиусом .

Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью есть круг с центром в точке О’. Теорема доказана.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 454), а сечение сферы — большой окружностью.

Задача 1. Два сечения шара радиуса 10 см параллельными плоскостями имеют радиусы, равные 6 еж и 8 см. Найти расстояние между секущими плоскостями.

Решение. Находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:

в зависимости от того, лежит ли центр шара между плоскостями или нет, получаем два различных ответа к задаче:

Задача 2. Расстояние между центрами двух шаров равно d; радиусы их R1 и R2. Найти радиус окружности, по которой они пересекаются.

Решение. Искомый радиус служит высотой треугольника OMO1 (рис. 5). Площадь S треугольника ОМО2 находится по трем сторонам 001 = d, R1 R2 и искомый радиус равен r=2S/d. Прямая линия также может занимать по отношению к шару три существенно различных положения. Именно, она может пересечь поверхность шара в двух различных точках, не пересе­кать ее или иметь с ней одну общую точку. В последнем случае она будет называться касательной к шару

Задача 3 Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?

Решение. Если радиус шара R (рис. 455), то радиус круга в сечении будет. Отношение площади этого круга к площади большого круга равно

[spoiler title=”источники:”]

http://urok.1sept.ru/articles/651738

http://vuzlit.ru/885857/sechenie_shara

[/spoiler]

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

Шар пересечён двумя параллельными плоскостями, расположенными по одну сторону от его центра. Радиус первого сечения равен 12, радиус второго сечения равен 9. Расстояние от центра шара до плоскости первого сечения равно 9. Найдите расстояние между плоскостями сечений.

Решение:

    Найдём радиус R шара из прямоугольного ΔAOB по теореме Пифагора:

R² = OA² + AB²
R² = 9² + 12²
R² = 81 + 144 = 255
R = √255 = 15

    Прямоугольный ΔCDO состоит из сторон равных 9 и 15 (R), а значит третья сторона как и в прошлом треугольнике равна 12. СО = 12.
    Найдём расстояние между сечениями СА:

СА = СО – АО = 12 – 9 = 3

Ответ: 3.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.6 / 5. Количество оценок: 5

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.

• Запись опубликована:07.11.2020
• Рубрика записиЗадания ЕГЭ из вариантов А. Ларина
• Автор записи:Andrei Maniakin