Нахождение кратчайшего расстояния между прямыми в пространстве
Содержание:
- Что такое расстояние между прямыми в пространстве
- Метод координат для определения расстояния
-
Примеры задач с решением
- Задача 1
- Задача 2
Что такое расстояние между прямыми в пространстве
Для начала дадим определение этому понятию.
Определение
Расстояние между прямыми в пространстве — это отрезок, который соединяет две прямые линии по самому короткому пути. Иными словами, он перпендикулярен обеим этим прямым.
Но не всегда две линии могут быть параллельны друг другу.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Определение
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве — это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой.
Таким образом, чтобы найти расстояние между этими скрещивающимися прямыми, нужно от одной из прямых провести перпендикуляр на плоскость, в которой лежит другая прямая.
Между параллельными прямыми расстояние одинаково на протяжении всей их длины: перпендикуляр, опущенный из любой точки одной из этих линий, всегда будет одной и той же величины.
Метод координат для определения расстояния
Разберем пошагово способ определения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми с помощью метода координат.
- Определить координаты точек (М_1) и (М_2), лежащих соответственно на прямых a и b.
- Найти x, y и z направляющих векторов для прямых a и b.
- Найти вектор-нормаль для плоскости, в которой лежит прямая b с помощью векторного произведения (overrightarrow a) и (overrightarrow b).
- Записать общее уравнение плоскости: (A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0) и потом записать к нормированному виду уравнения плоскости, которое выглядит так: (xtimescosleft(alpharight)+ytimescosleft(betaright)+ztimescosleft(gammaright)-p=0), где p — свободный член (число, которое равно расстоянию точки начала координат до плоскости), а (cosleft(alpharight),;cosleft(betaright)) и (cosleft(gammaright)) — координаты единичного нормального вектора плоскости.
- Далее, для определения расстояния от точки M до искомой плоскости, воспользуемся следующим уравнением: (M_1H_1=left|x_1timescosleft(alpharight)+y_1timescosleft(betaright)+z_1cosleft(gammaright)-pright|), где (x_1), (y_1) и (z_1) — координаты точки (M_1), лежащей на прямой a, а (H_1) — точка, лежащая на искомой плоскости.
Примеры задач с решением
Задача 1
Дан куб (ABCDA_1B_1C_1D_1) с ребром равным (sqrt{32}) см. Найти расстояние между прямыми (DB_1) и (CC_1).
Решение
Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать в качестве расстояния между прямой (CC_1) и плоскостью, проходящей через (DB_1) параллельно (CC_1). Так как (DD_1parallel CC_1), плоскость ((B_1D_1D)) параллельна (СС_1).
Сначала нужно доказать, что (CO) — перпендикуляр, проведенный к этой плоскости. (COperp BD) (как диагонали квадрата) и (COperp DD_1) (так как ребро (DD_1) перпендикулярно всей плоскости ((ABC))). Получается, (CO) перпендикулярен двум пересекающимся прямым из плоскости. Значит, (COperp(B_1D_1D)).
(AC) — диагонально квадрата — равна (ABsqrt2), то есть (AC=sqrt{32}timessqrt2=sqrt{64}=8) см. Следовательно, (CO=frac12times AC=4) см.
Ответ: 4 см.
Задача 2
В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Прямую a определяют параметрические уравнения прямой в пространстве:
(left{begin{array}{l}x=-2\y=1+2timeslambda\z=4-3timeslambdaend{array}right.)
А прямую b канонические уравнения прямой в пространстве:
(frac x1=frac{y-1}{-2}=frac{z+4}6).
Вычислить расстояние между заданными прямыми.
Решение
Прямая a проходит через точку (M_1(-2, 1, 4)) и имеет направляющий вектор (overrightarrow a=(0, 2, -3)). Прямая b проходит через точку (M_2 (0, 1, -4)), а ее направляющий вектором является вектор (overrightarrow b=(1, -2, 6)).
Найдем векторное произведение векторов( overrightarrow a=(0, 2, -3)) и (overrightarrow b=(1, -2, 6): left[overrightarrow atimesoverrightarrow bright]=begin{vmatrix}overrightarrow i&overrightarrow j&overrightarrow k\0&2&-3\1&-2&6end{vmatrix}=6timesoverrightarrow i-3timesoverrightarrow j-2timesoverrightarrow k).
Так, (overrightarrow n=left[overrightarrow atimesoverrightarrow bright]) плоскости X, проходящей через прямую b параллельно прямой a, имеет координаты (6, -3, -2).
Таким образом, уравнение плоскости X есть уравнение плоскости, проходящей через точку (M_2(0, 1, -4)) и имеющей нормальный вектор (overrightarrow n=(6, -3, -2)):
(6times(x-0)-3times(y-1)-2times(z-(-4))=0;leftrightarrow6x-3y-2z-5=0)
Нормирующий множитель для общего уравнения плоскости (6x-3y-2z-5=0) равен (frac1{sqrt{6^2+{(-3)}^2+{(-2)}^2}}=frac17). Значит, нормальное уравнение этой плоскости выглядит как (frac67x-frac37y-frac27z-frac57=0).
Воспользуемся формулой для вычисления расстояния от точки (M_1(-2, 1, 4)) до плоскости (frac67x-frac37y-frac27z-frac57=0: left|M_1H_1right|=left|frac67times(-2)-frac37times1-frac27times4-frac57right|=left|frac{-28}7right|=4) см.
Ответ: 4 см.
Анна Кирпиченкова
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Очень часто на практике необходимо найти расстояние между точкой и некой прямой линией или между двумя прямыми линиями в пространстве, например, иногда определять расстояние между двумя линиями приходится и в реальной жизни. Хорошая иллюстрация такого примера — это знак, который вешают на мосты для грузовиков, указывающий максимальную высоту грузовика, которая может проехать под данным мостом.
Расстояние от верхней грани грузовика и нижней грани в данном случае определяют как расстояние между двумя прямыми.
Расстояние между 2 прямыми в пространстве — это отрезок, соединяющий две прямые линии по наикратчайшему расстоянию между ними, то есть перпендикулярный к обеим прямым.
Определение 1
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве — это расстояние между одной заданной прямой и плоскостью, в которой лежит вторая прямая.
Чтобы было чуть проще понять, что это такое, давайте повторим определение скрещивающихся прямых:
Определение 2
Скрещивающиеся прямые — это две прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют каких-либо совместных друг для друга точек.
Соответственно, для того чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве, необходимо от одной из прямых опустить перпендикуляр на плоскость, в которой лежит другая прямая.
Расстояние же между двумя параллельными прямыми в пространстве является одинаковым на протяжении всей длины параллельных прямых, то есть перпендикуляр, опущенный из одной параллельной прямой на другую, всегда будет одной и той же длины вне зависимости от того, из какой именно точки его опустили.
Метод координат для определения расстояния между скрещивающимися прямыми
Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве можно найти используя метод координат, для этого необходимо:
«Расстояние между 2 прямыми в пространстве» 👇
- Найти координаты точек $M_1$ и $M_2$, лежащих на прямых $a$ и $b$ соответственно.
- Вычислить икс, игрек и зет направляющих векторов для прямых $a$ и $b$.
- С помощью векторного произведения векторов $overline{a}$ и $overline{b}$ нужно найти вектор-нормаль для плоскости, в которой лежит прямая $b$. Затем необходимо записать общее уравнение плоскости: $A (x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$, и от него перейти к нормированному виду уравнения плоскости следующего вида: $ x cdot cos α + y cdot cos β + z cdot cos{γ} – p = 0$, где $cos α, cos β$ и $cos γ$ — координаты единичного нормального вектора плоскости, а $p$ — свободный член, это число равно расстоянию от точки начала координат до плоскости.
- Для вычисления расстояния от точки $M$ до искомой плоскости, нужно воспользоваться следующим уравнением:
$M_1H_1 = |x_1 cdot cos α + y_1 cdot cos β + z_1 cdot cos{γ} – p|$, где $x_1, y_1, z_1$ – координаты точки $M_1$, лежащей на прямой $a$, а $H_1$ — точка, лежащая на искомой плоскости.
Пример 1
Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными уравнениями:
$d_1$:
$frac {x-2}{2} = frac {y + 1}{-3} = frac{z}{-1}$
и $d_2$: $begin{cases} frac{x + 1}{1} = frac{y}{-2} \ z – 1 = 0 end{cases}$
Рисунок 1. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве
Для этого воспользуемся следующей формулой:
$ ρ(d_1d_2) = frac{| overline{p_1} cdot overline{p_2} cdot overline{M_1M_2}|}{[overline{p_1} × overline{p_2}]}$
Сначала найдём смешанное произведение векторов. Для этого найдём точки, лежащие на данных прямых, и их направляющие вектора:
$d_1$: $frac {x-2}{2} = frac {y + 1}{-3} = frac{z}{-1}$, точка, лежащая на прямой — $M_1$ с координатами $(2;-1;0)$, а направляющий вектор — $overline{p_1}$ с координатами $(2; -3; -1)$
$d_2$: $begin{cases} frac{x + 1}{1} = frac{y}{-2} \ z – 1 = 0 end{cases}$, точка, лежающая на прямой — $M_2$ с координатами $(-1; 0; 1)$,
а её направляющий вектор — $overline{p_2}$ с координатами $(1; -2; 0)$
Теперь найдём вектор $overline{M_1M_2}$:
$overline{M_1M_2} = (-1-2;0-(-1);1-0) = (-3; 1; 1)$
Найдём смешанное произведение векторов:
$overline{p_1} cdot overline{p_2} cdot overline{M_1M_2} = begin{array}{|ccc|} 2& 1 & -3 \ -3& -2 & 1 \ -1 & 0 & 1 \ end{array} = – begin{array}{|cc|} 1 & -3 \ -2 & 1 \ end{array} + begin{array}{|cc|} 2 & 1 \ -3 & -2 \ end{array} = -(1 – 6) + (4 + 3) = 4$
Теперь найдём векторное произведение векторов:
$[|overline{p_1} × overline{p_2}|] = begin{array}{|ccc|} i& j & k \ 2 & -3 & -1 \ 1 & -2 & 0 end{array} = begin{array}{|cc|} -3 & -1 \ -2 & 0 end{array} cdot overline{i} – begin{array}{|cc|} 2 & -1 \ 1 & 0 end{array} cdot overline{j} + begin{array}{|cc|} 2 & -3 \ 1 & -2 end{array} cdot overline{k}$
$[|overline{p_1} × overline{p_2} |]= -2 overline{i} – overline{j} – overline{k}$
Длина этого векторного произведения составит:
$overline{p_1} × overline{p_2} = sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = sqrt{6}$
Соответственно, длина между скрещивающимися прямыми составит:
$ ρ(d_1d_2) = frac{|4|}{sqrt{6}} ≈ 1,63$
Пример 2
Даны две параллельные несовпадающие прямые $g$ и $m$, ниже приведены уравнения для них. Определить расстояние между ними.
$g$: $frac{x-1}{4} = frac{y + 1}{6}= frac{z+3}{8}$
$m$: $frac{x+1}{2} = frac{y – 1}{3}= frac{z – 3}{4}$
Расстояние в этом случае для них вычисляется по следующей формуле:
$ρ(m;g) =frac{|[overline{r_2} – overline{r_1} × overline{s_1}]|}{|overline{s_1}|}$, где
$overline{r_2}, overline{r_1}$ — радиус-векторы для каждой прямой, а $s_1$ — направляющий вектор.
Радиус-вектор для первой прямой будет $r_1={1; -1; -3}$, а направляющий вектор $s_1 = {4; 6; 8}$.
Радиус-вектор для второй прямой будет $r_2={-1; 1; 3}$, а направляющий вектор $s_2 = {2; 3; 4}$.
Найдём векторную разность радиус-векторов:
$overline{r_2} – overline{r_1} = {-1; 1; 3} – {1; -1; -3} = {-2;0;0}$
Теперь найдём её произведение с направляющим вектором для первой прямой:
$[overline{r_2} – overline{r_1} × overline{s_1}] = begin{array}{|ccc|} i & j & k \ -2 & 0 & 0 \ 4 & 6 & 8 \ end{array} = – 16j – 12k = {0;-16;-12}$
$|[overline{r_2} – overline{r_1} × overline{s_1}]| = sqrt{(-16)^2 + (-12)^2} = 20$
$|overline{s_1}| = sqrt{4^2 + 6^2 +8^2} = 2sqrt{29}$
$ρ(m;g) = frac{20}{2sqrt{29}} = frac{10}{sqrt{29}} ≈ 1.85$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 4 декабря 2022 года; проверки требует 1 правка.
- В данной статье рассматриваются две параллельные прямые на плоскости. Для параллельных прямых, расположенных не в одной плоскости, смотрите Скрещивающиеся прямые#расстояние.
Расстояние между двумя прямыми линиями на плоскости — это наименьшее расстояние между любыми двумя точками, лежащими на этих прямых. В случае пересекающихся линий расстояние между ними равно нулю, потому что минимальное расстояние между ними равно нулю (в точке пересечения), в то время как в случае двух параллельных линий это перпендикуляр — расстояние от точки на одной прямой к другой прямой.
Формулы и доказательства[править | править код]
Если линии параллельны, то расстояние между ними — это постоянная величина, так что не важно, какая точка выбрана, чтобы измерить расстояние. Даны уравнения двух параллельных линий
расстояние между двумя параллельными прямыми — это расстояние между двумя точками пересечения этих линий с перпендикуляром
Это расстояние может быть найдено при решении системы линейных уравнений
и
чтобы получить координаты точек пересечения. Определяем координаты точки пересечения
и
Расстояние между точками
которое можно сократить, как
Если известны уравнения прямых в декартовой системе координат, то можно их записать:
где расстояние между прямыми можно записать так
См. также[править | править код]
- Расстояние от точки до линии
- Скрещивающиеся прямые#расстояние
Расстояние между двумя прямыми. Метод координат. Задание 14
В этой статье я хочу показать решение задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми, которую мы уже решали геометрическим способом, но теперь с помощью метода координат. Я специально показываю решение одной задачи разными способами, чтобы у вас была возможность выбрать наиболее удобный для вас.
Итак, аналитический способ решения задачи:
В правильной треугольной призме 
, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми 
и 
:
Как мы помним из геометрического метода решения этой задачи, расстояние между прямыми и есть расстояние от точки 
, которая является серединой отрезка до плоскости 
:
Рассстояние 
от точки 
до плоскости 
вычисляется по такой формуле:
Поместим нашу призму в систему координат. Если мы решаем задачу с кубом или прямоугольным параллелепипедом, то выбор системы координат очевиден: мы помещаем начало координат в одну из вершин куба, а оси направляем вдоль ребер. В случае призмы это не столь очевидно.
Нам надо выбрать систему координат таким образом, чтобы координаты точки 
и точек 
, 
и 
, задающих плоскость вычислялись наиболее простым способом и содержали как можно больше нулей. Поэтому удобно выбрать систему координат вот таким образом:
Запишем координаты нужных нам точек:
Чтобы найти коэффициенты 
, 
, 
и 
в уравнении плоскости , примем коэффициент 
, и подставим координаты точек , и в уравнение плоскости. (Мы приняли коэффициент, так как наша плоскость не проходит через начало координат.)
Получим систему уравнений:
Отсюда:
,
,
Подставим значения коэффициентов и координаты точки в формулу для расстояния. Получим:
Ответ: 
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Координаты вектора
Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.
На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.
Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) :
$$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$
$$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$
Тогда координаты вектора (vec{AB}) можно определить по формуле:
$$ vec{AB}={x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A}. $$
Скрещивающиеся прямые
И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора:
$$ a={x_a,y_a,z_a};$$
$$ b={x_b,y_b,z_b}; $$
тогда угол (alpha) между ними находится по формуле:
$$ cos{alpha}=frac{x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b}{sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2}*sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}. $$
Уравнение плоскости
В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой:
$$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$
где (A,B,C,D) – какие-то числа.
Если найти (A,B,C,D), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.
Например, пусть даны три точки:
$$ K(x_K,y_K,z_K);,L(x_L,y_L,z_L);,P(x_P,y_P,z_P). $$
Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:
$$begin{cases} A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.end{cases}$$
Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: (A,B,C,D). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем (D) приравнять (1), если же проходит, то (D=0). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на (D), от этого уравнение не изменится, но вместо (D) будет стоять (1), а остальные коэффициенты будут в (D) раз меньше.
Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:
Пример 3
Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
$$ K(1;2;3);,P(0;1;0);,L(1;1;1). $$
Подставим координаты точек в уравнение плоскости (D=1):
$$begin{cases} A*1+B*2+C*3+1=0,\ A*0+B*1+C*0+1=0, \ A*1+B*1+C*1+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A+2*B+3*C+1=0,\ B+1=0, \ A+B+C+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A-2+3*C+1=0,\ B=-1, \ A=-C.end{cases}$$
$$begin{cases} A=-0.5,\ B=-1, \ C=0.5.end{cases}$$
Получаем искомое уравнение плоскости:
$$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$
Расстояние от точки до плоскости
Зная координаты некоторой точки (M(x_M;y_M;z_M)), легко найти расстояние до плоскости (Ax+By+Cz+D=0:)
$$ rho=frac{|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$
Пример 4
Найдите расстояние от т. (H (1;2;0)) до плоскости, заданной уравнением
$$ 2*x+3*y-sqrt{2}*z+4=0.$$
Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты:
$$ A=2,,B=3,,C=-sqrt{2},,D=4.$$
Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.
$$ rho=frac{|2*1+3*2-sqrt{2}*0+4|}{sqrt{2^2+3^2+{-sqrt{2}}^2}}. $$
$$ rho=frac{12}{sqrt{16}}=3.$$
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.
Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).
Пример 5
Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.
Дана правильная треугольная призма (ABCFDE), ребра которой равны 2. Точка (G) – середина ребра (CE).
- Докажите, что прямые (AD) и (BG) перпендикулярны.
- Найдите расстояние между прямыми (AD) и (BG).
Решение:
Решим задачу полностью методом координат.
Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).
