Как найти расстояние между прямыми в параллелограмме

Как найти расстояние между прямыми в параллелограмме

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение и примеры нахождения.

В этой статье дано определение расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве, а также разобран метод координат, позволяющий вычислять расстояние между параллельными прямыми. Сначала приведена необходимая теория, после чего приведены подробные решения примеров и задач, в которых находится расстояние между двумя параллельными прямыми.

Навигация по странице.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение.

Определение расстояния между двумя параллельными прямыми дается через расстояние от точки до прямой.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Для наглядности изобразим две параллельные прямые a и b , отметим на прямой а произвольную точку М1 , опустим перпендикуляр из точки М1 на прямую b , обозначив его H1 . Отрезок М1H1 соответствует расстоянию между параллельными прямыми a и b .

Приведенное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как для параллельных прямых на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Более того, такое определение расстояния между двумя параллельными прямыми принято не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.

Все точки одной из двух параллельных прямых удалены на одинаковое расстояние от другой прямой.

Рассмотрим параллельные прямые a и b . Отметим на прямой a точку М1 , опустим из нее перпендикуляр на прямую b . Основание этого перпендикуляра обозначим как H1 . Тогда длина перпендикуляра М1H1 есть расстояние между параллельными прямыми a и b по определению. Докажем, что равно , где М2 – произвольная точка прямой a , отличная от точки M1 , а H2 – основание перпендикуляра, проведенного из точки М2 на прямую b . Доказав этот факт, мы докажем и саму теорему.

Так как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны (об этом говорилось в статье параллельные прямые, параллельность прямых), то , а прямая M2H2 , перпендикулярная прямой b по построению, перпендикулярна и прямой a . Тогда треугольники М1H1H2 и М2М1H2 прямоугольные, и, более того, они равны по гипотенузе и острому углу: М1H2 – общая гипотенуза, . Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, поэтому, . Теорема доказана.

Следует заметить, что расстояние между двумя параллельными прямыми является наименьшим из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Нахождение расстояния между параллельными прямыми – теория, примеры, решения.

Итак, нахождение расстояния между параллельными прямыми сводится к нахождению длины перпендикуляра, проведенного из некоторой точки одной из прямых на другую прямую. При этом подбирается метод, позволяющий это расстояние отыскать. Выбор метода зависит от условий конкретной задачи. В некоторых случаях можно использовать теорему Пифагора, в других – признаки равенства или подобия треугольников, определения синуса, косинуса или тангенса угла и т.п. Если же параллельные прямые заданы в прямоугольной системе координат, то расстояние между заданными параллельными прямыми можно вычислить методом координат. На нем и остановимся.

Сформулируем условие задачи.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат, заданы две параллельные прямые a и b и требуется найти расстояние между этими прямыми.

Решение этой задачи строится на определении расстояния между параллельными прямыми – чтобы найти расстояние между двумя заданными параллельными прямыми нужно:

  • определить координаты некоторой точки М1 , лежащей на прямой a (или на прямой b );
  • вычислить расстояние от точки М1 до прямой b (или a ).

С определением координат точки М1 , лежащей на какой-нибудь из заданных параллельных прямых, проблем не возникнет, если, конечно, Вам знакомы основные виды уравнения прямой на плоскости и уравнения прямой в пространстве. Для нахождения расстояния от точки М1 до нужной из заданных параллельных прямых Вам будет полезна информация из раздела нахождение расстояния от точки до прямой.

В частности, если в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости прямую a задает общее уравнение прямой вида , а прямую b , параллельную прямой a , – общее уравнение прямой , то расстояние между этими параллельными прямыми можно вычислить по формуле .

Покажем вывод этой формулы.

Возьмем точку , которая лежит на прямой a , тогда координаты точки М1 удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство , откуда имеем .

Если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид , а если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид . Тогда при расстояние от точки до прямой b вычисляется по формуле , а при – по формуле

То есть, при любом значении С2 расстояние от точки до прямой b можно вычислить по формуле . А если учесть равенство , которое было получено выше, то последняя формула примет вид . На этом вывод формулы для вычисления расстояние между двумя параллельными прямыми, заданными общими уравнениями прямых вида и завершен.

Разберем решения примеров.

Начнем с нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, заданными в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости.

Найдите расстояние между параллельными прямыми и .

Очевидно, что прямая, которой соответствуют параметрические уравнения прямой на плоскости вида , проходит через точку .

Искомое расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от точки до прямой . Вычислим его.

Получим нормальное уравнение прямой, которой отвечает уравнение прямой с угловым коэффициентом вида . Для этого сначала запишем общее уравнение прямой: . Теперь вычислим нормирующий множитель: . Умножив на него обе части последнего уравнения, имеем нормальное уравнение прямой: . Искомое расстояние равно модулю значения выражения , вычисленного при . Итак, расстояние между заданными параллельными прямыми равно

Второй способ решения.

Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.

Выше мы выяснили, что прямой соответствует общее уравнение прямой . Перейдем от параметрических уравнений прямой вида к общему уравнению этой прямой:

Коэффициенты при переменных x и y в полученных общих уравнениях параллельных прямых равны, поэтому мы сразу можем применить формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми на плоскости: .

.

На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и даны уравнения двух параллельных прямых и . Найдите расстояние между указанными параллельными прямыми.

Канонические уравнения прямой на плоскости вида позволяют сразу записать координаты точки М1 , лежащей на этой прямой: . Расстояние от этой точки до прямой равно искомому расстоянию между параллельными прямыми. Уравнение является нормальным уравнением прямой, следовательно, мы можем сразу вычислить расстояние от точки до прямой : .

Второй способ решения.

Общее уравнение одной из заданных параллельных прямых нам уже дано . Приведем каноническое уравнение прямой к общему уравнению прямой: . Коэффициенты при переменной x в общих уравнениях заданных параллельных прямых равны (при переменной y коэффициенты тоже равны – они равны нулю), поэтому можно применять формулу, позволяющую вычислить расстояние между заданными параллельными прямыми: .

Осталось рассмотреть пример нахождения расстояния между параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

Найдите расстояние между двумя параллельными прямыми, которым в прямоугольной системе координат Oxyz соответствуют канонические уравнения прямой в пространстве вида и .

Очевидно, прямая проходит через точку . Вычислим расстояние от этой точки до прямой – оно даст нам искомое расстояние между параллельными прямыми.

Прямая проходит через точку . Обозначим направляющий вектор прямой как , он имеет координаты . Вычислим координаты вектора (при необходимости смотрите статью координаты вектора по координатам точек): . Найдем векторное произведение векторов и :

Теперь осталось применить формулу, позволяющую вычислить расстояние от точки до прямой в пространстве: .

расстояние между заданными параллельными прямыми равно .

Расстояние между прямыми в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между прямыми в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния между прямыми в пространстве, задайте вид уравнения прямых (“канонический” или “параметрический” ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

Прямые (1) и (2) в пространстве могут совпадать, быть паралленьными, пересекаться, или быть скрещивающимся. Если прямые в пространстве пересекаются или совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Мы рассмотрим два случая. Первый − прямые параллельны, и второй − прямые скрещиваются. Остальные являются частыми случаями. Если при вычислении расстояния между параллельными прямыми мы получим расстояние равным нулю, то это значит, что эти прямые совпадают. Если же расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю, то эти прямые пересекаются.

1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим два метода вычисления расстояния между прямыми.

которое и является расстоянием между прямыми L1 и L2 (Рис.1).

Пример 1. Найти расстояние между прямыми L1 и L2:

Найдем проекцию точки M1 на прямую L2. Для этого построим плоскость α, проходящей через точку M1 и перпендикулярной прямойL2.

Для того, чтобы плоскость α было перепендикулярна прямой L2, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L2, т.е. в качестве нормального вектора плоскости α можно взять направляющий вектор прямой L2. Тогда уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет следующий вид:

m2<x−x1)+p2(y−y1)+ l2(z−z1)=0 (5)

После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку M1 и перпендикулярной прямой L2:

Найдем точку пересечения прямой L2 и плоскости α, для этого построим параметрическое уравнение прямой L2.

Выразив переменные x, y, z через параметр t, получим параметрическое уравнение прямой L2:

Чтобы найти точку пересечения прямой L2 и плоскости α, подставим значения переменных x, y, z из (7) в (6):

Решив уравнение получим:

Подставляя полученное значение t в (7), получим точку пересеченияпрямой L2 и плоскости α:

Остается найти расстояние между точками M1 и M3:

Ответ: Расстояние между прямыми L1 и L2 равно d=7.2506.

Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L1 и L2 (уравнения (1) и (2)). Во первых, проверяем параллельность прямых L1 и L2. Если направляющие векторы прямых L1 и L2 коллинеарны, т.е. если существует такое число λ, что выполнено равенство q1=λq2, то прямые L1 и L2 параллельны.

Данный метод вычисления расстояния между параллельными векторами основана на понятии векторного произведения векторов. Известно, что норма векторного произведения векторов и q1 дает площадь параллелограмма, образованного этими векторами (Рис.2). Узнав площадь параллелограмма, можно найти вершину параллелограмма d, разделив площадь на основание q1 параллелограмма.

Вычислим координаты вектора :

Вычислим векторное произведение векторов и q1:

Вычисляя определители второго порядка находим координаты вектора c:

Далее находим площадь параллелограмма:

Расстояние между прямыми L1 и L2 равно:

Пример 2. Решим пример 1 методом 2. Найти расстояние между прямыми

Векторы q1 и q2 коллинеарны. Следовательно прямые L1 и L2 параллельны. Для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.

Построим вектор =<x2−x1, y2−y1, z2−z1>=<7, 2, 0>.

Вычислим векторное произведение векторов и q1. Для этого составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов и q1:

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов и q1:

Таким образом, результатом векторного произведения векторов и q1 будет вектор:

Поскольку векторное произведение векторов и q1 дает плошадь параллелограмма образованным этими векторами, то расстояние между прямыми L1 и L2 равно :

Ответ: Расстояние между прямыми L1 и L2 равно d=7.25061.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Пусть задана декартова прямоугольная симтема координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 (уравнения (1) и (2)).

Пусть прямые L1 и L2 не параллельны (паралельные прямые мы расстотрели в предыдущем параграфе). Чтобы найти расстояние между прямыми L1 и L2 нужно построить параллельные плоскости α1 и α2 так, чтобы прямая L1 лежал на плоскости α1 а прямая L2 − на плоскости α2. Тогда расстояние между прямыми L1 и L2 равно расстоянию между плоскостями L1 и L2 (Рис. 3).

Поскольку плоскость α1, проходит через прямую L1, то он проходит также через M1(x1, y1, z1). Следовательно справедливо следующее равенство:

A1x1+B1y1+C1z1+D1=0. (27)

где n1=<A1, B1, C1> − нормальный вектор плоскости α1. Для того, чтобы плоскость α1 проходила через прямую L1, нормальный вектор n1 должен быть ортогональным направляющему вектору q1 прямой L1, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Так как плоскость α1 должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:

Решая систему линейных уравнений (27)−(29), с тремя уравнениями и четыремя неизвестными A1, B1, C1, D1, и подставляя в уравнение

получим уравнение плоскости α1. (Как построить уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно другой прямой подробно изложено здесь).

Аналогичным образом находим уравнение плоскости α2:

Плоскости α1 и α2 параллельны, следовательно полученные нормальные векторыn1=<A1, B1, C1> и n2=<A2, B2, C2> этих плоскостей коллинеарны. Если эти векторы не равны, то можно умножить (31) на некторое число так, чтобы полученный нормальный вектор n2 совпадал с нормальным вектором уравнения (30).

Тогда расстояние между параллельными плоскостями вычисляется формулой:

Полученное расстояние между плоскостями α1 и α2 является также расстоянием между прямыми L1 и L2.

Пример 3. Найти расстояние между прямыми

Построим плоскость α1, проходящую через прямую L1, параллельно прямой L2.

Поскольку плоскость α1 проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(2, 1, 4) и нормальный вектор n1=<m1, p1, l1> плоскости α1 перпендикулярна направляющему вектору q1 прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

A1x1+B1y1+C1z1+D1=0. (34)

а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α1 представляется следующим условием:

Так как плоскость α1 должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:

A1·2+B1·1+C1·4+D1=0. (37)
A1·1+B1·3+C1·(−2)=0. (38)
A1·2+B1·(−3)+C1·7=0. (39)

Представим эти уравнения в матричном виде:

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Упростим уравнение, умножив на число 17.

Построим плоскость α2, проходящую через прямую L2, параллельно прямой L1.

Поскольку плоскость α2 проходит через прямую L2 , то она проходит также через точку M2(x2, y2, z2)=M2(6, −1, 2) и нормальный вектор n2=<m2, p2, l2> плоскости α2 перпендикулярна направляющему вектору q2 прямой L2. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

A2x2+B2y2+C2z2+D2=0. (44)

а условие параллельности прямой L2 и искомой плоскости α2 представляется следующим условием:

Так как плоскость α2 должна быть параллельной прямой L1, то должна выполнятся условие:

A1·6+B1·(−1)+C1·2+D1=0. (47)
A1·2+B1·(−3)+C1·7=0. (48)
A1·1+B1·3+C1·(−2)=0. (49)

Представим эти уравнения в матричном виде:

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Упростим уравнение, умножив на число −83.

Расстояние между построенными плоскостями (43) и (53) будет расстоянием между прямыми (1) и (2).

Запишем формулы уравнений плоскостей α1 и α2 :

Поскольку нормальные векторы плоскостей α1 и α2 совпадают, то можно найти расстояние между плоскостями α1 и α2, используя следующую формулу:

Упростим и решим:

Расстояние между прямыми равно: d=4.839339

Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение и примеры нахождения

В материале этой статьи разберем вопрос нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, в частности, при помощи метода координат. Разбор типовых примеров поможет закрепить полученные теоретические знания.

Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от некоторой произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Приведем иллюстрацию для наглядности:

На чертеже изображены две параллельные прямые a и b . Точка М 1 принадлежит прямой a , из нее опущен перпендикуляр на прямую b . Полученный отрезок М 1 Н 1 и есть расстояние между двумя параллельными прямыми a и b .

Указанное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Кроме того, данное определение взаимосвязано со следующей теоремой.

Когда две прямые параллельны, все точки одной из них равноудалены от другой прямой.

Пусть нам заданы две параллельные прямые a и b . Зададим на прямой а точки М 1 и М 2 , опустим из них перпендикуляры на прямую b , обозначив их основания соответственно как Н 1 и Н 2 . М 1 Н 1 – это расстояние между двумя параллельными прямыми по определению, и нам необходимо доказать, что | М 1 Н 1 | = | М 2 Н 2 | .

Пусть будет также существовать некоторая секущая, которая пересекает две заданные параллельные прямые. Условие параллельности прямых, рассмотренное в соответствующей статье, дает нам право утверждать, что в данном случае внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении секущей заданных прямых, являются равными: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Прямая М 2 Н 2 перпендикулярна прямой b по построению, и, конечно, перпендикулярна прямой a . Получившиеся треугольники М 1 Н 1 Н 2 и М 2 М 1 Н 2 являются прямоугольными и равными друг другу по гипотенузе и острому углу: М 1 Н 2 – общая гипотенуза, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Опираясь на равенство треугольников, мы можем говорить о равенстве их сторон, т.е.: | М 1 Н 1 | = | М 2 Н 2 | . Теорема доказана.

Отметим, что расстояние между двумя параллельными прямыми – наименьшее из расстояний от точек одной прямой до точек другой.

Нахождение расстояния между параллельными прямыми

Мы уже выяснили, что, по сути, чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, необходимо определить длину перпендикуляра, опущенного из некой точки одной прямой на другую. Способов, как это сделать, несколько. В каких-то задачах удобно воспользоваться теоремой Пифагора; другие предполагают использование признаков равенства или подобия треугольников и т.п. В случаях, когда прямые заданы в прямоугольной системе координат, возможно вычислить расстояние между двумя параллельными прямыми, используя метод координат. Рассмотрим его подробнее.

Зададим условия. Допустим, зафиксирована прямоугольная система координат, в которой заданы две параллельные прямые a и b . Необходимо определить расстояние между заданными прямыми.

Решение задачи построим на определении расстояния между параллельными прямыми: для нахождения расстояния между двумя заданными параллельными прямыми необходимо:

– найти координаты некоторой точки М 1 , принадлежащей одной из заданных прямых;

– произвести вычисление расстояния от точки М 1 до заданной прямой, которой эта точка не принадлежит.

Опираясь на навыки работы с уравнениями прямой на плоскости или в пространстве, определить координаты точки М 1 просто. При нахождении расстояния от точки М 1 до прямой пригодится материал статьи о нахождении расстояния от точки до прямой.

Вернемся к примеру. Пусть прямая a описывается общим уравнением A x + B y + C 1 = 0 , а прямая b – уравнением A x + B y + C 2 = 0 . Тогда расстояние между двумя заданными параллельными прямыми возможно вычислить, используя формулу:

M 1 H 1 = C 2 – C 1 A 2 + B 2

Выведем эту формулу.

Используем некоторую точку М 1 ( x 1 , y 1 ) , принадлежащую прямой a . В таком случае координаты точки М 1 будут удовлетворять уравнению A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 . Таким образом, справедливым является равенство: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 ; из него получим: A x 1 + B y 1 = – C 1 .

Когда С 2 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

При С 2 ≥ 0 нормальное уравнение прямой b будет выглядеть так:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y – C 2 A 2 + B 2 = 0

И тогда для случаев, когда С 2 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

А для С 2 ≥ 0 искомое расстояние определяется по формуле M 1 H 1 = – A A 2 + B 2 x 1 – B A 2 + B 2 y 1 – C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Таким образом, при любом значении числа С 2 длина отрезка | М 1 Н 1 | (от точки М 1 до прямой b ) вычисляется по формуле: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Выше мы получили: A x 1 + B y 1 = – C 1 , тогда можем преобразовать формулу: M 1 H 1 = – C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 = C 2 – C 1 A 2 + B 2 . Так мы, собственно, получили формулу, указанную в алгоритме метода координат.

Разберем теорию на примерах.

Заданы две параллельные прямые y = 2 3 x – 1 и x = 4 + 3 · λ y = – 5 + 2 · λ . Необходимо определить расстояние между ними.

Решение

Исходные параметрические уравнения дают возможность задать координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая параметрическими уравнениями. Таким образом, получаем точку М 1 ( 4 , – 5 ) . Требуемое расстояние – это расстояние между точкой М 1 ( 4 , – 5 ) до прямой y = 2 3 x – 1 , произведем его вычисление.

Заданное уравнение прямой с угловым коэффициентом y = 2 3 x – 1 преобразуем в нормальное уравнение прямой. С этой целью сначала осуществим переход к общему уравнению прямой:

y = 2 3 x – 1 ⇔ 2 3 x – y – 1 = 0 ⇔ 2 x – 3 y – 3 = 0

Вычислим нормирующий множитель: 1 2 2 + ( – 3 ) 2 = 1 13 . Умножим на него обе части последнего уравнения и, наконец, получим возможность записать нормальное уравнение прямой: 1 13 · 2 x – 3 y – 3 = 1 13 · 0 ⇔ 2 13 x – 3 13 y – 3 13 = 0 .

При x = 4 , а y = – 5 вычислим искомое расстояние как модуль значения крайнего равенства:

2 13 · 4 – 3 13 · – 5 – 3 13 = 20 13

Ответ: 20 13 .

В фиксированной прямоугольной системе координат O x y заданы две параллельные прямые, определяемые уравнениями x – 3 = 0 и x + 5 0 = y – 1 1 . Необходимо найти расстояние между заданными параллельными прямыми.

Решение

Условиями задачи определено одно общее уравнение, задаваемое одну из исходных прямых: x-3=0. Преобразуем исходное каноническое уравнение в общее: x + 5 0 = y – 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . При переменной x коэффициенты в обоих уравнениях равны (также равны и при y – нулю), а потому имеем возможность применить формулу для нахождения расстояния между параллельными прямыми:

M 1 H 1 = C 2 – C 1 A 2 + B 2 = 5 – ( – 3 ) 1 2 + 0 2 = 8

Ответ: 8 .

Напоследок рассмотрим задачу на нахождение расстояния между двумя параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

В прямоугольной системе координат O x y z заданы две параллельные прямые, описываемые каноническими уравнениями прямой в пространстве: x – 3 1 = y – 1 = z + 2 4 и x + 5 1 = y – 1 – 1 = z – 2 4 . Необходимо найти расстояние между этими прямыми.

Решение

Из уравнения x – 3 1 = y – 1 = z + 2 4 легко определются координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая этим уравнением: М 1 ( 3 , 0 , – 2 ) . Произведем вычисление расстояния | М 1 Н 1 | от точки М 1 до прямой x + 5 1 = y – 1 – 1 = z – 2 4 .

Прямая x + 5 1 = y – 1 – 1 = z – 2 4 проходит через точку М 2 ( – 5 , 1 , 2 ) . Запишем направляющий вектор прямой x + 5 1 = y – 1 – 1 = z – 2 4 как b → с координатами ( 1 , – 1 , 4 ) . Определим координаты вектора M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 – ( – 5 , 0 – 1 , – 2 – 2 ) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , – 1 , – 4

Вычислим векторное произведение векторов :

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 – 1 4 8 – 1 – 4 = 8 · i → + 36 · j → + 7 · k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( 8 , 36 , 7 )

Применим формулу расчета расстояния от точки до прямой в пространстве:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + ( – 1 ) 2 + 4 2 = 1409 3 2

[spoiler title=”источники:”]

http://matworld.ru/analytic-geometry/rasstojanie-prjamaja-prjamaja-3d.php

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/rasstojanie-mezhdu-dvumja-parallelnymi-prjamymi/

[/spoiler]

Источник

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых (рис.1).

Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми. Геометрия для ГИА и ЕГЭ

Рис.1

Теорема 1. О свойстве сторон и углов параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны равны, противоположные углы равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.

Доказательство. В данном параллелограмме ABCD проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC (рис.2).

Параллелограмм. Расстояние между параллельными прямыми

Рис.2

Эти треугольники равны, так как ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (накрест лежащие углы при параллельных прямых), а сторона АС общая. Из равенства Δ ABC = Δ ADC следует, что АВ = CD, ВС = AD, ∠ B = ∠ D. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, например углов А и D, равна 180° как односторонних при параллельных прямых. Теорема доказана.

Замечание. Равенство противоположных сторон параллелограмма означает, что отрезки параллельных, отсекаемых параллельными, равны.

Следствие 1. Если две прямые параллельны, то все точки одной прямой находятся на одном и том же расстоянии от другой прямой.

Доказательство. В самом деле, пусть а || b (рис.3).

Подготовка к ГМА и ЕГЭ

Рис.3

Проведем из каких-нибудь двух точек В и С прямой b перпендикуляры ВА и CD к прямой а. Так как АВ || CD, то фигура ABCD — параллелограмм, и следовательно, АВ = CD.

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из прямых до другой прямой.

По доказанному оно равно длине перпендикуляра, проведенного из какой-нибудь точки одной из параллельных прямых к другой прямой.

См. Диагонали и признаки параллелограмма

Обучение по геометрии

Пример 1. Периметр параллелограмма равен 122 см. Одна из его сторон больше другой на 25 см. Найти стороны параллелограмма.

Решение. По теореме 1 противоположные стороны параллелограмма равны. Обозначим одну сторону параллелограмма через х, другую через у. Тогда по условию
$$left{begin{matrix}
2x + 2y = 122
\x – y = 25
end{matrix}right.$$
Решая эту систему, получим х = 43, у = 18. Таким образом, стороны параллелограмма равны 18, 43, 18 и 43 см.

Пример 2. Четырехугольник ABCD — параллелограмм с периметром 10 см. Найти диагональ BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8 см.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 4.

Четырехугольник ABCD — параллелограмм с периметром 10 см. Найти диагональ BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8 см.

Рис.4

Обозначим АВ через х, а ВС через у. По условию периметр параллелограмма равен 10 см, т. е. 2(x + у) = 10, или х + у = 5.
Периметр треугольника ABD равен 8 см. А так как АВ + AD = х + у = 5 то BD = 8 – 5 = 3 .
Итак, BD = 3 см.

Пример 3. Найти углы параллелограмма, зная, что один из них больше другого на 50°.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 5.

Геометрия для ГИА и ЕГЭ

Рис.5

Обозначим градусную меру угла А через х. Тогда градусная мера угла D равна х + 50°.

Углы BAD и ADC внутренние односторонние при параллельных прямых АВ и DC и секущей AD. Тогда сумма этих названных углов составит 180°, т. е.

х + х + 50° = 180°, или х = 65°. Таким образом, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Пример 4. Стороны параллелограмма равны 4,5 дм и 1,2 дм. Из вершины острого угла проведена биссектриса. На какие части делит она большую сторону параллелограмма?

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 6.

Подготовка по геометрии к ГИА и ЕГЭ

Рис.6

АЕ — биссектриса острого угла параллелограмма. Следовательно, ∠ 1 = ∠ 2.

ВС || AD, АЕ — секущая, следовательно, ∠ 2 = ∠ 3, т. е. ∠ 1 = ∠ 3. А это означает, что треугольник ABE равнобедренный, следовательно, АВ = ВЕ = 1,2 дм.

ЕС = ВС – BE = 3,3 дм.

Пример 5. Прямая АВ параллельна прямой CD (рис.7).

Подготовка и обучение к ГИА и ЕГЭ

Рис.7

Найти расстояние между этими прямыми, если ∠ ADC = 45°, CD = 1,6 см.

Решение. Искомое расстояние равно длине перпендикуляра АС. Треугольник ACD — прямоугольный и равнобедренный (АС — перпендикуляр), ∠ ADC = 45° по условию, значит, и ∠ CAD = 45°, ибо в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Следовательно, АС = CD = 1,6 см.

Обучение по геометрии

Источник

Что называется расстоянием между параллельными прямыми? Как найти расстояние между параллельными прямыми?

Определение.

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Поэтому, чтобы найти расстояние между параллельными прямыми, надо:

1) выбрать на одной из параллельных прямых точку;

2) опустить из выбранной точки к другой прямой перпендикуляр;

3) найти длину этого перпендикуляра.

Высоты параллелограмма — это расстояния между параллельными прямыми, на которых лежат противоположные стороны параллелограмма.

Высота трапеции — это расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат основания трапеции.

Источник

Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

– прямые совпадают.

Взаимное расположение прямых и их направляющие векторы

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями

l_{1}colon~frac{x-x_{1}}{a_{1}}=frac{y-y_{1}}{b_{1}}=frac{z-z_{1}}{c_{1}}, quad l_{2}colon~frac{x-x_{2}}{a_{2}}=frac{y-y_{2}}{b_{2}}=frac{z-z_{2}}{c_{2}},.

где M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),,M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}) — точки, принадлежащие прямым l_{1} и l_{2} соответственно, a vec{p}_{1}=a_{1}vec{i}+b_{1}vec{j}+c_{1}vec{k}, vec{p}_{2}=a_{2}vec{i}+b_{2}vec{j}+c_{2}vec{k} — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через vec{m}=overrightarrow{M_{1}M_{2}}=(x_{2}-x_{1})vec{i}+(y_{2}-y_{1})vec{j}+(z_{2}-z_{1})vec{k} вектор, соединяющий заданные точки.

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых l_{1} и l_{2} соответствуют следующие признаки:

– прямые l_{1} и l_{2} скрещивающиеся Leftrightarrow векторы vec{m},,vec{p}_{1},,vec{p}_{2} не компланарны;

– прямые l_{1} и l_{2} пересекаются Leftrightarrow векторы vec{m},,vec{p}_{1},,vec{p}_{2} компланарны, а векторы vec{p}_{1},,vec{p}_{2} не коллинеарны;

– прямые l_{1} и l_{2} параллельные Leftrightarrow векторы vec{p}_{1},,vec{p}_{2} коллинеарны, а векторы vec{m},,vec{p}_{2} не коллинеарны;

– прямые l_{1} и l_{2} совпадают Leftrightarrow векторы vec{m},,vec{p}_{1},,vec{p}_{2} коллинеарны.

Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:

leftlanglevec{m},vec{p}_{1},vec{p}_{2}rightrangle= begin{vmatrix} x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\ a_{1}&b_{1}&c_{1}\ a_{2}&b_{2}&c_{2} end{vmatrix}.

Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности. Поэтому:

– прямые l_{1} и l_{2} скрещивающиеся Leftrightarrow определитель отличен от нуля;

– прямые l_{1} и l_{2} пересекаются Leftrightarrow определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е. operatorname{rang}!begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}end{pmatrix}=2,;

– прямые l_{1} и l_{2} параллельные Leftrightarrow вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. operatorname{rang}!begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}end{pmatrix}=1,, а первые две строки не пропорциональны, т.е. operatorname{rang}!begin{pmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\a_{1}&b_{1}&c_{1}end{pmatrix}=2,;

– прямые l_{1} и l_{2} совпадают Leftrightarrow все строки определителя пропорциональны, т.е. operatorname{rang}!begin{pmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}end{pmatrix}=1,.

Расстояние между параллельными прямыми

Найдем расстояние d между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями (рис.4.35)

Расстояние d между параллельными прямыми

lcolon~frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b}=frac{z-z_{0}}{c}, quad l_{1}colon~frac{x-x_{1}}{a_{1}}=frac{y-y_{1}}{b_{1}}=frac{z-z_{1}}{c_{1}},

где M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}),,M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) — произвольные точки на прямых l и l_{1} соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны: frac{a}{a_{1}}=frac{b}{b_{1}}=frac{c}{c_{1}},.

Искомое расстояние d равно высоте параллелограмма, построенного на векторах vec{p}=avec{i}+bvec{j}+cvec{k} и vec{m}=overrightarrow{M_{0}M_{1}}=(x_{1}-x_{0})vec{i}+(y_{1}-y_{0})vec{j}+(z_{1}-z_{0})vec{k}, и может быть найдено по формуле (4.35).

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.

Расстояние d между скрещивающимися прямыми

Найдем расстояние d между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями

lcolon_{1}~frac{x-x_{1}}{a_{1}}=frac{y-y_{1}}{b_{1}}=frac{z-z_{1}}{c_{1}}, quad l_{2}colon~frac{x-x_{2}}{a_{2}}=frac{y-y_{2}}{b_{2}}=frac{z-z_{2}}{c_{2}},

где M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),,M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}) — произвольные точки на прямых l_{1} и l_{2} соответственно.

Искомое расстояние d равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах vec{m}=overrightarrow{M_{1}M_{2}}=(x_{2}-x_{1})vec{i}+(y_{2}-y_{1})vec{j}+(z_{2}-z_{1})vec{k}, vec{p}_{1}=a_{1}vec{i}+b_{1}vec{j}+c_{1}vec{k}, vec{p}_{2}=a_{2}vec{i}+b_{2}vec{j}+c_{2}vec{k}, (рис.4.36), т.е.

d=frac{|langlevec{m},vec{p}_{1},vec{p}_{2}rangle|}{|[vec{p}_{1},vec{p}_{2}]|},,

(4.38)

где

langlevec{m},vec{p}_{1},vec{p}_{2}rangle= begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}end{vmatrix}, quad [vec{p}_{1},vec{p}_{2}]= begin{vmatrix}vec{i}&vec{j}&vec{k}\a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}end{vmatrix}

— смешанное и векторное произведения векторов. Как показано выше, прямые l_{1} и l_{2} скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы vec{m},vec{p}_{1},vec{p}_{2} некомпланарные, т.е.

begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\a_{1}&b_{1}&c_{1}\a_{2}&b_{2}&c_{2}end{vmatrix}ne0,.

Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы vec{p}_{1},vec{p}_{2} неколлинеарные, т.е. |,[vec{p}_{1},vec{p}_{2}],|ne0 и знаменатель в правой части (4.38) отличен от нуля.

Угол между прямыми

Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина varphi острого угла между прямыми

l_{1}colon~frac{x-x_{1}}{a_{1}}=frac{y-y_{1}}{b_{1}}=frac{z-z_{1}}{c_{1}}, qquad l_{2}colon~frac{x-x_{2}}{a_{2}}=frac{y-y_{2}}{b_{2}}=frac{z-z_{2}}{c_{2}}

вычисляется по формуле

cosvarphi= frac{|,langlevec{p}_{1},vec{p}_{2}rangle,|}{|vec{p}_{1}|cdot|vec{p}_{2}|}= frac{|a_{1}cdot a_{2}+b_{1}cdot b_{2}+c_{1}cdot c_{2}|}{sqrt{a_{1}^2+b_{1}^2+c_{1}^2}cdotsqrt{a_{2}^2+b_{2}^2+c_{2}^2}},.

(4.39)

Пример 4.16. Найти расстояние d между прямой, проходящей через точки B(3;0;2), C(7;4;6), и осью абсцисс. Найти величину varphi острого угла между этими прямыми.

Решение. Каноническое уравнение оси абсцисс имеет вид frac{x}{1}=frac{y}{0}=frac{z}{0},, так как ось проходит через точку O(0;0;0) а vec{i} — ее направляющий вектор. Каноническое уравнение прямой BC получено в примере 4.15,”а”: frac{x-3}{1}=frac{y}{1}=frac{z-2}{1}.

Полагая vec{m}=overrightarrow{OB}=(3-0)vec{i}+(0-0)vec{j}+(2-0)vec{j}=3vec{i}+2vec{k}, vec{p}_{1}=vec{i}, vec{p}_{2}=vec{i}+vec{j}+vec{k} по формуле (4.38) получаем:

begin{gathered} langle,vec{m},vec{p}_{1},vec{p}_{2},rangle= begin{pmatrix}3&0&2\1&0&0\1&1&1end{pmatrix}=2, quad [,vec{p}_{1},vec{p}_{2},]= begin{pmatrix}vec{i}&vec{j}&vec{k}\1&0&0\1&1&1end{pmatrix}= -vec{j}+vec{k},\[4pt] d=frac{|,langle,vec{m},vec{p}_{1},vec{p}_{2},rangle,|}{|,[,vec{p}_{1},vec{p}_{2},],|}= frac{2}{sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}}=sqrt{2},.end{gathered}

Острый угол varphi находим по формуле (4.39):

cosvarphi=frac{|,langle,vec{p}_{1},vec{p}_{2},rangle,|}{|,vec{p}_{1},|cdot|,vec{p}_{2},|}= frac{|1cdot1+0cdot1+0cdot1|}{sqrt{1^2+0^2+0^2}cdotsqrt{1^2+1^2+1^2}}= frac{1}{sqrt{3}}quad Rightarrow quad varphi=arccosfrac{1}{sqrt{3}},.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:

– прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

– прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;

– прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.

Получим признаки для всех этих случаев. Пусть прямая l и плоскость rho заданы уравнениями:

lcolon,frac{x-x_{0}}{a}=frac{y-y_{0}}{b}=frac{z-z_{0}}{c}; qquad rhocolon,Acdot x+Bcdot y+Ccdot z+D=0,

т.е. прямая l проходит через точку M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) коллинеарно вектору vec{p}=avec{i}+bvec{j}+cvec{k} а плоскость rho перпендикулярна вектору vec{n}=Avec{i}+Bvec{j}+Cvec{k},.

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой l и плоскости rho соответствуют следующие признаки:

– прямая l и плоскость rho пересекаются Leftrightarrow векторы vec{p} и vec{n} не ортогональны (рис.4.37,а);

– прямая l и плоскость rho параллельны Leftrightarrow векторы vec{p} и vec{n} ортогональны, а точка M_{0} не принадлежит плоскости rho (рис.4.37,б);

– прямая l лежит в плоскости rho~Leftrightarrow векторы vec{p} и vec{n} ортогональны, а точка M_{0} принадлежит плоскости rho (рис.4.37,в).

Взаимное расположение прямой и плоскости

Учитывая свойство скалярного произведения векторов langle,vec{p},vec{n},rangle=acdot A+bcdot B+ccdot C получаем:

– прямая l и плоскость rho пересекаются Leftrightarrow acdot A+bcdot B+ccdot Cne0;

– прямая l и плоскость rho параллельны Leftrightarrow~ begin{cases}acdot A+bcdot B+ccdot C=0,\ Acdot x_{0}+Bcdot y_{0}+Ccdot z_{0}+Dne0;end{cases}

– прямая l лежит в плоскости rho~Leftrightarrow~ begin{cases}acdot A+bcdot B+ccdot C=0,\ Acdot x_{0}+Bcdot y_{0}+Ccdot z_{0}+D=0;end{cases}

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой l и плоскостью rho определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость (рис.4.38). Из двух смежных углов varphi и varphi', как правило, выбирают меньший. Если прямая l перпендикулярна плоскости (ее ортогональная проекция на плоскость является точкой), то угол считается равным textstyle{frac{pi}{2}}. Если обозначить psi и psi' углы, образованные наклонной l с перпендикуляром к плоскости, то

sinvarphi=sinvarphi'=|cospsi|=|cospsi'|,.

Поскольку угол psi (или psi') равен углу между направляющим вектором vec{p} прямой l и нормалью vec{n} к плоскости rho, то sinvarphi= |cospsi|= frac{|langlevec{p},vec{n}rangle|}{|vec{p}|{cdot}|vec{n}|}. Записывая скалярное произведение через координаты множителей, получаем формулу вычисления угла varphi между прямой и плоскостью:

sinvarphi= frac{|acdot A+bcdot B+ccdot C|}{sqrt{a^2+b^2+c^2}cdotsqrt{A^2+B^2+C^2}},.

(4.40)

Отсюда, например, следует полученное ранее необходимое условие acdot A+bcdot B+ccdot C=0 параллельности прямой и плоскости.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Для обозначения параллельности  прямых используется символ (||). Запись (a || b) читается: «Прямая (a) параллельна прямой (b)».

Расстоянием между параллельными прямыми называется длина их общего перпендикуляра. На данном рисунке это отрезок (AB).

строка 54.png

Расстояние между параллельными прямыми везде одно и то же. Перпендикуляр тоже можно проводить по свободному выбору в любом удобном месте.

Расстояние между непараллельными прямыми определить нельзя.

В геометрических фигурах перпендикуляр между параллельными прямыми проводится из вершины фигуры.

строка 55.png

Как известно, две стороны трапеции параллельны, поэтому между ними можно определить расстояние.

Расстояние между сторонами (BC) и (AD) — это перпендикуляр (BK), который называется высотой.

Расстояние между сторонами (AB) и (CD) определить нельзя, т. к. эти стороны не параллельны.

строка 56.png

В параллелограмме две пары параллельных сторон, поэтому можно определить расстояние между сторонами (BC) и (AD) — это высота (BK).

Можно также найти расстояние между сторонами (AB) и (DC) — это высота (BF).

Источники:

Рис. 1-3. Прямые, трапеция, параллелограмм, © ЯКласс.

Источник

Добавить комментарий