Как найти расстояние между скрещивающимися диагоналями куба

Есть

а) Найдем, например, ρ(AA₁, B₁D).
АА1 || DD₁, поэтому АА₁ || пл. BB₁D₁D. Проводим 
Важно заметить, что в силу свойств куба точка Е  будет середи­ной BD , то есть центром нижней грани куба.

ρ (АА₁, B₁D)=АЕ,
б) Проводим через АС плоскость, параллельную B₁D. Для этого проведем в плоскости BB₁D прямую ЕК || B₁D. Соединим А и K, С и К, пл. АКС || B₁D  по теореме I.
Рассмотрим BB₁D

ВВ₁  = a, BD =
КЕ – средняя линия в ΔBB1D. Искомое расстояние х = ЕМ 
по построению.

B ΔB₁BD 
в ΔMDE:
Получим уравнение:  отсюда 
Ответ: 

Сначала докажем
существование общего перпендикуляра
двух скрещивающихся прямых.

Пусть
даны две скрещивающиеся прямые а
и b.
Построим плоскость ,
которая содержит прямую b
и параллельна прямой a
(рис. 6). Далее
ортогонально спроектируем прямую а
на плоскость .
Допустим, что получим прямую а_1.
Прямые а₁
и b
являются
пересекающимися (попытайтесь доказать
этот факт самостоятельно). Пусть точка
О₁
есть точка пересечения прямых а₁
и b.
Далее построим точку О,
лежащую на прямой а,
для которой точка О₁
является
ортогональной
проекцией.

Рис.
6

Из
построений
следует, что
отрезок ОО₁

перпендикулярен плоскости .
Следовательно, он перпендикулярен
прямым а₁
и b.
В силу параллельности прямых а
и а₁
получаем,
что ОО₁

а.

Таким
образом, отрезок ОО₁
является
общим перпендикуляром двух скрещивающихся
прямых а
и b.

Итак, мы доказали
существование общего перпендикуляра
скрещивающихся прямых. Попытайтесь
самостоятельно доказать его единственность.

Приведенное
доказательство позволяет выделить
следующие способы нахождения расстояния
между скрещивающимися прямыми:

1
способ.
Непосредственно построить общий
перпендикуляр скрещивающихся прямых
и найти его длину;

2
способ.
Через одну из скрещивающихся прямых
провести плоскость, параллельную другой
прямой, и найти расстояние от этой прямой
до параллельной плоскости;

3
способ.
Построить пару параллельных плоскостей,
каждая из которых содержит одну из
скрещивающихся прямых, и найти расстояние
между параллельными плоскостями.

4
способ. На
основе второго способа можно получить
еще один способ нахождения расстояния
между скрещивающимися прямыми.

Пусть
а
и b –
скрещивающиеся прямые (рис. 7). Построим
плоскость β,
перпендикулярную прямой а,
и спроектируем ортогонально на плоскость
β
прямую b.
Пусть эта проекция есть прямая b₁.
Очевидно, что плоскость γ, проходящая
через прямые b
и b₁,
параллельна прямой а.
Следовательно, если точка А
– точка пересечения прямой а
с плоскостью β,
то расстояние между данными прямыми
равно расстоянию от точки А
до прямой b₁.

Заметим, что
описанные выше способы относятся к
конструктивному методу решения
соответствующих задач. Проиллюстрируем
их при решении задач на вычисление
расстояния между скрещивающимися
прямыми на элементах куба.

Рис.
7

Задача
4. Найдите расстояние между двумя
скрещивающимися прямыми, каждая из
которых содержит ребро куба, равное а.

Решение

Пусть
данными прямыми являются прямые АВ
и СС₁
(рис. 8). Очевидно,

Рис.
8

что
отрезок ВС
является общим перпендикуляром этих
прямых. Следовательно, 
(АВ,
СС₁)
= а.

Ответ.
а.

Задача
5. Найдите расстояние между двумя
скрещивающимися прямыми, одна из которых
содержит ребро куба длины а, а другая –
диагональ его грани.

Решение

Задача
сводится к рассмотрению двух случаев:
одна из скрещивающихся прямых содержит
ребро куба, а другая – диагональ смежной
грани или диагональ противоположной
грани.

1
случай

Пусть
даны скрещивающиеся прямые C₁D₁
и В₁С.
Легко убедиться, что отрезок В₁С₁
не является
общим перпендикуляром данных скрещивающихся
прямых (рис. 9). Однако плоскость В₁С₁С
перпендикулярна прямой C₁D₁.
Следовательно, любая прямая этой
плоскости перпендикулярна прямой C₁D₁,
в том числе и прямая, проходящая через
вершину C₁
и перпендикулярная В₁С,
то есть прямая ВC₁.
Значит, 
(C₁D₁,
В₁С)
= C₁М
=

.

Рис.
9

2
случай

Пусть
даны скрещивающиеся прямые C₁D₁
и А₁В
(рис. 10). Тогда очевидно,

Рис.
10

что
отрезок А₁D₁
является общим перпендикуляром прямых
C₁D₁
и А₁В.
Значит, 
(C₁D₁,
А₁В)
= а.

Ответ.

или а.

Задача
6. Найдите
расстояние между двумя скрещивающимися
прямыми, каждая из которых содержит
диагональ грани куба с ребром а.

Решение

1
случай

Диагонали
расположены в противоположных гранях
(рис. 11).

Рис. 11

Пусть
это будут диагонали АD₁
и B₁C_.
Нетрудно
доказать, что отрезок КМ
является общим перпендикуляром прямых
АD₁
и В₁С,
где точки К
и М
– середины соответственно диагоналей
AD₁
и В₁С.

Можно
решить эту задачу с опорой на 2-ой или
3-ий вышеуказанные способы, то есть
свести задачу к нахождению расстояния
между: а) прямой В₁С
и параллельной
ей плоскости DAA₁,
в которой лежит другая скрещивающаяся
прямая AD₁;
б) параллельными плоскостями ВСС₁
и DAA₁,
в каждой из которых лежат соответственно
скрещивающиеся прямые В₁С
и AD₁.

2
случай.
Диагонали
расположены в смежных гранях куба,
например, АВ₁
и ВС₁
(рис. 12).

Обнаружить
быстро общий перпендикуляр данных
прямых, как это было сделано при решении
предыдущих задач, здесь не удается.
Однако легко убедиться в том, что ВС₁
(АВ₁D₁).
Тогда нужно найти расстояние от прямой
ВС₁
до указанной
плоскости_.
Для этого
на прямой ВС₁
следует выбрать некоторую точку и
построить перпендикуляр к плоскости
АВ₁D₁.
Из какой точки удобнее построить
перпендикуляр? Интуиция, пространственное
воображение ведут к избранию точки С₁.
Возникает вопрос: где расположено
основание Е
перпендикуляра? Вот если бы удалось
выявить плоскость, проходящую через
точку С₁
и перпендикулярную плоскости АВ₁D₁,
то ответ на поставленный вопрос
значительно бы упростился, так как точка
Е
принадлежит прямой пересечения указанных
плоскостей.

Рис.
12 Рис. 13

Начинаем
поиск такой плоскости. И снова выручают
интуиция и пространственное воображение.
По-видимому, (АА₁С)

(АВ₁D₁).
Если это так, то основание Е
перпендикуляра принадлежит прямой АО
(рис. 13). Тогда проведем С₁Е

АО.
Однако надо еще доказать перпендикулярность
названных плоскостей. Видимо, нужно
воспользоваться признаком перпендикулярности
двух плоскостей. Это означает, что надо
установить: одна из двух интересующих
нас плоскостей проходит через прямую,
перпендикулярную другой плоскости.
Кажется, B₁D₁

(АА₁С₁).
Почему? Возможны различные способы
доказательства последнего факта.

1. Точки
   А,
   А₁,
   С
   равноудалены от концов отрезка В₁D₁.
   Следовательно, они принадлежат множеству
   точек пространства, равноудаленных от
   концов названного отрезка, то есть
   лежат в плоскости, перпендикулярной
   отрезку В₁D₁
   и проходящей через его середину. Но
   такой плоскостью является плоскость
   АА₁С₁.

2. В₁D₁
   
   A₁C₁,
   как диагонали квадрата, и В₁D₁
   
   АО
   по теореме о трех перпендикулярах.
   Следовательно, В₁D₁
   
   (АА₁С₁).

3)
В₁D₁

A₁C₁
и АА₁

В₁D₁,
так как АА₁

(А₁В₁С₁).
Следовательно, В₁D₁

(АА₁С₁).

Итак,
(АА₁С₁)

(АВ₁D₁),
где АО
– линия пересечения этих плоскостей.
Исходя из вышеприведенных рассуждений,
строим С₁Е

АО.
Следовательно, задача свелась к поиску
длины отрезка С₁Е.
В плоскости АА₁С₁
имеем два подобных треугольника АА₁О₁
и С₁ЕО.
Отсюда получаем С₁Е
=

.

Таким
образом, расстояние между скрещивающимися
прямыми ВС₁
и АВ₁
есть длина перпендикуляра, проведенного
из некоторой точки С₁
одной из скрещивающихся прямых
ВС₁
к плоскости, содержащей другую
скрещивающуюся прямую АВ₁
и параллельную первой прямой ВС₁.

При
решении задачи мы строили перпендикуляр
из точки С₁.
Однако на выбор некоторой точки прямой
ВС₁
претендовала и точка В.
Попытайтесь построить перпендикуляр
из точки В
к плоскости АВ₁D₁.
Такое решение будет нерациональным, но
зато очень полезным в математическом
отношении.

«Поменяйте
ролями» прямые АВ₁
и ВС₁.
Проведите через вторую из них плоскость,
параллельную первой. В этом случае надо
искать расстояние от прямой АВ₁
до плоскости ВDС₁.
Здесь перпендикуляр можно строить из
точек А
или В₁
к плоскости ВDС₁.

Таким
образом, мы выявили четыре варианта
решения одной и той же задачи, построенных
на одной идее – втором способе нахождения
расстояния между скрещивающимися
прямыми.

Перейдем
к рассмотрению еще одного способа
отыскания расстояния между скрещивающимися
прямыми АВ₁
и ВС₁.

Плоскости
АВ₁D₁
и ВС₁D
параллельны и проходят через скрещивающиеся
прямые АВ₁
и ВС₁
(рис. 14). Надо найти расстояние между
этими плоскостями.

Рис.
14 Рис.
15

Из
какой точки одной плоскости удобно
провести перпендикуляр к другой?
По-видимому, из точек О
или О₁
– середин отрезков ВD
и B₁D₁
(рис. 15). Пусть мы выбрали для определенности
точку О.
Где же лежит основание перпендикуляра,
проведенного из точки О
к плоскости АВ₁D₁?
Скорее всего, на прямой АО₁.
Почему? В силу перпендикулярности прямой
В₁D₁
к плоскости АА₁С₁.
Поэтому (АВ₁D₁)

(АА₁С₁).
Прямая АО₁
– линия пересечения этих плоскостей.
Проведя ОF

АО₁,
получим ОF

(АВ₁D₁).

Из
прямоугольного треугольника АОF
имеем: ОF
= АО 
sinОАF
= =
=

.

Заметим,
что вычисление расстояния между
параллельными плоскостями АВ₁D₁
и ВC₁D
намного упростится, если использовать
свойство диагонали куба А₁С
о перпендикулярности этим плоскостям.
В этом нетрудно убедиться.

Действительно,
ортогональной проекцией А₁С
на плоскость А₁В₁В
является прямая А₁В
(рис. 15). Значит, по теореме о трех
перпендикулярах имеем: А₁С

АВ₁.
Аналогично можно доказать, что прямая
АС₁
перпендикулярна В₁D₁
(или АD₁).
Поэтому на основании признака
перпендикулярности прямой и плоскости
делаем вывод:
А₁С

(АВ₁D₁).
Таким же образом или используя свойство
параллельных плоскостей АВ₁D₁
и ВС₁D,
можно доказать, что А₁С

(ВС₁D).

Далее
построим точки пересечения диагонали
А₁С
с этими плоскостями, как точки пересечения
А₁С
с прямыми АО₁
и С₁О,
которые, с одной стороны, лежат
соответственно в плоскостях АВ₁D₁
и ВС₁D,
а с другой стороны, в одной плоскости с
прямой АС₁
(рис. 16). Пусть это будут точки М
и N.
Следовательно, задача свелась к вычислению
длины отрезка МN
в плоскости А₁С₁СА.

Рис.
16

Итак,
имеем классическую задачу из курса
планиметрии.

Дан
параллелограмм АА₁С₁С,
точки О и О₁
– соответственно середины его сторон
АС и А₁С_1.
Доказать, что точки пересечения отрезков
АО₁
и С₁О
с диагональю А₁С
делят ее на три равные части (рис 17).

Рис. 17

Решение

Выполним
дополнительное построение: проведем
вторую диагональ АС₁
данного параллелограмма. Используя
свойство медиан треугольника, имеем:
А₁М
= 2 МК,
СN
= 2 КN.
Учитывая свойство диагоналей
параллелограмма, получаем: А₁К
= КС.
Значит, А₁М
= МN=
NС.

Опираясь
на результат этой задачи, делаем вывод
о том, что расстояние между параллельными
плоскостями АВ₁D₁
и ВС₁D
равно одной трети длины диагонали куба,
то есть

.

Ответ.
Расстояние между скрещивающимися
прямыми, которые содержат диагонали
противоположных граней, равно а.
Расстояние между скрещивающимися
прямыми, которые содержат диагонали
смежных граней, равно

.

Попытаемся теперь
решить последнюю задачу (2 случай)
аналитическими методами.

Векторный метод

Введем
базисные векторы:


=

,
ВВ₁
=

,
ВС =

(рис.
18).

Рис.
18

Известно,
что две скрещивающиеся прямые имеют
общий перпендикуляр и притом единственный.
Допустим, что это есть отрезок MN,
где МАВ₁,
NBC₁.
Следовательно, MN

АВ₁
и MN

ВС₁.
Переведем последние четыре факта на
векторный язык:

МАВ₁

= х
,
NВС₁

=
у
,

MN

АВ₁

·

=
0, (1)
MN
BC₁

·

=
0. (2)

Затем
выразим записанные векторы через
базисные:

–

=
х
(
–
)

= (1 – х)

+ х

;

=
у
(

+

);

=

–

= у
(

+

)
– (1 – х)

– х

= (x
– 1)

+ (y
– x)

+
у
.

Дальнейший ход
рассуждений таков: сначала вычислим
коэффициенты

разложения
вектора

по базисным векторам

,

и

,
используя векторные равенства (1) и (2).
Потом найдем его скалярный квадрат, что
и позволит вычислить длину отрезка
MN.
Исходя из этого плана, запишем:

((х
– 1)

+ (y
– x)

+ y
)

(

–

)
= 0;

((х
– 1)

+ (y
– x)

+ y
)

(

+

)
= 0.

П
рименяя
законы векторной алгебры и свойства
куба, имеем:

(y-x)a²
– (x-1)a²
= 0,

(y-x)a²
+ уа²
= 0.

Значит,

у
= 2х –
1, х
=

,

2у
= х; 
у
=

.

Следовательно,

= –

–

–

.

Отсюда
MN
= а
=

.

Ответ.
Расстояние между скрещивающимися
прямыми, которые содержат диагонали
смежных граней, равно

.

Координатно-векторный
метод

Введем
прямоугольную систему координат (рис.
19). Запишем координаты следующих точек:
А(а,
0, 0), В(0,
0, 0), В₁(0,
0, а),
С(0,
а,
0), С₁(0,
а, а).
Допустим, что отрезок
MN
(МАВ₁
и NВC₁)
является общим перпендикуляром
скрещивающихся прямых АВ₁
и ВС₁.
Дальнейшая идея решения заключается в
нахождении координат точек М
и N,
что позволит вычислить длину отрезка
MN.

Рис.
19

Имеем,
что точки А,
М и В₁
лежат на одной прямой, что соответствует
векторному равенству

=
х
.
Исходя из этого равенства, найдем
координаты точки М.
Заметим, что точка М
лежит в плоскости Охz.
Следовательно, она имеет координаты
вида (m,
0, n).
Тогда можно определить координаты
следующих векторов:

(m–n;
0; n),

(-а;
0; а),
х

(-ха;
0; ха).
Отсюда выражаем координаты точки М(а-ах;
0; ах).

Аналогично
N

= y

N
(0; ау;
ау).
Следовательно,

(ах-
а; ау; ау – ах).

Чтобы
найти числовые значения х
и у,
воспользуемся условиями перпендикулярности
отрезка MN
к прямым АВ₁
и ВС₁:



=
0

(ax
– a)

(-a)
+ ay

0 + (ay
– ax)

a
= 0;



=
0

(ax
– a)

0 + ay

a
+ (ay
– ax)

a
= 0.

Разделив
обе части равенств на а²
(по условию задачи а0),
получаем:

1
– х
+ у
– х
= 0,

у
+ (у – х)
= 0.

Отсюда
х
=

,
у
=

Значит, М(
,
0,

)
и N(0,

,

).

Итак,
MN
=

=

.

Ответ.

.

Заметим,
что по окончании решения задачи с помощью
векторов и координат, мы можем построить
непосредственно точки М
и N
(точка М
делит отрезок АВ₁
в отношении 2:1, начиная от вершины А,
а точка N
делит отрезок ВС₁
в отношении 1:2, начиная от вершины В),
а значит, и общий перпендикуляр данных
прямых.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #