Как найти расстояние между точками пересечения прямых

Пусть
даны две прямые l₁
и l₂
на плоскости:

.

Чтобы
определить их взаимное расположение,
достаточно решить систему уравнений:

(3.8)

Если
эта система имеет единственное решение
(х₀,
у₀),
то прямые l₁
и l₂,
пересекается в точке М₀(х₀,
у₀).
Если система (3.8) не имеет решений, то
прямые l₁
и l₂
не пересекаются, следовательно, l₁
|| l₂.
Если система (3.8) имеет бесконечное
множество решений, то l₁
и l₂
совпадают.

Однако
решить вопрос о взаимном расположении
l₁
и l₂
можно и не решая системы (3.3). Действительно,
из общего уравнения прямой l₁,
находим, что ее нормальный вектор
имеет координатыА₁
и В₁
, т.е.
= {А₁,
В₁},
а прямая l₂
имеет нормальный вектор
= {А₂,
В₂}.
Если векторы
,коллинеарны, то прямыеl₁
и l₂
либо параллельны, либо совпадают. Если
,неколлинеарны, то прямые пересекаются.
Зная, что коллинеарные векторы (и только
они) имеют пропорциональные координаты,
получаем: если,
то прямыеl₁
и l₂
пересекаются; если
то
прямыеl₁
и l₂
параллельны;
если
то
прямыеl₁
и l₂
совпадают.

Используя
нормальные векторы
,можно также найти угол между прямыми,
так как угол между нормальными векторами
равен одному из угловмежду прямымиl₁
и l₂
(рис. 3.9).

Из
определения скалярного произведения
векторов получаем:,
поэтому.

Пусть
на плоскости заданы прямая
и точкаМ₀(х₀,
у₀).
Найдем расстояние d
от точки М₀(х₀,
у₀)
до прямой l
(рис. 3.10). Пусть М₁(х₁,
у₁)
– точка пересечения прямой l
и прямой, проходящей через точку М₀
перпендикулярно l.
Так как М₁
лежит на l,
то ее
координаты удовлетворяют уравнению
этой прямой, таким образом, имеем
тождество:

.
(3.9)

Рассмотрим
вектор
.
Этот вектор коллинеарен нормальному
вектору= {А₁,
В₁}
прямой l
и
,
поэтому косинус угла между векторамииравен либо 1, либо -1. Следовательно,,
откуда

.

Учитывая
тождество (3.9) получаем:

.
(3.10)

Пример
3.3. Найти
расстояние от точки пересечения прямых
l_l
и l₂
до прямой l₃.
Определить взаимное расположение пар
прямых l₁,
l₃
и l₂,
l₃,
если прямые заданы общими уравнениями:

Решение.Решим систему уравнений:

Получим:
х₀
= 1, у₀
= 2
– единственное
решение. Следовательно, прямые l₁
и l₂
пересекается
в точке М₀(1,
2). Используя формулу (3.10), найдем расстояние
d
от М₀
до l₃:

Нормальные
векторы прямых l₁,
l₂
и l₃
соответственно будут
= {3, –2},= {1, 1},= {–6, 4}. Так как координатыипропорциональны 3/( – 6) = –2/3 и –2/41/(
–3), тоl₁
|| l₃.
Для
и
имеем:
1/(–6)1/4,
следовательно,l₂
и l₃
пересекаются.

3.3. Плоскость в пространстве

Пусть
в пространстве задана прямоугольная
система координат: 0 – начало координат,– единичные направляющие векторы осей
координат, соответственно 0х,
0у
и 0z.
Рассмотрим в пространстве произвольную
плоскость
.
Выведем уравнение этой плоскости, т.е.
уравнение, содержащее переменныех,
у,
z,
которому удовлетворяют координаты
любой точки, лежащей на плоскости
и не удовлетворяют координаты никакой
точки, не лежащей
на этой
плоскости.

Пусть
задана точка М₁(х₁,
у₁,
z₁)и вектор={А,
В,
C}
перпендикулярный плоскости
(нормальный вектор плоскости). ПустьM(x,
у,
z)
– произвольная точка, принадлежащая
плоскости
.
Тогда вектор

перпендикулярен
вектору
(рис. 3.11), а поэтому=
0 (условие перпендикулярности векторов
(см. разд. 2.4)) или

.
(3.11)

Итак,
координаты любой точки М,
лежащей в плоскости
,
удовлетворяют этому уравнению
и,
легко видеть, что координаты точки, не
лежащей в плоскости
,
не удовлетворяют уравнению (3.11).
Следовательно, уравнение (3.11) является
уравнением плоскости и называется
уравнением плоскостипо
точке и нормальному вектору.

Уравнение
(3.11) является уравнением первой степени
относительно текущих координат х,
у,
z.
Можно показать (аналогично тому, как
это было сделано в разд. 3.1), что всякое
уравнение первой степени относительно
x,
у,
z

(3.12)

является
уравнением некоторой плоскости (оно
называется общим
уравнением плоскости), причем вектор
={А,
В,
C},
является нормальным вектором плоскости.

Если
в уравнении (3.12) D
= 0, то этому
уравнению удовлетворяет тройка чисел
(0, 0, 0), т.е. соответствующая плоскость
проходит через начало координат. Нетрудно
видеть, что плоскость 0ху
имеет уравнение
,
плоскость 0xz
– уравнение
,
a плоскость 0yz
задается уравнением
.

Известно,
что плоскость однозначно определяется
тремя точками, не лежащими на одной
прямой. Пусть
иМ(х,
у,
z)
– произвольная точка плоскости
(рис. 3.12). Рассмотрим векторы

они
компланарны, поэтому
их смешанное
произведение равно 0, т.е.

(3.13)

Это
уравнение называется уравнением
плоскости по
трем точкам.

Пусть
плоскость
пересекает оси координат в точках:М₁(а,
0, 0), М₂(0,
b,
0), M₃(0,
0, с).
Подставляя
их координаты
в уравнение (3.13), находим:

Вычислив определитель,
получим:

,

откуда

Это
уравнение называется уравнением
плоскости в
отрезках.

Пример
3.4. Построить
плоскость, заданную общим уравнением:

.

Решение.
Преобразуем данное уравнение в уравнение
в отрезках

В

M₁

идим,
что плоскость отсекает на осях 0x,
0y, 0z, соответственно отрезки 3,
2, 1. Следовательно, она проходит через
точки

М₁(3,
0, 0), М₂(0
2, 0), М₃(0,
0, 1).

По этим данным легко
построить плоскость (рис. 3.13).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

����:    [ ����� ��������� �� ��������� ]

���������: 3- ������: 8,9

�������� �����������

�������

������� ���������� ����� ������  A(1, 7)  � ������
����������� ������  x – y – 1 = 0  �  x + 3y – 12 = 0.

�������

����� �������, ���ģ� �����  B(¹⁵/₄, ¹¹/₄)  ����������� ������ ������. �� ������� ��� ���������� ����� ����� �������
AB² = (¹⁵/₄ – 1)² + (¹¹/₄ – 1)² = (¹¹/₄)² + (¹⁷/₄)² = ¹/₁₆ + (121 + 289) = ⁴¹⁰/₁₆.

�����

.

��������� � ���������� �������������

Задача 66753 3. Найти расстояние от точки пересечения…

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 4 декабря 2022 года; проверки требует 1 правка.

В данной статье рассматриваются две параллельные прямые на плоскости. Для параллельных прямых, расположенных не в одной плоскости, смотрите Скрещивающиеся прямые#расстояние.

Расстояние между двумя прямыми линиями на плоскости — это наименьшее расстояние между любыми двумя точками, лежащими на этих прямых. В случае пересекающихся линий расстояние между ними равно нулю, потому что минимальное расстояние между ними равно нулю (в точке пересечения), в то время как в случае двух параллельных линий это перпендикуляр — расстояние от точки на одной прямой к другой прямой.

Формулы и доказательства[править | править код]

Если линии параллельны, то расстояние между ними — это постоянная величина, так что не важно, какая точка выбрана, чтобы измерить расстояние. Даны уравнения двух параллельных линий

расстояние между двумя параллельными прямыми — это расстояние между двумя точками пересечения этих линий с перпендикуляром

Это расстояние может быть найдено при решении системы линейных уравнений

и

чтобы получить координаты точек пересечения. Определяем координаты точки пересечения

и

Расстояние между точками

которое можно сократить, как

Если известны уравнения прямых в декартовой системе координат, то можно их записать:

где расстояние между прямыми можно записать так

См. также[править | править код]

• Расстояние от точки до линии
• Скрещивающиеся прямые#расстояние