Как найти расстояние между точками зная координаты - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Загрузить PDF

Представьте расстояние между двумя точками в виде отрезка прямой линии, соединяющего эти точки. Длину этого отрезка можно найти по формуле: √ $(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^{2}$ .

Шаги

1
Определите координаты двух точек, расстояние между которыми вы хотите вычислить. Обозначим их Точка 1 (x1,y1) и Точка 2 (x2,y2). Неважно, как именно вы обозначите точки, главное, не перепутать их координаты при расчетах.^[1]
- x1 − это горизонтальная координата (вдоль оси x) Точки 1, а x2 − горизонтальная координата Точки 2. Соответственно, y1 − вертикальная координата (вдоль оси y) Точки 1, и y2 − вертикальная координата Точки 2.
- Возьмем, например, точки (3,2) и (7,8). Если мы примем, что (3,2) − это (x1,y1), тогда (7,8) − это (x2,y2).
2

Ознакомьтесь с формулой для вычисления расстояния. Эта формула позволяет найти длину прямого отрезка, соединяющего две точки, Точку 1 и Точку 2. Длина этого отрезка равна квадратному корню от суммы квадратов расстояний между точками по горизонтали и вертикали. Проще говоря, это квадратный корень из $(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^{2}$ .^[2]
3
Найдите, чему равны расстояния между точками по горизонтали и вертикали. Расстояние по вертикали найдем в виде разности y2 – y1. Соответственно, расстояние по горизонтали составит x2 – x1. Не волнуйтесь, если в результате вычитания вы получите отрицательное значение. Следующим шагом будет возведение найденных расстояний в квадрат, что в любом случае даст положительное целое число.^[3]
- Найдите расстояние вдоль оси y. Для нашего примера с точками (3,2) и (7,8), где координаты (3,2) соответствуют Точке 1, а координаты (7,8) − Точке 2, находим: (y2 – y1) = 8 – 2 = 6. Это значит, что расстояние между нашими точками по оси y равно шести единицам длины.
- Найдите расстояние вдоль оси x. Для нашего примера с точками (3,2) и (7,8) получаем: (x2 – x1) = 7 – 3 = 4. Это значит, что по оси x наши точки разделяет расстояние, равное четырем единицам длины.
4
Возведите оба значения в квадрат. Необходимо по отдельности возвести в квадрат расстояние вдоль оси x, равное (x2 – x1), и расстояние вдоль оси y, составляющее (y2 – y1):
- $6^{2}=36$
- $4^{2}=16$
5

Сложите полученные значения. В результате вы найдете квадрат диагонали, то есть расстояния между двумя точками. В нашем примере для точек с координатами (3,2) и (7,8) находим: (7 – 3) в квадрате равно 36, и (8 – 2) в квадрате равно 16. Складывая, получаем 36 + 16 = 52.
6
Извлеките квадратный корень из найденной величины. Это последний шаг. Расстояние между двумя точками равно квадратному корню от суммы квадратов расстояний вдоль оси x и вдоль оси y.^[4]
- Для нашего примера находим: расстояние между точками (3,2) и (7,8) равно корню квадратному из 52, то есть примерно 7,21 единицы длины.
Реклама

Советы

Не страшно, если в результате вычитания y2 – y1 или x2 – x1 у вас получилось отрицательное значение. Поскольку затем разность возводится в квадрат, расстояние все равно будет равно положительному числу.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 89 362 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Задача простая. Нужно вычислить расстояние между двумя точками на карте, при этом известны только их географические координаты, то есть широта и долгота. Для примера вычислим расстояние между Москвой и Питером, но данная методика, конечно же, будет применима и к другим двум точкам местности. В наше время у многих людей есть такие компасы, например при смартфонах, которые показывают не только направление, но и географические координаты.

Итак, задача: вычислить расстояние между двумя городами. Известно только одно – географические координаты, то есть широта и долгота. Посмотрим эти данные в справочнике, ну или в Википедии.

Итак, что нам известно: координаты Москвы:

55,7522 град. с.ш., 37.6156 град. в.д.

Координаты Петербурга:

59,89444 град. с.ш., 30,26417 град. в.д.

Построим с помощью Excel трапецию:

Рисунок 1.

Итак, у нас есть трапеция ABCD. На ней точка D – это Москва, точка B – это Петербург. Отрезок AB проходит по меридиану Петербурга, BC – по параллели Петербурга, CD – по меридиану Москвы и AD – по параллели Москвы.

Что нам известно? Во-первых известны все географические координаты каждой из точек:

A: 55,7522, 30,26417;

B: 59,89444, 30,26417;

C: 59,89444, 37,6156;

D: 55,7522, 37,6156.

Вычислить AB и CD достаточно просто. На меридианах в градусе примерно одинаковое число километров. Это расстояние можно взять из справочных данных, и оно составляет примерно 111,1 км в каждом градусе.

Нужная нам разница в градусах – это 59,89444-55,7522, или 4,14224. А это значит, что разница в километрах – это 4,14224*111,1=460,2029 км.

Что же касается оснований трапеции, там тоже все достаточно просто. Экватор – это ноль градусов северной широты, и длина каждого градуса на экваторе около 111,3 км. Поскольку косинус ноля – это единица, то для любой параллели верна следующая формула: длина каждого градуса равна произведению 111,3 на косинус того угла, который числится в градусах северной широты (ну или южной, если это происходит южнее экватора).

Итак, с помощью Excel вычислим нужные нам косинусы:

cos(55.7522) = 0,562773
cos(59.89444) = 0,501595

Это значит, что 1 градус в верхнем основании нашей трапеции =111,3*0,501595=55,82749 км, а один градус в нижнем основании трапеции =111,3*0,562773=62,6366 км. Поскольку число градусов одинаково как в верхнем, так и в нижнем основаниях трапеции и составляет 37,6156-30,26417, то есть 7,35143 градуса. Но число километров в верхнем и нижнем основаниях трапеции не одинаковое.

Рассчитаем эти расстояния в километрах. BC=7,35143*55,82749=410,4119 км.

AD=7,35143*62,6366=460,469 км.

Теперь проведем высоту BH в нашей трапеции:

Рисунок 2.

В прямоугольном треугольнике ABH нам известно, что гипотенуза равна 460,2029 км, малый катет тоже известен (это половина разницы между длинами оснований трапеции, то есть 0,5*[460,469-410,4119], то есть 0,5*50,05711, или 25,02856 км).

Итак, найдем высоту трапеции ABCD, ее можно вычислить с помощью теоремы Пифагора. Напомню, что мы знаем и длину гипотенузы, и длину наименьшего из катетов.

Квадрат гипотенузы: 211786,7
Квадрат известного катета: 626,4
Разность между этими числами: 211160,2

Корень из этой разности – 459,5218 км. Это и есть наша высота трапеции, то есть BH.

Задача почти решена. Для нахождения расстояния между Москвой и Питером нам нужно вычислить диагональ трапеции, то есть BD. Нарисуем эту линию:

Рисунок 3.

Итак, у нас есть треугольник BHD. BH мы только что вычислили (459,5218 км), HD тоже известно (нужно от большего основания трапеции отнять AH. 460,469-25,02856=435,4404).

Два катета известны, нужно найти гипотенузу. По той же теореме Пифагора, и мы увидим, что гипотенуза будет равна 633,0629 км. Это и есть расстояние от Питера до Москвы.

Проверим наши вычисления, спросив у Яндекса, сколько составляет расстояние от Питера до Москвы.

Рисунок 4.

Мы увидим ответ – 634 км. При вычислениях по нашей методике получилось чуть больше, чем 633 км. Это значит, что погрешность при данном виде вычислений достаточна мала. Но если учесть, что крупные города – это не маленькие точки, а большие расстояния с севера на юг и с запада на восток, то можно сказать, что мы вычислили все правильно.

А на этом пока всё, подписывайтесь на мой канал и до новых встреч!

Источник

На этой странице находится все необходимое, чтобы найти расстояние между двумя точками. Просто введите координаты точек и получите ответ и подробное решение с помощью наших онлайн-калькуляторов. Кроме того на сайте можно найти координаты середины отрезка.

Расстояние между двумя точками – это длина отрезка, соединяющего эти точки.

Формула расстояния между двумя точками на плоскости:

d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}}

x_a и y_a – координаты первой точки A,

x_b и y_b – координаты второй точки B

Нахождение расстояния между двумя точками на плоскости сводится к решению треугольника, а точнее – нахождению его гипотенузы. Для этого используется теорема Пифагора. Посмотрите на рисунок.

Соединив отрезком точки A и B, а также опустив перпендикуляры на оси мы получим треугольник ABC. В этом треугольнике стороны AC и BC являются катетами прямоугольного треугольника, а AB – его гипотенузой. Длины катетов AC и BC найти довольно просто:

AC = x_b – x_a

BC = y_b – y_a

Осталось применить теорему Пифагора и получить сторону AB, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника и расстоянием между точками A и B:

AB=sqrt{{AC}^2 + {BC^2}}

Подставив вместо отрезков AC и BC их длины, получим итоговую формулу расстояния между двумя точками:

AB=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}} или d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}}

Формула расстояния между двумя точками в пространстве:

{d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2} + {(z_b – z_a)^2}}}

x_a, y_a и z_a – координаты первой точки A,

x_b, y_b и z_b – координаты второй точки B

Примеры задач на вычисление середины отрезка

Задача 1

Найдите расстояние между точками А и В, если А(2; 7), В(-2; 7).

Решение

Подставим координаты точек в формулу расстояния между двумя точками на плоскости и вычислим результат:

d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}} = sqrt{{(-2 – 2)}^2 + {(7 – 7)^2}} = sqrt{{-4}^2 + {0^2}} = sqrt{16 + 0} = sqrt{16} = 4

Мы получили расстояние между точками и оно равно 4.

Ответ: 4.

Проверим результат с помощью калькулятора .

Источник

Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x_a; y_a) и B(x_b; y_b) на плоскости:

Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x_a; y_a; z_a) и B(x_b; y_b; z_b) в пространстве:

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат x и y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

AC = x_b – x_a;

BC = y_b – y_a.

Спомощью теоремы Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.

Источник

Things You Should Know

Jot down the coordinates that you’re measuring the distance between.
Plug these coordinates into the distance formula: ${sqrt (}(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2})$ .
Solve the formula by squaring the differences of the x and y values, adding these differences together, and finding the square root of the remaining sum.

Steps

1
Take the coordinates of two points you want to find the distance between. Call one point Point 1 (x1,y1) and make the other Point 2 (x2,y2). It does not terribly matter which point is which, as long as you keep the labels (1 and 2) consistent throughout the problem.^[1]
- x1 is the horizontal coordinate (along the x axis) of Point 1, and x2 is the horizontal coordinate of Point 2. y1 is the vertical coordinate (along the y axis) of Point 1, and y2 is the vertical coordinate of Point 2.
- For an example, take the points (3,2) and (7,8). If (3,2) is (x1,y1), then (7,8) is (x2,y2).
2

Know the distance formula. This formula finds the length of a line that stretches between two points: Point 1 and Point 2. The linear distance is the square root of the square of the horizontal distance plus the square of the vertical distance between two points.^[2] More simply put, it is the square root of: $(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}$

Advertisement
3
Find the horizontal and vertical distance between the points. First, subtract y2 – y1 to find the vertical distance. Then, subtract x2 – x1 to find the horizontal distance. Don’t worry if the subtraction yields negative numbers. The next step is to square these values, and squaring always results in a positive number.^[3]
- Find the distance along the y-axis. For the example points (3,2) and (7,8), in which (3,2) is Point 1 and (7,8) is Point 2: (y2 – y1) = 8 – 2 = 6. This means that there are six units of distance on the y-axis between these two points.
- Find the distance along the x-axis. For the same example points (3,2) and (7,8): (x2 – x1) = 7 – 3 = 4. This means that there are four units of distance separating the two points on the x-axis.
4
Square both values. This means that you will square the x-axis distance (x2 – x1), and that you will separately square the y-axis distance (y2 – y1).
- $6^{2}=36$
- $4^{2}=16$
5

Add the squared values together. This will give you the square of the diagonal, linear distance between your two points. In the example of the points (3,2) and (7,8), the square of (8 – 2) is 36, and the square of (7 – 3) is 16. 36 + 16 = 52.
6
Take the square root of the equation. This is the final step in the equation. The linear distance between the two points is the square root of the sum of the squared values of the x-axis distance and the y-axis distance.^[4]
- To carry on the example: the distance between (3,2) and (7,8) is sqrt (52), or approximately 7.21 units.

Calculator, Practice Problems, and Answers

Add New Question

Question

How do I find the horizontal distance between (3, 4) and (8, 4)?

Subtract 3 from 8 since both are at 4 on the y axis. So distance is: 8-3=5.
Question

What is the distance from the x-axis to (7,-2)?

This is an ambiguous question. I will assume you mean the shortest distance. Then, your second point will be (7,0) because the line that goes through (7,0) and (7,-2) is perpendicular to the x-axis. So your answer is 2.
Question

What is the distance between (2, 3) and (-8,12)?

Using the distance formula shown in the above article, find the horizontal distance between the two points by subtracting (-8) from 2, which is 10. Then find the vertical distance between the points by subtracting 12 from 3, which is -9. We then add together the squares of those two distances: 3² + (-9)² = 9 + 81 = 90. Find the square root of that sum: √90 = 9.49. That’s the distance (in “units”) between the two points.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

It doesn’t matter if you get a negative number after subtracting y2 – y1 or x2 – x1. Because the difference is then squared, you will always get a positive distance in your answer.^[5]

Thanks for submitting a tip for review!

About This Article

Article SummaryX

To find the distance between two points on a line, take the coordinates of the two points. Label one as Point 1, with the coordinates x1 and y1, and label the other Point 2, with the coordinates x2 and y2. Plug these values into the distance formula, which is the square of X2 minus X1 plus the square of Y2 minus Y1, then the square root of that result. To see the distance formula written out, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 865,091 times.

Did this article help you?

Источник

Шаги

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

55,7522 град. с.ш., 37.6156 град. в.д.

59,89444 град. с.ш., 30,26417 град. в.д.

А на этом пока всё, подписывайтесь на мой канал и до новых встреч!

Формула расстояния между двумя точками на плоскости:

Формула расстояния между двумя точками в пространстве:

Примеры задач на вычисление середины отрезка

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Things You Should Know

Steps

Calculator, Practice Problems, and Answers

About This Article

Did this article help you?

Вам также может понравиться

Как найти хорошего отца для своего ребенка

Как найти где перемерзла вода в доме

Как правильно найди отличия или отличие

Добавить комментарий Отменить ответ