Вчера (или позавчера) поступило предложение разобрать задание для «поступления в школу “СУНЦ МГУ”, которая попадается под 4-ым номером»:
Есть две параллельные прямые, расстояние между ними пусть будет L. Даны точки A и B на первой и второй прямой соответственно, пусть расстояние между их проекциями на одну из прямых равно a. Найти минимальную длину ломаной APQB, где P лежит на второй прямой, а Q – на первой.
Оказалось, не просто, поэтому мнение экспертов в комментариях как никогда «важнО и нужнО». Это #геометрия, а значит — очень интересно! Пробуем?
Расстояние
Начнём с простого, но, как оказалось, не очевидного. Понятия расстояния. Под одним из решений в комментариях (теперь уже удален), читательница высказала мнение, что расстояние – не обязательно кратчайший путь, только когда это оговаривается условием. Так вот…
Три вида расстояний:
- Расстояние между точками A и B – отрезок AB;
- Расстояние между точкой A и прямой BC – перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой BC;
- Расстояние между параллельными прямыми AB и CD – перпендикуляр, проведённый из любой точки принадлежащей прямой AB к прямой CD.
Эти три расстояния никогда не оговариваются условием, как «кратчайшие».
Расстояние между точками
Проверьте, насколько Вам понятно понятие расстояния между точками, найдите расстояние между точками A и B на рисунке ниже, проверьте свои ответы пролистав галерею:
Вывод
Неважно, как две точки располагаются на плоскости – расстояние между ними, это всегда отрезок, началом и концом которого будут данные точки (хоть на двух прямых эти точки, хотя на одной, хоть на отрезках).
Расстояние между тремя точками. Ломаная
Усложним, добавим ещё одну точку. Точку C. Как найти расстояние между тремя точками? А как найти кратчайшее расстояние между тремя точками?
Тут всё зависит от взаимного расположения. Сразу оговоримся, что точки совпадать не могут. Тогда:
- Три точки располагаются на одной прямой;
- Три точки НЕ располагаются на одной прямой.
В первом случае: это отрезок началом и концом которого будут две точки, а третья принадлежит данному отрезку.
Во втором случае: взаимное расположение точек таково, что можно построить треугольник ∆ABC, а дальше всё зависит от условия. Но, так или иначе, это будет связано со сторонами треугольника ∆ABC и ломаной, которая будет образована двумя сторонами этого треугольника.
А что, если кратчайшее расстояние между тремя (не лежащими на одной прямой) точками нужно найти самостоятельно? Например, даны т. A и C – на первой параллельной прямой, а т. B – на второй. Точки A и C перемещать нельзя. Найти такое положение т. B, чтобы длина ломаной ABC была наименьшей.
Уверен, у Вас получилось найти такую ломаную… Но что, если Вы ошиблись? Как это проверить? А если не ошиблись и догадались верно, как доказать? Нарисуйте свой вариант и проделайте всё следующее.
Я ошибусь нарочно, построю ломаную ABC, как показано на рисунке:
Длина ломаной ABC – наименьшая? Проверим это, достроим т. D, симметричную т. C относительно второй прямой (содержащей т. B). И соединим т. B и D. Треугольник ∆CBD – равнобедренный (BE – срединный перпендикуляр).
Тогда, по свойству длины отрезков, очевидно:
AB + BC = AB + BD – этим выводом ниже еще воспользуемся.
Соединим т. A и D. Точку пересечения отрезка AD со второй прямой назовём т. K.
У меня получился ∆ABD, а у Вас? Если да, то Вы тоже ошиблись с выбором B. А если т. K и B совпали (треугольник не получился), то это и есть самый короткий путь от т. A к C, через т. B. В моём случае ломаная AKC будет иметь меньшую длину, чем ломаная ABC.
Почему? Благодаря теореме, которая называется неравенство треугольника:
Любая сторона в треугольнике всегда меньше суммы длин двух других.
А значит:
AD < AB + BD — неравенство треугольника ∆ABD;
AB + BD = AB + BC — доказывали выше;
AD = AK + KC — медиан CK в прямоугольном ∆ADC;
AK + KC < AB + BC — длина ломаной AKC меньше.
Конечно, возможны и другие способы это доказать.
Способ №1
Теорема Пифагора, но тут придётся проверять несколько вариантов, обобщать, как-то обосновать ответ.
Способ №2
Производные, но это ещё 9 класс. Так что в другой раз.
Способ №3 или «А при чём тут эллипс?»
Эллипс. Опять не по программе 9-го класса, но очень интересно.
Способ №4
Ваш способ, предложите его в комментариях. Нужно Ваше экспертное мнение.
Заключение
Наименьшая длина ломаной ABC (из трёх точек, не лежащих на одной прямой и не совпадающих) достигается, когда AB = BC.
Зигзаг. Ответ
На поставленный в самом начале вопрос.
Какой будет эта ломаная? И какой будет наименьшая длина ломаной?
Это будет зигзаг, т.е. какое-то количество равных прямоугольников с одной диагональю симметричных друг другу относительно оси (высоты). При этом количество точек (а значит и равных симметричных прямоугольников) на параллельных прямых не имеет значения.
На рисунке ниже буквой A обозначим данные точки, а буквой B – их проекции на другую прямую. Нечётные порядковые номера точек (A₁, A₃, A₅ и т.д.) на первой параллельной прямой, а чётные – на второй. A₁B₁A₂B₂ – прямоугольник с диагональю A₁A₂.
Если это прямоугольники, а ломаная – сумма одинаковых диагоналей прямоугольников, можно вывести формулу для нахождения наименьшей длины такой ломаной:
Ответ: 3 √(L² + a²/9)
Спасибо, что дочитали до конца. Надеюсь, что Вам понравилось. Ставьте лайк, оформляйте подписку, ну вот это вот всё 😂
Читайте также:
🔴Пропорциональные отрезки и площадь четырёхугольника
🔴Пропорциональные отрезки в треугольнике / Геометрия / ОГЭ
🔴Пропорциональные отрезки (и не только) в треугольнике. Часть 2
Онлайн калькулятор для нахождения расстояния между двумя точками в пространстве с 3-я координатами.
Как пользоваться калькулятором
Введите координаты первой и второй точки в соответствующие поля и нажмите на красную кнопку «Рассчитать». Результат появится в поле снизу.
Теория
Точка — одно из основных понятий геометрии. Точка — геометрический объект, который характеризуется положением в пространстве.
Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который соединяет эти две точки.
Формула
С помощью данной формулы можно рассчитать расстояние между двумя точками в пространстве:
AB = √(xb — xa)2 + (yb — ya)2 + (zb — za)2
Где:
xa; ya; za — координаты первой точки,
xb; yb; zb — координаты второй точки.
Пример
Найдем расстояние между заданными точками: A(-2, 3, 4) и B(7, 2, -3).
Подставляем значения в формулу:
AB = √(7 — (-2))2 + (2 — 3)2 + (-3 — 4)2 = √92 + 12 + 72 = √75 = √131
Результат: AB = √131.
Примечание
sqrt — квадратный корень
Задание
Проверьте, правильно ли мы нашли расстояние между двумя точками в пространстве в нашем примере?
Координаты вектора
Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.
На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.
Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) :
$$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$
$$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$
Тогда координаты вектора (vec{AB}) можно определить по формуле:
$$ vec{AB}={x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A}. $$
Скрещивающиеся прямые
И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора:
$$ a={x_a,y_a,z_a};$$
$$ b={x_b,y_b,z_b}; $$
тогда угол (alpha) между ними находится по формуле:
$$ cos{alpha}=frac{x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b}{sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2}*sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}. $$
Уравнение плоскости
В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой:
$$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$
где (A,B,C,D) – какие-то числа.
Если найти (A,B,C,D), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.
Например, пусть даны три точки:
$$ K(x_K,y_K,z_K);,L(x_L,y_L,z_L);,P(x_P,y_P,z_P). $$
Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:
$$begin{cases} A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.end{cases}$$
Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: (A,B,C,D). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем (D) приравнять (1), если же проходит, то (D=0). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на (D), от этого уравнение не изменится, но вместо (D) будет стоять (1), а остальные коэффициенты будут в (D) раз меньше.
Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:
Пример 3
Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
$$ K(1;2;3);,P(0;1;0);,L(1;1;1). $$
Подставим координаты точек в уравнение плоскости (D=1):
$$begin{cases} A*1+B*2+C*3+1=0,\ A*0+B*1+C*0+1=0, \ A*1+B*1+C*1+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A+2*B+3*C+1=0,\ B+1=0, \ A+B+C+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A-2+3*C+1=0,\ B=-1, \ A=-C.end{cases}$$
$$begin{cases} A=-0.5,\ B=-1, \ C=0.5.end{cases}$$
Получаем искомое уравнение плоскости:
$$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$
Расстояние от точки до плоскости
Зная координаты некоторой точки (M(x_M;y_M;z_M)), легко найти расстояние до плоскости (Ax+By+Cz+D=0:)
$$ rho=frac{|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$
Пример 4
Найдите расстояние от т. (H (1;2;0)) до плоскости, заданной уравнением
$$ 2*x+3*y-sqrt{2}*z+4=0.$$
Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты:
$$ A=2,,B=3,,C=-sqrt{2},,D=4.$$
Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.
$$ rho=frac{|2*1+3*2-sqrt{2}*0+4|}{sqrt{2^2+3^2+{-sqrt{2}}^2}}. $$
$$ rho=frac{12}{sqrt{16}}=3.$$
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.
Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).
Пример 5
Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.
Дана правильная треугольная призма (ABCFDE), ребра которой равны 2. Точка (G) – середина ребра (CE).
- Докажите, что прямые (AD) и (BG) перпендикулярны.
- Найдите расстояние между прямыми (AD) и (BG).
Решение:
Решим задачу полностью методом координат.
Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).
Расчет расстояния между двумя точками, имеющими 3 координата.
Формула расстояния между двумя точками
Пример расчета расстояния между точками
Найдите расстояние между двумя точками с координатами (1, 2, 3), (1, 3, 2).
Итак:
- x1 = 1, y1 = 2, z1 = 3
- x2 = 1, y2 = 3, z2 = 2
Подставляем значения в формулу:
Простой пример для вычисления расстояния между двумя точками с 3 координатами.
людей нашли эту статью полезной. А Вы?
