Как найти расстояние наилучшего зрения формула

Геометрическая оптика: глаз и очки

В этой статье решаем задачи про очки – несложные. Глаз – это тоже линза, и если фокусное расстояние этой линзы избыточное или недостаточное, то очки могут поправить дело.

У хорошо видящего человека лучи света, попадающие в глаз, преломляются хрусталиком так, что попадают прямо на сетчатку – фокус хрусталика располагается на сетчатке глаза. Такому человеку очки не нужны.

Если фокус хрусталика расположен перед сетчаткой – то человек близорук. Чтобы он хорошо видел, нужно увеличить фокусное расстояние хрусталика. В этом может помочь дополнительная рассеивающая линза очков, у которой фокусное расстояние отрицательно. Формула линзы для близорукого человека

Близорукий человек хорошо видит близкие предметы, и плохо – далеко расположенные.

У дальнозоркого человека фокусное расстояние хрусталика таково, что световые лучи сходятся за сетчаткой – слишком далеко, и, чтобы он хорошо видел, нужно уменьшить это фокусное расстояние с помощью дополнительной собирающей линзы. Формула линзы для дальнозоркого человека

Дальнозоркий человек плохо видит близкие предметы, и хорошо – далеко расположенные.

Задача 1.

Дальнозоркий человек не испытывает дискомфорта, глядя на предметы, расположенные от его лица на расстоянии не менее одного метра. Какой оптической силы очки для чтения ему необходимы?

Пусть – расстояние от глаза до предмета, равное 1 м, а м – расстояние наилучшего зрения. Составим систему из двух уравнений для двух ситуаций: рассматривания предмета без очков и чтения в очках.

Так как расстояние наилучшего зрения для этого человека больше 25 см, то он дальнозорок и для него нужны очки с собирающей линзой, в уравнении перед слагаемым оптической силы очков поставим «+»:

Вычтем из второго уравнения первое:

Ответ: очки с линзами 3 дптр.

Задача 2.

Близорукий человек отчетливо видит предметы, расположенные от его глаз на расстоянии не более см. Какие очки для дали он использует?

Так как расстояние наилучшего зрения для этого человека меньше 25 см, то для него нужны очки с рассеивающей линзой, в уравнении перед слагаемым оптической силы очков поставим «-»:

Снова составляем такую же систему:

Из первого уравнения имеем:

Тогда из второго уравнения получаем

В ответ запишем «-5», так как линза рассеивающая.

Ответ: -5 дптр.

Задача 3.

Забыв очки, человек читает газету, приближая текст к глазам на расстояние см. Какие очки для чтения он использует?

Так как расстояние наилучшего зрения для этого человека меньше 25 см, то он близорук и для него нужны очки с рассеивающей линзой, в уравнении перед слагаемым оптической силы очков поставим «-»:

Вычитая уравнения, получим

В ответ запишем «-2,25», так как линза рассеивающая.

Ответ: -2,25 дптр

Задача 4.

Пределы аккомодации глаза близорукого человека лежат между см и см. В очках он хорошо видит удаленные предметы. На каком минимальном расстоянии он может держать книгу при чтении в тех же очках?

Сначала рассмотрим вторую ситуацию: человек смотрит на бесконечно удаленные предметы и видит их отчетливо:

При вычитании уравнений получаем

Теперь человек читает в тех же очках:

Тогда

Ответ: 20 см.

Задача 5.

Человек с нормальным зрением начинает смотреть сквозь очки с оптической силой дптр. Между какими двумя предельными положениями может быть расположен рассматриваемый объект, чтобы его было видно без напряжения для глаз?

При вычитании уравнений получаем

Первое расстояние найдено, определим второе.

Откуда

Ответ: между 11 и 20 см.

Задача 6.

Дальнозоркий человек использует для дали очки оптической силы дптр. Минимальное расстояние, на котором он хорошо видит в тех же очках, см. Очки какой оптической силы для чтения он использует?

При вычитании уравнений получаем

Ответ: 4 дптр.

Задача 7.

Человек для чтения текста надевает очки оптической силы дптр. На каком расстоянии ему удобно расположить плоское зеркало, чтобы видеть в нем свое лицо, не надевая очков?

Обозначим расстояние от глаз до изображения .

При вычитании уравнений получаем

Но расстояние от глаз до зеркала вдвое меньше, чем от глаз до изображения, поэтому ответ 6,25 см.

Поскольку острота зрения человека ограничена, то особое значение, как  в науке, так и на производстве приобретают оптические приборы, позволяющие увидеть и контролировать мельчайшие детали объектов. Что для этого необходимо? Как называются эти приборы и как они  устроены? Какие их основные характеристики?

Основную часть информации (примерно 90%) об окружающем мире мы получаем с помощью органов зрения. 

Расстояние наилучшего зрения — это расстояние от предмета до глаза, при котором глазные мышцы не устают, и угол зрения максимален.

Размер изображения  предмета AB на сетчатке (рис. 159) определяется углом зрения  , вершина которого находится в оптическом центре глаза — точке O.

Угол зрения образован лучами, направленными на крайние точки предмета, т.е. это угол под которым виден предмет из оптического центра глаза. Отметим, что изображение на сетчатке всегда действительное, уменьшенное и перевернутое.

От бесконечно удаленного предмета в глаз попадает пучок параллельных лучей. В этом случае () аккомодации не требуется. Если предмет приближается, то лучи становятся расходящимися. В этом случае оптическая система глаза собирает лучи на сетчатке. В отличие от фотоаппарата, наводка на резкость достигается не перемещением «объектива» хрусталика, а изменением его оптической силы.

Понятие «нормальный глаз» человека характеризуется расстоянием наилучшего зрения около 25 см и пределом зрения (дальняя точка), находящимся на бесконечности.

С возрастом возможность аккомодации быстро уменьшается в основном из-за уплотнения хрусталика, теряющего способность достаточно сжиматься. Пожилой человек не может отчетливо видеть близкие предметы, а также различать буквы в газетах и книгах. К пятидесяти годам расстояние наилучшего зрения увеличивается в среднем до 50 см.

С возрастом, вследствие болезни или при несоблюдении гигиены у глаз могут  появиться дефекты. Два наиболее распространенных дефекта зрения — близорукость и дальнозоркость.

Очки — первый оптический прибор, примененный человеком. Появились они довольно давно в XIII — XIV вв. Для исправления близорукости используют очки с рассеивающими линзами, а дальнозоркости — очки с собирающими линзами. Сейчас очки стали обычным предметом обихода и многим дают возможность нормально жить и работать. Другой разновидностью устройств, корректирующих зрение, являются контактные линзы. Помимо практичности, их особенностью является плотный контакт с роговицей, позволяющий значительно уменьшить искажения и увеличить поле зрения системы глаз-линза.

Наш глаз не дает возможности увидеть очень малые объекты без специальных вспомогательных устройств, так как мы ясно видим объект только в том случае, когда воспринимаем зрительные впечатления от различных точек объекта.

Соответственно, две точки можно раздельно видеть только тогда, когда их изображения получаются на различных чувствительных элементах сетчатки — палочках или колбочках. Так как минимальное расстояние между соседними колбочками или палочками в центральной ямке приблизительно 5 мкм, а расстояние от сетчатки до хрусталика 17 мм, то поэтому минимальный угол зрения, при котором две точки еще видны раздельно для нормального глаза составляет около 1′ . Кроме того, минимальный угол зрения должен соответствовать дифракционному расширению пучка, вызванному его прохождением через зрачок.

Чем больше угол φ между прямыми, соединяющими оптический центр глаза O (рис. 160) с крайними точками предмета (угол зрения), тем яснее виден предмет и тем большее число различных деталей можно различить. Угол зрения можно увеличить (φ′ > φ), приближая предмет к глазу или глаз предмету. При этом размер изображения на сетчатке также увеличивается (h′ > h).

Таким образом, увеличение объема зрительной информации может быть достигнуто лишь за счет увеличения угла зрения. Простейший способ увеличить угол зрения — приблизить предмет к глазу. Однако это не всегда возможно. Наименьшее расстояние до глаза, при котором мы еще видим предмет, определяется ближним пределом аккомодации. Опыт показывает, что объект не фокусируется на сетчатке, если он находится от глаза на расстоянии ближе 14 см. Вследствие этого возникает потребность в создании приборов, позволяющих увеличить угол зрения.

Оптические приборы, вооружающие глаз, подразделяются на две группы:
1) приборы для рассматривания очень мелких объектов (лупа, микроскоп), которые эти объекты как бы «увеличивают»;
2) приборы, предназначенные для рассматривания удаленных объектов (зрительные трубы, бинокли, телескопы), которые эти объекты как бы «приближают».

Лупа  — оптический прибор (собирающая линза), позволяющий увеличить угол зрения (т.е. увеличить  мелкие детали предметов) (рис. 161).

Лупа представляет собой короткофокусную линзу (F от 10 мм до 100 мм), которая располагается между глазом и предметом.

При использовании лупы, предмет можно поместить вблизи фокальной плоскости (изображение находится на бесконечности), чтобы мышцы глаз были полностью расслаблены. Предмет может также помещаться на расстоянии наилучшего зрения, т.е. между фокусом и оптическим центром линзы.

Увеличением лупы Г называется отношение углов, под которыми виден предмет при применении лупы (угол φ’) и при рассматривании его невооруженным взглядом (угол φ) с расстояния наилучшего зрения  (рис. 162)

,

Выразим это соотношение через фокусное расстояние F лупы. С учетом того что мнимое увеличенное изображение получается на расстоянии наилучшего зрения от глаза, из формулы линзы находим расстояние до предмета d:

.

Откуда:

.

Так как в лупы мы рассматриваем малые предметы, то углы:

Тогда увеличение лупы:

(1)

Эта формула соответствует аккомодации глаза на расстояние наилучшего зрения.

Если при использовании лупы мышцы глаз полностью расслаблены, то изображение будет находиться на бесконечности. Следовательно, предмет находится в фокусе 
(d = F). Тогда угол φ′ = h / F и увеличение лупы в этом случае имеет вид:

(2)

Эта формула соответствует аккомодации глаза бесконечность.

Таким образом, когда глаз фокусируется в точку на расстоянии наилучшего зрения можно достичь несколько большего увеличения, чем при аккомодации на бесконечность. Но в этом случае приходится напрягать мышцы глаз.

Вследствие того, что d₀ = 0,25 м , обычно лупы имеют увеличение от 2,5 до 25 раз. Лупы с увеличением Г > 40  не применяются из-за сильных искажений изображения или малости обзора.

В XVII в. голландский мастер Антоний Ван Левенгук с помощью линз смог увидеть капилляры кровеносной системы, красные кровяные тела, изучать подробности строения простейших одноклеточных.

Микроскоп (от греческих слов  μικρός (микрос) — маленький и σκοπέω (скорпео) — смотрю), оптический прибор для получения сильно увеличенных изображений объектов или деталей их структуры, не видимых невооруженным глазом.

Таким образом, назначение микроскопа состоит в том, чтобы получать с его помощью такое изображение не различимого для глаза предмета, которое, не находясь ближе 14 см от глаза, рассматривалось бы под углом зрения большим, чем  предельный угол в 1′.

Микроскоп состоит из двух собирающих линзовых систем: объектива 1 с фокусным расстоянием равным нескольким миллиметрам, и окуляра 2 с фокусным расстоянием  равным нескольким сантиметрам (рис. 163). Предмет   помещается перед фокусом объектива. Расстояние между фокусами объектива и окуляра равно l , причем l >> F₁. l >> F₂.

За объективом (за фокусом F₂) получается действительное увеличенное изображение  предмета, которое является предметом наблюдения для окуляра. Окончательное изображение  предмета является мнимым, перевернутым и увеличенным (см. рис. 163). Увеличение микроскопа определяется увеличением объектива  и окуляра : 

.

Здесь l — оптическая длина тубуса микроскопа, т. е. расстояние между фокальными точками и ,  — расстояние наилучшего зрения для нормального глаза.

В микроскоп объект виден детальнее, поскольку рассмотрение мнимого изображения  объекта в окуляр осуществляется под большим углом зрения.

Наличие у микроскопа действительного промежуточного изображения позволяет определять размеры предмета  . Для этого в фокальную плоскость окуляра помещают шкалу, нанесенную на прозрачную пластинку. Кроме того, можно получать проекцию изображения  на экран, сфотографировать и т. д

Из-за явления дифракции в микроскоп невозможно рассматривать объекты, размеры которых сравнимы с длиной волны света. Таким образом, максимальное увеличение микроскопа ограничено () вследствие волновой природы света.

В XVII в. появились первые микроскопы. А. Левенгук прославился своими микроскопами, которые давали увеличение до 270 раз.

При рассматривании крупных, но очень удаленных объектов, угол зрения мал и может быть меньше предельного. В этом случае для увеличения угла зрения применяются бинокли и телескопы.

Телескопы (от греческих τῆλε  (теле) — «далеко» и σκοπέω (скопео) — «смотрю») — астрономические оптические приборы, предназначенные для наблюдения небесных тел. О них вам будет подробно рассказано в курсе астрономии.

Две маленькие подзорные трубы, составленные вместе для двух глаз, дают бинокль (рис. 164, а). Поскольку труба Кеплера дает перевернутое изображение, то в биноклях, построенных на ее основе, применяется оборачивающая система из двух призм с полным отражением (рис. 164, б).

Наличие двух призм позволяет создать прямое изображение, так как одна призма поворачивает изображение в вертикальной плоскости, другая — в горизонтальной. Кроме того, благодаря призмам объективы в полевом бинокле можно раздвинуть больше, чем окуляры, которые приставляются к глазам (см. рис. 164). Соответственно, изображение в таком бинокле не только приближено, но и объемно.

Из-за дисперсии в оптических приборах, использующих линзы, возникают искажения (дефекты) изображений, которые называются хроматической аберрацией. В линзе, как и в призме, происходит разложение белого света в спектр. Лучи красного цвета, преломляясь слабее других цветов, фокусируются в точке находящейся дальше от линзы, а фиолетового ближе к линзе (рис. 164-1). В результате изображение оказывается окрашенным и размытым. Для избавления от этой аберрации используются системы линз с разными показателями преломления и разной дисперсией. Устранить хроматическую аберрацию проще всего путем использования в оптической системе отражения вместо преломления. Поэтому телескоп-рефлектор в отличие от рефрактора полностью лишен хроматической аберрации.

Пример решения задачи

Один и тот же предмет фотографируют дважды с расстояний, соответственно,  и  . Определите фокусное расстояние F  объектива фотоаппарата, если высота изображений предмета на снимках, соответственно  H₁=4,0 см и H₂=2,0 см.

Подставим полученное значение во второе уравнение (2) и решим систему уравнений:

. .

Найдем расстояние:

.

Подставляя полученное значение  в формулу тонкой линзы, найдем искомое фокусное расстояние объектива:

Ответ:  F = 0,10 м.

Упражнение 17-1

1. Определите оптическую силу D объектива мультимедийного аппарата, если на диапозитиве высота предмета h = 4,0 см , а его изображение на экране, находящемся от объектива на расстоянии f = 6,0 м , имеет высоту  H = 1,6 м .
2. Объектив фотоаппарата имеет фокусное расстояние F = 12,5 см . На каком расстоянии d от объектива должен находиться предмет, чтобы на снимке его изображение получилось в n = 4,00 раза меньше предмета?
3. Высота здания на фотоснимке H = 7,0 см. Определите истинную высоту h здания, если известно, что фокусное расстояние объектива F = 20 см, а съемка проводилась с расстояния d = 8,0 м  от здания.
4. Лупа с трехкратным увеличением фокусируется на изображение вблизи расстояния наилучшего зрения для нормального глаза. Определите фокусное расстояние F лупы.
5. Близорукий человек читает без очков, держа книгу на расстоянии d = 15 см  от глаз. Определите оптическую силу D контактных линз, которые необходимы ему для чтения.
6. Определите оптическую силу  объектива микроскопа, дающего увеличение Г = 400 , если длина его тубуса l = 15 см, а фокусное расстояние окуляра F₂ = 5,0 см.
7. Какую оптическую силу D должны иметь очки для чтения, чтобы их владелец,  расстояние наилучшего зрения которого d₀ = 120 см, смог читать книгу на расстоянии d = 25 см ? Считать, что расстояние от линз очков до глаз f = 2,0 см .
8. С какой выдержкой τ надо фотографировать конькобежца, движущегося со скоростью v = 6,0 м/с, чтобы размытость изображения (смещение за время съемки) не превышала Δx = 0,10 мм ? Фокусное расстояние объектива F = 15 см, расстояние от конькобежца до фотоаппарата d = 20 м. Конькобежец движется перпендикулярно главной оптической оси.
9. Оптическая система, состоящая из двух собирающих линз, расположена коаксиально (рис. 164-2). Линза 1 имеет фокусное расстояние F₁ = 50 мм, линза 2 — F₂ = 380 мм  . Объект высотой h = 5,0  расположен на расстоянии d =60 мм  перед линзой 1 и формирует действительное изображение А₁ . Это изображение является объектом для линзы 2 и формирует мнимое изображение А₂ на расстоянии  f₂ = 270 мм от линзы 2 (см. рис. 164-2). Определите: а) положение изображения А₁; б) расстояние между изображением А₁ и линзой 2; в) угол  (см. рис. 164-2); г) угол β, который образует объект, размещенный на расстоянии  от невооруженного глаза; д) отношение ; е) линейное увеличение, даваемое системой линз;