Простой способ вычислить расстояние между числами в числовой строке – подсчитать каждое число между ними. Более быстрый способ – найти расстояние, взяв абсолютное значение разности этих чисел.
Абсолютным значением числа в числовой строке является его расстояние от 0 в числовой строке
Например, абсолютные значения 4 и -4 или | 4 | и | -4 |, оба 4.
Этот метод определения расстояния на числовой линии работает для чисел как близко друг к другу, так и далеко друг от друга.
Например, расстояние между 4 и −4 на числовой линии, определяемое как | 4 – (−4) | = | 4 + 4 | = 8 единиц
Используйте числовую строку, чтобы найти расстояние между следующими целыми числами:
−9 и −3
Шаг 1:
На номерной линии
Шаг 2:
Расстояние между целыми числами
| −3 – (- 9) | = | −3 + 9 | = | 6 | = 6 единиц
Используйте числовую строку, чтобы найти расстояние между следующими целыми числами:
17 и −8
Шаг 1:
На номерной линии
Шаг 2:
Расстояние между целыми числами
| 17 – (- 8) | = | 17 + 8 | = | 25 | = 25 единиц
Расстояние между двумя числами
Расстояние — это степень удалённости объектов друг от друга.
Формула для расчета расстояния между двумя числами:
Расстояние = b — a, где
a — первое число;
b — второе число.
Положительное значение означает что второе число удалено от первого на расчетное расстояние.
Отрицательное значение означает что первое число удалено от второго на расчетное расстояние.
Смотрите также расчет длины линии между точками с координатами (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) — расчет длины линии.
Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.
На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета расстояния между двумя числами (калькулятор теория, формула и решение). С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете рассчитать расстояние между числами.
Нахождение количества чисел между двумя натуральными числами
Данный калькулятор определяет количество натуральных числел между двумя натуральными числами.
РУКОВОДСТВО
Введите в каждое поле по одному натуральному числу и нажмите кнопку “Рассчитать”
ТЕОРИЯ
Для того, чтобы узнать количество чисел между двумя натуральными числами, нужно из наибольшего числа вычесть наименьшее и дополнительно вычесть единицу.
Как посчитать сколько чисел в натуральном ряду
Сентябрь уж наступил. А значит Добро пожаловать на Kidside!
Как вам в 5 классе? Мой легко адаптировался, слегка зазнался только от своей взрослости :))
Столько новых предметов, учителей, классов. В одном тетрадь забыл, в другом пенал оставил. Все как обычно, но я не теряю надежды. Надежда, она жить помогает!
Первое же задание по математике заставило меня искать ответ в сети. Подзабыла я тему натуральный ряд чисел. А уж как считать сколько чисел между числами, сколько их от числа до числа — боюсь, никогда и не знала. Хотя физ-мат за плечами, странно…
Оказалось, все просто. Мы с сыном даже вывели формулы для расчета.
Сколько чисел стоит между числами
Сколько числе между a и b?
Чтобы это узнать, нужно из большего вычесть меньшее и отнять 1, т.е.
b-a-1
Задание из учебника:
Сколько чисел в натуральном ряду между числами:
Сколько чисел в натурально ряду от и до
Для того, чтобы узнать сколько чисел стоит в натуральном ряду от числа a до числа b, нужно из большего вычесть меньшее и прибавить один. Формула такая:
Относительные размеры
объектов, lg м
-20 —
–
-18 —
–
-16 —
–
-14 —
–
-12 —
–
-10 —
–
-8 —
–
-6 —
–
-4 —
–
-2 —
–
0 —
–
2 —
–
4 —
–
6 —
–
8 —
–
10 —
–
12 —
–
14 —
–
16 —
–
18 —
–
20 —
–
22 —
–
24 —
–
26 —
–
28 —
–
30 —
←
Размер водяной капли в
тумане — 5·10-6
←
Средний радиус орбиты
Земли — 1,5·1011
Расстоя́ние, в широком смысле, степень (мера) удалённости объектов друг от друга.
Расстояние является фундаментальным понятием геометрии. Термин часто используется в других науках и дисциплинах: астрономия, география, геодезия, навигация и других. В различных дисциплинах как термин имеет различное определение, представленное ниже.
Расстояние в математике
Расстояние в алгебре
Содержание термина «расстояние» в алгебре связано с понятием метрики и метрического пространства.
Метрическим пространством называется множество X, если дано такое отображение, называемое метрикой, X² в множество неотрицательных чисел, что для любых элементов a, b, c множества X выполняются следующие аксиомы, называемые аксиомами Фреше:
1) [math]displaystyle{ rho(a; b)geq0 }[/math], притом равенство выполняется тогда и только тогда, когда элементы a и b равны;
2) [math]displaystyle{ rho(a; b)=rho(b; a) }[/math];
3) [math]displaystyle{ rho(a; b)leqrho(a; c) + rho(c; b) }[/math].
Для третьей аксиомы частным случаем является неравенство треугольника.
Расстояние в множестве действительных чисел
Введение метрики
Для множества всех действительных чисел расстояние от числа a до числа b математики считают число [math]displaystyle{ |a-b| }[/math].
Легко убедиться, что множество действительных чисел с данной метрикой будет являться метрическим пространством.
Доказательство
Первое условие выполняется, так как модуль любого действительного числа из определения – число неотрицательное, притом модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда выражение под модулем равно нулю, откуда, если равенство выполняется, то числа равны.
Второе свойство верно, так как из свойств модуля числа: [math]displaystyle{ |a-b|=|b-a| }[/math].
Третье свойство выполняется, так как само свойство равносильно [math]displaystyle{ |a-b|leq|a-c| + |c-b| }[/math], но [math]displaystyle{ (a-c) + (c-b) = a-b }[/math], а модуль суммы всегда не превосходит суммы модулей.
Расстояние в множестве пар действительных чисел
Из основных метрик в множестве пар действительных чисел (а в графической интерпретации – множестве всех точек плоскости) выделяют две: метрику Декарта и метрику Евклида.
Метрика Декарта
Введение метрики
Для множества пар действительных чисел дана метрика Декарта:
[math]displaystyle{ rho((a; b); (c; d)) = |a-c| + |b-d| }[/math].
Убедимся, что множество пар действительных чисел (R²) с введенной метрикой Декарта является метрическим пространством.
Доказательство
Первое свойство очевидно выполняется, так как сумма модулей, каждый из которых является неотрицательным числом – также число неотрицательное. Притом равенство выполняется тогда и только тогда, когда оба выражения под модулем равны нулю, но тогда и рассматриваемые элементы-пары множества также равны.
Второе свойство выполняется, так как [math]displaystyle{ rho((a; b); (c; d)) = |a-c| + |b-d| = |c-a| + |d-b|=rho((c; d); (a; b)) }[/math].
Докажем третье свойство:
Пусть даны три пары действительных чисел, (a; b), (c; d), (e; f). Тогда требуемое неравенство можно записать в следующем виде:
[math]displaystyle{ |a-c| + |b-d| leq |a-x| + |b-y| + |x-c| + |y-d| }[/math]. Данное неравенство верно, что следует из сложения двух следующих неравенств, доказанных ранее:
[math]displaystyle{ |a-c| leq |a-x| + |x-c| }[/math] и [math]displaystyle{ |b-d| leq |b-y| + |y-d| }[/math].
Метрика Евклида
Введение метрики
Для множества пар действительных чисел дана метрика Евклида:
[math]displaystyle{ rho((a; b); (c; d)) = sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2} }[/math].
Убедимся, что множество R² с введенной метрикой Евклида является метрическим пространством.
Доказательство
Первое свойство выполняется, так как арифметический корень из неотрицательного числа всегда неотрицателен. Если же выполняется равенство нулю, то оба выражения возводимые в квадрат, равны нулю, откуда требуемое очевидно.
Второе свойство выполняется, так как [math]displaystyle{ rho((a; b); (c; d)) = sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2} = sqrt{(c-a)^2 + (d-b)^2} = rho((c; d); (a; b)) }[/math].
Докажем третье свойство:
Пусть даны три пары действительных чисел, (a; b), (c; d), (e; f). Тогда требуемое неравенство можно записать в следующем виде:
[math]displaystyle{ sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}leqsqrt{(a-e)^2+(b-f)^2}+sqrt{(e-c)^2+(f-d)^2} }[/math]. После возведения в квадрат и преобразования данного выражения приходим к следующему неравенству:
[math]displaystyle{ (a-e)(e-c)+(b-f)(f-d)leqsqrt{((a-e)^2+(b-f)^2)((e-c)^2+(f-d)^2) } }[/math], которое верно, что следует из неравенства Коши-Буняковского (при соответствующей замене разностей чисел).
Расстояние в геометрии
В геометрии расстояние между фигурами – минимально возможная длина отрезка между точкой, принадлежащей первой фигуре, и точкой, принадлежащей второй фигуре.
Расстояние в технике
Расстояние между объектами — длина отрезка прямой, соединяющей два объекта. Расстояние в этом смысле является физической величиной с размерностью длины, значение расстояния выражается в единицах длины.
Расстояние в физике
| Расстояние | |
|---|---|
| Файл:S | |
| Единицы измерения | |
| СИ | м |
| СГС | см |
Основная статья: Длина
В физике расстояние меряется единицами длины, которые в большинстве систем измерений являются одной из основных единиц измерения. В международной системе единиц (СИ) за единицу длины принят метр. Расстоянием также называют длину пути, пройденного объектом. В этом случае производной расстояния (радиус-вектора) по времени является скорость.
Другие использования
В проксемике понятие расстояния используют для описания личного пространства человека.
См. также
- Расстояние Левенштейна
- Промежуток (математика)
- Отрезок
- Интервал
- Путь
Примечания
Литература
- Зенитное расстояние // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Модуль с точки зрения геометрии
Забегая вперед, попробуем сразу понять, что же представляет собой модуль на практике — так будет легче уловить его смысл. Нарисуем на листе бумаги прямую координат, возьмем нуль за точку отсчета, а по правую и по левую стороны на одинаковом расстоянии поставим некие две точки — например, 5 и -5.
Модулем будет считаться именно фактическое расстояние до нуля от -5 и от 5. Очевидно, что это расстояние будет совершенно одинаковым. Поэтому в обоих случаях модуль будет равняться числу «5» — и неважно, какой знак стоит перед исходным числом, которое мы рассматриваем.
Видео
Расстояние между точками
Представим числовую ось. Отметим на ней две точки, например 5 и 3. Какое между ними расстояние? Ничего сложного, скажете вы, расстояние равно 5−3=2. И это правильный ответ. Сразу заметим, что 3−5=(−1)(5−3)=−2, то есть при вычитании из меньшей точки большей получаем то же расстояние, но со знаком минус.
Расстояние между точками −2 и −4 равно −2−(−4)=2. И опять, если мы поменяем местами числа в разности, то получим отрицательное расстояние −4−(−2)=(−1)(−2−(−4))=−2
Общий посыл вы уловили. Для нахождения расстояния между двумя точками, надо из большей точки вычесть меньшую. Если сделать наоборот, то получим противоположное, отрицательное расстояние.
Вроде все ясно. Ну и причем здесь модуль? А вот представим, что у вас нет точных значений. Вам просто дали точки a и b, и попросили найти расстояние между ними. Какая-то из двух разностей ниже будет расстоянием:
a−bb−a
Но какая именно? Тут к нам и приходит на помощь модуль. Расстояние между a и b обозначим так:
∣a−b∣
Если a>b, то мы угадали с разностью и получим положительный результат. Взятие модуля никак на него не повлияет. Если a<b, то мы не угадали и получаем отрицательное расстояние. Но, по определению модуля, в результате все-равно получим положительное расстояние.
О
Расстоянием между двумя точками a и b на числовой оси называется модуль их разности: ∣ a − b ∣ .
Наконец, поговорим о модулях одного числа, например ∣5∣ или ∣−2∣. Их можно представить вот так:
∣5∣=∣5−∣∣−2∣=∣−2−∣
В этом смысле модуль одного числа можно понимать как расстояние от до этого числа (до 5 и до −2) на числовой оси.
Решение более сложных примеров
Попробуем упростить выражение ( left| sqrt{3}-2 right|+left| sqrt{3}+5 right|)
Решение:
Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.
Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «–»).
Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.
( displaystyle sqrt{3} approx 1,7). Получается, значение первого выражения под модулем ( displaystyle sqrt{3}-2approx 1,7-2approx -0,3text{ }).
( -0,3<0), следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.
Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго – положительно:
Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «–». Вот так:
Примеры графиков с модулем
Часто в тестах и на экзаменах встречаются задания, которые возможно решить, лишь проанализировав графики. Рассмотрим такие задания.
Пример 1.
Дана функция f(x) = |x|. Необходимо построить график от – 3 до 3 с шагом 1.
Решение:
Объяснение: из рисунка видно, что график симметричен относительно оси Y.
Пример 2. Необходимо нарисовать и сравнить графики функций f(x) = |x–2| и g(x) = |x|–2.
Решение:
Объяснение: константа внутри абсолютной величины перемещает весь график вправо, если ее значение отрицательное, и влево, если положительное. Но постоянная снаружи будет передвигать график вверх, если значение положительное, и вниз, если оно отрицательное (как –2 в функции g (x)).
Координата вершины x (точка, в которой соединяются две линии, вершина графа) – это число, на которое график сдвигается влево или вправо. А координата y – это значение, на которое график сдвигается вверх или вниз.
Строить такие графики можно с помощью онлайн приложений для построения. С их помощью можно наглядно посмотреть, как константы влияют на функции.
Докажитесвойствомодуля: ( left
Доказательство:
Предположим, что существуют такие ( x;yin mathbb{R}), что ( left| x+y right|>left| x right|+left| y right|.) Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны):
( displaystyle begin{array}{l}left| x+y right|>left| x right|+left| y right|Leftrightarrow \{{left( x+y right)}^{2}}>{{left( left| x right|+left| y right| right)}^{2}}Leftrightarrow \{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}>{{x}^{2}}+2cdot left| x right|cdot left| y right|+{{y}^{2}}Leftrightarrow \xy>left| x right|cdot left| y right|Leftrightarrow \xy>left| xy right|,end{array})а это противоречит определению модуля.
Следовательно, таких ( x;yin mathbb{R}) не существует, а значит, при всех ( x,text{ }yin mathbb{R}) выполняется неравенство ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|.)
А теперь самостоятельно…
Уравнения с двумя модулями
До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Это «что-то ещё» мы отправляли в другую часть неравенства, подальше от модуля, чтобы в итоге всё свелось к уравнению вида $left| fleft( x right) right|=gleft( x right)$ или даже более простому $left| fleft( x right) right|=a$.
Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:
[left| fleft( x right) right|=left| gleft( x right) right|]
Это уравнение вида «модуль равен модулю». Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: только один модуль слева, ещё один модуль справа — и ничего более.
Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: эти уравнения решаются даже проще. Вот формула:
[left| fleft( x right) right|=left| gleft( x right) right|Rightarrow fleft( x right)=pm gleft( x right)]
Всё! Мы просто приравниваем подмодульные выражения, ставя перед одним из них знак «плюс-минус». А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т.д. Всё очень просто.
Давайте попробуем решать вот такую задачу:
[left| 2x+3 right|=left| 2x-7 right|]
Элементарно, Ватсон! Раскрываем модули:
[left| 2x+3 right|=left| 2x-7 right|Rightarrow 2x+3=pm left( 2x-7 right)]
Рассмотрим отдельно каждый случай:
[begin{align}& 2x+3=2x-7Rightarrow 3=-7Rightarrow emptyset ; \& 2x+3=-left( 2x-7 right)Rightarrow 2x+3=-2x+7. \end{align}]
В первом уравнении корней нет. Потому что когда это $3=-7$? При каких значениях $x$? «Какой ещё нафиг $x$? Ты обкурился? Там вообще нет $x$» — скажете вы. И будете правы. Мы получили равенство, не зависящее от переменной $x$, и при этом само равенство — неверное. Потому и нет корней.:)
Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто:
[2x+3=-2x+7Rightarrow 4x=4Rightarrow x=1]
Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.:)
В итоге окончательный ответ: $x=1$.
Ну как? Сложно? Конечно, нет. Попробуем что-нибудь ещё:
[left| x-1 right|=left| {{x}^{2}}-3x+2 right|]
Опять у нас уравнение вида $left| fleft( x right) right|=left| gleft( x right) right|$. Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля:
[{{x}^{2}}-3x+2=pm left( x-1 right)]
Возможно, кто-то сейчас спросит: «Эй, что за бред? Почему «плюс-минус» стоит у правого выражения, а не у левого?» Спокойно, сейчас всё объясню. Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:
[x-1=pm left( {{x}^{2}}-3x+2 right)]
Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства (поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным), ну и дальше отыскать корни. Но согласитесь: когда «плюс-минус» стоит перед тремя слагаемыми (особенно когда одно из этих слагаемых — квадратное выражение), это как-то более сложно выглядит, нежели ситуация, когда «плюс-минус» стоит лишь перед двумя слагаемыми.
Но ведь ничто не мешает нам переписать исходное уравнение следующим образом:
[left| x-1 right|=left| {{x}^{2}}-3x+2 right|Rightarrow left| {{x}^{2}}-3x+2 right|=left| x-1 right|]
Что произошло? Да ничего особенного: просто поменяли левую и правую часть местами. Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.:)
В общем, решаем это уравнение, рассматривая варианты с плюсом и с минусом:
[begin{align}& {{x}^{2}}-3x+2=x-1Rightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0; \& {{x}^{2}}-3x+2=-left( x-1 right)Rightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0. \end{align}]
Первое уравнение имеет корни $x=3$ и $x=1$. Второе вообще является точным квадратом:
[{{x}^{2}}-2x+1={{left( x-1 right)}^{2}}]
Поэтому у него единственный корень: $x=1$. Но этот корень мы уже получали ранее. Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа:
[{{x}_{1}}=3;quad {{x}_{2}}=1.]
Миссия выполнена! Можно взять с полки и скушать пирожок. Там их 2, ваш средний.:)
Важное замечание. Наличие одинаковых корней при разных вариантах раскрытия модуля означает, что исходные многочлены раскладываются на множители, и среди этих множителей обязательно будет общий. Действительно:
[begin{align}& left| x-1 right|=left| {{x}^{2}}-3x+2 right|; \& left| x-1 right|=left| left( x-1 right)left( x-2 right) right|. \end{align}]
Одно из свойств модуля: $left| acdot b right|=left| a right|cdot left| b right|$ (т.е. модуль произведения равен произведению модулей), поэтому исходное уравнение можно переписать так:
[left| x-1 right|=left| x-1 right|cdot left| x-2 right|]
Как видим, у нас действительно возник общий множитель. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку:
[begin{align}& left| x-1 right|=left| x-1 right|cdot left| x-2 right|; \& left| x-1 right|-left| x-1 right|cdot left| x-2 right|=0; \& left| x-1 right|cdot left( 1-left| x-2 right| right)=0. \end{align}]
Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
[left[ begin{align}& left| x-1 right|=0, \& left| x-2 right|=1. \end{align} right.]
Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)
Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)
Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.
Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее. И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями.
Итак, уравнение:
[left| x-{{x}^{3}} right|+left| {{x}^{2}}+x-2 right|=0]
Нет, это не опечатка: между модулями именно плюс. И нам нужно найти, при каких $x$ сумма двух модулей равна нулю.:)
В чём вообще проблема? А проблема в том, что каждый модуль — число положительное, либо в крайнем случае ноль. А что будет, если сложить два положительных числа? Очевидно, снова положительное число:
[begin{align}& 5+7=12 gt 0; \& 0,004+0,0001=0,0041 gt 0; \& 5+0=5 gt 0. \end{align}]
Последняя строчка может натолкнуть на мысль: единственный случай, когда сумма модулей равна нулю — это если каждый модуль будет равен нулю:
[left| x-{{x}^{3}} right|+left| {{x}^{2}}+x-2 right|=0Rightarrow left{ begin{align}& left| x-{{x}^{3}} right|=0, \& left| {{x}^{2}}+x-2 right|=0. \end{align} right.]
А когда модуль равен нулю? Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю:
[x-{{x}^{3}}=0Rightarrow xleft( 1-{{x}^{2}} right)=0Rightarrow left[ begin{align}& x=0 \& x=pm 1 \end{align} right.]
[{{x}^{2}}+x-2=0Rightarrow left( x+2 right)left( x-1 right)=0Rightarrow left[ begin{align}& x=-2 \& x=1 \end{align} right.]
Таким образом, у нас есть три точки, в которых обнуляется первый модуль: 0, 1 и −1; а также две точки, в которых обнуляется второй модуль: −2 и 1. Однако нам нужно, чтобы оба модуля обнулялись одновременно, поэтому среди найденных чисел нужно выбрать те, которые входят в оба набора. Очевидно, такое число лишь одно: $x=1$ — это и будет окончательным ответом.
Теги
Download Article
Download Article
The absolute value of a number is easy to find, and the theory behind it is important when solving absolute value equations. Absolute value means “distance from zero” on a number line. If you think of a number line, with zero in the center, all you’re really doing is asking how far away you are from 0 on the number line.
-
1
Remember that absolute value is a number’s distance from zero. An absolute value is the distance from the number to zero along a number line. Simply put,
is just asking you how far away -4 is from zero. Since distance is always a positive number (you can’t travel “negative” steps, just steps in a different direction), the result of absolute value is always positive.[1]
-
2
Make the number in the absolute value sign positive. At its most simple, absolute value makes any number positive. It is useful for measuring distance, or finding values in finances where you work with negative numbers like debt or loans.[2]
Advertisement
-
3
Use simple, vertical bars to show absolute value. The notation for absolute value is easy. Single bars (or a “pipe” on a keyboard, found near the enter key) around a number or expression, like
, indicates absolute value.
-
is read as “the absolute value of 2.”[3]
-
-
4
Drop any negative signs on the number inside the absolute value marks. For instance, |-5| would become |5|.
-
5
Drop the absolute value marks. The number remaining is your answer, so |-5| becomes |5| and then 5. This is all you need to do[4]
-
6
Simplify the expression inside the absolute value sign. If you’ve got a simple expression, like
, you can just make the whole thing positive. But expressions like need to be simplified before you can take the absolute value. The normal order of operations still applies:[5]
-
7
Always use the order of operations before finding absolute value. When determining longer equations, you want to do all the possible work before finding the absolute value. You should not simplify absolute values until everything else has been added, subtracted, and divided successfully. For example:
-
8
Keep working on some practice problems to get it down. Absolute value is pretty easy, but that doesn’t mean a few practice problems won’t help you keep the knowledge:
Advertisement
-
1
Note any complex equations with imaginary numbers, like “i” or
and solve separately. You cannot find the absolute value of imaginary numbers the same way you found it for rational numbers. That said, you can easily find the absolute value of a complex equation by plugging it into the distance formula. Take the expression , for example.
-
2
Find the coefficients of the complex equation. Think of 3-4i as an equation for a line. Absolute value is the distance from zero, so you want to find the distance from zero for the point (3, -4) on this line.The coefficients are simply the two numbers that aren’t “i.” While the number by the i is usually the second number, it doesn’t actually matter when solving. To practice, find the following coefficients:
-
3
Remove the absolute value signs from the equation. All you need at this point are the coefficients. Remember, you need to find the distance from the equation to zero. Since you use the distance formula in the next step, this is the same thing as taking absolute value.
-
4
Square both coefficients. To find distance, you’ll use the distance formula, known as
. So, for your first step, you need to square both coefficients of your complex equation. Continuing the example :
-
5
Add the squared numbers under the radical. The radical is the sign that takes the square root. Simply add them up, leaving the radical in place for now.
-
6
Take the square root to get your final answer. All you have to do is simplify the equation to get your final answer. This is the distance from your “point” on an imaginary graph zero. If there is no square root, just leave the answer from the last step under the radical– this is a legitimate final answer.
-
7
Try a few practice problems. Use your mouse to click and highlight right after the questions to see the answers, written here in white.
Advertisement
Add New Question
-
Question
What is the absolute value of -(-2)?
-(-2) = +2. The absolute value is 2.
-
Question
What is the absolute value of 2 * 2/2?
|[(2)(2)] / 2| = |4/2| = |2| = 2.
-
Question
How do I find the value of f(-1) if f(x) = 7 squared + 2x +14?
Substitute (-1) for each x in the expression. You have written f(x) = 7² + 2x + 14. That simplifies to 2x + 63. Substituting (-1) for x makes f(-1) = (-2) + 63 = 61. If you meant to write that f(x) = 7x² + 2x + 14, then f(-1) = 7(-1)² + 2(-1) + 14 = 7 – 2 + 14 = 19.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
-
If you have a variable inside absolute value marks, you can’t remove the marks using this method because if the value of the variable is negative, the absolute value would make it positive.
-
If you have an expression inside absolute value marks, simplify the expression before finding the absolute value.
-
When a positive number is inside absolute value marks, the answer is always that number.
Show More Tips
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
The absolute value of a number is the number’s distance from zero, which will always be a positive value. To find the absolute value of a number, drop the negative sign if there is one to make the number positive. For example, negative 4 would become 4. If you have a complicated equation, simplify it using the order of operations before you drop the negative signs. The symbol for an absolute number is vertical lines on either side of the number. For more tips, including how to find the absolute value in an equation with “I”, read on!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 160,189 times.
