Как найти расстояние от источника до изображения

Определение

Формула тонкой линзы — формула, связывающая три величины: расстояние от предмета до линзы, расстояние от изображения до линзы и фокусное расстояние линзы.

Условные обозначения:

  • расстояние от предмета до линзы — d (м);
  • расстояние от изображения до линзы— f (м);
  • фокусное расстояние линзы — F (м).

Вывод формулы

Обратимся к рисунку, который мы использовали для объяснения правила построения изображений в собирающих линзах:

Видно, что треугольники АОВ и А1В1О подобные (по двум углам). Следовательно:

BOOB1=ABA1B1

По двум углам также являются подобными треугольники COF и FA1B1. Отсюда делаем вывод, что:

COA1B1=OFFB1

Линия предмета образует с частью главной оптической оси, перпендикуляром, проведенным из верхней точки к линзе, и частью самой линзы прямоугольник. Следовательно, его противоположные стороны равны:

AB=CO

Следовательно:

ABA1B1=COA1B1

Отсюда следует, что:

BOOB1=OFFB1

BO является расстоянием от предмета до линзы. Обозначим его за d. OB1 является расстоянием от линзы до изображения. Обозначим его за f. OF является фокусным расстоянием линзы. Обозначим его за F. FB1 является разностью расстояния от линзы до изображения и фокусного расстояния линзы. Поэтому это выражение мы можем записать так:

df=FfF

Избавимся от знаменателей и получим:

fdFd=fF

Или можно записать так:

fF+Fd=fd

Теперь все члены равенства поделим на произведение Ffd. В результате вычислений получим формулу тонкой линзы:

Формула тонкой линзы

1d+1f=1F

Поскольку величиной, равной обратной фокусному расстоянию, является оптическая сила, формулу тонкой линзы можно записать следующим образом:

1d+1f=D

Величины d, ƒ и F могут быть как положительными, так и отрицательными. Отметим (без доказательства), что при применении формулы тонкой линзы знаки нужно ставить перед членами уравнения согласно следующим правилам.

Правила расстановки знаков перед членами уравнения в формуле линзы

  • Если линза собирающая, то ее фокус действительный, и перед членом 1F ставят знак «плюс» (1F).
  • Если линза рассеивающая, то ее фокус мнимый, и перед членом 1F ставят знак «минус» (1F).
  • Если изображение действительное, то перед величиной 1d ставят знак «плюс» (1d).
  • Если изображение мнимое, то перед величиной 1d ставят знак «минус» (1d).
  • Величина 1f всегда имеет знак «плюс», поскольку расстояние от предмета до линзы всегда положительное.

Иногда случается, что перед величинами F, f и d знаки неизвестны. Тогда при вычислениях перед ними ставят знаки «плюс». Но если в результате вычислений фокусного расстояния или расстояния от линзы до изображения либо до источника получается отрицательная величина, то это означает, что фокус, изображение или источник мнимые.

Пример №1. Фокусное расстояние линзы равно 10 см. Найти расстояние от предмета до линзы, если расстояние от нее до изображения составляет 15 см.

Переводить в СИ единицы измерения не будем, поскольку они однородны. Так как все величины выражены в см, то и ответ будет выражен в см.

Применим формулу тонкой линзы:

1d+1f=1F

1d+115=110

Умножим выражение на 150d:

150+10d=15d

5d=150

d=30 (см)

Увеличение линзы

Раньше мы уже упоминали, что изображение, полученное в линзе, может быть увеличенным или уменьшенным. Различие размеров предмета и изображения характеризуется увеличением.

Определение

Линейное увеличение — отношение линейного размера изображения к линейному размеру предмета. Линейное увеличение обозначают буквой Γ.

Чтобы найти линейное увеличение изображения предмета в линзе, снова обратимся к первому рисунку этого параграфа. Если высота предмета АВ равна h, а высота изображения А1В1 равна Н, то:

Γ=Hh

Мы уже выяснили, что треугольники АОВ и ОА1В1 подобны. Поэтому:

Hh=|f||d|

Где H — высота изображения предмета, h — высота самого предмета.

Отсюда вытекает, что увеличение линзы равно:

Γ=|f||d|

Пример №2. Предмет имеет высоту h = 2 см. Какое фокусное расстояние F должна иметь линза, расположенная от экрана на расстоянии f = 4 м, чтобы изображение указанного предмета имело высоту H = 1 м?

2 см = 0,02 м

Сначала применим формулы тонкой линзы:

1d+1f=1F

Она необходима, чтобы выразить фокусное расстояние линзы:

F=dfd+f

Расстояние от предмета до линзы неизвестно. Но его можно выразить из формулы увеличения линзы:

Γ=fd=Hh

Отсюда это расстояние равно:

d=fhH

Подставим полученное выражение в формулу фокусного расстояния линзы:

F=fhHffhH+f=f2hH·
Hfh+fH=fhH+h

F=fhH+h=4·0,021+0,020,08 (м)=8 (см)

Задание EF17760

Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC расположен перед тонкой собирающей линзой оптической силой 2,5 дптр так, что его катет AC лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Вершина прямого угла C лежит ближе к центру линзы, чем вершина острого угла A. Расстояние от центра линзы до точки A равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, AC = 4 см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.


Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения в СИ.

2.Сделать рисунок — построить изображение в линзе.

3.Записать формулу для нахождения площади полученной фигуры.

4.Выполнить решение в общем виде.

5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

 Оптическая сила линзы: D = 2,5 дптр.

 Сторона треугольника AC = 4 см.

4 см = 0,04 м

Построим изображение в линзе. Для этого достаточно построить изображение точки В. Сначала пустим луч, параллельный главной оптической оси, к плоскости линзы. Он будет преломляться, после чего пройдет через фокус. Затем пустим луч через оптический центр. На месте пересечения двух лучей поставим точку и обозначим ее за B´.

Так как точки B и C предмета лежат на одной прямой, перпендикулярной главной оптической оси, для нахождения точки изображения C´ достаточно пустить перпендикуляр от B´ этой оси. На месте пересечения поставим точку и обозначим ее C´.

Рассматривать ход лучей для построения точки A´ тоже не будем. Точка A лежит в плоскости второго фокуса. Значит, она будет находиться в этой же точке и с противоположной стороны линзы. Это легко доказать с помощью формулы тонкой линзы:

1d+1f=1F

Если расстояние от предмета до линзы равно 2F, то и расстояние от линзы до его изображения будет 2F:

12F+1f=1F

1f=1F12F=212F=12F

f=2F

Теперь соединим все найденные точки и получим треугольник A´ B´ C´. Найдем его площадь. Поскольку это прямоугольный треугольник, его площадь будет равна половине произведения двух катетов — B´ C´и A´ C´:

S=AC·BC2

Из формулы оптической силы линзы найдем фокусное расстояние:

F=1D=12,5=0,4 (м)

Известно, что точка A находится в точке двойного фокусного расстояния. И ее изображение тоже находится на таком же расстоянии от линзы. Следовательно, чтобы найти длину катета A´ C´, нужно найти расстояние от точки C до ее изображения. Расстояние от этой точки до линзы равно разности двойного фокусного расстояния и длины отрезка AC:

dC=2FAC=2·0,40,04=0,76 (м)

Используя формулу тонкой линзы, вычислим расстояние от линзы до изображения этой точки:

10,76+1f=1F

1fC=1F10,76=0,76F0,76F=0,760,40,76·0,4

fC=0,76·0,40,760,4=0,844 (м)

Тогда длина катета A´ C´ будет равна:

AC=fCfA=fC2F=0,8440,4·2=0,044 (м)

Треугольники BCO и B´ C´O подобны по 3 углам. Углы O равны как вертикальные. Углы C и C´ как прямые, а B и B´ как накрест лежащие (полученные при пересечении секущей в виде луча через оптический центр и параллельных фокальных плоскостей). Следовательно BC относится к B´ C´ так же, как OC относится к C´O:

BCBC=ACAC

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому BC = AС. Тогда:

ACBC=ACAC

Следовательно:

BC=AC

Отсюда площадь треугольника равна:

S=AC·AC2=(0,044)22=0,000968 (м2)=9,68 (см2)

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17685

Линза с фокусным расстоянием F=1м даёт на экране изображение предмета, увеличенное в 4 раза. Каково расстояние от предмета до линзы?

Ответ:

а) 0,50 м

б) 0,75 м

в) 1,25 м

г) 1,50 м


Линза с фокусным расстоянием F=1м даёт на экране изображение предмета, увеличенное в 4 раза. Каково расстояние от предмета до линзы?

Алгоритм решения

1.Записать известные данные.

2.Записать формулу увеличения линзы и формулу тонкой линзы.

3.Выразить из обеих формул расстояние от линзы до изображения предмета.

4.Приравнять правые части выражений.

5.Выполнить решение в общем виде.

6.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем известные данные:

 Фокусное расстояние линзы: F = 1 м.

 Увеличение линзы: Γ = 4.

Запишем формулу увеличения линзы и выразим из нее расстояние от линзы до изображения предмета:

Γ=fd

f=Γd

Запишем формулу тонкой линзы и выразим из нее расстояние от линзы до изображения предмета:

1d+1f=1F

1f=1F1d=dFFd

f=dFdF

Приравняем правые части последних выражений:

Γd=dFdF

Поделим на d и выразим расстояние от предмета до линзы:

Γ=FdF

d=FΓ+F=14+1=1,25 (м)

Ответ: в

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18124

Предмет высотой 6 см расположен на горизонтальной главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии 30 см от её оптического центра. Высота  изображения предмета 12 см. Найдите фокусное расстояние линзы.

Ответ:

а) 5 см

б) 10 см

в) 20 см

г) 36 см


Алгоритм решения

1.Записать известные данные.

2.Записать формулу увеличения линзы в двух вариантах и выразить из нее расстояние от изображения до линзы.

3.Записать формулу тонкой линзы и тоже выразить из нее расстояние от изображения до линзы.

4.Приравнять правые части выражений.

5.Выполнить решение в общем виде.

6.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем известные данные:

 Расстояние от оптического центра линзы до предмета: d = 30 cм.

 Высота предмета: h = 6 см.

 Высота изображения: H = 12 см.

Так как все данные измеряются в сантиметрах, переводить единицы измерения величин в СИ нет необходимости. Просто ответ будет получен тоже в сантиметрах.

Запишем формулу увеличения линзы:

Γ=Hh=fd

Отсюда расстояние от изображения до линзы равно:

f=Hdh

Запишем формулу тонкой линзы и выразим из нее расстояние от линзы до изображения предмета:

1d+1f=1F

1f=1F1d=dFFd

f=dFdF

Приравняем правые части последних выражений:

Hdh=dFdF

Поделим на d, у множим на h(d –F) и выразим фокусное расстояние:

Hh=FdF

H(dF)=hF

HdHF=hF

hF+HF=Hd

F(h+H)=Hd

F=Hdh+H=12·3012+6=20 (см)

Ответ: в

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF19112

В плоскости, параллельной плоскости тонкой собирающей линзы, по окружности со скоростью v = 5 м/с движется точечный источник света. Расстояние между плоскостями d = 15 см. Центр окружности находится на главной оптической оси линзы. Фокусное расстояние линзы F = 10 см. Найдите скорость движения изображения точечного источника света. Сделайте пояснительный чертёж, указав ход лучей в линзе. Ответ запишите в м/с.


Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения в СИ.

3.Записать формулу тонкой линзы и определить из нее расстояние от изображения до линзы.

4.Записать формулу линейного увеличения линзы двумя способами для вычисления радиусов окружностей, по которым движутся точка и ее изображение.

5.Выполнить решение в общем виде.

6.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

 Фокусное расстояние линзы: F = 10 см.

 Расстояние от линзы до плоскости, в которой вращается точка: d = 15 см.

 Скорость вращения точки: v = 5 м/с.

10 см = 0,1 м

15 см = 0,15 м

Выполним рисунок. Для его построения достаточно найти изображение точки А. Затем в противоположную сторону отложим перпендикуляр и на таком же расстоянии от главной оптической оси будет находиться изображение точки B.

Глядя со стороны, мы будем видеть вместо окружности, которую описывает точка, линию AB. Она равн диаметру окружности, по которой движется точка. Обозначим ее радиус OA за r. Изображением окружности будет окружность. Вместо нее мы со стороны также увидим отрезок — A´B´. Обозначим радиус O´A´ за R.

Запишем формулу тонкой линзы и выразим из нее расстояние от изображения до линзы:

1d+1f=1F

1f=1F1d=dFFd

f=dFdF

Формулу линейного увеличения линзы можно определить как отношение радиуса окружности, по которой движется точка-изображение, к радиусу окружности, по которой движется сама точка:

Γ=Rr

Линейное увеличение также определяется формулой:

Γ=fd

Следовательно:

Rr=fd

Подставим сюда выражение, найденное для расстояния от изображения до линзы из формулы тонкой линзы:

Rr=dFd(dF)=FdF

Так как изображение будет двигаться вслед за точкой, то угловые скорости этой точки и изображения будут равны. Поэтому:

ω=vr=VR

Отсюда линейная скорость движения изображения равна:

V=Rvr=FvdF=0,1·50,150,1=10 (мс)

Ответ: 10

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 14.4k

Формула тонкой линзы


Формула тонкой линзы

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 131.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 131.

Лучи, прошедшие через линзу, образуют изображение (реальное или мнимое) источника света. Для его построения используется специальное соотношение, называемое формулой тонкой линзы. Рассмотрим применение этой формулы.

Формула тонкой линзы

Формула тонкой линзы связывает расстояние от линзы до источника $d$ и расстояние от линзы до изображения $f$ с фокусным расстоянием линзы $F$:

$${1over d}+{1over f}={1over F}$$

Все величины, входящие в эту формулу, могут быть отрицательными. Знаки параметров ставятся в соответствии со следующими правилами:

  • Для собирающей линзы фокусное расстояние $F$ положительно, для рассеивающей линзы — отрицательно.
  • Расстояние от линзы до изображения $f$ положительно, если изображение действительное, и отрицательно, если оно мнимое.
  • Расстояние от линзы до источника $d$ положительно, если точка источника действительна, и лучи идущие от неё, расходятся. Если точка мнимая (лучи падают на линзу, сходясь к точке), то расстояние $d$ отрицательно.
  • Перед неизвестной величиной ставится знак «плюс». Если после вычислений эта величина окажется отрицательной, то делается вывод, что данный объект мнимый (или линза является рассеивающей).

Формула тонкой линзы

Рис. 1. Формула тонкой линзы.

Отметим, что изображение (действительное или мнимое), которое дает линза, чаще всего имеет размер, отличный от исходного объекта. Различие размеров исходного объекта и изображения называется увеличением линзы $Gamma$. Это значение равно:

$Gamma = {|f| over |d|}$

Рассмотрим применение формулы тонкой линзы на конкретных примерах.

Собирающая линза

Допустим, имеется собирающая линза оптической силой 2 дптр. На каком расстоянии от нее будет изображение предмета, находящегося на расстоянии 0,1 м от нее?

Мнимое увеличенное изображение в собирающей линзе

Рис. 2. Мнимое увеличенное изображение в собирающей линзе.

Напомним, что оптическая сила $D$ связана с фокусным расстоянием линзы $F$ соотношением:

$$D = {1over F}$$

Из данной формулы получим, что при оптической силе 2 дптр фокусное расстояние линзы будет равно $F=0.5$м.

Подставляя данные, получим:

$${1over 0.1}+{1over f}={1over 0.5}$$

Откуда $f=-0.125$м. То есть изображение предмета оказывается мнимым. Это изображение находится перед предметом, дальше от линзы.

Изображение получилось мнимым потому, что предмет расположен слишком близко к линзе, ближе фокальной плоскости.

С помощью собирающей линзы можно получить и действительное изображение. Это произойдет, если расстояние от предмета до линзы будет больше фокусного. Например, для той же линзы, если предмет будет находиться на расстоянии 1 м, то изображение будет действительным. Проверим это. Подставив в формулу, получаем:

$${1over 1}+{1over f}={1over 0.5}$$

Откуда $f=1$м. Знак указывает, что изображение предмета на самом деле является действительным. Изображение находится по другую сторону от линзы.

Рассеивающая линза

Теперь, допустим, что при том же расстоянии до предмета 0,1 м линза будет рассеивающей и иметь оптическую силу 2 дптр.

Рис. 3. Мнимое изображение в рассеивающей линзе.

Поскольку линза рассеивающая, фокусное расстояние следует брать отрицательным:

$${1over 0.1}+{1over f}={1over -0.5}$$

Откуда: $f=-0.08333…$м. То есть изображение предмета оказывается мнимым. Оно находится между предметом и линзой.

Обычно считается, что рассеивающая линза дает только мнимое изображение. Однако, подставив в формулу $F<0$, можно заметить, что получить положительное $f$ всё-таки возможно, если $d$ будет достаточно мало по модулю и отрицательно. То есть лучи от предмета должны сходиться к линзе. Это можно сделать, например, используя еще одну достаточно сильную собирающую линзу. Расположив собирающую линзу перед рассеивающей, можно найти такое их взаимное положение, при котором изображение будет реальным и прямым. Именно так устроена простейшая подзорная труба. Ее увеличение равно отношению фокусных расстояний собирающей и рассеивающей линз.

Заключение

Что мы узнали?

Формула тонкой линзы связывает три параметра: фокусное расстояние линзы, расстояние до предмета и расстояние до изображения. Все три величины могут быть как положительными, так и отрицательными. Если какая-то величина неизвестна, она принимается положительной, но в результате расчетов она может стать отрицательной, и это означает, что объект мнимый или линза рассеивающая.

Тест по теме

Доска почёта

Доска почёта

Чтобы попасть сюда – пройдите тест.

  • Данил Воруй

    10/10

Оценка доклада

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 131.


А какая ваша оценка?

Тонкие линзы. Построение изображений.

  • Собирающая линза: действительное изображение точки.

  • Собирающая линза: действительное изображение предмета.

  • Собирающая линза: мнимое изображение точки.

  • Собирающая линза: мнимое изображение предмета.

  • Собирающая линза: предмет в фокальной плоскости.

  • Рассеивающая линза: мнимое изображение точки.

  • Рассеивающая линза: мнимое изображение предмета.

 

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: построение изображений в линзах, формула тонкой линзы.

Правила хода лучей в тонких линзах, сформулированные в предыдущей теме, приводят нас к важнейшему утверждению.

Теорема об изображении. Если перед линзой находится светящаяся точка S, то после преломления в линзе все лучи (или их продолжения) пересекаются в одной точке S{}.

Напомним ещё раз, что это касается не вообще всех лучей, а только параксиальных, то есть образующих малые углы с главной оптической осью. В предыдущей теме мы договорились, что рассматриваем только параксиальные лучи. Лишь для них работают наши правила хода лучей сквозь тонкие линзы.

Точка S{} называется изображением точки S.

Если в точке S{} пересекаются сами преломлённые лучи, то изображение называется действительным. Оно может быть получено на экране, так как в точке S{} концентрируется энергия световых лучей.

Если же в точке S{} пересекаются не сами преломлённые лучи, а их продолжения (так бывает, когда преломлённые лучи расходятся после линзы), то изображение называется мнимым. Его нельзя получить на экране, поскольку в точке S{} не сосредоточено никакой энергии. Мнимое изображение, напомним, возникает благодаря особенности нашего мозга – достраивать расходящиеся лучи до их мнимого пересечения и видеть в этом пересечении светящуюся точку.Мнимое изображение существует лишь в нашем сознании.

Теорема об изображении служит основой построения изображений в тонких линзах. Мы докажем эту теорему как для собирающей, так и для рассеивающей линзы.

к оглавлению ▴

Собирающая линза: действительное изображение точки.

Сперва рассмотрим собирающую линзу. Пусть a – расстояние от точки S до линзы, f – фокусное расстояние линзы. Имеются два принципиально разных случая: a>f и a<f (а также промежуточный случай a=f). Мы разберём эти случаи поочерёдно; в каждом из них мы
обсудим свойства изображений точечного источника и протяжённого объекта.

Первый случай: a>f. Точечный источник света S расположен дальше от линзы, чем левая фокальная плоскость (рис. 1).

Рис. 1. Случай a>f: действительное изображение точки S

Луч SO, идущий через оптический центр, не преломляется. Мы возьмём произвольный луч SX, построим точку S{}, в которой преломлённый луч пересекается с лучом SO, а затем покажем, что положение точки S{} не зависит от выбора луча SX (иными словами, точка S{} является одной и той же для всевозможных лучей SX ). Тем самым окажется, что все лучи, исходящие из точки S, после преломления в линзе пересекаются в точке S{} и теорема об изображении будет доказана для рассматриваемого случая a>f.

Точку S{} мы найдём, построив дальнейший ход луча SX. Делать это мы умеем: параллельно лучу SX проводим побочную оптическую ось OP до пересечения с фокальной плоскостью в побочном фокусе P, после чего проводим преломлённый луч XP до пересечения с лучом SO в точке S{}.

Теперь будем искать расстояние b от точки S{} до линзы. Мы покажем, что это расстояние выражается только через a и f, т. е. определяется лишь положением источника и свойствами линзы, и не зависит тем самым от конкретного луча SX.

Опустим перпендикуляры SA и S{} на главную оптическую ось. Проведём также SK параллельно главной оптической оси, т. е. перпендикулярно линзе. Получим три пары подобных треугольников:

triangle SAO sim triangle S{}, (1)
triangle SXS{}, (2)
triangle SXK sim triangle OPF. (3)

В результате имеем следующую цепочку равенств (номер формулы над знаком равенства указывает, из какой пары подобных треугольников данное равенство получено).

frac{displaystyle AO}{displaystyle OA{} (4)

Но AO=SK=a, OA{}, так что соотношение (4) переписывается в виде:

frac{displaystyle a}{displaystyle b}=frac{displaystyle a}{displaystyle f}-1. (5)

Отсюда находим искомое расстояние от точки S{} до линзы:

b=frac{displaystyle af}{displaystyle a-displaystyle f}. (6)

Как видим, оно и в самом деле не зависит от выбора луча SX. Следовательно, любой луч SX после преломления в линзе пройдёт через построенную нами точку S{}, и эта точка будет действительным изображением источника S

Теорема об изображении в данном случае доказана.

Практическая важность теоремы об изображении состоит вот в чём. Коль скоро все лучи источника S пересекаются после линзы в одной точке – его изображении S{} – то для построения изображения достаточно взять два наиболее удобных луча. Какие именно?

Если источник S не лежит на главной оптической оси, то в качестве удобных лучей годятся следующие:

– луч, идущий через оптический центр линзы – он не преломляется;
– луч, параллельный главной оптической оси – после преломления он идёт через фокус.

Построение изображения с помощью этих лучей показано на рис. 2.

Рис. 2. Построение изображения точки S, не лежащей на главной оптической оси

Если же точка S лежит на главной оптической оси, то удобный луч остаётся лишь один – идущий вдоль главной оптической оси. В качестве второго луча приходится брать “неудобный” (рис. 3).

Рис. 3. Построение изображения точки S, лежащей на главной оптической оси

Посмотрим ещё раз на выражение ( 5). Его можно записать в несколько ином виде, более симпатичном и запоминающемся. Перенесём сначала единицу влево:

1+frac{displaystyle a}{displaystyle b}=frac{displaystyle a}{displaystyle f}.

Теперь разделим обе части этого равенства на a:

frac{displaystyle 1}{displaystyle a}+frac{displaystyle 1}{displaystyle b}=frac{displaystyle 1}{displaystyle f}. (7)

Соотношение (7) называется формулой тонкой линзы (или просто формулой линзы). Пока что формула линзы получена для случая собирающей линзы и для a>f. В дальнейшем мы выведем модификации этой формулы для остальных случаев.

Теперь вернёмся к соотношению (6). Его важность не исчерпывается тем, что оно доказывает теорему об изображении. Мы видим также, что b не зависит от расстояния SA (рис. 1, 2) между источником S и главной оптической осью!

Это означает, что какую бы точку M отрезка SA мы ни взяли, её изображение будет находиться на одном и том же расстоянии b от линзы. Оно будет лежать на отрезке S{} – а именно, на пересечении отрезка S{} с лучом MO, который пойдёт сквозь линзу без преломления. В частности, изображением точки A будет точка A{}.

Тем самым мы установили важный факт: изображением отрезка SA лужит отрезок S{}. Отныне исходный отрезок, изображение которого нас интересует, мы называем предметом и обозначаем на рисунках красной стрелочкой. Направление стрелки нам понадобится для того, чтобы следить – прямым или перевёрнутым получается изображение.

к оглавлению ▴

Перейдём к рассмотрению изображений предметов. Напомним, что пока мы находимся в рамках случая a>f. Здесь можно выделить три характерных ситуации.

1. f<a<2f. Изображение предмета является действительным, перевёрнутым, увеличенным (рис. 4; двойной фокус обозначен 2F). Из формулы линзы следует, что в этом случае будет b>2f (почему?).

Такая ситуация реализуется, например, в диапроекторах и киноаппаратах – эти оптические приборы дают на экране увеличенное изображение того, что находится на плёнке. Если вам доводилось показывать слайды, то вы знаете, что слайд нужно вставлять в проектор перевёрнутым – чтобы изображение на экране выглядело правильно, а не получилось вверх ногами.

Отношение размера изображения к размеру предмета называется линейным увеличением линзы и обозначается Г – (это заглавная греческая “гамма”):

Gamma =frac{displaystyle A{}.

Из подобия треугольников triangle ABO и triangle A{} получим:

Gamma =frac{displaystyle A{}. (8)

Формула (8) применяется во многих задачах, где фигурирует линейное увеличение линзы.

2. a=2f. В этом случае из формулы (6) находим, что и b=2f. Линейное увеличение линзы согласно (8) равно единице, т. е. размер изображения равен размеру предмета (рис. 5).

Рис. 5.a=2f: размер изображения равен размеру предмета

3. a>2f. В этом случае из формулы линзы следует, что b<2f (почему?). Линейное увеличение линзы будет меньше единицы – изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное (рис. 6).

Рис. 6.a>2f: изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное

Данная ситуация является обычной для многих оптических приборов: фотоаппаратов, биноклей, телескопов – словом, тех, в которых получают изображения удалённых объектов. По мере удаления предмета от линзы его изображение уменьшается в размерах и приближается к фокальной плоскости.

Рассмотрение первого случая a>2f нами полностью закончено. Переходим ко второму случаю. Он уже не будет столь объёмным.

к оглавлению ▴

Собирающая линза: мнимое изображение точки.

Второй случай: a<f. Точечный источник света S расположен между линзой и фокальной плоскостью (рис. 7).

Рис. 7. Случай a < f: мнимое изображение точки

Наряду с лучом SO, идущим без преломления, мы снова рассматриваем произвольный луч SX. Однако теперь на выходе из линзы получаются два расходящихся луча OE и XP. Наш глаз продолжит эти лучи до пересечения в точке S{}.

Теорема об изображении утверждает, что точка S{} будет одной и той же для всех лучей SX, исходящих из точки S. Мы опять докажем это с помощью трёх пар подобных треугольников:

triangle SAOsim triangle S{}

Снова обозначая через b расстояние от S{} до линзы, имеем соответствующую цепочку равенств (вы уже без труда в ней разберётесь):

frac{displaystyle a}{displaystyle b}=frac{displaystyle AO}{displaystyle A{}. (9)

Отсюда

b=frac{displaystyle fa}{displaystyle f-displaystyle a}. (10)

Величина b не зависит от луча SX, что и доказывает теорему об изображении для нашего случая a<f. Итак, S{} – мнимое изображение источника S. Если точка S не лежит на главной оптической оси, то для построения изображения S{} удобнее всего брать луч, идущий через оптический центр, и луч, параллельный главной оптической оси (рис. 8).

Рис. 8. Построение изображения точки S, не лежащей на главной оптической оси

Ну а если точка S лежит на главной оптической оси, то деваться некуда – придётся довольствоваться лучом, падающим на линзу наклонно (рис. 9).

Рис. 9. Построение изображения точки S, лежащей на главной оптической оси

Соотношение (9) приводит нас к варианту формулы линзы для рассматриваемого случая a<f. Сначала переписываем это соотношение в виде:

1-frac{displaystyle a}{displaystyle b}=frac{displaystyle a}{displaystyle f},

а затем делим обе части полученного равенства на a:

frac{displaystyle 1}{displaystyle a}-frac{displaystyle 1}{displaystyle b}=frac{displaystyle 1}{displaystyle f}. (11)

Сравнивая (7) и (11), мы видим небольшую разницу: перед слагаемым 1/b стоит знак плюс, если изображение действительное, и знак минус, если изображение мнимое.

Величина b, вычисляемая по формуле (10), не зависит также от расстояния SA между точкой S и главной оптической осью. Как и выше (вспомните рассуждение с точкой M), это означает, что изображением отрезка SA на рис. 9 будет отрезок S{}.

к оглавлению ▴

Учитывая это, мы легко строим изображение предмета, находящегося между линзой и фокальной плоскостью (рис. 10). Оно получается мнимым, прямым и увеличенным.

Такое изображение вы наблюдаете, когда разглядываете мелкий предмет в увеличительное стекло – лупу. Случай a<f полностью разобран. Как видите, он качественно отличается от нашего первого случая a>f. Это не удивительно – ведь между ними лежит промежуточный “катастрофический” случай a=f.

к оглавлению ▴

Собирающая линза: предмет в фокальной плоскости.

Промежуточный случай:a=f. Источник света S расположен в фокальной плоскости линзы (рис. 11).

Как мы помним из предыдущего раздела, лучи параллельного пучка после преломления в собирающей линзе пересекутся в фокальной плоскости – а именно, в главном фокусе, если пучок падает перпендикулярно линзе, и в побочном фокусе при наклонном падении пучка. Воспользовавшись обратимостью хода лучей, мы заключаем, что все лучи источника S, расположенного в фокальной плоскости, после выхода из линзы пойдут параллельно друг другу.

Рис. 11. a=f: изображение отсутствует

Где же изображение точки S? Изображения нет. Впрочем, никто не запрещает нам считать, что параллельные лучи пересекаются в бесконечно удалённой точке. Тогда теорема об изображении сохраняет свою силу и в данном случае – изображение S{} находится на бесконечности.

Соответственно, если предмет целиком расположен в фокальной плоскости, изображение этого предмета будет находиться на бесконечности (или, что то же самое, будет отсутствовать).

Итак, мы полностью рассмотрели построение изображений в собирающей линзе.

к оглавлению ▴

Рассеивающая линза: мнимое изображение точки.

К счастью, здесь нет такого разнообразия ситуаций, как для собирающей линзы. Характер изображения не зависит от того, на каком расстоянии предмет находится от рассеивающей линзы, так что случай тут будет один-единственный.

Снова берём луч SO и произвольный луч SX (рис. 12). На выходе из линзы имеем два расходящихся луча OE и XY, которые наш глаз достраивает до пересечения в точке S{}.

Рис. 12. Мнимое изображение точки S в рассеивающей линзе

Нам снова предстоит доказать теорему об изображении – о том, что точка S{} будет одной и той же для всех лучей SX. Действуем с помощью всё тех же трёх пар подобных треугольников:

triangle SAOsim triangle S{}.

Имеем:

frac{displaystyle a}{displaystyle b}= frac{displaystyle AO}{displaystyle A{} (12)

Отсюда

b=frac{displaystyle af}{displaystyle a+displaystyle f}. (13)

Величина b не зависит от луча span
SX, поэтому продолжения всех преломлённых лучей span
XY пересекутся в точке S{} – мнимом изображении точки S. Теорема об изображении тем самым полностью доказана.

Вспомним, что для собирающей линзы мы получили аналогичные формулы (6) и (10). В случае a=f их знаменатель обращался в нуль (изображение уходило на бесконечность), и поэтому данный случай разграничивал принципиально разные ситуации a>f и a<f.

А вот у формулы (13) знаменатель не обращается в нуль ни при каком a. Стало быть, для рассеивающей линзы не существует качественно разных ситуаций расположения источника – случай тут, как мы и сказали выше, имеется только один.

Если точка S не лежит на главной оптической оси, то для построения её изображения удобны два луча: один идёт через оптический центр, другой – параллельно главной оптической оси (рис. 13).

Рис. 13. Построение изображения точки S, не лежащей на главной оптической оси

Если же точка S лежит на главной оптической оси, то второй луч приходится брать произвольным (рис. 14).

Рис. 14. Построение изображения точки S, лежащей на главной оптической оси

Соотношение (13) даёт нам ещё один вариант формулы линзы. Сначала перепишем:

1-frac{displaystyle a}{displaystyle b}=-frac{displaystyle a}{displaystyle f},

а потом разделим обе части полученного равенства на a:

frac{displaystyle 1}{displaystyle a}-frac{displaystyle 1}{displaystyle b}=-frac{displaystyle 1}{displaystyle f}. (14)

Так выглядит формула линзы для рассеивающей линзы.

Три формулы линзы (7), (11) и (14) можно записать единообразно:

frac{displaystyle 1}{displaystyle a}+frac{displaystyle 1}{displaystyle b}=frac{displaystyle 1}{displaystyle f},

если соблюдать следующую договорённость о знаках:

– для мнимого изображения величина b считается отрицательной;
– для рассеивающей линзы величина f считается отрицательной.

Это очень удобно и охватывает все рассмотренные случаи.

к оглавлению ▴

Величина b , вычисляемая по формуле (13), опять-таки не зависит от расстояния SA между точкой S и главной оптической осью. Это снова даёт нам возможность построить изображение предмета AB, которое на сей раз получается мнимым, прямым и уменьшенным (рис. 15).

Рис. 15. Изображение мнимое, прямое, уменьшенное

Разберем задачи ЕГЭ по теме: Тонкие линзы. Построение изображений.

1. Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием F находится между двумя точечными источниками света на расстоянии d=15 см от одного из них. Источники расположены на главной оптической оси на расстоянии L=22,5 см друг от друга. Найдите фокусное расстояние линзы, если их изображения получились в одной точке. Ответ выразите в сантиметрах.
Дано:
d_1 = 15 см = 0,15 м
L = 22,5 см=0,225 м
Найти:
Фокусное расстояние F – ?

Решение:
Тонкая собирающая линза дает различные виды изображений: увеличенные (уменьшенные), прямые (обратные), действительные (мнимые). Характеристика изображения зависит от расстояния от предмета до линзы, т.е. от соотношения d и F.
Так как в задаче говорится о получении изображений в одной точке, то один из точечных источников должен находиться за фокусом линзы – он дает действительное изображение. Второй точечный источник должен находиться перед фокусом – он дает мнимое изображение.

На рис. 1 представлено получение изображения для точечного источника света S_1, находящегося на расстоянии больше фокусного, S_1 – изображение точечного источника света S_1.

На рис. 2 представлено получение изображения для точечного источника света S_2, находящегося на расстоянии меньше фокусного, S_2– изображение точечного источника света S_2.
После создания модели, поясняющей условие этой задачи, можно переходить к её решению. Для этого надо применить формулу тонкой линзы для двух случаев. С учетом правила знаков f_1>0,f_2<0, так как изображение в первом случае действительное, во втором – мнимое.

frac{1}{d_1}+frac{1}{f_1}=frac{1}{F} (1)

frac{1}{d_2}-frac{1}{f_2}=frac{1}{F} (2)

Сложим эти два уравнения и учтем, что frac{1}{f_1}+left(-frac{1}{f_2}right)=0. Так как изображения в двух случаях получались в одной точке, то f_1=f_2.

frac{1}{d_1}+frac{1}{d_2}=frac{2}{F}

frac{d_1+d_2}{d_1cdot d_2}=frac{2}{F}

F=frac{2d_1cdot d_2}{d_1+d_2}

Определим, что d_2=L-d_1; d_2=0,225-0,15=0,075 (м).

F=frac{2cdot 0,15cdot 0,075}{0,15+0,075}=0,1 (м) =10 (см).

Ответ: 10

2. Какая из точек (1, 2, 3 или 4) является изображением точки S, созданным тонкой собирающей линзой с фокусным расстоянием F (см. рисунок)?

Решение:

Для получения изображения точечного источника S необходимо осуществить построение двух любых лучей, исходящих от этого источника. Самым «удобным» лучом является луч, проходящий через оптический центр линзы. Такие лучи, после прохождения через линзу, не меняют своего направления. На рисунке таким лучом является луч 1-1ʹ.
Второй и третий лучи от точечного источника S попадают на линзу произвольно. Дальнейший ход таких лучей определяется следующим алгоритмом:

  1. необходимо построить побочные оптические оси, параллельные падающим лучам (на рисунке они проведены пунктирной линией);
  2. провести фокальную плоскость и найти точки пересечения этой плоскости с побочными оптическими осями;
  3. продолжить ход световых лучей после прохождения через линзу (на рисунке это лучи 2ʹ и 3ʹ).

Поэтому изображением точечного источника S (точки S) будет являться точка 2.
При решении этой задачи мы рассмотрели ход трех лучей сквозь линзу, для получения ответа достаточно взять любую комбинацию лучей (1-1ʹ и 2 – 2ʹ) или (1-1ʹ и 3 – 3ʹ ).
Ответ: 2

3. Спираль лампочки расположена вблизи главной оптической оси тонкой рассеивающей линзы на расстоянии а от неё перпендикулярно этой оси, причем F < a < 2F, где F – модуль фокусного расстояния линзы. Затем рассеивающую линзу заменили на собирающую с фокусным расстоянием F. Установите соответствие между видом линзы, использованной в опыте, и свойствами даваемого ею изображения.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Виды линз Свойства изображения
А) линза рассеивающая 1) мнимое, прямое, уменьшенное
Б) линза собирающая 2) мнимое, перевёрнутое, увеличенное
3) действительное, перевёрнутое, увеличенное
4) действительное, прямое, увеличенное

Решение
Решение подобных задач опирается на умение строить изображения протяженных (имеющих размеры) предметов при прохождении лучей через линзу.

Рис.1

На рис.1 выполнено построение изображения предмета АВ в тонкой собирающей линзе. Для этого применялись следующие лучи:
1-1ʹ – луч, проходящий через оптический центр, не преломляется;
2 – 2ʹ – луч, падающий на линзу параллельно главной оптической оси, после преломления идет через фокус, расположенный за линзой .
Полученное изображение АʹВʹ имеет следующие характеристики:
увеличенное (размер изображения превышает размер предмета),
перевернутое (направления стрелок АВ и АʹВʹ противоположны),
действительное (предмет и его изображения находятся по разные стороны от линзы).

Рис.2

На рис.2 выполнено построение изображения предмета АВ в тонкой рассеивающей линзе. Для этого применялись следующие лучи:
1-1ʹ – луч, проходящий через оптический центр, не преломляется;
2 – 2ʹ – луч, падающий на линзу параллельно главной оптической оси, после преломления идет через фокус, расположенный перед линзой .
Полученное изображение АʹВʹ имеет следующие характеристики:
уменьшенное (размер изображения меньше размера предмета),
прямое (направления стрелок АВ и АʹВʹ совпадают),
мнимое (предмет и его изображения находятся с одной стороны от линзы).
Полученные изображения и их характеристики приводят к следующему ответу:

4. На рисунке показан ход лучей от точечного источника света S через тонкую линзу. Какова оптическая сила этой линзы? (Ответ дать в диоптриях.)

Решение:

На рисунке представлен ход световых лучей от точечного источника света S. Луч, проходящий через оптический центр, не меняет своего направления. Второй луч, идущий параллельно главной оптической оси, после преломления идет через фокус. Это позволяет определить фокусное расстояние линзы. Согласно рисунку, оно равно двум клеткам. С учётом указанного масштаба, длина одной клетки равна 4 см. Таким образом, фокусное расстояние этой линзы F=8 см = 0,08 м.

Так как оптическая сила линзы D=frac{1}{F}=frac{1}{0,08}=12,5 (дптр).

Ответ: 12,5

Если вам нравятся наши материалы – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по физике онлайн
 

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Тонкие линзы. Построение изображений.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
07.05.2023

На прошлом уроке мы с вами говорили о том, что линза — это прозрачное тело, ограниченное криволинейными (чаще всего сферическими) или криволинейной и плоской поверхностями. Она служит для управления световыми пучками, а именно для изменения направления лучей.

До сих пор мы с вами не знаем, как построить изображение предмета в тонкой линзе? Ответу на этот вопрос и будет посвящён наш урок.

Для начала рассмотрим, как получить изображения точечного источника света в собирающей и рассеивающей линзах. Для этого мы с вами будем в основном пользоваться тремя «удобными лучами» — это лучи, ход которых после прохождения через линзу нам заранее известен:

1)    лучи, идущие параллельно главной оптической оси, так как после преломления в линзе, они проходят через её главный фокус (или проходят их продолжения).

2)    из закона обратимости световых лучей следует, что лучи, которые идут к линзе через её фокус, после преломления будут направлены параллельно главной оптической оси — это второй набор лучей.

3)     третий набор лучей выбираем исходя из того, что лучи, проходящие через оптический центр линзы, не меняют своего направления.

Точка пересечения преломлённых лучей в собирающей линзе или их продолжений в рассеивающей, и даёт нам положение изображения точечного источника света.

Усложним задачу. Пусть точечный источник света располагается на главной оптической оси линзы. Найдём, где образуется изображение:

Изображение в собирающей линзе будет являться действительным, так как оно получилось на пересечении самих преломлённых лучей, а в рассеивающей — мнимым, так как оно получено на пересечении продолжений преломлённых лучей.

Теперь рассмотрим, как строятся изображения протяжённых предметов, находящихся на разных расстояниях от собирающей линзы.

Для начала рассмотрим случай, когда предмет находится за двойным фокусом линзы:

Охарактеризуем полученное изображение. Во-первых, оно действительное, так как получилось на пересечении преломлённых лучей. Во-вторых, оно перевёрнутое. И в-третьих, как можно видеть из построения, оно уменьшенное.

Обратите внимание, что если предмет расположен перпендикулярно главной оптической оси, то и его изображение также будет перпендикулярно ей. Зная это, мы сможем построить изображение точки B и опустить перпендикуляр на главную оптическую ось, что мы и будем делать в дальнейшем.

Аналогичным способом, можно построить и охарактеризовать изображение предмета, находящегося на других расстояниях от линзы.

Предмет расположен во втором фокусе линзы.

Предмет находится между первым и вторым фокусом линзы.

Такие изображения получаются, например, на экране кинотеатра. Оно увеличенное — экран намного больше плёнки, на которой записан фильм. На экране реально существует светящаяся картинка. А чтобы фильм не шёл вверх ногами, потому что изображение перевёрнутое, в проекторе стоит система линз, каждая из которых вносит свой вклад в изменение хода лучей.

Построим изображение предмета, находящегося в главном фокусе линзе.

Как видим, преломлённые линзой лучи не пересекаются, как и не пересекаются их продолжения. Следовательно, изображения в этом случае нет.

И нам осталось рассмотреть последний случай, когда предмет находится между главным фокусом и линзой.

Обратите внимание, что в этом случае преломлённые лучи расходятся, а пересекаться будут только их продолжения. Поэтому изображение предмета будет мнимым, увеличенным, прямым и находиться со стороны изображаемого предмета.

Такое изображение мы получаем, например, когда пользуемся увеличительным стеклом для рассмотрения мелких объектов. Получается прямое увеличенное изображение, которое нам видно намного лучше, чем сам предмет. Но, заглянув за увеличительное стекло, увидим, что на самом деле этого увеличенного предмета там нет, то есть изображение мнимое.

При построении изображения действительного предмета в рассеивающей линзе поступают точно так же, как и в случае с собирающей. Единственное отличие состоит в том, что у рассеивающей линзы фокус мнимый.

Изображение, даваемое рассеивающей линзой, всегда мнимое, прямое, уменьшенное и находится между линзой и её фокусом со стороны изображаемого предмета.

Теперь выведем формулу, которая свяжет три величины — расстояние от предмета до линзы, расстояние от линзы до изображения и фокус линзы. Для этого рассмотрим собирающую линзу, предмет АВ и его изображение в этой линзе AB.

В общем виде, формула тонкой линзы записывается следующим образом: сумма величин, обратных расстояниям от предмета до линзы и от линзы до изображения, равна величине, обратной фокусному расстоянию:

Для практического использования формулы тонкой линзы, нам следует запомнить правило знаков:

для собирающей линзы, действительных источника и изображения, фокусное расстояние, расстояние от предмета до линзы и от линзы до изображения считают положительными;

для рассеивающей линзы, мнимых источника и изображения, фокусное расстояние, расстояние от предмета до линзы и от линзы до изображения считают отрицательными.

Стоит сразу отметить, что предмет или источник является мнимым только в том случае, если на линзу падает пучок сходящихся лучей, продолжения которых пересекаются в одной точке.

Как вы могли заметить, чаще всего, изображение, получаемое с помощью тонкой линзы, отличается своими размерами от предмета. Так вот, это различие между размерами предмета и размерами его изображения принято характеризовать линейным (или поперечным) увеличением линзы.

Если обозначить размеры предмета h, а размеры изображения — H, то линейное увеличение линзы равно отношению линейного размера изображения к линейному размеру предмета:

Домашняя работа

стр.209 — 212

Упр. 49

Расстояние между предметом и его изображением 72 см. Увеличение линзы равно 3. Найти фокусное расстояние линзы.

Спрятать решение

Решение.

Расстояние между предметом и изображением a=f плюс d, увеличение линзы Gamma= дробь: числитель: f, знаменатель: d конец дроби . Отсюда найдем расстояние от предмета до изображения

d= дробь: числитель: a, знаменатель: Gamma плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 72, знаменатель: 3 плюс 1 конец дроби =18см.

Тогда из формулы собирающей линзы для действительного изображения  дробь: числитель: 1, знаменатель: d конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: f конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: F конец дроби найдем фокусное расстояние

F= дробь: числитель: Gamma d, знаменатель: Gamma плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 18, знаменатель: 3 плюс 1 конец дроби =13,5см= 0,135 м.

В случае мнимого изображения из формулы собирающей линзы  дробь: числитель: 1, знаменатель: d конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: f конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: F конец дроби найдем фокусное расстояние

F= дробь: числитель: Gamma d, знаменатель: Gamma минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 18, знаменатель: 3 минус 1 конец дроби =27см= 0,27 м.

Ответ: если изображение предмета действительное  — 0,135 м;

если изображение мнимое  — 0,27 м.

Источник: Кирик Л. А. Са­мо­сто­я­тель­ные и кон­троль­ные ра­бо­ты для 11 клас­са, Х.: «Гим­на­зия», 2001 (№ 1 (дост.) стр. 79)

Добавить комментарий