Содержание
§
Вспомогательный раздел к разделу РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО КВАДРИКИ
Расстояние от точки до эллипса и эллипсоида
В настоящем разделе мы проанализируем следствия для $ mathbb R^{3} $ общего результата, касающегося вычисления расстояния от точки до квадрики в $ {mathbb R}^{n} $. Основные задачи:
-
вычисление уравнения расстояний;
-
детализация алгоритма нахождения координат точки ближайшей (а также самой дальней) на эллипсе или эллипсоиде к заданной точке;
-
выведение приближенных формул для расстояния.
§
Приведенные ниже результаты (если не указано особо) взяты из статей [1,2].
Расстояние от точки до эллипса на плоскости
Т
Теорема 1. Квадрат расстояния до эллипса
$$ a_{11}x^2+2,a_{12}xy+a_{22}y^2+2, b_1 x + 2, b_2 y -1 =0 $$
от точки $ (x_{0},y_0) $ , не лежащей на эллипсе,
равен минимальному положительному корню уравнения расстояний
$$
{mathcal F}(z)={mathcal D}_{mu}(Phi(mu,z))=0
$$
при условии, что этот корень не является кратным.
Здесь
$$
Phi(mu,z)=
left| begin{array}{ccc}
a_{11}-mu & a_{12} & b_1+mu x_0 \
a_{12} & a_{22}-mu & b_{2}+mu y_0 \
b_1+mu x_0 & b_2+mu y_0 & -1 + mu (z-x_0^2-y_0^2)
end{array}
right| ,
$$
а
$ {mathcal D}_{} $ означает дискриминант полинома $ Phi(mu,z) $, рассматриваемого относительно переменной $ mu_{} $, в то время как остальные переменные считаются параметрами.
П
Пример. Найти расстояние от точки $ (2,1) $ до эллипса
$$ -frac{1}{2}x^2+frac{1}{2}xy-frac{3}{2}y^2+frac{5}{2}x+4,y-1=0 . $$
Решение. Имеем:
$$
Phi(mu,z)=left| begin{array}{ccc}
-1/2-mu & 1/4 & 5/4+ 2,mu \
1/4 & -3/2-mu & 2+mu \
5/4+ 2,mu & 2+mu & -1 + mu (z-5)
end{array}
right|=
$$
$$
=zmu^3+left(2,z+frac{11}{2}right)mu^2+left(frac{11}{16}z+frac{49}{4}right)mu+frac{157}{32} .
$$
Дискриминант полинома третьей степени можно вычислить по формуле
$$
{mathcal D}_{mu}(A_0mu^3+A_1mu^2+A_2mu+A_3)=
$$
$$
=A_1^2A_2^2-4,A_1^3A_3-4,A_0A_2^3+18,A_0A_1A_2A_3-27,A_0^2A_3^2 .
$$
Вещественные корни полинома
$$
{mathcal F}(z)={mathcal D}_{mu}(Phi(mu,z))equiv 2^{-10} left(605,z^4-27932,z^3+306696,z^2-1181744,z+1304864 right)
$$
могут быть только положительными (см.
☞
Правило знаков Декарта ), можно установить (см.
☞
Система полиномов Штурма), что их четыре:
$$ z_1 approx 1.845415, z_2 approx 5.717733 , z_3 approx 6.333919, z_4 approx 32.271528 . $$
Следовательно, расстояние от заданной точки до эллипса равно $ sqrt{z_1} approx 1.358460 $.
♦
Можно выписать и явное представление для уравнения расстояний как функции параметров задачи (коэффициентов уравнения эллипса и координат точки), но я укажу его только для случая когда уравнение эллипса приведено к каноническому виду. Приведенный ниже результат получен из теоремы 1 с помощью вспомогательной подстановки $ mu rightarrow 1/mu $ и свойства
4
дискриминанта, указанного
☞
ЗДЕСЬ.
Т
Теорема 2. Квадрат расстояния до эллипса
$$ frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1 $$
от точки $ (x_{0},y_0) $ , не лежащей на эллипсе,
равен минимальному положительному корню уравнения расстояний
$$
{mathcal F}(z)={mathcal D}_{mu}(Phi(mu,z))=0
$$
при условии, что этот корень не является кратным.
Здесь
$$
Phi(mu,z)=mu^3+A_1mu^2+A_2mu+A_3 =
$$
$$
=mu^3-left{a^2+b^2-x_0^2-y_0^2+z right}mu^2 +
$$
$$
+left{-a^2b^2left(frac{x_0^2}{a^2}+frac{y_0^2}{b^2} -1 right)+z(a^2+b^2) right}mu –
a^2b^2z ,
$$
а
$ {mathcal D}_{} $ означает дискриминант полинома $ Phi(mu,z) $, рассматриваемого относительно переменной $ mu_{} $, в то время как остальные переменные считаются параметрами.
Вычисление дискриминанта полинома третьей степени производится по указанной выше формуле
$$
{mathcal D}_{mu}(mu^3+A_1mu^2+A_2mu+A_3)=
$$
$$
=A_1^2A_2^2-4,A_1^3A_3-4,A_2^3+18,A_1A_2A_3-27,A_3^2 ,
$$
но вот дальнейшее разложение по степеням $ z_{} $ становится довольно громоздким. Полное разложение
☞
ЗДЕСЬ, а мы приведем только выражения для старшего коэффициента и свободного члена1):
$$
mathcal F(z)=
(a^2-b^2)^2 z^4+dots +
$$
$$
+ a^{4}b^{4}G^2(x_0,y_0) left[(x_0^2+y_0^2-a^2-b^2)^2+4,a^2b^2G(x_0,y_0)right] , ;
$$
здесь $ G(x_0,y_0)= x_0^2/a^2+y_0^2/b^2-1 $.
Если в формулировках теорем поменять слова «минимальный положительный корень уравнения расстояний» на «максимальный положительный…», то получим решение задачи о нахождении расстояния от $ (x_{0},y_{0}) $ до самой дальней точки эллипса. В дальнейшем основные результаты будем формулировать исключительно в версии «минимальное расстояние», но примеры приводить в обоих вариантах.
При условии $ ane b $ (эллипс отличен от окружности), степень уравнения расстояний равна $ 4_{} $ и его (по крайней мере, в теории) можно решить в радикалах. Среди вещественных корней этого уравнения будут величины квадратов двух расстояний: от точки $ (x_{0},y_0) $ до ближайшей и до самой дальней точек эллипса.
Для нахождения координат указанных точек используем результат теоремы 2 из пункта
☞
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО КВАДРИКИ. Если $ z_{}=z_{ast} $ — корень уравнения расстояний, то полином $ Phi(mu,z_{ast}) $ имеет кратный корень $ mu=mu_{ast} $. При выполнении условий теорем, кратность этого корня равна $ 2_{} $ и других кратных корней полином $ Phi(mu,z_{ast}) $ не имеет. Величину $ mu_{ast}^{} $ можно выразить в виде рациональной функции от коэффициентов полинома, например, воспользовавшись результатом, приведенным
☞
ЗДЕСЬ:
$$
mu_{ast}=frac{9,A_3-A_1A_2}{2(A_1^2-3,A_2)} ;
$$
здесь значения для $ A_1,A_2,A_3 $ берутся из формулировки теоремы 2 с осуществлением подстановки $ z_{}=z_{ast} $. Координаты точки эллипса, находящейся на расстоянии $ sqrt{z_{ast}} $ от точки $ (x_{0},y_0) $, определяются формулами
$$
x_{ast}=frac{a^2x_0}{a^2-mu_{ast}},quad y_{ast}=frac{b^2y_0}{b^2-mu_{ast}} .
$$
П
Пример. Найти расстояния от точки $ (3,4) $ до ближайшей и самой дальней точек эллипса $ x^{2}/4+y^{2}=1 $.
Решение. Для этого примера имеем:
$$A_1=-z+20, A_2=5,z-69, A_3=-4, z . $$
Вещественные корни полинома
$$ {mathcal F}(z)= 9,z^4-870,z^3+31261,z^2-524740,z+3218436 $$
могут быть только положительными (см.
☞
Правило знаков Декарта ), можно установить (см.
☞
Система полиномов Штурма), что их в точности два:
$$ z_1 approx 13.356826, z_2 approx 42.721212 . $$
Следовательно, расстояние от заданной точки до эллипса равно $ sqrt{z_1} approx 3.654699 $, а расстояние от нее до самой дальней точки эллипса равно $ sqrt{z_2} approx 6.536146 $.
Вычислим теперь координаты ближайшей и самой дальней точек. Для каждого из найденных значений $ z_{j} $ вычисляем величину
$$ mu_{j}=frac{9,A_3-A_1A_2}{2(A_1^2-3,A_2)}=frac{5,(z_j^2-41,z_j+276)}{2,(z_j^2-55,z_j+607)} ; $$
получаем:
$$ mu_1 approx -4.589712,quad mu_2 approx 10.600200 . $$
Подставляем найденные значения в формулы для определения координат:
$$
x_{j}=frac{12}{4-mu_{j}},quad y_{j}=frac{4}{1-mu_{j}} .
$$
Координаты ближайшей к $ (3,4) $ точки на эллипсе —
$$ approx ( 1.397020, 0.715600) , $$
самой дальней —
$$ approx (-1.818127, -0.416658) . $$
♦
Анализ вещественных корней уравнения расстояний
При решении примеров из предыдущего пункта мы столкнулись с двумя различными случаями, которые возможны при решении уравнения расстояний : количество вещественных корней полинома $ 4_{} $-й степени равно либо $ 2_{} $, либо $ 4_{} $ — за исключением практически невероятных случаев существования кратных корней. В настоящем пункте мы займемся поиском границы на плоскости $ (x_0,y_0) $ между двумя различными качественными ситуациями; величины полуосей $ a_{} $ и $ b_{} $ эллипса фиксируем.
Анализ количества вещественных корней полинома $ mathcal F_{}(z) $ проводится анализом знака дискриминанта
$$ Psi(x_0,y_0)= mathcal D_z ( mathcal F(z)) equiv
$$
$$
equiv
256,a^2b^2(a^2-b^2)^2x_0^2y_0^2left[left{(a^2-b^2)^2-a^2x_0^2-b^2y_0^2right}^3-27,(a^2-b^2)^2a^2b^2x_0^2y_0^2right]^3 .
$$
При фиксированных значениях $ a_{} $ и $ b_{} $ дискриминантная кривая $ Psi(x_{0},y_0)= 0 $ задает на плоскости $ (x_{0},y_0) $ границы областей с различными количествами вещественных корней соответствующих уравнений расстояний. Выясним на примере геометрию этой кривой.
П
Пример. Построить кривую $ Psi(x_0,y_0) = 0 $ для эллипса $ x^2/4+y^2=1 $.
Решение. На плоскости $ (x,y_{}) $ кривая $ Psi(x_0,y_{0})= 0 $ распадается на три ветви:
координатные оси и кривую, задаваемую неявно уравнением
$$
(4,x_0^2+y_0^2-9)^3 +972,x_0^2y_0^2=0 , ;
$$
на рисунке она изображена красным цветом.
Эта кривая — астроида; впервые она была исследована Аполлонием в III веке до н.э.
Аполлоний пришел к ней, исходя из иных соображений: задачу ставил о количестве перпендикуляров, которые можно опустить из точки плоскости на коническое сечение. Решение задачи возможно разными способами (в частности, астроида может быть получена как эволюта эллипса); само уравнение астроиды тоже получается в разных видах:
$$ (2,x)^{2/3}+y^{2/3}=3^{2/3} , $$
или
$$
x=3/2 cos^3(t),y=3sin^3(t) quad npu quad tin [0, 2pi] .
$$
Исторический очерк работ Аполлония можно найти в [3], два способа построения астроиды излагаются в [4], еще один — с точки зрения оптимизации — в [5].
Однако какими бы способами не решалась задача, ответ, разумеется, будет един: для точек $ (x_{0},y_0) $, расположенных внутри астроиды, уравнение расстояний $ {mathcal F}(z)_{}=0 $ имеет четыре вещественных корня, для точек, расположенных вне ее — два.
♦
Продолжим анализ приведенного только что примера, имея целью выяснить: почему существенно условие простоты минимального положительного корня $ {mathcal F}(z)_{} $, упомянутое в теоремах 1 и 2 предыдущего пункта?
П
Пример. Построить график изменения квадрата расстояния от точек оси абсцисс до эллипса из предыдущего примера и определить координаты соответствующих ближайших точек эллипса.
Решение. При $ y_{0}=0 $ полином $ {mathcal F}(z)_{} $ раскладывается на линейные множители:
$$
{mathcal F}(z) equiv (z-(x_0-2)^2)(z-(x_0+2)^2)(3,z – (3-x_0^2))^2 .
$$
Изобразим графики корней $ z_{1}=(x_0-2)^2 $ (зеленым цветом) и $ z_{2} = 1- x_0^2/3 $ (синим):
На всем протяжении своей неотрицательности $ x_0in [ 0, sqrt{3}] $ корень $ z_{2} $ будет минимальным из всех корней полинома $ {mathcal F}(z) $. Тем не менее при $ x_{0} > 3/2 $ за квадрат расстояния отвечает корень $ z_{1} $ и график изменения квадрата расстояния оказывается склеенным из двух — с точкой склейки в $ (3/2, 1/4_{}) $.
Чтобы понять, почему это происходит, определим ближайшие точки эллипса к точке $ (x_{0},0) $.
Очевидно, что при $ x_{0} = 0 $ их будет две — $ x=0_{}, y=pm 1 $. При непрерывном возрастании $ x_{0} $ пара ближайших точек на эллипсе начинает двигаться в том же направлении до тех пор, пока… А, кстати, до каких пор? — Посмотрим:
$$ x=4/3 x_0, y= pm sqrt{1-4/9x_0^2} $$
и $ y_{} $ будет вещественным числом только при $ x_{0}le 3/2 $. Что происходит при дальнейшем увеличении $ x_{0} $? — Ближайшей к $ (x_{0},0) $ точкой эллипса становится точка $ (2,0_{}) $ и остается ею навсегда.
♦
Вывод. Может так случиться, что минимальный вещественный корень полинома $ {mathcal F}(z)_{} $ окажется кратным и порожденным парой мнимых точек эллипса. Хотя эта ситуация и может считаться исключительной, но все же ее надо учитывать, и когда-нибудь я приведу здесь условие ее проверки. Пока замечу, что ее можно «отследить» проверкой более жесткого условия — чтобы полином $ {mathcal F}(z)_{} $ вовсе не имел кратных корней, т.е. чтобы его дискриминант $ mathcal D_{z} ({mathcal F}(z)) $ был отличен от нуля.
Эквидистанта эллипса
Рассмотрим эллипс на плоскости, в каждой его точке $ A_{} $ проведем перпендикуляр и возьмем на этом перпендикуляре
точки, находящиеся на некотором фиксированном расстоянии $ h_{} $ от точки $ A_{} $.
Полученные точки формируют две кривые, каждую из которых назовем эквидистантой эллипса
§
Общая теория эквидистант гладких плоских кривых
☞
ЗДЕСЬ.
Т
Теорема 3. Если эллипс задан параметрически уравнениями
$$ x= a,cos t, y= b,sin t npu t in [0, 2, pi] , $$
то уравнения его эквидистант:
begin{align*}
x&=left(apm frac{bh}{sqrt{a^2 sin^2 t+b^2 cos^2 t}} right)cos , t,\
y&=left(bpm frac{ah}{sqrt{a^2 sin^2 t+b^2 cos^2 t}} right)sin , t quad npu t in [0,2pi] .
end{align*}
Знаки должны быть согласоваными.
П
Пример. Эквидистанты эллипса $ x^{2}/4+y^2=1 $, соответствующие значениям $ h_{}=1/2 $ и $ h_{}=3/4 $, изображены на рисунке.
Видим, что при возрастании параметра $ h_{} $ от нуля, при некоторых его значениях происходит нарушение гладкости «внутренней» эквидистанты к эллипсу: на ней возникают «хвосты». Для каждой точки на хвосте существует точка эллипса, находящаяся на расстоянии, равном (определяющему эту эквидистанту значению параметра) $ h_{} $; но при этом найдется и другая точка эллипса на расстоянии меньшем $ h_{} $!
♦
Представление эквидистант эллипса в алгебраической форме возможно с помощью теоремы 2.
Т
Теорема 4. Эквидистанты эллипса
$$ frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1 $$
задаются неявно уравнением $ Psi_h(x,y)=0 $ при
$$
Psi_h(x,y)= {mathcal D}_{mu}Bigg(
mu^3-left{a^2+b^2-x^2-y^2+h^2 right}mu^2 +
$$
$$
+left{-a^2b^2left(frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} -1 right)+h^2(a^2+b^2) right}mu –
h^2a^2b^2 Bigg) .
$$
Здесь $ {mathcal D}_{mu} $ означает дискриминант полинома, рассматриваемого относительно переменной $ mu_{} $, в то время как остальные
переменные считаются параметрами.
П
Пример. Найти представление эквидистант эллипса $ x^{2}/4+y^2=1 $ посредством алгебраического уравнения.
Решение. Имеем
$$ Psi_h(x,y)=
{mathcal D}_{mu}(mu^3-(5-x^2-y^2+h^2)mu^2+(-x^2-4,y^2+4+5,h^2)mu-4,h^2)=
$$
$$
=9,h^8-6(2,x^2+7,y^2+15),h^6+(-2,x^4+73,y^4+62,x^2y^2-90,x^2+270,y^2+297),h^4+
$$
$$
+
(-56,y^6-360,y^2-62,x^4-248,y^4+4,x^6+270,x^2-90,x^2y^4-30,x^4y^2+140,x^2y^2-360),h^2+
$$
$$
+4(x^4+2,x^2y^2+y^4-6,x^2+6,y^2+9)(x^2/4+y^2-1)^2 .
$$
Уравнение эквидистант $ Psi_h(x,y) = 0 $. Можно ли утверждать, что неравенство $ Psi_h(x,y)<0 $ задает $ h_{} $-окрестность эллипса? — Ответ положителен при $ hle 1/2 $, но отрицателен при $ h>1/2 $. На рисунке заштрихована область $ Psi_{7/8}(x,y)<0 $.
Видим, что $ Psi_{7/8}(1,0)>0 $, в то время как расстояние от точки $ (1,0) $ до эллипса равно (см. решение примера
☝
ВЫШЕ) $ sqrt{2/3} approx 0.8164965 < 7/8 = 0.875 $.
♦
§
Другие интересности про эквидистанты эллипса
☞
ЗДЕСЬ.
Расстояние от точки до семейства эллипсов
Расстояние от точки до эллипса в пространстве
!
В настоящем пункте — только расчет примера; объяснение алгоритма выложу очень не скоро…
П
Пример. Найти расстояние от начала координат до эллипса, получающегося пересечением
$$
frac{(x-2)^2}{4}+frac{(y-2)^2}{9}+(z-2)^2=1 quad u quad z=2
$$
Решение. Здесь
$$
A=left(
begin{array}{rrr}
-9/160 & 0 & 0 \
0 & -1/40 & 0 \
0 & 0 & 1
end{array}
right)
, B=left(
begin{array}{rrr}
0 \
0 \
0
end{array}
right),
C=left(
begin{array}{rrr}
0 \
0 \
1
end{array}
right), b=2
$$
$$
M=left[ begin{array}{cc} E & mathbb O \ mathbb O & – z end{array} right]-lambda
left[ begin{array}{cc} A & B \ B^{top} & – 1 end{array} right] – mu
left[ begin{array}{cc} mathbb O & C \ C^{top} & – 2b end{array} right]=
left[ begin{array}{cccc}
1+9/160lambda & 0 & 0 & -9/80lambda \
0 & 1+1/40lambda & 0 & -1/20lambda \
0 & 0 & 1+9/40lambda & -9/20lambda-mu \
-9/80lambda & -1/20lambda & -9/20lambda-mu & -z+lambda+4mu
end{array}
right]
$$
$$
det M =-z+lambda+4mu-frac{49}{160}lambda , z+frac{567}{6400}lambda^2-mu^2+frac{13}{40}lambdamu-frac{63}{3200}lambda^2,z-
$$
$$
-frac{13}{160}lambdamu^2-frac{81}{128000}lambda^3+frac{9}{1600}lambda^2mu-frac{81}{256000}lambda^3,z-frac{9}{6400}lambda^2mu^2-frac{729}{10240000}lambda^4
$$
По отбрасывании постороннего множителя, уравнение расстояний
$$
{mathcal F}(z) =(5,z-21)(5,z^3-309,z^2+5928,z-41872)=0 .
$$
Его вещественные корни:
$$
z_1=frac{21}5=4.2,
$$
$$
z_2=frac{27}{5} sqrt[3]{9}+frac{9}{5} sqrt[3]{3} + frac{83}5 approx 30.42850187
$$
Корню $ z =z_1 $ соответствуют значения параметров: $ lambda_1 = 40/9 , mu_1= 2 $. Координаты точки на эллипсе, ближайшей к началу координат:
$$ X_{ast} = left[ frac{2}{5}, frac{1}{5} , 2 right]^{top} .$$
Расстояние от точки до эллипсоида
Т
Теорема 5. Квадрат расстояния до эллипсоида
$$ a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2 +2,a_{13}xz+2,a_{12}xy+2,a_{23}yz+ 2, b_1 x + 2, b_2 y +2, b_3 z -1 =0 $$
от точки $ (x_{0},y_0,z_0) $ , не лежащей на эллипсоиде,
равен минимальному положительному корню уравнения расстояний
$$
{mathcal F}(u)={mathcal D}_{mu}(Phi(mu,u))=0
$$
при условии, что этот корень не является кратным.
Здесь
$$
Phi(mu,u)=
left| begin{array}{cccc}
a_{11}-mu & a_{12} & a_{13} & b_1+mu x_0 \
a_{12} & a_{22}-mu & a_{23} & b_{2}+mu y_0 \
a_{13} & a_{23} & a_{33}-mu & b_3+mu z_0 \
b_1+mu x_0 & b_2+mu y_0 & b_3+mu z_0 & -1 + mu (u-x_0^2-y_0^2-z_0^2)
end{array}
right| ,
$$
а
$ {mathcal D}_{} $ означает дискриминант полинома $ Phi(mu,u) $, рассматриваемого относительно переменной $ mu_{} $, в то время как остальные переменные считаются параметрами.
П
Пример. Найти расстояние от точки $ (6,7,8) $ до эллипсоида
$$ 7,x_1^2+6,x_2^2+5,x_3^2-4,x_1x_2-4,x_2x_3-3,x_1-4,x_2+5,x_3-18=0 .$$
Решение. Здесь
$$A = left(
{begin{array}{rrr}
frac{7}{18} & -frac{1}{9} & 0 \
&& \
-frac{1}{9} & frac{1}{3} & -frac{1}{9} \
&& \
0 & -frac{1}{9} & frac{5}{18}
end{array}}
right),quad
B = left(
begin{array}{r}
-frac{1}{12} \
\
-frac{1}{9} \
\
frac{5}{36}
end{array}
right) ,
$$
и
$$
Phi(mu,u)=
left| begin{array}{cccc}
7/18-mu & -1/9 & 0 & -1/12+6,mu \
-1/9 & 1/3-mu & -1/9 & -1/9+7,mu \
0 & -1/9 & 5/18-mu & 5/36+8,mu \
-1/12+6,mu & -1/9+7,mu & 5/36+8,mu & -1 + mu (u-149)
end{array}
right|=
$$
$$
=mu^4u-(u-25)mu^3-left(-frac{11}{36},u+frac{12883}{648}right)mu^2-left(frac{1}{36}u-frac{10949}{2916}right)mu+frac{1621}{52488} .
$$
Дискриминант полинома четвертой степени можно вычислить по формуле
$$
{mathcal D}_{mu}(A_0mu^4+A_1mu^3+A_2mu^2+A_3mu+A_4)=4,I_2^3-27,I_3^2 .
$$
Здесь
$$ I_2=4,A_0A_4-A_1A_3 +frac{1}{3}A_2^2 , $$
$$ I_3=-A_0A_3^2-A_1^2A_4+frac{8}{3}A_0A_2A_4+ frac{1}{3}A_1A_2A_3-frac{2}{27}A_2^3 . $$
В применении к нашему случаю получаем
$$
{mathcal F}(u) = {mathcal D}_{mu}(Phi(mu,u)) = 2^{-11}3^{-24} Big( 38263752,u^6+2599127028,u^5-1635554407320,u^4-
$$
$$
-208679286534113,u^3+3201333858779186,u^2+1534445084940739328,u+70891021564332120000 Big) .
$$
Этот полином имеет ровно два вещественных корня:
$$
u_1 approx 91.969401, u_2 approx 216.077674 .
$$
Расстояние от заданной точки до эллипсоида равно $ sqrt{u_1} approx 9.590068 $, а расстояние до самой дальней точки эллипсоида равно $ sqrt{u_2} approx 14.699581 $.
♦
Можно выписать и явное представление для уравнения расстояний как функции параметров задачи (коэффициентов уравнения эллипсоида и координат точки), но я укажу его только для случая когда уравнение эллипсоида приведено к каноническому виду. Приведенный ниже результат получен из теоремы $ 5 $ посредством вспомогательной подстановки $ mu rightarrow 1/mu $ и свойства
4
дискриминанта, указанного
☞
ЗДЕСЬ.
Т
Теорема 6. Квадрат расстояния до эллипсоида
$$ G(x,y,z)=frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}+frac{z^2}{c^2}-1=0 $$
от точки $ (x_{0},y_0,z_0) $ , не лежащей на эллипсоиде,
равен минимальному положительному корню уравнения расстояний
$$
{mathcal F}(u)={mathcal D}_{mu}(Phi(mu,u))=0
$$
при условии, что этот корень не является кратным.
Здесь
$$
Phi(mu,u)=mu^4+A_1mu^3+A_2mu^2+A_3mu +A_4
$$
при
$$
begin{array}{lcl}
A_1&=&x_0^2+y_0^2+z_0^2-u-a^2-b^2-c^2, \
A_2&=& a^2b^2c^2bigg{left( displaystyle frac{1}{b^2c^2}+frac{1}{a^2c^2}+frac{1}{a^2b^2}right)u +left( displaystyle frac{x_0^2}{a^4}+frac{y_0^2}{b^4}+frac{z_0^2}{c^4} right) -\
&& -left(displaystyle frac{1}{a^2}+frac{1}{b^2}+frac{1}{c^2}right)G(x_0,y_0,z_0)
bigg} , \
A_3&=&a^2b^2c^2bigg{G(x_0,y_0,z_0) -left( displaystyle frac{1}{a^2}+frac{1}{b^2}+frac{1}{c^2}right)ubigg} \
A_4&=& a^2b^2c^2 u ,
end{array}
$$
а
$ {mathcal D}_{} $ означает дискриминант полинома $ Phi(mu,u) $, рассматриваемого относительно переменной $ mu_{} $, в то время как остальные переменные считаются параметрами.
Вычисление дискриминанта полинома четвертой степени производится по указанной выше формуле
$$
{mathcal D}_{mu}(mu^4+A_1mu^3+A_2mu^2+A_3mu+A_4)=4,I_2^3-27,I_3^2 ;
$$
здесь
$$ I_2=4,A_4-A_1A_3 +frac{1}{3}A_2^2 , $$
$$ I_3=-A_3^2-A_1^2A_4+frac{8}{3}A_2A_4+ frac{1}{3}A_1A_2A_3-frac{2}{27}A_2^3 . $$
Но вот дальнейшее разложение по степеням $ u_{} $ становится довольно громоздким, см.
☞
ЗДЕСЬ. Сейчас ограничусь только представлениями старшего коэффициента и свободного члена2):
$$
mathcal F(u)equiv (a^2-b^2)^2(a^2-c^2)^2(b^2-c^2)^2 u^6+dots+
$$
$$
+a^4b^4c^4G^2(x_0,y_0,z_0) mathcal{D}_{mu}(mu^3+A_1mu^2+A_2mu+A_3) , ,
$$
здесь значения для $ A_1,A_2,A_3 $ берутся из формулировки теоремы $ 6 $ с осуществлением подстановки $ u=0 $.
При условии $ ane b ne c ne a $ (эллипсоид не является эллипсоидом вращения), степень уравнения расстояний равна $ 6_{} $ и его, как правило, нельзя решить в радикалах. Среди вещественных корней этого уравнения будут величины квадратов двух расстояний: от точки $ (x_{0},y_0,z_0) $ до ближайшей и до самой дальней точек эллипсоида.
Для нахождения координат указанных точек используем результат теоремы 2 из пункта
☞
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО КВАДРИКИ. Если $ u_{}=u_{ast} $ — корень уравнения расстояний, то полином $ Phi(mu,u_{ast}) $ имеет кратный корень $ mu=mu_{ast} $. При выполнении условий теорем, кратность этого корня равна $ 2_{} $ и других кратных корней полином $ Phi(mu,u_{ast}) $ не имеет. Величину $ mu_{ast}^{} $ можно выразить в виде рациональной функции от коэффициентов полинома, например, воспользовавшись результатом, приведенным
☞
ЗДЕСЬ:
$$
mu_{ast}=frac{2,A_1I_2^2+(3,A_1A_2-18,A_3)I_3}{(24,A_2-9,A_1^2)I_3-8,I_2^2}
$$
здесь значения для $ A_1,A_2,A_3,A_4 $ берутся из формулировки теоремы ?? с осуществлением подстановки $ u=u_{ast} $.
Координаты точки эллипсоида, находящейся на расстоянии $ sqrt{u_{ast}} $ от точки $ (x_{0},y_0,z_0) $ вычисляются по формулам
$$
x_{ast}=frac{a^2x_0}{a^2-mu_{ast}}, y_{ast}=frac{b^2y_0}{b^2-mu_{ast}}, z_{ast}=frac{c^2z_0}{c^2-mu_{ast}} .
$$
П
Пример. На эллипсоиде $ x^2/4+y^2/16+z^2/49=1 $ найти ближайшую и самую дальнюю точки к точке $ (6,-2,5) $.
Решение. Для этого примера имеем:
$$A_1=-u-4, A_2=69,u-2008, A_3=-1044,u+27472, A_4= 3136,u . $$
Уравнение расстояний:
$$
2^4(19847025,u^6-8393808060,u^5+1317736785456,u^4 -103262746605120,u^3+4327358033988864,u^2-
$$
$$
-91883501048862720,u+757148717189025792)=0
$$
имеет (в точности) два положительных корня:
$$ u_1 approx 21.636337, u_2 approx 186.729608 . $$
Следовательно, расстояние от заданной точки до эллипсоида равно $ sqrt{u_1}approx 4.651488 $, а расстояние от нее же до самой дальней точки эллипсоида равно $ sqrt{u_2} approx 13.664904 $. Соответствующие значения кратного корня полинома $ Phi(mu, u_j) $ вычисляются по приведенной выше формуле:
$$
mu_{j}=
frac{2(94581,u_j^5-26525988,u_j^4+2036643696,u_j^3-41839985024,u_j^2
-742245672192,u_j +16044295020544)}{46683,u_j^5-16504668,u_j^4+1934686224,u_j^3-101284594048,u_j^2+2376476312064, u_j-19462452484096}
$$
т.е.
$$ mu_1 approx -11.70096, mu_2 approx 84.64247 . $$
Координаты точки на эллипсоиде, ближайшей к $ (6,-2,5) $:
$$ X_1 approx (1.52857,-1.15519,4.03618), $$
а самой дальней от нее:
$$ X_2 approx (-0.29761,0.46618,-6.87382) . $$
♦
В геодезии имеется понятие геодезической или эллипсоидальной высоты точки как расстояния от точки (космического) пространства до эллипсоида, представляющего собой приближение поверхности Земли. Подробнее
☞
ЗДЕСЬ.
Приближенные формулы для расстояния
Представленное в предыдущих пунктах решение задачи нахождения расстояния от точки до эллипса или эллипсоида является аналитическим и универсальным, т.е. дает полное решение задачи в виде зависимости расстояния от параметров кривой (поверхности) и координат точки. К сожалению, эта зависимость неявная: для того, чтобы получить расстояние требуется решить подходящее алгебраическое уравнение — уравнение расстояний. Можно ли найти приближение для корня этого уравнения в виде явной функции?
Поясним постановку задачи. В теореме $ 2 $
☞
ПУНКТА уравнение расстояний для эллипса, заданного в каноническом виде $ G(x,y)=x^2/a^2+y^2/b^2-1=0 $,
выписывается в форме
$$
B_0z^4 + B_1z^3+B_2z^2+B_3z+B_4=0
$$
при
$$
B_0=(a^2-b^2)^2,dots, B_4=
a^{4}b^{4}G^2(x_0,y_0) left[(x_0^2+y_0^2-a^2-b^2)^2+4,a^2b^2G(x_0,y_0)right]
$$
и выражениях для $ B_1,B_2,B_3 $, приведенных
☞
ЗДЕСЬ.
В предположении о близости точки $ (x_0,y_0) $ к рассматриваемому эллипсу, можно считать, что искомый корень $ z_{ast} $ уравнения близок к $ 0_{} $ и поэтому может приближен корнем линеаризации этого уравнения:
$$ B_3z+B_4=0 quad Rightarrow quad z_{ast} approx -B_4/B_3 , . $$
Предлагается вычислять приближение расстояния по формуле
$$ d approx sqrt{-B_4/B_3} , . $$
Исследуем применимость этой формулы на конкретном примере.
П
Пример.
Расстояние от точки с координатами $ x_0=a+1/2, y_0=0 $ до эллипса $ x^2/a^2+y^2/25=1 $ равно $ 1/2 $ при любом $ ane 0 $. Вычислим приближения этого расстояния по предложенной формуле:
$$
dapproxfrac{5}{4}sqrt{-frac{(8,a+202)(4,a+1)^2}{16,a^4-792,a^3-20999,a^2-10400,a-2550}} .
$$
Имеем:
$$
begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
a & 5 & 10 & 30 & 60 & 67 & 68 & 69 \
hline
sqrt{-B_4/B_3} approx & 0.499 & 0.511 & 0.605 & 1.245 & 2.786 & 4.282 & n/a
end{array}
$$
При $ a=69 $ подкоренное выражение отрицательно. Для этого случая формула начнет адекватно работать если взять точку ближе к эллипсу, например, для точки с координатами $ x_0=69.1, y_0=0 $ приближение расстояния $ approx 0.105 $.
♦
Нас будут интересовать альтернативы приведенной в примере формулы, представляющие приближения минимального корня уравнения расстояний в виде явных функций параметров задачи. Желательно, чтобы эти формулы были универсальными в смысле применимости к общему виду уравнения эллипса (эллипсоида), а не только к представлению этого уравнения в каноническом виде. И, разумеется, нас интересуют границы применимости этих формул, т.е. оценки для ошибок приближения.
Будем решать эту задачу в следующем виде: представим искомое расстояние в виде ряда по параметру, который заведомо будет малым в окрестности рассматриваемого эллипса (эллипсоида). Таким параметром можно взять величину $ G_0= G(x_0,y_0) $ (соответственно $ G_0=G(x_0,y_0,z_0) $). Итак,
$$
d^2=ell_1 G_0+ell_2 G_0^2+dots
$$
Величину $ G_0 $ или $ |G_0 | $ иногда называют алгебраическим расстоянием точки от эллипса (эллипсоида), в отличие от истинного расстояния $ d $, которое в этом случае называют геометрическим расстоянием.
Т
Теорема 7. Для эллипсоида
$$
G(x,y,z)=frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}+frac{z^2}{c^2}-1 = 0
$$
первые два приближения расстояния до него от точки $ (x_0,y_0,z_0) $ задаются формулами
$$
d_{(1)}=frac{1}{2} frac{|G_0|}{sqrt{S_{4,0}}},
$$
$$
d_{(2)}=d_{(1)}sqrt{1+frac{1}{2} frac{S_{6,0}}{S_{4,0}^2}G_0}
$$
при условии, что радиканд в последней формуле неотрицателен. Здесь
$$ G_0=G(x_0,y_0,z_0), S_{4,0} = frac{x_0^2}{a^4}+frac{y_0^2}{b^4}+frac{z_0^2}{c^4} ; S_{6,0}=frac{x_0^2}{a^6}+frac{y_0^2}{b^6}+frac{z_0^2}{c^6} , . $$
Обобщение этого результата на случай квадрики в $ mathbb R^n $, не обязательно представленной в каноническом виде:
Т
Теорема 8. Для квадрики
$$
G(X)=X^{top}AX+2,B^{top}X-1=0 , (A=A^{top})
$$
первое приближение расстояния до нее от точки $ X_0 ne -A^{-1}B $ задается формулой
$$
d_{(1)} = frac{1}{2}cdot frac{|G(X_0)|}{sqrt{(AX_0+B)^{top}({bf A}X_0+B)}} , ,
$$
а второе — формулой
$$
d_{(2)} = d_{(1)}
sqrt{1+frac{1}{2}cdot frac{({bf A}X_0+B)^{top}A(AX_0+B)}{[(AX_0+B)^{top}(AX_0+B)]^2}G(X_0)} , .
$$
Геометрическая интерпретация приближения $ d_{(1)} $ следующая. Эта величина совпадает с расстоянием от точки
$ X_0 $ до гиперплоскости, получаемой линеаризацией $ G(X) $ в этой точке3):
$$ G(X_0)+ operatorname{grad} , (G)bigg|_{X=X_0} (X-X_0) = 0 . $$
Здесь вектор-строка $ operatorname{grad} , (G)bigg|_{X=X_0} $
является градиентом функции $ G(X) $, вычисленным в точке $ X_0 $. Формула была предложена в
[6] в качестве приближения расстояния от точки $ X_0 $ до произвольного алгебраического многообразия $ G(X)=0 $ в $ mathbb R^n $.
П
Пример. Найти приближения расстояний от точки $ (6,7,8) $ до эллипсоида
$$ 7,x_1^2+6,x_2^2+5,x_3^2-4,x_1x_2-4,x_2x_3-3,x_1-4,x_2+5,x_3-18=0 .$$
Решение. Величина расстояния вычислена посредством уравнения расстояний в
☝
ПУНКТЕ; $ B_5 $ и $ B_6 $ — коэффициенты этого уравнения при $ z^1 $ и $ z^0 $. Заодно и еще для нескольких точек просчитаем:
$$
begin{array}{c|c|c|c|c|c}
X_0 & sqrt{-B_6/B_5} & d_{(1)} & d_{(2)} & d \
hline
(6,7,8) & n/a & 5.525 & 8.779 & 9.590 \
hline
(-4,4,3) & 3.390 & 2.877 & 3.526 & 4.732 \
hline
(-2,-2,4) & 3.187 & 2.409 & 2.907 & 3.647 \
hline
(1,-2,1) & 1.050 & 0.941 & 1.093 & 1.213 \
hline
(1,1,-1) & 0.656 & 0.861 & 0.420 & 0.664
end{array}
$$
♦
Эксперименты показывают, что приближение $ d_{(2)} $ лучше работает для точек, лежащих снаружи эллипсоида, нежели внутри него (в приведенной выше таблице $ (1,1,-1) $ как раз лежит внутри).
Интересно понаблюдать поведение кривых $ d_{(1)}(x_0,y_0)=d $ и $ d_{(2)}(x_0,y_0)=d $ в окрестности эллипса.
П
Пример. Эллипс $ x^2/18^2+y^2/5^2=1 $ (красный). Кривые $ d_{(1)}=1,2,3 $ представлены на рисунке:
Наихудшие (в смысле ошибки приближения) точки кривой $ d_{(1)}=3 $ обозначены желтым. Так, для той, что лежит снаружи эллипса, величина расстояния $ approx 4.717 $.
Для приближения $ d_{(2)} $, точки ветвей кривых $ d_{(2)}=1,2,3 $, лежащих снаружи эллипса, представлены на рисунке:
Истинное расстояние от наихудших точек кривой $ d_{(2)}=3 $ (обозначены голубым) равны $ approx 2.932 $ и $ approx 3.549 $. Все ветви кривой $ d_{(2)}=1 $ изображены на нижнем рисунке. Внутри эллипса имеются две ветви этой кривой
Расположенная внутри эллипса ветвь кривой $ d_{(2)}=2 $ не содержит внутри начала координат:
Источники
[1]. Uteshev A.Yu., Yashina M.V. Metric Problems for Quadrics in Multidimensional Space. J.Symbolic Computation, 2015, Vol. 68, Part I, P. 287-315.
Текст
☞
ЗДЕСЬ (pdf)
[2]. Uteshev A.Yu., Goncharova M.V. Point-to-ellipse and point-to-ellipsoid distance equation analysis. J.Comput. Applied Math., 2018, Vol. 328, P. 232-251. Текст
☞
ЗДЕСЬ (pdf)
[3]. Розенфельд Б.А. Аполлоний Пергский. Изд-во МЦНМО. М. 2004.
[4]. Брiо и Буке. Аналитическая геометрiя. М.-СПб. Изданie книгопродавца-типографа М.О.Вольфа. 1868
[5]. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи. М. Эдиториал УРСС. 2000
[6]. Sampson P.D. Fitting conic sections to very scattered data: an iterative refinement of the Bookstein algorithm. Comput. Gr. Image Process., 1982, Vol. 18, P.97-108
$begingroup$
Assuming I have an ellipse with known center position (ex,ey) and size (ew,eh), how can I calculate the distance from x,y to the edge of the ellipse (in straight line from center)?
i.e. red line in the following image.
Note that the point can also be inside the ellipse (blue line).
If it was a perfect circle the answer would be easy…
$d := |sqrt{(x – ex)^2 + (y – ey)^2} – text{radius}|$
asked May 12, 2020 at 0:34
$endgroup$
3
$begingroup$
As a preliminary, the equation for an ellipse is $x^2/a^2+y^2/b^2=1$, where the length of the major (long) axis is $2a$.
If we are given the center of the ellipse and a point
$P(x,y)$ outside of the ellipse, then we can calculate the distance to the edge as in your diagram by calculating the distance $d$ between point $P$ and the center of the ellipse, then subtracting the distance between the intersection and the center of the ellipse.
By the Pythagorean Theorem, $d=sqrt{(x-c_x)^2+(y-c_y)^2}$, where $c_x$ and $c_y$ are the $x$ and $y$ coordinates of the center of the ellipse respectively. The slope $m$ of this segment is $frac{y-c_y}{x-c_x}$, so now we have the equation of a line: $y=mx+b$, where we can find $b$ by substituting our point $P$ or the center of the ellipse $(c_x, c_y)$. We can now substitute this equation into our ellipse equation to find the point on the ellipse that the line intersects, and then use the Pythagorean Theorem again to find this distance, which we’ll call $d_1$. Now, the solution is $d-d_1$.
answered May 12, 2020 at 1:04
mpnmmpnm
1,0876 silver badges16 bronze badges
$endgroup$
1
$begingroup$
Well there is a formula but it is going to be long and messy.
Take the ellipse $frac{(x-a)^2}{A^2}+frac{(y-b)^2}{B^2}=1$
The centre is $(a,b)$, with semiminor $A$ and semimajor $B$.
Take the point $(p,q)$. It doesn’t matter if it’s inside, outside or on the ellipse.
Step 1: Derive the line through $(a,b)$ and $(p,q)$ in the form $y=gx+h$
Step 2: Find the point of contact between the line and the ellipse.
Sub this expression for $y$ into your expression for the ellipse.
The only unknown is $x$ so you can solve for $x$.
Sub your value for $x$ into the line expression to find $y$.
Now you have the point of intersection.
Step 3: Find the distance from $(p,q)$ to your new point using the distance formula.
answered May 12, 2020 at 1:35
KanturaKantura
2,6812 gold badges21 silver badges33 bronze badges
$endgroup$
$begingroup$
Let us consider a point in the plane, $P = (a,b)$, a center of an ellipse, $C=(x_0,y_0)$, and the point on the edge of the ellipse that the line $PC$ intersects, $E=(x,y)$. The general equation of an ellipse centered at $(x_0,y_0)$ is given by
$$ frac{(x-x_0)^2}{r_x^2}+frac{(y-y_0)^2}{r_y^2}=1 $$
where $r_x$ is the $x$-radius and $r_y$ is the $y$-radius. The above can also be parameterised by
$$ x=x_0+r_xcos(theta),quad y=y_0+r_ysin(theta),$$
where $theta$ can be interpreted as the angle between the $x$-radius $r_x$ and the line connecting the center to the edge $CE$.
By Pythagoras, given any point $P$, the distance to the center of the ellipse $C$ is $d_{PC}=sqrt{(a-x_0)^2+(b-y_0)^2}$. It is fairly straight forward that the distance from $P$ to $E$ is $d_{PE} = |d_{PC} – d_{EC}|$.
To find $d_{EC}$, we require to find the angle $theta$. You must consider the correct quadrant w.r.t the ellipse center. If it is in the first quadrant (top right), then $theta=arctanleft(frac{b-y_0}{a-x_0}right)$ (soh-cah-toa will get you here). Otherwise you have to do a little bit of manipulating, or you could use $textrm{atan}2(b-y_0, a-x_0)$ (https://en.wikipedia.org/wiki/Atan2). Again, by Pythagoras, we then find that
$$ d_{EC}^2 = (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r_x^2cos^2(theta) + r_y^2sin^2(theta).$$
And from above we can find $d_{PE}$ as desired. So the final distance is given by,
$$d_{PE} = left|sqrt{(a-x_0)^2+(b-y_0)^2} – sqrt{r_x^2cos^2(theta) + r_y^2sin^2(theta)}right|. $$ This is the same as the formula you wrote for a circle, but now the radius (the second term in above) is dependent on angle. Note also that if $r_x=r_y$ the above simplifies to the formula for a circle. I hope this helps.
answered May 12, 2020 at 1:32
$endgroup$
2
$begingroup$
Distance to pt with respect to center:
$$ d= sqrt {(y-ey)^2+(x-ex)^2} $$
Ellipse in Polar Coordinates answer
Polar coordinates should be employed for pt with respect to center:
$$theta= tan^{-1}dfrac{y-ey}{x-ex},quad 2 r_{polar}= frac{ewcdot eh}{sqrt{(eh cos theta)^2 + (ew sin theta)^2}}tag {1*} $$
and the required distance (depending on whether pt is outside or inside of ellipse) is directly:
$$ pm(d-r_{polar}). $$
answered May 12, 2020 at 3:41
NarasimhamNarasimham
39k7 gold badges36 silver badges98 bronze badges
$endgroup$
$begingroup$
TLDR: In the situation pictured below
$d_{diff} = sqrt{ (p_x-c_x)^2 + (p_y-c_y)^2 } – sqrt{frac{r_x^2 times r_y^2 times ((p_x-c_x)^2 + (p_y-c_y)^2)}{(p_x-c_x)^2 times r_y^2 + (p_y-c_y)^2 times r_x^2}}$
or, in the case that the ellipse is centered at the origin ($c_x = 0$ and $c_y = 0$)
$d_{diff} = sqrt{ p_x^2 + p_y^2 } – sqrt{frac{r_x^2 times r_y^2 times (p_x^2 + p_y^2)}{p_x^2 times r_y^2 + p_y^2 times r_x^2}}$
Be warned that this is not the shortest distance from the point to the edge of the ellipse. Still, the value being calculated here is important in certain situations.
—THE REMAINDER IS THE BORING DERIVATION STUFF—
equation 1: $frac{p_x-c_x}{p_y-c_y} = frac{e_x-c_x}{e_y-c_y}$ (The points lie on the same line)
equation 2: $frac{(e_x-c_x)^2}{r_x^2} + frac{(e_y-c_y)^2}{r_y^2} = 1$ (equation of an elipse)
equation 3: $d_{point} = sqrt{(p_x-c_x)^2 + (p_y-c_y)^2}$ (distance between two points)
equation 4: $d_{ellipse} = sqrt{(e_x-c_x)^2 + (e_y-c_y)^2}$ (distance between two points)
equation 5: $d_{diff} = d_{point} – d_{ellipse}$
- Solving for $e_y-c_y$ with equation 1: $e_y-c_y = frac{(p_y-c_y) times (e_x-c_x)}{p_x-c_x}$
- Solving for $e_x-c_x$ by substituting line 1 into equation 2: $e_x-c_x = (p_x-c_x) times r_x times r_y times sqrt{frac{1}{(p_x-c_x)^2 times r_y^2 + (p_y-c_y)^2 times r_x^2}}$
- Solving for $e_y-c_y$ by substituting line 2 into equation 1: $e_y-c_y = (p_y-c_y) times r_x times r_y times sqrt{frac{1}{(p_x-c_x)^2 times r_y^2 + (p_y-c_y)^2 times r_x^2}}$
- Solving for $d_{ellipse}$ by substituting lines 2 and 3 into equation 4: $d_{ellipse} = sqrt{frac{r_x^2 times r_y^2 times ((p_x-c_x)^2 + (p_y-c_y)^2)}{(p_x-c_x)^2 times r_y^2 + (p_y-c_y)^2 times r_x^2}}$
- Solving for $d_{diff}$ by substituting line 4 into equation 5: $d_{diff} = sqrt{(p_x-c_x)^2 + (p_y-c_y)^2} – sqrt{frac{r_x^2 times r_y^2 times ((p_x-c_x)^2 + (p_y-c_y)^2)}{(p_x-c_x)^2 times r_y^2 + (p_y-c_y)^2 times r_x^2}}$
—NOTES—
I tried generating some values and solutions for this problem in some CAD software, checked them against substituting $cos(theta) = frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}$ and $sin(theta) = frac{y}{sqrt{x^2+y^2}}$ into user765629’s equation and it did not produce the correct answer. I did the same for the equation I produced and it produced the correct answer.
answered Feb 10 at 7:41
$endgroup$
You must log in to answer this question.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Что мы знаем со школы про эллипс? К сожалению, исходя из своей практики работы с учениками, многие вплоть до 11 класса не сталкиваются с такой замечательной плоской фигурой, впрочем как и с её частным случаем – окружностью. Некоторые знают только примерный вид уравнения…
Кстати, какое оно? Каноническим уравнением эллипса считается следующее уравнение:
Почему оно именно такое? Что ж, это можно вывести из определения. Поэтому давайте его напишем.
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.
Давайте сделаем рисунок и попробуем вывести каноническое уравнение из определения эллипса.
Обозначим фокусы через F₁ и F₂, расстояние между ними через 2c, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса M(x; y) до фокусов – через 2a. По определению 2а > 2c, т.е. а > c.
Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат OXY так, чтобы фокусы F₁ и F₂ лежали а оси OX, а начало координат совпадало с серединой отрезка F₁F₂. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: F₁(-c; 0) и F₂(+c; 0).
Тогда, согласно определению эллипса, MF₁ + MF₂ = 2a, то есть:
Мы вывели каноническое уравнение эллипса и доказали, что оно эквивалентно начальному уравнению из определения.
Эллипс – кривая второго порядка.
Исследование формы эллипса по его уравнению
Установим форму эллипса, используя его каноническое уравнение.
1. Каноническое уравнение содержит x и y только в четных степенях, поэтому если точка (x; y) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (x; -y), (-x; y), (-x; -y). Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей координат Ox и Oy, а также точки O(0; 0), которая является центром эллипса.
2. Точки пересечения эллипса с осями координат. Положив y = 0, находим две точки A₁(a; 0) и A₂(-a;0), в которых ось Ox пересекает эллипс. Положив в уравнении x = 0, находим точки пересечения эллипса с осью Oy: B₁(0; b) и B₂(0; -b). Все эти 4 точки называются вершинами эллипса.
Отрезки A₁A₂ и B₁B₂, а также их длины 2a и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
3. Также из канонического уравнения следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства
Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x = ±a и y = ±b.
4. В каноническом уравнении сумма неотрицательных слагаемых (x/a)² и (y/b)² равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т.е. если |x| возрастает, то |y| уменьшается и наоборот.
Дополнительные сведения об эллипсе
Форма эллипса зависит от отношения b/a. При a = b = R эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса принимает вид x² + y² = R². Однако, в качестве характеристики формы эллипса чаще используется отношение c/a.
Отношение c/a половины расстояния между фокусами к большей полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой «эпсилон» ε:
Из последней строки видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным, то есть больше походить на окружность, быть ближе к ней по форме. Если положить ε = 0, то эллипс превращается в окружность.
Пусть M(x; y) – произвольная точка эллипса с фокусами F₁ и F₂. Длины отрезков F₁M = r₁ и F₂M = r₂ называются фокальными радиусами точки M.
Очевидно, что r₁ + r₂ = 2a.
Тогда имеют место быть формулы: r₁ = a + εx и r₂ = a + εx
Выведем эти формулы
Прямые x = ±a/ε называются директрисами эллипса. Значение директрисы эллипса выявляется следующим утверждением.
Теорема
Если r – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса: r/d = ε.
Из равенства a² – c² = b² следует, что a > b. Если же a < b, то каноническое уравнение (x/a)² + (y/b)² = 1 определяет эллипс, большая ось которого 2b лежит на оси OY, а малая ось 2a – лежит на оси Ox. Фокусы такого эллипса находятся в точках F₁(0; +c) и F₂(0; -c), где c = √(b² – a²).
Площадь фигуры, ограниченной эллипсом
Допустим, что перед нами стоит следующая задача:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом.
Решение:
Зададим эллипс параметрическими уравнениями:
x = a⋅cos(t) и y = b ⋅ sin(t). Кстати, выразив косинус и синус из каждого, а потом возведя в квадрат оба уравнения, сложив их, можно прийти к каноническому уравнению эллипса.
В силу симметричности эллипса относительно начала координат, нам достаточно найти площадь 1/4 части эллипса, а затем умножить результат на 4. Сделаем подходящий рисунок.
Здесь x изменяется от 0 до a, следовательно параметр t изменяется от π/2 до 0. Площадь четверти эллипса будем искать с помощью интегрирования функции, задающей эллипс в первой четверти координат.
Длина дуги эллипса (периметр эллипса)
Ознакомиться с эллиптическими интегралами
Стоит заметить, что для окружности всё получается гораздо проще, и мы легко выводим формулу, знакомую нам со школы C = 2πR.
Приближённые формулы для периметра
Точные формулы для периметра
Джеймс Айвори и Фридрих Бессель независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:
Площадь сегмента эллипса
Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и вертикальной хордой , проходящей через точки (x; y) и (x; -y) можно определить по формуле:
Если эллипс задан уравнением Ax² + Bxy + Cy² = 1, то площадь можно определить по формуле
Физический смысл фокусов
1. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
2. Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
3. Если F₁ и F₂ — фокусы эллипса, то для любой точки M, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой F₁M равен углу между касательно и прямой F₂M.
4. Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
5. Эволютой эллипса является астроида , вытянутая вдоль вертикальной оси. Эволюта плоской кривой — геометрическое место точек , являющихся центрами кривизны кривой. По отношению к своей эволюте любая кривая является эвольвентой .
6. Среди всех выпуклых замкнутых кривых, ограничивающих данную площадь, эллипсы и только они имеет максимальную аффинную длину .
Аффинная длина — параметр плоской кривой , который сохраняется при эквиаффинных преобразованиях (то есть аффинных преобразованиях , сохраняющих площадь ).
7. Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стенке с горизонтальным полом, и один конец лестницы будет скользить по стенке (всё время касаясь её) а второй конец лестницы будет скользить по полу (всё время касаясь его), тогда любая фиксированная точка лестницы (не на её концах), будет двигаться по дуге некоторого эллипса. Это свойство остаётся верным, если мы возьмём точку не внутри лестницы-отрезка, а на её мыслимом продолжении. Последнее свойство используется в описанном выше эллипсографе.
Построение эллипса с помощью иголок, нитки и карандаша.
Эллипсы в астрономии. Все планеты и другие небесные тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов – Солнце. Этот закон был открыт ещё Кеплером. Ближайшую точку к Солнцу Земля проходит 4 января, таким образом, для северного полушария зима чуть теплее, чем для южного. К тому же, из-за такой формы орбиты, зима для северного полушария чуть короче, то есть период между осенним и весенним равноденствием не ровно 1/2 года, а меньше. Действительно, на южном полюсе температуры бывают ниже, чем на северном полюсе.
Физическое свойство фокусировки. Лучи, испущенные из одного фокуса, после отражения соберутся во втором фокусе. Название «фокус» как раз и связано со словом «фокусировка» лучей. Если на орбите Земли расположить зеркала, так чтобы они были повёрнуты ровно по касательной к орбите, то все лучи соберутся во 2 фокусе, то есть из той точки будет видно, что вся орбита светится.
Последнее свойство используется в физике для построение оптических резонаторов в лазерной технике. Лампа накачки размещается вдоль одной из фокальных осей зеркально отражающего эллиптического цилиндра, а лазерный стержень располагается вдоль другой фокальной оси. На второй фокальной оси помещают активную среду. А свойства эллиптической поверхности помогают быть уверенными в том, что вся энергия лампы накачки соберется в области активной среды.
Почитать подробнее здесь
Поместим в одном из фокусов зеркального эллипса лампочку
и проследим за выпущенными из неё лучами света. Отразившись от эллипса, они соберутся в другом фокусе. Причём окажутся там одновременно:
Зрительно напомним геометрическое определение эллипса: эллипс есть множество точек M плоскости, сумма расстояний от которых до данных точек A и B постоянна:
Решим вспомогательную задачу. Даны две точки по одну сторону от прямой. Мы хотим пройти из A в B, набрав по пути воды из реки l.
Мы хотим пройти из A в B, набрав по пути воды из реки l. В какой точке M надо набирать воду, чтобы общий путь имел минимальную длину?
Рассмотрим точку B’, симметричную точке B. Тогда XB = XB’. Длина AX+XB = AX+XB’ минимальна, когда ломаная AXB’ превращается в прямую.
Мы хотим пройти из A в B, набрав по пути воды из реки l. В какой точке набирать воду? Ответ: в точке пересечения l с AB’ (где B’ симметрична B относительно l). Заодно мы доказали равенство углов. Мы хотим пройти из A в B, набрав по пути воды из реки l. Где набирать воду?
Ответ 1: в точке пересечения l с AB’.
Ответ 2: там, где «угол падения равен углу отражения».
Принцип Ферма: свет выбирает кратчайший путь между двумя точками.
Вернемся к доказательству оптического свойства эллипса. На эллипсе сумма AM+MB постоянна. А для точек вне эллипса эта сумма больше, AX+XB > AM+MB.
В частности, если провести в точке M касательную к эллипсу, то для любой другой точки X на этой касательной AX+XB > AM+MB. Значит, по предыдущей задаче «угол падения равен углу отражения».
…по предыдущей задаче «угол падения равен углу отражения». Оптическое свойство эллипса доказано.
Многофокусные эллипсы
N-эллипс — обобщение эллипса , имеющее более двух фокусов. N-эллипсы называют также мультифокальными эллипсами , полиэллипсами, k -эллипсами, эллипсами Чирнхауса . Впервые такие фигуры исследовал Джеймс Максвелл в 1846 году.
Пусть на плоскости задано n точек (ui , vi ) (фокусы ), тогда n -эллипс является геометрическим местом точек плоскости, для которых сумма расстояний до n фокусов является постоянной величиной d . В виде формулы данное утверждение записывается как
1-эллипс представляет собой окружность , 2-эллипс — обычный эллипс. Обе данные кривые являются алгебраическими кривыми степени 2.
Для любого числа n фокусов n -эллипс представляет собой замкнутую выпуклую кривую. Кривая является гладкой вне окрестностей фокуса.
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram
Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи
Понятие о кривых второго порядка
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.
Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:
,
где A, B, C, D, E, F – числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.
При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.
Эллипс, заданный каноническим уравнением
Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.
Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
,
где a и b (a > b) – длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.
Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.
Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат – в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат – малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.
Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность – частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .
Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.
Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:
Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия – эллипс.
Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.
Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось – это a = 5 , меньшая полуось – это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:
.
Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где
,
называются фокусами.
называется эксцентриситетом эллипса.
Отношение b/a характеризует “сплюснутость” эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.
Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.
Решение. Делаем несложные умозаключения:
– если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,
– если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.
Подставляем и вычисляем:
Результат – каноническое уравнение эллипса:
.
Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .
Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:
.
Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:
Составляем каноническое уравнение эллипса:
Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .
Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:
.
Получаем фокусы эллипса:
Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34
2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)
3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)
Продолжаем решать задачи на эллипс вместе
Если – произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и – расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний – следующие:
.
Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.
Прямые, определяемые уравнениями
,
называются директрисами эллипса (на чертеже – красные линии по краям).
Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса
,
где и – расстояния этой точки до директрис и .
Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:
.
Получаем уравнение директрис эллипса:
Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .
Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:
.
Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:
Уравнение эллипса готово:
Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.
Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:
.
Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.
Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e – эксцентриситет и числа “эр” с подстрочными индексами 1 и 2 – искомые расстояния. Получаем:
Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.
,
так как из исходного уравнения эллипса .
Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.
Кривые второго порядка – определение и построение с примерами решения
Содержание:
Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру – значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде
- Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
- если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.
Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) – решение уравнения F(x,y) = 0.
Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.
Возможны два вида задач:
- дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
- дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.
Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.
Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:
- Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
- Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.
Эллипс
Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).
Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b – малой.
Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:
(7.5)
Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением
Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым
Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а – правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая – правее правой вершины.
Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.
Гипербола
Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).
Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А – произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .
Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим
или
(9.4.1)
Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.
Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:
и сделаем параллельный перенос по формулам
В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р – положительное число, определяется равенством .
Пример:
Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F – фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).
Кривые второго порядка на плоскости
Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:
где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю
Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.
Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.
Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению
которое называют каноническим уравнением эллипса.
Число а называют большей полуосью эллипса, число – мень-
шей полуосью эллипса, 2а и 2b – соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а – его фокусами (рис. 12).
Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат – его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.
Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.
В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.
Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:
Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.
Пример:
Показать, что уравнение
является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.
Решение:
Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:
– каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью
Найдем эксцентриситет эллипса:
Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.
В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:
Переходя к старым координатам, получим:
Построим график эллипса.
Задача решена.
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Эллипс
Определение эллипса.
Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac>>+frac>>=1label
$$
при условии (a geq b > 0).
Из уравнения eqref следует, что для всех точек эллипса (|x| leq a) и (|y| leq b). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами (2a) и (2b).
Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты ((a, 0)), ((-a, 0)), ((0, b)) и ((0, -b)), называются вершинами эллипса. Числа (a) и (b) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
Рис. 8.1. Эллипс
В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты ((x, y)) какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты ((-x, y)), ((x, -y)) и ((-x, -y)) точек (M_<1>), (M_<2>) и (M_<3>) (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.
Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.
Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса (a) с центром в центре эллипса: (x^<2>+y^<2>=a^<2>). При каждом (x) таком, что (|x| Рис. 8.2. Сжатие окружности к эллипсу. Ординаты всех точек уменьшаются в отношении (b/a).
Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.
У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.
Фокусами называются точки (F_<1>) и (F_<2>) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат (рис. 8.3).
Рис. 8.3. Фокусы эллипса.
Для окружности (c=0), и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.
Отметим, что (varepsilon Утверждение 2.
Расстояние от произвольной точки (M(x, y)), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы (x):
$$
r_<1>=|F_<1>M|=a-varepsilon x, r_<2>=|F_<2>M|=a+varepsilon x.label
$$
Очевидно, что (r_<1>^<2>=(x-c)^<2>+y^<2>). Подставим сюда выражение для (y^<2>), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_<1>^<2>=x^<2>-2cx+c^<2>+b^<2>-fracx^<2>>>.nonumber
$$
Учитывая равенство eqref, это можно преобразовать к виду
$$
r_<1>^<2>=a^<2>-2cx+fracx^<2>>>=(a-varepsilon x)^<2>.nonumber
$$
Так как (x leq a) и (varepsilon Утверждение 3.
Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса (2a).
Необходимость. Если мы сложим равенства eqref почленно, то увидим, что
$$
r_<1>+r_<2>=2a.label
$$
Достаточность. Пусть для точки (M(x, y)) выполнено условие eqref, то есть
$$
sqrt<(x-c)^<2>+y^<2>>=2a-sqrt<(x+c)^<2>+y^<2>>.nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^<2>=asqrt<(x+c)^<2>+y^<2>>.label
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение eqref. Мы придем к (b^<2>x^<2>+a^<2>y^<2>=a^<2>b^<2>), равносильному уравнению эллипса eqref.
Рис. 8.4. Фокусы и директрисы эллипса.
Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса (varepsilon).
Уравнение касательной к эллипсу.
Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть (M_<0>(x_<0>, y_<0>)) — точка на эллипсе и (y_ <0>neq 0). Через (M_<0>) проходит график некоторой функции (y=f(x)), который целиком лежит на эллипсе. (Для (y_ <0>> 0) это график (f_<1>(x)=bsqrt<1-x^<2>/a^<2>>), для (y_ <0>Утверждение 5.
Касательная к эллипсу в точке (M_<0>(x_<0>, y_<0>)) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.
Рис. 8.5.
[spoiler title=”источники:”]
http://www.evkova.org/krivyie-vtorogo-poryadka
http://univerlib.com/analytic_geometry/second_order_lines_and_surfaces/ellipse/
[/spoiler]
фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично
относительно начала координат, зная, кроме того,
что:
и 2;
равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;
24, а расстояние между фокусами 2c=10;
его фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/5.
равна 20, а эксцентриситет e=3/5.
10, а эксцентриситет e=12/13;
его директрисами равно 5 и расстояние между
фокусами 2c=4;
равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;
6, а расстояние между директрисами равно 13;
его директрисами равно 32 и e=1/2.
уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси
ординат симметрично начала координат, зная,
кроме того, что:
соответственно 7 и 2;
равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;
его фокусами 2c=24 и эксцентриситет e=12/13.
16, а эксцентриситет e=3/5.
его фокусами 2c=6 и расстояние между директрисами
равно 50/3;
его директрисами равно 32/3 и эксцентриситет e=3/4.
каждого из следующих эллипсов:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
. Найти его полуоси, фокусы,эксцентриситет, уравнения директрис.
четырехугольника, две вершины которого лежат в
фокусах эллипса
, а две другиесовпадают с концами его малой оси.
. Найти его полуоси, фокусы,эксцентриситет, уравнения директрис.
четырехугольника, две вершины которого лежат в
фокусах эллипса
, две другие лежат сконцами его малой оси.
расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса
доодносторонней с этим фокусом директрисы.
циркулем, построить фокусы эллипса
(считая,что изображены оси координат и задана масштабная
единица).
найти точку, абсцисса которых равна–3.
из точек A1(-2; 3), A2(2; -2), A3(2;
-4), A4(-1; 3), A5(-4; -3), A6(3; -1), A7(3;
-2), A8(2; 1), A9(0; 15), A10(0; -16) лежат на эллипсе
, какиевнутри и какие вне его.
линии опеределяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже.
;
;
;
.эллипса e=2/3, фокальный радиус точки М эллипса
равен 10. Вычислить расстояние от точки М до
односторонней с этим фокусом директрисы.
эллипса e=2/5, расстояние от точки эллипса до
директрисы равно 20. Вычислить расстояние от
точки М до фокуса, односторонней с этой
директрисой.
; составитьуравнения прямых, на которых лежат фокальные
радиусы точки М1.
459
точка M1(-4; 2,4) лежит
на эллипсе
, определить фокальные радиусы точкиМ1.
эллипса e=1/3, центр его совпадает с началом
координат, один из фокусов (-2; 0). Вычислить
расстояние от точки М1 эллипса с абсциссой, равной 2, до
директрисы, односторонней с данным фокусом.
эллипса e=1/2, центр его совпадает с началом
координат, одна из директрис дана уравнением x=16.
Вычислить расстояние от точки M1
эллипса с абсциссой, равной –4, до
фокуса, одностороннего с данной директрисой.
эллипса
, расстояние которых доправого фокуса равно 14.
эллипса
, расстояние которых долевого фокуса равно 2,5.
проведен перпендикуляр к егобольшой оси. Определить расстояния от точек
пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до
фокусов.
уравнения эллипса, фокусы которого расположены
на оси абсцисс симметрично относительно начала
координат, если даны:
; 2) эллипсаи его малая полуось b=3;
-2) эллипса и его большая полуось
a=4;
) иМ2(
; 3) эллипса;
; -1) эллипсаи его эксцентриситет e=2/3;
-5/3) эллипса и его эксцентриситет
e=2/3;
12) эллипса и расстояние r1=20
от нее до левого фокуса.
; 2) эллипсаи расстояние между его директрисами, равное 10.
эксцентриситет e эллипса, если:
из фокусов под углом 600;
фокусами виден и вершин малой оси под прямым
углом;
директрисами в три раза больше расстояния между
фокусами;
перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на
его директрису, делится вершиной эллипса
пополам.
эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси
(см. рис.). Определить, при каком значении
эксцентриситета эллипса отрезки
и 
будутпараллельны.
уравнение эллипса с полуосями a, b и центром C(x0, y0), если
известно, что оси симметрии эллипса параллельны
осям координат.
абсцисс в точке А(3; 0) и оси ординат в точке В(0; -4).
Составить уравнение этого эллипса, зная, что его
оси симметрии параллельны координатным осям.
является центром эллипса, касающегося обеих
координатных осей. Составить уравнение этого
эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны
координатным осям.
каждое из следующих уравнений определяет эллипс,
и найти координаты его центра С, полуоси,
эксцентриситет и уравнения директрис:
;
;
.линии определяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже.
;
;
;
.уравнение эллипса, зная, что:
равна 26 и фокусы суть F1(-10; 0), F2(14;0);
473.2
2 и фокусы суть F1(-1; -1), F2(1;
1);
473.3
эксцентриситет e=
.473.4
расстояние между директрисами равно
.474
эксцентриситет
,фокус F (-4; 1) и уравнение соответствующей
директрисы
уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет e=1/2, фокус F(-4; 1) и уравнение
соответствующей директрисы
.на эллипсе, фокус которого F(-1; -4), а
соответствующая директриса дана уравнением
. Составить уравнение этого эллипса.уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет e=1/2, фокус F(3; 0) и уравнение
соответствующей директрисы
.-1) лежит на эллипсе, фокус
которого F(1; 0), а соответствующая директриса дана
уравнением
. Составить уравнение этого эллипса.-1) является концом малой оси
эллипса, фокусы которого лежат на прямой
. Составитьуравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет
e=
.пересечения прямой
и эллипса 
.пересечения прямой
и эллипса 
.пересечения прямой
и эллипса 
.расположена прямая относительно эллипса:
пересекает ли, касается или проходит вне его,
если прямая и эллипс заданы следующими
уравнениями:
, 
;
, 
;
, 
.каких начениях m прямая
:
;эллипса.
при котором прямая
касается эллипса 
.уравнение касательной к эллипсу
в еготочке M1(x1; y1).
касательные к эллипсу
, проведенныев концах одного и того же диаметра, параллельны.
(Диаметром эллипса называется его хорда,
проходящая через его центр).
уравнения касательных к эллипсу
, параллельныхпрямой
.уравнения касательных к эллипсу
, перпендикулярныхк прямой
.
параллельнопрямой
и вычислить расстояние d между ними.
найти точку М1,ближайшую к прямой
, и вычислить расстояние d от точки М1 доэтой прямой.
проведены касательные к эллипсу
. Составитьих уравнения.
проведены касательные к эллипсу
. Составитьуравнение хорды, соединяющей точки касания.
проведены касательные к эллипсу
. Вычислитьрасстояние d от точки Р до хорды эллипса,
соединяющей точки касания.
через точку А(4; -1) и касается прямой
. Составитьуравнение этого эллипса при условии, что его оси
совпадают с осями координат.
уравнение эллипса, касающегося двух прямых
, 
, приусловии, что его ося совпадают с осями координат.
произведение расстояний от центра эллипса до
точки пересечения любой его касательной с
фокальной осью и до основания перпендикуляра,
опущенного из точки касания на фокульную ось,
если величина постоянная, равная квадрату
большой полуоси эллипса.
произвдение расстояний от фокусов до любой
касательной к эллипсу равно квадрату малой
полуоси.
касаетсяэллипса, фокусы которого находятся в точках F1(-3;
0), F2(3; 0). Составить
уравнение этого эллипса.
уравнение эллипса, фокусы которого расположены
на оси абсцисс симметрично относительно начала
координат, если известны уравнение касательной к
эллипсу
и его малая полуось b=2.прямая, касающаяся эллипса в некоторой точке М,
составляет равные углы с фокальными радиусами F1M, F2M и проходит
вне угла F1MF2.
эллипса
под тупым углом 
к осиOx направлен луч света. Известно, что
. Дойдядо эллипса, луч на него отразился. Составить
уравнение прямой, на которой лежит отраженный
луч.
пересечения эллипсов
, 
.эллипсы
, 
(
) пересекаютсяв четырех точках, лежающих на окружности с
центром в начале координат, определить радиус R
этой окружности.
и 
образуют угол 
=300. Опредлитьполуоси эллипса, полученного проектированием на
плоскость
окружности радиуса R=10,лежащей наплоскости
.полуось которого равна 6, является проекцией
окружности радиуса R=12. Опредилть угол
между плоскостями, в которых лежатэллипс и окружность.
круглого цилиндра является окружность радиуса
R=8. Определить полуоси эллипса, полученного в
сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к
его оси под уголом
=300.круглого цилиндра является окружность радиуса R=
. Определить, под каким углом к осицилиндра нужно его пересечь плоскостью, чтобы в
сечении получить эллипс с большой полуосью a=2.
сжатием (или равномерным растяжением) плоскости
к оси абсцисс называется такое преобразование
точек плоскости, при котором произвольная точка
M(x; y) перемещается в точку M’(x’; y’) (рис.1 ) так, что
x’=x, y’=qy, где q>0 – постоянная, называемая
коэффициентом равномерного сжатия. Аналогично
рпи помощи уравнения x’=qx, y’=y определяется
равномерное сжатия плоскости к оси Oy (рис. 2).
Определить, в какую линию преобразуется
окружность
, если коэффициентравномерного сжатия плоскости к оси абсцисс q=4/5.
равномерного сжатия плоскости к оси Oy равен 3/4.
Определить уравнение линии, в которую при таком
сжатии преобразуется эллипс
.линии, в которую преобразуется эллипс
при двух последовательныхравномерных сжатиях плоскости к координатным
осям, если коэффициенты равномерного сжатия
плоскости к осям Ox и Oy равны соответственно 4/3 и
6/7.
коэффициент q равномерного сжатия плоскости к
оси Ox, при котором эллипс
преобразуетсяв эллипс
.коэффициент q равномерного сжатия плоскости к
оси Oy, при котором эллипс
преобразуетсяв эллипс
.коэффициенты q1, q2 двух последовательных равномерных
сжатий плоскости к осям Ox и Oy, при которых
эллипс
преобразуется в окружность 
.