Расстояние от центра окружности до хорды
Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.
Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Значит, расстояние от центра окружности до хорды равно длине перпендикуляра, проведённого из центра окружности к этой хорде.
Например, расстояние от точки O — центра окружности — до хорды AB равно длине перпендикуляра OF:
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найти расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=24, CD=10, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 5.
Дано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,
1) Соединим центр окружности с концами хорд.
2) Треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD (AO=BO=CO=DO как радиусы).
Значит, их высоты OF и OK являются также медианами. Следовательно,
3) Рассмотрим треугольник AOF, где ∠AFO=90 º.
4) Рассмотрим треугольник COK, где ∠CKO=90 º.
Сегмент круга
Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента – по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.
Сегмент круга
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Найти расстояние от хорды до окружности
Сегмент круга
Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.
Сегмент круга
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Расстояние от центра окружности до хорды
Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.
Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Значит, расстояние от центра окружности до хорды равно длине перпендикуляра, проведённого из центра окружности к этой хорде.
Например, расстояние от точки O — центра окружности — до хорды AB равно длине перпендикуляра OF:
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найти расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=24, CD=10, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 5.
Дано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,
1) Соединим центр окружности с концами хорд.
2) Треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD (AO=BO=CO=DO как радиусы).
Значит, их высоты OF и OK являются также медианами. Следовательно,
3) Рассмотрим треугольник AOF, где ∠AFO=90 º.
4) Рассмотрим треугольник COK, где ∠CKO=90 º.
Найти расстояние от хорды до окружности
| Учебный курс | Решаем задачи по геометрии |
Определение хорды
Хорда — это отрезок, который соединяет две точки заданной кривой. Хорда может быть у дуги, окружности, эллипса и т.д.
На рисунке хорда обозначена как отрезок AB красного цвета . Оба его конца находятся на окружности
Часть кривой, заключенной между двумя точками хорды, называется дугой.
На рисунке дуга хорды AB обозначена зеленым цветом .
Плоская фигура, заключенная между дугой и ее хордой называется сегментом.
Сегмент на рисунке ограничен красным отрезком AB с одной стороны, и зеленой дугой — с другой стороны.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Диаметр окружности — самая длинная хорда окружности.
Свойства хорды к окружности
- Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны. Верно и обратное — если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны
- Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше. Верно и обратное
- Наибольшая возможная хорда является диаметром
- Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности
- Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное — если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам
- Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам. Верно и обратное — если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу
- Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное — если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам
- Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное — если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
- Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное — если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.
Свойства хорды и вписанного угла
Свойства хорды и центрального угла
Формулы нахождения хорды
Обозначения в формулах:
l — длина хорды
α — величина центрального угла
R — радиус окружности
d — длина перпендикуляра, проведенного от центра окружности к хорде
Длина хорды окружности равна удвоенному радиусу данной окружности, умноженному на синус половины центрального угла.
Сумма квадрата половины длины хорды и квадрата перпендикуляра, проведенного к этой хорде, равна квадрату радиуса окружности. Данная формула следует из теоремы Пифагора.
Решение задач
Примечание. Если Вы не нашли решение подходящей задачи, пишите об этом в форуме. Наверняка, курс геометрии будет дополнен.
Задача.
Хорды АВ и СD пересекаются в точке S, при чем AS:SB = 2:3, DS = 12см, SC = 5см, найти АВ.
Решение.
Поскольку соотношение AS:SB = 2:3 , то пусть длина AS = 2x, SB = 3x
Согласно свойству хорд AS x SB = CS x SD, тогда
2х * 3х = 5 * 12
6х 2 = 60
х 2 = 10
x = √10
Откуда
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10
Окружность разделена на части, которые относятся как 3,5:5,5:3 и точки деления соединены между собой. Определить величину углов образовавшегося треугольника.
Решение.
Обозначим коэффициент пропорциональности дуг окружности, как х. Соединим центры окружности с концами дуг. Поскольку центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается, то соотношение центральных углов окружности будет равно соотношению ее частей (дуг).
Поскольку градусная мера окружности равна 360 градусам, то
3,5х + 5,5х + 3х = 360
12х = 360
х = 30
Откуда градусные величины центральных углов равны:
3 * 30 = 90
3,5 *30 = 105
5,5 *30 = 165
Углы образовавшегося треугольника являются углами, вписанными в окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Откуда углы треугольника равны:
90 / 2 = 45
105 / 2 = 52,5
165 / 2 = 82,5
Ответ: Величина углов треугольника равна 45 ; 52,5 ; 82,5 ;
[spoiler title=”источники:”]
http://planetcalc.ru/1421/
http://b4.cooksy.ru/articles/nayti-rasstoyanie-ot-hordy-do-okruzhnosti
[/spoiler]
Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.
Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Значит, расстояние от центра окружности до хорды равно длине перпендикуляра, проведённого из центра окружности к этой хорде.
Например, расстояние от точки O — центра окружности — до хорды AB равно длине перпендикуляра OF:
![[OF bot AB]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f169c3d456ebe6977ad621a2a27ca4c6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Задача.
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найти расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=24, CD=10, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 5.
Дано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,
![[OF bot AB,OK bot CD]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c6c794311d35d27684fca9895622207_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
AB=24, CD=10, OF=5
Найти: OK
Решение:
1) Соединим центр окружности с концами хорд.
2) Треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD (AO=BO=CO=DO как радиусы).
Значит, их высоты OF и OK являются также медианами. Следовательно,
![[ {rm{AF = }}frac{1}{2}AB = 12,CK = frac{1}{2}CD = 5. ]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eebc16dcfc088599dede96381f17e4bc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3) Рассмотрим треугольник AOF, где ∠AFO=90 º.
По теореме Пифагора
![[A{O^2} = A{F^2} + O{F^2},]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b79ca5e01e563f6517c5a358e856ae10_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[A{O^2} = {12^2} + {5^2} = 169,AO = 13 = R.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-49c4ff8d82887f60e0cae66b77b932a2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
4) Рассмотрим треугольник COK, где ∠CKO=90 º.
По теореме Пифагора
![[O{K^2} = C{O^2} - C{K^2},]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-88bc35d93fe12196b524c25e9176e235_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ OK^2 = 13^2 - 5^2 = 144, Rightarrow OK = 12. ]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-68f957686e53cc5f6151eb90b6efc2d8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ответ: 12.
Геометрия,
вопрос задал dashaborodina3,
5 лет назад
Найдите расстояние от точки О до хорды АВ
Приложения:
Ответы на вопрос
Ответил LerroyJay
0
Угол ABO=(180-120)/2=30
Значит расстояние от O до хорды равно OB*sin30°=26*1/2=13см
Ответил Kазак
0
Рассмотрим треугольник ОНВ
∠НОВ = 120/2 = 60°
∠НВО = 180 – 90 – 60 = 30°
катет ОН лежит против угла в 30° и равен половине гипотенузы
ОН = 1/2*26 = 13 см
Приложения:
Предыдущий вопрос
Следующий вопрос
Новые вопросы
Другие предметы,
9 месяцев назад
Егер сарай салтанатты болса, онда…
История,
9 месяцев назад
1. Що стало головною причиною греко-перських війн
а) Персів покликав вигнаний колишній правитель Афін Гіппій
б )Повстання малоазійських міст проти персів
в) Бажання провести реформи в Греції…
Геометрия,
5 лет назад
ПОМОГИТЕ СРОЧНО!!!Даю 15 баллов!
Найти угол А, угол В, угол С…
Обществознание,
5 лет назад
Какие формы организации хозяйственной деятельности существуют в современном обществе?
Физика,
7 лет назад
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА
помогите решить хотя бы одну задачу)
1. В каждом из двух параллельно соединенных проводников сила тока соответственно равна 5 и 2 А. Чему равна общая сила тока?
2.
Математика,
7 лет назад
Помогите пожалуйста сделать краткую запись к задаче и решение
На автомашине с прицепом нужно перевезти 1080 ц угля. За один рейс на машине увозили 30 ц , а на прицепе- в 2 раза меньше . Сколько…
-
- 0
-
Рассмотрим треугольник ОНВ
∠НОВ = 120/2 = 60°
∠НВО = 180 — 90 — 60 = 30°
катет ОН лежит против угла в 30° и равен половине гипотенузы
ОН = 1/2*26 = 13 см
Отмена
Никита Пивчулин
Отвечено 24 сентября 2019
-
Комментариев (0)
Добавить
Отмена
-
- 0
-
Угол ABO=(180-120)/2=30
Значит расстояние от O до хорды равно OB*sin30°=26*1/2=13см
Отмена
Мила Походаева
Отвечено 24 сентября 2019
-
Комментариев (0)
Добавить
Отмена
Всего: 27 1–20 | 21–27
Добавить в вариант
Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.
Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 20, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 10.
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 12.
Найдите длину хорды окружности радиусом 13 см, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5 см. Ответ дайте в см.
Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 102 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Радиус окружности с центром в точке O равен 65, длина хорды AB равна 126 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Радиус окружности с центром в точке O равен 82, длина хорды AB равна 36 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Длина хорды окружности равна 96, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 20. Найдите диаметр окружности.
Радиус окружности с центром в точке O равен 50, длина хорды AB равна 96 (см.рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Радиус окружности с центром в точке O равен 90, длина хорды AB равна 144 (см.рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Радиус окружности с центром в точке O равен 10, длина хорды AB равна 16 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Радиус окружности с центром в точке O равен 26, длина хорды AB равна 48 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Радиус окружности с центром в точке O равен 87, длина хорды AB равна 126 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Радиус окружности с центром в точке O равен 61, длина хорды AB равна 22 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Радиус окружности с центром в точке O равен 50, длина хорды AB равна 28 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Радиус окружности с центром в точке O равен 75, длина хорды AB равна 90 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Радиус окружности с центром в точке O равен 50, длина хорды AB равна 80 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Радиус окружности с центром в точке O равен 65, длина хорды AB равна 66 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Радиус окружности с центром в точке O равен 75, длина хорды AB равна 42 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Всего: 27 1–20 | 21–27
