Как найти расстояние при центростремительном ускорении

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T – это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение – это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено – это есть период T. Путь, который преодолевает точка – это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v_A и v_B соответственно. Ускорение – изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Как найти перемещение окружности

Движение по окружности

Движение по окружности — простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории — предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду ( р а д с ).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

a n = v 2 R = ω 2 R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → — v A → .

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → — v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

Здесь R → — радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов — нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Здесь ∆ v τ = v 2 — v 1 — изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .

Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω

Движение по окружности: формулы и расчеты

Перемещение тел по окружности достаточно распространено в нашей жизни и в природе. Яркими примерами этого типа перемещения являются вращения ветровых мельниц, планет вокруг своих звезд и колес транспортных средств. В данной статье рассмотрим, какими формулами движение по окружности тел описывается.

Перемещение по окружности и по прямой линии в физике

В физике вопросами движения занимается кинематика. Она устанавливает связь между величинами, описывающими этот процесс. В динамике также уделяется внимание движению, однако она ориентирована на описание причин его возникновения. Другими словами, если для кинематики главными физическими величинами являются путь и скорость, то для динамики — это действующие на тела силы.

Вам будет интересно: Интерес: определение, понятие, типы и функции

В физике принято выделять два идеальных типа траекторий движения:

Математический аппарат для описания движения по обоим типам траекторий развит настолько хорошо, что понимание формул, например для прямолинейного движения, автоматически приводит к пониманию выражений для движения по окружности. Единственная принципиальная разница между формулами указанных типов перемещения заключается в том, что для движения по окружности удобно использовать угловые характеристики, а не линейные.

Вам будет интересно: Педагогическая система Макаренко: принципы и компоненты

Далее в статье будем рассматривать исключительно кинематические формулы движения по окружности тел, не вдаваясь в подробности динамики.

Угловые характеристики движения: угол поворота

Прежде чем записывать формулы движения по окружности в физике, следует ввести величины, которые будут фигурировать в этих формулах.

Начнем с угла поворота. Будем обозначать его греческой буквой θ (тета). Поскольку вращение предполагает движение точки вдоль одной и той же окружности, то значение угла поворота θ за определенный промежуток времени можно использовать для определения количества оборотов, которое сделала эта точка. Напомним, что вся окружность равна 2*pi радиан, или 360o. Тогда формула для числа оборотов n через угол θ примет вид:

Вам будет интересно: Академик Рыбаков Б.А.: биография, археологическая деятельность, книги

Здесь и далее во всех формулах угол выражается в радианах.

Пользуясь известным углом θ, также можно определить линейное расстояние, которое точка прошла вдоль окружности. Это расстояние будет равно:

Здесь r — радиус рассматриваемой окружности.

Угловая скорость и ускорение

Кинематические формулы движения по окружности точки предполагают также использование понятий угловой скорости и углового ускорения. Обозначим первую буквой ω (омега), а вторую буквой α (альфа).

Физический смысл угловой скорости ω прост: эта величина показывает, на какой угол в радианах поворачивается точка за каждую секунду времени. Данное определение имеет следующее математическое представление:

Эта формула скорости движения по окружности записана в дифференциальной форме. Полученная с ее помощью величина ω называется мгновенной скоростью. Ее удобно использовать, если движение не является равномерным, то есть происходит с переменной скоростью.

Угловое ускорение α — это величина, которая описывает быстроту изменения скорости ω, то есть:

Угловое ускорение измеряется в радианах в секунду квадратную (рад/с2). Так, 1 рад/с2 означает, что тело увеличивает за каждую секунду времени скорость на 1 рад/с.

Учитывая выражение для ω, записанное выше, равенство можно представить в такой форме:

В зависимости от особенностей движения по окружности величина α может быть постоянной, переменной или нулевой.

Равномерное движение

Когда на вращающееся тело не действует никакая внешняя сила, то угловая скорость будет оставаться постоянной сколь угодно длительное время. Такое движение получило название равномерного вращения. Оно описывается следующей формулой:

В этом выражении переменными являются всего две величины: t и θ. Скорость ω = const.

Следует отметить один важный момент: нулю равна лишь равнодействующая внешних сил на тело, внутренние же силы, действующие в системе, нулю не равны. Так, внутренняя сила заставляет вращающееся тело изменять свою прямолинейную траекторию на криволинейную (окружность). Эта сила приводит к появлению центростремительного ускорения. Последнее не изменяет ни скорость ω, ни линейную скорость v, оно лишь изменяет направление движения.

Равноускоренное движение по окружности

Формулы для этого типа перемещения можно получить непосредственно из приведенных математических выражений для величин ω и α. Равноускоренное движение предполагает, что за более-менее длительный промежуток времени модуль и направление ускорения α не изменяются. Благодаря этому можно проинтегрировать дифференциальное выражение для α и получить следующие две формулы:

Очевидно, что в первом случае движение будет равноускоренным, во втором — равнозамедленным. Величина ω0 здесь — это некоторая начальная скорость, которой вращающееся тело обладало до появления ускорения.

Для равноускоренного движения не существует конечной скорости, поскольку она может возрастать сколь угодно долго. Для равнозамедленного движения конечным состоянием будет прекращение вращения, то есть ω = 0.

Теперь запишем формулы для определения угла θ при движении с постоянным ускорением. Эти формулы получаются, если произвести двойное интегрирование по времени для выражения α через θ. Получаются следующие выражения:

То есть центральный угол θ, на который тело повернется за время t, будет равен сумме двух слагаемых. Первое слагаемое — это вклад в θ равномерного движения, второе — равноускоренного (равнозамедленного).

Связь между угловыми и линейными величинами

При рассмотрении понятия угла поворота θ уже была приведена формула, которая его связывает с линейным расстоянием L. Здесь же рассмотрим аналогичные выражения для скорости ω и ускорения α.

Линейная скорость v при равномерном движении определяется как расстояние L, пройденное за время t, то есть:

Подставляя сюда выражение для L через θ, получаем:

Мы получили связь между линейной и угловой скоростью. Важно отметить, что удобство использования угловой скорости связано с тем, что она не зависит от радиуса окружности. В свою очередь, линейная скорость v возрастает линейно с увеличением r.

Остается записать связь между линейным ускорением a и его угловым аналогом α. Чтобы это сделать, запишем выражение для скорости v при равноускоренном движении без начальной скорости v0. Получаем:

Подставляем сюда полученное выражение связи между v и ω:

Как и скорость, линейное ускорение, направленное по касательной к окружности, зависит от радиуса.

Ускорение центростремительное

Выше уже было сказано несколько слов об этой величине. Здесь приведем формулы, которые можно использовать для ее вычисления. Через скорость v выражение для центростремительного ускорения ac имеет вид:

Через угловую скорость его можно записать так:

Величина ac не имеет никакого отношения к тангенциальному ускорению a. Центростремительное ускорение обеспечивает поддержание вращающегося тела на одной окружности.

Задача на определение угловой скорости вращения планеты

Известно, что ближе всего к солнцу находится Меркурий. Полагая, что он вращается по окружности вокруг светила, мы можем определить его угловую скорость ω.

Для решения задачи следует обратиться к справочным данным. Из них известно, что планета делает полный оборот вокруг светила за 87 дней 23,23 часа земных. Это время называется периодом обращения. Учитывая, что движение происходит с постоянной угловой скоростью, запишем рабочую формулу:

Остается перевести время в секунды, подставить значение угла θ, соответствующее полному обороту (2*pi), и записать ответ: ω = 8,26*10-7 рад/c.

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v_A и v_B соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Кинематика. Равномерное движение по окружности.

Среди различных видов криволинейного движения особый интерес представляет равномерное движение тела по окружности. Это самый простой вид криволинейного движения. Вместе с тем любое сложное криволинейное движение тела на достаточно малом участке его траектории можно приближенно рассматривать как равномерное движение по окружности.

Такое движение совершают точки вращающихся колес, роторов турбин, искуственные спутники, вращающиеся по орбитам и т. д. При равномерном движении по окружности численное значение скорости остается постоянным. Однако направление скорости при таком движении непрерывно изменяется.

Скорость движения тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке. В этом можно убедиться, наблюдая за работой точила, имеющего форму диска: прижав к вращающемуся камню конец стального прута можно увидеть отрывающиеся от камня раскаленные частицы. Эти частицы летят с той скоростью, которой они обладали в момент отрыва от камня. Направление вылета искр всегда совпадает с касательной к окружности в той точке, где пруток касается камня. По касательной к окружности движутся также брызги от колес буксующего автомобиля.

Таким образом, мгновенная скорость тела в разных точках криволинейной траектории имеет различные направления, тогда как модуль скорости может быть или всюду одинаковым, или изменяться от точки к точке. Но даже если модуль скорости не изменяется, ее все равно нельзя считать постоянной. Ведь скорость – величина векторная, а для векторных величин модуль и направление одинаково важны. Поэтому криволинейное движение всегда ускоренное, даже если модуль скорости постоянен.

При криволинейном движении могут изменяться модуль скорости и ее направление. Криволинейное движение, при котором модуль скорости остается постоянным, называют равномерным криволинейным движением. Ускорение при таком движении связано только с изменением направления вектора скорости.

И модуль, и направление ускорения должны зависеть от формы кривлинейной траектории. Однако нет необходимости рассматривать каждую из ее бесчисленных форм. Представив каждый участок как отдельную окружность с некоторым радиусом, задача нахождения ускорения при криволинейном равномерном движении сведется к отысканию ускорения при равномерном движении тела по окружности.

Равномерное движение по окружности характеризуется периодом и частотой обращения.

Время, за которое тело делает один оборот, называют периодом обращения.

При равномерном движении по окружности период обращения определяется делением пройденного пути, т. е. длины окружности на скорость движения:

Величина, обратная периоду, называется частотой обращения, обозначается буквой ν. Число оборотов в единицу времени ν называют частотой обращения:

Из-за непрерывного изменения направления скорости, движущееся по окружности тело имеет ускорение, которое характеризует быстроту изменения ее направления, численное значение скорости в данном случае не меняется.

При равномерном движении тела по окружности ускорение в любой ее точке всегда направлено перпендикулярно скорости движения по радиусу окружности к ее центру и называется центростремительным ускорением.

Поскольку угол равен отношению длины дуги АВ к радиусу R, получим

Выражение для модуля вектора ускорения а имеет вид:

[spoiler title=”источники:”]

http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-peremeschenie-okruzhnosti

http://www.calc.ru/Kinematika-Ravnomernoye-Dvizheniye-Po-Okruzhnosti.html

[/spoiler]

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Понятия и определения

Криволинейное движение — движение, траекторией которого является кривая линия. Вектор скорости тела, движущегося по кривой линии, направлен по касательной к траектории. Любой участок криволинейного движения можно представить в виде движения по дуге окружности или по участку ломаной.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью — частный и самый простой случай криволинейного движения. Это движение с переменным ускорением, которое называется центростремительным.

Особенности движения по окружности с постоянной по модулю скоростью:

1. Траектория движения тела есть окружность.
2. Вектор скорости всегда направлен по касательной к окружности.
3. Направление скорости постоянно меняется под действием центростремительного ускорения.
4. Центростремительное ускорение направлено к центру окружности и не вызывает изменения модуля скорости.

Период, частота и количество оборотов

Пусть тело двигается по окружности беспрерывно. Когда оно сделает один оборот, пройдет некоторое время. Когда тело сделает еще один оборот, пройдет еще столько же времени. Это время не будет меняться, потому что тело движется с постоянной по модулю скоростью. Такое время называют периодом.

Период — время одного полного оборота. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунды (с).

t — время, в течение которого тело совершило N оборотов

За один и тот же промежуток времени тело может проходить лишь часть окружности или совершать несколько единиц, десятков, сотен или более оборотов. Все зависит от длины окружности и модуля скорости.

Частота — количество оборотов, совершенных в единицу времени. Обозначается буквой ν («ню»). Единица измерения — Гц.

N — количество оборотов, совершенных телом за время t.

Период и частота — это обратные величины, определяемые формулами:

Количество оборотов выражается следующей формулой:

Пример №1. Шарик на нити вращается по окружности. За 10 секунд он совершил 20 оборотов. Найти период и частоту вращения шарика.

Линейная и угловая скорости

Линейная скорость

Определение и формулы

Линейная скорость — это отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь был пройден. Обозначается буквой v. Единица измерения — м/с.

l — длина траектории, вдоль которой двигалось тело за время t

Линейную скорость можно выразить через период. За один период тело делает один оборот, то есть проходить путь, равный длине окружности. Поэтому его скорость равна:

R — радиус окружности, по которой движется тело

Если линейную скорость можно выразить через период, то ее можно выразить и через частоту — величину, обратную периоду. Тогда формула примет вид:

Выразив частоту через количество оборотов и время, в течение которого тело совершало эти обороты, получим:

Угловая скорость

Определение и формулы

Угловая скорость — это отношение угла поворота тела ко времени, в течение которого тело совершало этот поворот. Обозначается буквой ω. Единица измерения — радиан в секунду (рад./с).

ϕ — угол поворота тела. t — время, в течение которого тело повернулось на угол ϕ

Полезные факты

Радиан — угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу. Полный угол равен 2π радиан.

За один полный оборот тело поворачивается на 2π радиан. Поэтому угловую скорость можно выразить через период:

Выражая угловую скорость через частоту, получим:

Выразив частоту через количество оборотов, формула угловой скорости примет вид:

Сравним две формулы:

Преобразуем формулу линейной скорости и получим:

Отсюда получаем взаимосвязь между линейной и угловой скоростями:

Полезные факты

• У вращающихся прижатых друг к другу цилиндров линейные скорости точек их поверхности равны: v₁ = v₂.
• У вращающихся шестерен линейные скорости точек их поверхности также равны: v₁ = v₂.
• Все точки вращающегося твердого тела имеют одинаковые периоды, частоты и угловые скорости, но разные линейные скорости. T₁ = T₂, ν₁ = ν₂, ω₁ = ω₂. Но v₁ ≠ v₂.

Пример №2. Период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году. Радиус орбиты Земли равен 150 млн. км. Чему примерно равна скорость движения Земли по орбите? Ответ округлить до целых.

В году 365 суток, в одних сутках 24 часа, в 1 часе 60 минут, в одной минуте 60 секунд. Перемножив все эти числа между собой, получим период в секундах.

За каждую секунду Земля проходит расстояние, равное примерно 30 км.

Центростремительное ускорение

Определение и формула

Центростремительное ускорение — ускорение с постоянным модулем, но меняющимся направлением. Поэтому оно вызывает изменение направления вектора скорости, но не изменяет его модуль. Центростремительное ускорение обозначается как a_ц.с.. Единица измерения — метры на секунду в квадрате (м/с²). Центростремительное ускорение можно выразить через линейную и угловую скорости, период, частоту и количество оборотов/время:

Пример №3. Рассчитать центростремительное ускорение льва, спящего на экваторе, в системе отсчета, две оси которой лежат в плоскости экватора и направлены на неподвижные звезды, а начало координат совпадает с центром Земли.

Спящий лев сделает один полный оборот тогда, когда Земля сделает один оборот вокруг своей оси. Земля делает это за время, равное 1 сутки. Поэтому период обращения равен 1 суткам. Количество секунд в сутках: 1 сутки = 24•60•60 секунд = 86400 секунд = 86,4∙10³ секунд.

Радиус Земли равен 6400 км. В метрах это будет 6,4∙10⁶. Теперь у нас есть все, что нужно для вычисления центростремительного ускорения. Подставляем данные в формулу:

Алиса Никитина | Просмотров: 21.7k

Лень разбираться с решением задач? Добро пожаловать к нам в телеграм, где собрана интересная и полезная информация для учащихся и не только. 

Движение по окружности: определение, примеры

Движение по окружности – самый простой случай криволинейного движения. 

Примеры движения по окружности:

• грузовик движется по мосту с радиусом кривизны R;
• атлет крутит шар в руке, перед тем как бросить его;
• космическая станция летает по кругу над поверхностью Земли;
• катафот вращается на раскрученном колесе велосипеда.

Приведем ниже кинематические соотношения для поступательного и вращательного движений:

Вопросы на движение по окружности

Вопрос 1. Как направлено центростремительное ускорение?

Ответ. Центростремительное ускорение направлено по радиус-вектору к центру окружности.

Вопрос 2. Велосипед катится по прямой. Как можно описать движение точки на ободе его колеса? Является ли это движение движением по окружности?

Ответ. Это одновременно поступательное движение и движение по окружности. Траекторией такого движения будет спираль.

Вопрос 3. Как направлено ускорение, если тело движется по окружности неравномерно?

Ответ. В таком случае к центростремительному (или нормальному) ускорению добавляется тангенциальное ускорение, направленное по касательной к окружности. Полное ускорение тела представляет собой векторную сумму тангенциального и нормального ускорений.

Вопрос 4. Что такое линейная и угловая скорость?

Ответ. Линейная скорость – это скорость точки, движущейся поступательно. Она измеряется в метрах в секунду. Угловая скорость – скорость, с которой меняется угол, на который поворачивается радиус-вектор точки при движении по окружности.

Вопрос 5. При поступательном движении мерой инерции является масса. А что является мерой инерции при вращательном движении?

Ответ. При вращательном движении мерой инерции является момент инерции. Это отдельная обширная тема, задачи на нахождение и использование момента инерции рассмотрены в других статьях по физике.

Задачи на движение по окружности

Как решать задачи на движение по окружности? Так же, как и все остальные! Для начала, вот памятка по решению физических задач и полезный список формул. Кстати! Для всех наших читателей действует скидка 10% на любой вид работы.

Задача №1. Нахождение линейной скорости при движении по окружности

Условие

Тело движется по окружности с ускорением 3 метра на секунду в квадрате по окружности радиусом 40 метров. Какова линейная скорость тела?

Решение

В данном случае ввиду имеется нормальное ускорение. Поэтому, для решения достаточно вспомнить всего одну формулу:

Ответ: 10,9 м/с.

Задача №2. Нахождение углового ускорения

Условие

Колесо, вращаясь с постоянным ускорением, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

Решение

Запишем закон вращения, учитывая, что по условию начальная угловая скорость равна нулю:

Выразим угловое ускорение из первого уравнения, а время – из второго. Затем подставим выраженное время в выражение для ускорения и сократим:

Ответ: 3,2 радиан на секунду в квадрате.

Чтобы перевести угол из радианов в градусы достаточно запомнить соотношение: в одном полном обороте 2пи радиан, или 360 градусов. Следовательно, в одном радиане примерно 57,3 градуса.

Задача №3. Нахождение скорости движения по окружности

Условие

Во сколько раз линейная скорость точки обода колеса радиусом 8 см больше линейной скорости точки, расположенной на 3 см ближе к оси вращения колеса?

Решение

Две точки вращаются на одном колесе, а значит, с одинаковой частотой. Используем соотношения для скорости:

Ответ: скорость точки на ободе больше в 1,6 раза.

Задача №4. Нахождение периода и частоты при движении по окружности

Условие

Маховик равномерно вращается и за время t=1 мин совершает N=2400 оборотов. Какова частота вращения маховика, период обращения и линейная скорость точки, расположенной на расстоянии 10 сантиметров от центра маховика?

Решение

По определению:

Подставим значения, предварительно переведя все величины в систему СИ, и вычислим:

Ответ: 40 Гц; 0,025 с; 25,12 м/с.

Задача №5. Нахождение полного ускорения при движении по окружности

Условие

Тело вращается вокруг стационарной оси по закону фи=10+20t-2t^2. Нужно найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии 10 см от оси вращения в момент времени t=4c.

Решение

Полное ускорение – векторная сумма нормального и тангенциального ускорений.

Вспоминаем, что скорость и ускорение можно вычислить через производные, зная закон движения:

Подставляем значение t из условия и вычисляем:

Нужна помощь в выполнении заданий? Обращайтесь в профессиональный студенческий сервис в любое время.