Как найти расстояние приближения

Задачи на движение (скорость, время и расстояние) являются одной из основных типов задач по математике, которые должен уметь решать каждый школьник. В данной статье рассмотрены все типы задач на движение:
— простые задачи на скорость, время и расстояние;
— задачи на встречное и противоположное движение;
— задачи на движение в одном направлении (на сближение и удаление);
— решение задач на движение по реке.

Скорость, время и расстояние: определения, обозначения, формулы

скорость = расстояние: время — формула нахождения скорости;

время = расстояние: скорость — формула нахождения времени;

расстояние = скорость · время — формула нахождения расстояния.

Скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени: за 1 секунду, за 1 минуту, за 1 час и так далее.
Пример обозначения: 7 км/ч (читается: семь километров в час).
Если весь путь проходится с одинаковой скоростью, то такое движение называется равномерным.

На сайте представлены калькуляторы онлайн, с помощью которых можно перевести скорость, время и расстояние в другие единицы измерения:

1.Конвертер единиц измерения скорости
2.Конвертер единиц измерения времени
3.Конвертер единиц измерения расстояния (длины)

Примеры простых задач.

Задача 1. 

Автомобиль проехал 180 км за 2 часа. Чему равна скорость автомобиля?
Решение: 180:2=90 (км/ч.)
Ответ: Скорость автомобиля равна 90 км/ч.

Задача 2. 

Автобус проехал путь в 240 км со скоростью 80 км/ч. Сколько времени ехал автобус?
Решение: 240:80=3 (ч.)
Ответ: Автобус проехал 3 часа.

Задача 3. 

Грузовик ехал 5 часов со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал грузовик за это время?
Решение: 70 · 3 = 350 (км)
Ответ: Грузовик за 5 часов проехал 350 км.

Задачи на встречное движение

В таких задачах два объекта движутся навстречу друг другу.
Задачи на встречное движение можно решать двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость сближения объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Задача 4. 

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два поезда и встретились через 3 часа. Первый поезд ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты?
Решение: 
Первый способ. Найти расстояние, которое проехал каждый автобус, и сложить полученные данные:
80*3=240 (км) – проехал 1й автобус, 70*3=210 (км) – проехал 2й поезд,
240+210=450 (км) – проехали два поезда.
Второй способ. Найти скорость сближения поездов, то есть на сколько сокращалось расстояние между ними каждый час; а затем найти расстояние:
80+70=150 (км/ч), 150*3=450 (км).
Ответ: города находятся на расстоянии 450 км.

Задача 5. 

Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа, если расстояние между городами 450 км?
Решение: 
Первый способ. Определить, сколько километров проехал каждый автобус и найти расстояние, которое осталось проехать:
80*2=160 (км)-проехал 1й автобус, 70*2=140 (км)-проехал 2й автобус,
160+140=300 (км)-проехали два автобуса, 450-300=150 (км)-осталось проехать.
Второй способ. Найти скорость сближения автобусов и умножить ее на время в пути.
80*70=150 (км/ч) – скорость сближения; 150*2=300 (км) – проехали два автобуса; 450-300=150 (км) – осталось проехать.
Ответ: Через 2часа расстояние между автобусами будет 150 км.

Задачи на движение в противоположных направлениях

В таких задачах два объекта движутся в противоположных направлениях, отдаляясь друг от друга. В таком типе задачи используется скорость удаления. Задачи на движение в противоположных направлениях также можно решить двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость удаления объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Задача 6. 

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля 100 км/ч, скорость второго – 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа?
Решение: 
Первый способ. Определить расстояние, которое проехал каждый автомобиль и найти сумму полученных результатов:
1) 100 · 4 = 400 (км) – проехал первый автомобиль
2) 70 · 4 = 280 (км) – проехал второй автомобиль
400 + 280 = 680 (км)
Второй способ. Найти скорость удаления, то есть значение увеличения расстояния между автомобилями за каждый час, а затем скорость удаления умножить на время в пути.
100 + 70= 170 км/ч – это скорость удаления автомобилей.
170 · 4 = 680 (км)
Ответ: Через 4 часа между автомобилями будет 680 км.

Задача 7. 

Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 40 км, вышли в противоположных направлениях два туриста. Первый турист шёл со скоростью 4 км/ч, а второй — 5 км/ч. Какое расстояние между туристами будет через 5 часов?
Решение: 
Первый способ. Определить сколько километров прошёл каждый из туристов за 5 часов, сложить полученные результаты, а затем к полученному расстоянию прибавить расстояние между населенными пунктами.
1) 4 · 5 = 20 (км) – прошёл первый турист;
2) 5 · 5 = 25 (км) – прошёл второй турист;
3) 20 + 25 = 45 (км);
4) 45 + 40 = 85 (км).
Второй способ. Найти скорость удаления пешеходов, затем найти пройденное расстояние, к полученному результату прибавить расстоянием между населёнными пунктами.
4 + 5 = 9 (км/ч);
9 · 5 = 45 (км);
45 + 40 = 85 (км);
Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 85 км.

Задачи на движение в одном направлении

В таких задачах два объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, при этом они сближаются друг с другом или отдаляются друг от друга. Соответственно находится скорость сближения или скорость удаления объектов.

Формула нахождения скорости сближения или удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении: из большей скорости вычесть меньшую.

Задача 8. 

Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?,
Решение: 
Задачу можно решить с помощью уравнения.
В этом случае скорость первого автомобиля 40 км/час, время в пути на 4 часа больше, чем время второго автомобиля (или t+4). Скорость второго автомобиля 60 км/час, время в пути – t. Расстояние оба автомобиля проехали одинаковое. Поэтому можно составить уравнение: 40*(t+4)=60*t. Отсюда получаем t=8 (часов) – время в пути второго автомобиля, за которое он догонит первый.
Решение задачи без использования уравнения.
Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалиться от города на: 40 · 4 = 160 (км).
Второй автомобиль движется быстрее первого, значит, каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей: 60 — 40 = 20 (км/ч) – это скорость сближения.
Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся: 160 : 20 = 8 (ч)
Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Задача 9. 

Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?
Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов: 5 — 4 = 1 (км/ч).
Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого: 5 : 1 = 5 (ч)
Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Задача 10. 

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго – 40 км/ч.
1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2) Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3) Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?
Решение: 
1) 80 — 40 = 40 (км/ч) — скорость удаления автомобилей друг от друга.
2) 40 · 3 = 120 (км) – расстояние между ними через 3 часа./
3) 200 : 40 = 5 (ч) – время, через которое расстояние между автомобилями станет 200 км.
Ответ:
1) Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2) Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3) Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.

Задачи на движение по реке

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.

Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки. Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.

Задача 11. 

Лодка движется по реке. За сколько часов она преодолеет расстояние 120 км, если ее собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Решение: 
1) лодка движется по течению реки.
27 + 3 = 30 (км/ч) – скорость лодки по течению реки.
120 : 30 = 4 (ч) – проплывет путь.
2) лодка движется против течения реки.
27 — 3 = 24 (км/ч) — скорость лодки против течения реки
120 : 24 = 5 (ч) – проплывет путь.
Ответ:
1) При движении по течению реки лодка потратит 4 часа на путь.
2) При движении против течения реки лодка потратит 5 часов на путь.

Итак, для решения задач на движение:

1. Основная формула:S=ν*t;
2. Нужно сделать чертеж, который поможет определить тип задачи.
3. Все цифры нужно привести в единые единицы измерения: длина и время

Заключение.

Решая много задач по данной теме, ученик обязательно научится быстро ориентироваться в понятиях «скорость», «время» и «расстояние» и быстро решать задачи всех типов.

Весь курс начальной школы (за 1-4 классы) в краткой форме на сайте edu.intmag24.ru. С помощью курса можно быстро повторить основные моменты и правила по предметам: русский язык, математика, окружающий мир.

Для решения более сложных задач на движение посмотрите, как составлять схемы и таблицы данных для наглядного представления и структурирования данных.

Если они движутся в одном направлении, объекты могут находиться как близко, так и далеко друг от друга. В этом случае они как бы «конкурируют» за общую дистанцию и «действуют друг против друга». Поэтому их общая скорость равна их разности скоростей.

Решение задач на движение. Формулы, схемы, встречное движение

Очень легко рисовать диаграммы для задач на движение. Они помогают визуализировать проблему и найти правильное решение. В сложных случаях или если ученик не может найти решение, рекомендуется дополнить диаграмму таблицей, в которой параметры скорости, времени и расстояния указаны в заголовке. Подробнее об этом ниже.

1. Простые задачи на движение
2. Решение
3. Обратные задачи на движение
4. Как найти скорость, если известно время и расстояние
5. Как найти время, когда известны скорость и расстояние
6. Схемы задач на встречное движение
7. Решение
8. Задачи на движение в одном направлении
9. Шпаргалка по решению задач на скорость, время и расстояние

Простые задачи на движение

Простые задачи о путешественниках, лыжниках, мотоциклистах и других движущихся объектах (есть даже задачи о черепахах) решаются уже в первых классах. На этих примерах легко понять, как составлять диаграммы.

Задача 1. Он прибыл в пункт B через 3 часа. Он дошел до точки А. Он шел со скоростью 5 км/ч. Каково расстояние между этими двумя точками?

Постройте диаграмму для решения задачи: Прямая линия, соединяющая точки A и B, является общим расстоянием. Стрелка показывает направление движения путешественника. Над стрелкой укажите скорость, если она известна. Поместите время или расстояние ниже (или выше) сегмента:

Если вы не смогли решить задачу с помощью диаграммы, я предлагаю вам воспользоваться таблицей:

Чтобы решить задачу с помощью таблицы, запомните правила:

• Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время: S = V x t
• Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время, (это производное из первой формулы: V = S : t )
• чтобы найти время, необходимо расстояние разделить на скорость. (также просто вывести из первой формулы: t = S : t

Решение

5 x 3 = 15 км — расстояние между пунктами A и B.

Обратные задачи на движение

Как найти скорость, если известно время и расстояние

Чтобы не запутаться в различных условиях задачи, составьте задачу в обратном порядке по сравнению с первым примером:

Задача 2: Расстояние между пунктами A и B равно 15 км. Путешественник преодолел это расстояние за 3 часа. С какой скоростью ехал путешественник?

Как найти время, когда известны скорость и расстояние

Задача 3 Расстояние между двумя точками равно 15 км. Пешеход двигался со скоростью 5 км/ч. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти все расстояние?

Решение простых задач на движение: скорость, время и расстояние

В простых задачах на движение обычно имеется движущийся объект, для которого необходимо определить неизвестную величину: Скорость, время или расстояние. В этом случае формула применяется в своем первоначальном виде:

Задача 1. Автомобиль двигался со скоростью 85 км/ч в течение 2 часов. Первое задание дается в первой форме. Определите расстояние. Решение: Вычислите расстояние по формуле: S=V × t= 2 ч * 85 км/ч = 170 км.

Задача 2: Велосипедист проехал 60 км за 5 часов. Определите скорость. Решение: Рассчитайте скорость велосипедиста по следующей формуле: V = S:t = 60 км : 5 ч = 12 км/ч.

Задача 3: Мотоциклист проехал 30 км со скоростью 15 км/ч. Он проехал 30 км со скоростью 15 км/ч. Он проехал 30 км со скоростью 15 км/ч. Он проехал 30 км со скоростью 15 км/ч. Он проехал 30 км со скоростью 15 км/ч. Он ехал со скоростью 15 км/ч. Сколько времени ему понадобилось, чтобы преодолеть это расстояние? Решение: Рассчитайте время в пути мотоциклиста

Когда они движутся в противоположных направлениях, скорости объектов направлены в разные стороны. Объекты удаляются друг от друга со скоростью разделения. Скорость разделения определяется по следующей формуле:

При решении таких задач лучше всего нарисовать схему движения, чтобы облегчить решение.

Решение задач на движение в разных направлениях: сближение (встречное движение) и удаление (противоположное движение)

Задача 5: Два велосипедиста отправились в путь одновременно, чтобы встретиться в двух пунктах, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого велосипедиста составляет 10 км/ч, а скорость второго велосипедиста — 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Решение: 1) Определите скорость приближения: V = 10+8 = 18 км/ч. 2) Определите время: t = S:V = 36 : 18 = 2 ч.

Задача 6: Два пешехода одновременно выходят из одного и того же места в противоположных направлениях. Скорость первого пешехода — 3 км/ч, второго — 4 км/ч. Каким будет расстояние между ними через 30 минут? Решение. 3) Найдите расстояние: S=V × t = 7 × 0,5 = 3,5 км.

Задача 7. Два автобуса одновременно выехали из двух пунктов, расстояние между которыми 300 км, на встречу. Они встретились через 2 часа. Найдите скорость второго автобуса, если первый автобус движется со скоростью 70 км/ч. Решение. 1) Мы знаем расстояние и скорость, поэтому найдите скорость по формуле. Это скорость конвергенции. 2) Определим скорость второго автобуса: 150-70 = 80 км/ч.

Когда два объекта движутся в одном направлении и один объект «догоняет» другой, расстояние между ними уменьшается. Скорость сближения в таком движении определяется по формуле:

Когда два объекта движутся в одном направлении и один объект «отстает» от второго, расстояние между ними увеличивается. Скорость отделения в этом типе движения определяется по следующей формуле: Если объект движется в стоячей воде, расстояние между объектами увеличивается:

Если объект движется в стоячей воде (озере), его скорость называется скоростью самого объекта. То есть скорость объекта равна собственной скорости объекта.

Решение задач на движение в одном направлении: сближение и удаление

Обратите внимание, что плот — это тело, скорость которого равна нулю (V=0). Таким образом, плот может плыть только по течению и со скоростью течения.

Проблема 8. Расстояние между двумя автомобилями, движущимися в одном направлении, составляет 20 км. Первый автомобиль движется со скоростью 40 км/ч, второй автомобиль движется со скоростью 30 км/ч. Через сколько часов первый автомобиль доедет до второго автомобиля? Решение. 1) Найдите скорость сближения машин.

2) Найдите время для расстояния (20 км) и скорости приближения (10 км/ч): 20:10=2 часа.

Задание 9. автомобиль

В 4 классе дети начинают решать задачи на скорость сближения и скорость удаления. Ребята начинают путаться. Часто они не могут определить вид задачи или просто не знают формулы. Однако понять эту тему легко. В этой статье Я расскажу, как учу своих учеников не путаться в задачах данного вида.

Ситуация 1

Представь, что вы с мамой вышли из дома и пошли в разные стороны. Вы будете приближаться друг к другу или удаляться друг от друга? Удаляться. Расстояние между вами будет увеличиваться или уменьшаться? Увеличиваться. Для того, чтобы найти скорость удаления в данной ситуации, нужно две скорости сложить. 

Задача

Из города одновременно в разных направлениях выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля 70 км/ч, скорость второго автомобиля 90 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа? 

1) 90 + 70 = 160 (км/ч) – скорость удаления. 

2) 160 × 4 = 640 (км) 

Ответ: 640 км будет расстояние между автомобилями через 4 часа.

Ситуация 2

Представь, что вы с мамой идете навстречу друг другу. 

В каждой из обсуждаемых ситуаций я задаю одни и те же вопросы, как в первой ситуации. Поэтому дальше я буду писать только результат наших рассуждений.

Когда мы идем навстречу друг другу, мы приближаемся друг к другу. Поэтому ищем скорость сближения. Расстояние между нами будет становиться меньше. Для того, чтобы найти скорость сближения в данной ситуации, нужно скорости сложить. 

Задача

Расстояние между двумя городами 640 км. Из каждой из них одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля 90 км/ч, скорость второго автомобиля 70 км/ч. Через сколько часов автомобили встретятся? 

1) 90 + 70 = 160 (км/ч) – скорость сближения

2) 640 : 160 = 4 (ч)

Ответ: автомобили встретятся через 4 часа.

Ситуация 3

Представь, что ты идешь по улице и видишь, что впереди  идет мама. Ты решаешь ее догнать. Твоя скорость больше, чем скорость мамы. Ты догонишь маму? Да. Вы будете приближаться к друг другу или удаляться?Расстояние между вами будет увеличиваться или уменьшаться? Уменьшаться. (приближаться, т. к. ребенок сокращает расстояние). В этой ситуации мы находим скорость  сближения. 

Задача

Из города в посёлок выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля 70 км/ч, скорость второго автомобиля 90 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый, если расстояние между ними равно 120 км?

1) 90 – 70 = 20 (км/ч) – скорость сближения

2) 120 : 20 = 6 ( ч)

Ответ: второй автомобиль догонит первый через 6 часов.

Ситуация 4

Представь ту же ситуацию, но теперь скорость больше у мамы. Ты догонишь маму? Нет. Почему? Она будет постоянно удаляться. Находим скорость удаления. Для этого из большей скорости вычитаем меньшую. 

Задача

Одновременно из города выехали два автомобиля и поехали в одном направлении. Скорость первого автомобиля 90 км/ч, скорость второго автомобиля 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа? 

1) 90 – 70 = 20 (км/ч) – скорость удаления

2) 20 × 4 = 80 (км)

Ответ: 80 км будет расстояние между автомобилями через 4 часа.

Делитесь своим мнением в комментариях, подписывайтесь на мой канал

В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.

Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Расстояние между точками на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая Ox и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число хA, оно же – координата точки А.

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой ОА отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка OA по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату -4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние ОА равно 3; во втором случае ОА = 4.

Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4111.

Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна  11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то OA=xA (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то OA=-xA . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа xA.

Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:

• 0, если точка совпадает с началом координат;

• xA , если xA>0;

• -xA , если xA<0 .

При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой xA: OA=xA

Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B, лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты xA и xB : AB=xB-xA.

Расстояние между точками на плоскости

Исходные данные: точки A и B, лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy с заданными координатами: A(xA, yA) и B(xB, yB) .

Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат Ox и Oy и получим в результате точки проекции: Ax, Ay, Bx, By. Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:

– если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;

– если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Ox (оси абсцисс), то точки и совпадают, а |АВ| = |АyBy|. Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то AyBy=yB-yA , а, следовательно AB=AyBy=yB-yA.

– если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси Oy (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: AB=AxBx=xB-xA

– если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:

Мы видим, что треугольник АВС  является прямоугольным по построению. При этом AC=AxBx и BC=AyBy. Используя теорему Пифагора, составим равенство: AB2=AC2+BC2⇔AB2=AxBx2+AyBy2 , а затем преобразуем его: AB=AxBx2+AyBy2=xB-xA2+yB-yA2=(xB-xA)2+(yB-yA)2

Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек

AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2

Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+02=0

Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:

AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+(yB-yA)2=yB-yA

Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:

AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=(xB-xA)2+02=xB-xA

Расстояние между точками в пространстве

Исходные данные: прямоугольная система координат Oxyz с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB) . Необходимо определить расстояние между этими точками.

Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: Ax, Ay,  Az, Bx, By, Bz

Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: AxBx, AyBy и AzBz

Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:

AxBx=xB-xA, AyBy=yB-yA, AzBz=zB-zA

Преобразуем выражение:

AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2=xB-xA2+yB-yA2+zB-zA2==(xB-xA)2+(yB-yA)2+zB-zA2

Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:

AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

– точки совпадают;

– лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками