В материале этой статьи разберем вопрос нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, в частности, при помощи метода координат. Разбор типовых примеров поможет закрепить полученные теоретические знания.
Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение
Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от некоторой произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.
Приведем иллюстрацию для наглядности: 
На чертеже изображены две параллельные прямые a и b. Точка М1 принадлежит прямой a, из нее опущен перпендикуляр на прямую b. Полученный отрезок М1Н1 и есть расстояние между двумя параллельными прямыми a и b.
Указанное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Кроме того, данное определение взаимосвязано со следующей теоремой.
Когда две прямые параллельны, все точки одной из них равноудалены от другой прямой.
Пусть нам заданы две параллельные прямые a и b. Зададим на прямой а точки М1 и М2, опустим из них перпендикуляры на прямую b, обозначив их основания соответственно как Н1 и Н2. М1Н1 – это расстояние между двумя параллельными прямыми по определению, и нам необходимо доказать, что |М1Н1|=|М2Н2|.
Пусть будет также существовать некоторая секущая, которая пересекает две заданные параллельные прямые. Условие параллельности прямых, рассмотренное в соответствующей статье, дает нам право утверждать, что в данном случае внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении секущей заданных прямых, являются равными: ∠M2M1H2=∠H1H2M1. Прямая М2Н2 перпендикулярна прямой b по построению, и, конечно, перпендикулярна прямой a. Получившиеся треугольники М1Н1Н2 и М2М1Н2 являются прямоугольными и равными друг другу по гипотенузе и острому углу: М1Н2 – общая гипотенуза, ∠M2M1H2=∠H1H2M1. Опираясь на равенство треугольников, мы можем говорить о равенстве их сторон, т.е.: |М1Н1| = |М2Н2|. Теорема доказана.
Отметим, что расстояние между двумя параллельными прямыми – наименьшее из расстояний от точек одной прямой до точек другой.
Нахождение расстояния между параллельными прямыми
Мы уже выяснили, что, по сути, чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, необходимо определить длину перпендикуляра, опущенного из некой точки одной прямой на другую. Способов, как это сделать, несколько. В каких-то задачах удобно воспользоваться теоремой Пифагора; другие предполагают использование признаков равенства или подобия треугольников и т.п. В случаях, когда прямые заданы в прямоугольной системе координат, возможно вычислить расстояние между двумя параллельными прямыми, используя метод координат. Рассмотрим его подробнее.
Зададим условия. Допустим, зафиксирована прямоугольная система координат, в которой заданы две параллельные прямые a и b. Необходимо определить расстояние между заданными прямыми.
Решение задачи построим на определении расстояния между параллельными прямыми: для нахождения расстояния между двумя заданными параллельными прямыми необходимо:
– найти координаты некоторой точки М1, принадлежащей одной из заданных прямых;
– произвести вычисление расстояния от точки М1 до заданной прямой, которой эта точка не принадлежит.
Опираясь на навыки работы с уравнениями прямой на плоскости или в пространстве, определить координаты точки М1 просто. При нахождении расстояния от точки М1 до прямой пригодится материал статьи о нахождении расстояния от точки до прямой.
Вернемся к примеру. Пусть прямая a описывается общим уравнением Ax+By+C1=0, а прямая b – уравнением Ax+By+C2=0. Тогда расстояние между двумя заданными параллельными прямыми возможно вычислить, используя формулу:
M1H1=C2-C1A2+B2
Выведем эту формулу.
Используем некоторую точку М1 (x1, y1), принадлежащую прямой a. В таком случае координаты точки М1 будут удовлетворять уравнению Ax1+By1+C1=0. Таким образом, справедливым является равенство: Ax1+By1+C1=0; из него получим: Ax1+By1=-C1.
Когда С2<0, нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:
AA2+B2x+BA2+B2y+C2A2+B2=0
При С2≥0 нормальное уравнение прямой b будет выглядеть так:
AA2+B2x+BA2+B2y-C2A2+B2=0
И тогда для случаев, когда С2<0, применима формула: M1H1=AA2+B2x1+BA2+B2y1+C2A2+B2.
А для С2≥0 искомое расстояние определяется по формуле M1H1=-AA2+B2x1-BA2+B2y1-C2A2+B2==AA2+B2x1+BA2+B2y1+C2A2+B2
Таким образом, при любом значении числа С2 длина отрезка |М1Н1| (от точки М1 до прямой b) вычисляется по формуле: M1H1=AA2+B2x1+BA2+B2y1+C2A2+B2
Выше мы получили: Ax1+By1=-C1, тогда можем преобразовать формулу: M1H1=-C1A2+B2+C2A2+B2=C2-C1A2+B2. Так мы, собственно, получили формулу, указанную в алгоритме метода координат.
Разберем теорию на примерах.
Заданы две параллельные прямые y=23x-1 и x=4+3·λy=-5+2·λ. Необходимо определить расстояние между ними.
Решение
Исходные параметрические уравнения дают возможность задать координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая параметрическими уравнениями. Таким образом, получаем точку М1 (4, -5). Требуемое расстояние – это расстояние между точкой М1(4, -5) до прямой y=23x-1, произведем его вычисление.
Заданное уравнение прямой с угловым коэффициентом y=23x-1 преобразуем в нормальное уравнение прямой. С этой целью сначала осуществим переход к общему уравнению прямой:
y=23x-1⇔23x-y-1=0⇔2x-3y-3=0
Вычислим нормирующий множитель: 122+(-3)2=113. Умножим на него обе части последнего уравнения и, наконец, получим возможность записать нормальное уравнение прямой: 113·2x-3y-3=113·0⇔213x-313y-313=0.
При x=4, а y=-5 вычислим искомое расстояние как модуль значения крайнего равенства:
213·4-313·-5-313=2013
Ответ: 2013.
В фиксированной прямоугольной системе координат Oxy заданы две параллельные прямые, определяемые уравнениями x-3=0 и x+50=y-11. Необходимо найти расстояние между заданными параллельными прямыми.
Решение
Условиями задачи определено одно общее уравнение, задаваемое одну из исходных прямых: x-3=0. Преобразуем исходное каноническое уравнение в общее: x+50=y-11⇔x+5=0. При переменной x коэффициенты в обоих уравнениях равны (также равны и при y – нулю), а потому имеем возможность применить формулу для нахождения расстояния между параллельными прямыми:
M1H1=C2-C1A2+B2=5-(-3)12+02=8
Ответ: 8.
Напоследок рассмотрим задачу на нахождение расстояния между двумя параллельными прямыми в трехмерном пространстве.
В прямоугольной системе координат Oxyz заданы две параллельные прямые, описываемые каноническими уравнениями прямой в пространстве: x-31=y-1=z+24 и x+51=y-1-1=z-24. Необходимо найти расстояние между этими прямыми.
Решение
Из уравнения x-31=y-1=z+24 легко определются координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая этим уравнением: М1(3, 0, -2). Произведем вычисление расстояния |М1Н1| от точки М1 до прямой x+51=y-1-1=z-24.
Прямая x+51=y-1-1=z-24 проходит через точку М2(-5, 1, 2). Запишем направляющий вектор прямой x+51=y-1-1=z-24 как b→ с координатами (1, -1, 4). Определим координаты вектора M2M→:
M2M1→=3-(-5, 0-1, -2-2)⇔M2M1→=8, -1, -4
Вычислим векторное произведение векторов :
b→×M2M1→=i→j→k→1-148-1-4=8·i→+36·j→+7·k→⇒b→×M2M1→=(8, 36, 7)
Применим формулу расчета расстояния от точки до прямой в пространстве:
M1H1=b→×M2M1→b→=82+362+7212+(-1)2+42=140932
Ответ: 140932.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Любовь Петровна Гаврилюк
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Для наиболее полного понимания темы следует ознакомиться с основными определениями, поэтому давайте узнаем, что же такое параллельные прямые и с чем их едят, а также некоторую другую основную терминологию и теоремы, которые касаются данной темы.
Используемые термины и понятия
Определение 1
Расстояние — это мера удалённости, используемая для характеристики местоположения двух объектов относительно друг друга.
Иногда расстояние можно измерить с помощью измерительных приборов, например, линейки или штангенциркуля, в случае поездки на автомобиле расстояние можно вычислить через измеритель скорости. Но чаще всего приходится прибегать к каким-либо вычислениям.
Определение 2
Параллельные прямые в пространстве — это такие прямые, которые не имеют каких-либо совместных точек и при этом лежат в одной плоскости. То есть по сути выходит, что есть два необходимых критерия для того чтобы назвать пару прямых параллельными друг другу:
1) обе такие прямые можно поместить в некую одиночную плоскость
2) 2 параллели никогда не встретятся
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Не стоит путать такие прямые со скрещивающимися. Эти прямые также никогда не встречаются между собой, но рассматривая их, становится очевидно, что их нельзя расположить в одной плоскости.
Параллельные прямые можно встретить много где в окружающем нас мире: это и линии пола и потолка, и противопложные стороны поверхности стола, и стороны двери.
Теорема 1
Расстояние между такими прямыми есть не что иное, как длина перпендикуляра, опущенного из одной точки любой из двух изучаемых прямых, на другую. Эта длина всегда будет одинаковой вне зависимости от того, из какой точки проведёна линия под прямым углом.
Докажем теорему, приведённую выше.
Доказательство теоремы о расстоянии между параллельными прямыми
Рисунок 1. Расстояние между параллельными прямыми
«Расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве» 👇
Рассмотрим наши прямые, про которые заранее известно, что они параллельны, назовём их $l$ и $k$.
Выберем пару рандомных точек $X$ и $Y$, возлежащих на $l$, и опустим из них под прямым углом линии на $k$.
Здесь совсем неважно, где именно вы выберете точки, главное правило — они не должны совпадать друг с другом.
Точки пересечения построенных линий с прямой $k$ назовём $A$ и $B$.
Так как наши прямые параллельны, то по условию параллельности накрест лежащие углы $XBA$ и $BXY$ при гипотенузе $XB$ получившегося прямоугольника равны между собой. Гипотенуза в данном случае является секущей к исследуемым прямым.
Собираем всё вместе о треугольниках $XBA$ и $BXY$:
- У них есть общая сторона $XB$.
- Стороны этих треугольников $XY$ и $AB$ равны между собой.
- Значения углов $XBA$ $BXY$ тоже одинаковы, а сами по себе эти углы образованы сторонами, которые также равны между собой.
Из всего вышеперечисленного следует, что $XBA$ и $BXY$ являются равными по первому признаку равенства треугольников, и следовательно, длины перпендикуляров $XA$ и $YB$ равны.
Данное соотношение будет соблюдаться для любых произвольно выбранных точек $X$ и $Y$ — то есть длины перпендикуляров, опущенных с одной параллельной прямой на другую, всегда будут равны, что и требовалось доказать.
Доказанное утверждение справедливо как для параллельных прямых, рассматриваемых в планиметрии, так и для прямых, рассматриваемых в объёмном мире, так как 2 параллельные между собой прямые всегда образуют плоскость.
Задачи на определение расстояния между параллельными прямыми в объёмном мире
Мы с вами уже немного разобрались в теме, а это значит, что пришло время для задач с нахождением расстояния между параллельными прямыми в пространстве.
Пример 1
Найти расстояние между параллельными прямыми $l$ и $k$.
Рисунок 2. Параллельные прямые, образующие плоскость
Рассмотрим рисунок 2. По теореме, изложенной выше, кратчайшим расстоянием между двумя этими прямыми будет длина перпендикуляра, опущенного с одной прямой на другую, поэтому опустим из точки $X$ на прямую $k$ перпендикуляр, назовём его $h$. Длина этого перпендикуляра и будет решением нашей задачи.
На практике чаще всего нет возможности использования подручных методов типа линейки из-за невозможности исполнения чертежа в масштабе 1:1, поэтому обычно нужно найти расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве имея на руках функции, описывающие данные прямые.
Выше мы показали, что совсем неважно, где именно выбрать точку на одной из двух параллельных прямых, из которой нужно опустить перпендикуляр.
Поэтому в случае параллельности прямых эта задача фактически есть не что иное, как поиск расстояния между точкой, лежащей на одной из этих прямых, и другой прямой.
Формула для нахождения расстояния между параллельными прямыми $d$ и $k$ в один этап в пространстве следующая:
Определение 3
$ρ(d, k) = frac{sqrt{begin{array}{|cc|} y_2 – y_1 & z_2 – z_1\ m_1 & n_1 \ end{array}^2 + begin{array}{|cc|} x_2 – x_1 & z_2 – z_1\ l_1 & n_1 \ end{array}^2 + begin{array}{|cc|} x_2 – x_1 & y_2 – y_1\ l_1 & m_1 \ end{array}^2}}{sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2}}$
В этой формуле $x_1, y_1, z_1$ — координаты нормального вектора прямой $d$, а $l, m, n$ — направляющий вектор этой прямой, его координаты — это знаменатели из канонических уравнений прямой в пространстве; $x_2, y_2, z_2$ — это координаты нормального вектора второй прямой.
Пример 2
Даны уравнения двух параллельных несовпадающих прямых:
Прямая $d$ задана уравнением $frac{x + 1}{1}=frac{y – 2}{3}=frac{z + 4}{5}$,
а её параллель $k$ уравнением $frac{x – 3}{1}=frac{y + 1}{3}=frac{z – 2}{5}$.
Найдите длину перпендикуляра, опущенного с одной прямой на другую.
Координаты нормального вектора для прямой $k$ ${3;-1;2}$, а для прямой $d$ ${-1; 2; -4}$. Координаты направляющего вектора для первой прямой ${1; 3; 5}$.
Подставим данные числа в обозначенную выше формулу:
$ρ(d, k) = frac{sqrt{begin{array}{|cc|} 2 + 1 & -4 – 2\ 3 & 5 \ end{array}^2 + begin{array}{|cc|} -1 – 3 & -4 – 2\ 1 & 5 \ end{array}^2 + begin{array}{|cc|} -1 -3 & 2 + 1\ 1 & 3 \ end{array}^2}}{sqrt{1^2 + 3^2 + 5^2}}$
$ρ(d, k) = frac{sqrt{begin{array}{|cc|} 3 & -6\ 3 & 5 \ end{array}^2 + begin{array}{|cc|} -4 & -6\ 1 & 5 \ end{array}^2 + begin{array}{|cc|} -4 & 3\ 1 & 3 \ end{array}^2}}{sqrt{35}} =frac{ (15 +18)^2 +(-20+6)^2 +(-12-3)^2}{sqrt{35}}≈6,568$
Решение примера, приведённого выше, реализовано по формуле, полученной через векторное произведение, кому-то такой способ может показаться более просты, а кому-то наоборот — сложным.
Но в любом случае воспользовавшись обоими вариантами решения оба алгоритма легко можно проверить.
Алгоритм с векторным произведением рассмотрен нами ниже для этой же задачи, из него становится понятно, каким образом получена используемая выше формула.
Пример 3
Найдите расстояние между параллельными прямыми из задачи, изложенной выше, через векторное произведение.
В этом случае вычисление расстояния между прямыми осуществляется по формуле:
$ρ = frac{overline{M_0M_1}×overline{s}}{|overline{s}|}$,
где $M_0M_1$ – вектор, соединяющий 2 произвольных точки на двух параллельных прямых
Нормальные вектора для первой и второй прямых соответственно будут ${3;-1;2}$ и ${-1; 2;-4}$.
Направляющий вектор для обеих прямых совпадает, его координаты $s={1;3;5}$
Найдём векторную разность между нормальными векторами, которая будет координатами вектора $M_0M_1$
$overline{M_0M_1} = overline{r_2} – overline{r_2} = {3;-1;2} – {-1; 2;-4} = {4; -3; 6}$
Теперь необходимо высчитать векторное произведение вектора $overline{M_0M_1}$ на вектор $overline{s}$:
$overline{M_0M_1} ×overline{s} = begin{array}{|ccc|} i & j & k \ 4 & -3 & 6 \ 1 & 3 & 5 \ end{array} = i begin{array}{|cc|} -3 & 6\ 3 & 5 \ end{array} + j begin{array}{|cc|} 4 & 6\ 1 & 5 \ end{array} + k begin{array}{|cc|} 4 & -3\ 1 & 3 \ end{array} = -33i + 14j + 15k = {-33; 14; 15}$
$|overline{M_0M_1} ×overline{s}| =sqrt{(-33)^2 + 14^2 + 15^2} = sqrt{1510} ≈ 38,859$
А сейчас пришла очередь определить длину направляющего вектора $s$:
$|overline{s}| = sqrt{1^2 + 3^2 + 5^2} = 5, 916$
В результате конечный ответ составит:
$ρ = frac{ 38,859}{ 5, 916} = 6,568$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
2.5.6. Как найти расстояние между параллельными прямыми?
Ответим на этот вопрос конкретной задачей:
Задача 82
Найти расстояние 
между двумя параллельными прямыми, заданными в декартовой
системе координат: 
.
Решение: расстояние между параллельными прямыми найдём как расстояние от точки до прямой. Для этого
достаточно найти одну точку, принадлежащую любой прямой. Из уравнения 
легко
усмотреть точку 
. Вычислим расстояние:
Примечание: последним действием домножили числитель и знаменатель на 
– чтобы
избавиться от иррациональности в знаменателе.
Ответ: 
Как видите, здесь бесконечно много способов решения.
Едем дальше:
2.5.7. Как найти угол между прямыми?
2.5.5. Как вычислить расстояние от точки до прямой?
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Скажите определение. Расстояние между двумя парарельными прямыме Скажите определение Плз надо
Ученик
(181),
закрыт
7 лет назад
Александр Трофимов
Высший разум
(4558577)
7 лет назад
НА ПЛОСКОСТИ ИЛИ В ПРОСТРАНСТВЕ?!
Расстоянием между параллельными прямыми называется часть перпендикуляра к этим параллельным прямым заключенная между ними….
ТИПА ТАК…
Чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, нужно определить длину перпендикулярного отрезка, соединяющего их в любых двух точках.
Поскольку прямые имеют две одинаковые координаты, что следует из определения их параллельности, то уравнения прямых в двухмерном координатном пространстве можно записать так:
L1: а•х + b•у + с = 0;
L2: а•х + b•у + d = 0.
Тогда можно найти длину отрезка по формуле:
s = |с – d|/√(a² + b²), причем нетрудно заметить, что при С = D, т. е. совпадении прямых, расстояние будет равно нулю.,
зАУМНО?!
Тогда… выбираешь на одной прямой точку и опускаешь перпендикуляр на другую…. Длина этого перпендикуляра и будет расстоянием между прямыми.
Александр
Ученик
(146)
7 лет назад
НА ПЛОСКОСТИ ИЛИ В ПРОСТРАНСТВЕ?!
Расстоянием между параллельными прямыми называется часть перпендикуляра к этим параллельным прямым заключенная между ними….
ТИПА ТАК…
Чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, нужно определить длину перпендикулярного отрезка, соединяющего их в любых двух точках. Поскольку прямые имеют две одинаковые координаты, что следует из определения их параллельности, то уравнения прямых в двухмерном координатном пространстве можно записать так:
L1: а•х + b•у + с = 0;
L2: а•х + b•у + d = 0.
Тогда можно найти длину отрезка по формуле:
s = |с – d|/√(a² + b²), причем нетрудно заметить, что при С = D, т. е. совпадении прямых, расстояние будет равно нулю.
- Главная
- Справочники
- Справочник по геометрии 7-9 класс
- Соотношения между сторонами и углами треугольника
- Расстояние между параллельными прямыми
Теорема
Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Доказательство:
Рассмотрим параллельные прямые 
и 
.
Отметим точку А на прямой и проведем из этой точки перпендикуляр АВ к прямой .
Отметим точку Х на прямой и докажем, что расстояние от точки Х до прямой равно АВ. Проведем из точки Х перпендикуляр ХУ к прямой .
ХУ
, следовательно, ХУ (т.к. прямая перпендикулярная к одной из параллельных прямых перпендикулярна и ко второй из них).
Рассмотрим 
АВУ и АХУ: 
В =Х = 900, т.е. АВУ и АХУ прямоугольные, АУ – общая гипотенуза, 1 = 2 (т.к. они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых и секущей АУ), следовательно, АВУ =АХУ (по гипотенузе и острому углу), ХУ = АВ.
Точка Х находится на расстоянии АВ от прямой , а так как эту точку мы выбрали произвольно, все точки каждой из двух параллельных прямых и равноудалены от другой прямой. Что и требовалось доказать.
Из доказанной выше теоремы следует, что расстояние между параллельными прямыми – это наименьшее расстояние (перпендикуляр) от каждой точки одной из этих прямых до другой прямой.
Замечание 1
Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой параллельной данной.
Доказательство:
Дано: прямая , А, С
, АВ, СE, АВ = СЕ.
Доказать: А, С
и 
.
Доказательство:
По аксиоме параллельных прямых через точку А проходит единственная прямая параллельная прямой . Проведем через точку А прямую параллельную .
По теореме, доказанной выше, все точки, лежащие на прямой равноудалены от точек прямой .
Предположим, что точка С не лежит на прямой , тогда расстояние от точки С до прямой будет больше или меньше, чем расстояние АВ.
Но по условию АВ = СЕ, следовательно, получили противоречие, значит, наше предположение неверно и А, С, при этом по построению . Что и требовалось доказать.
Замечание 2
Множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от нее, есть прямая, параллельная данной прямой.
Доказательство:
Пусть – данная прямая, d – данное расстояние. Отметим на прямой произвольную точку А и проведем отрезок АВ длины d так, что АВ, через точку В по аксиоме параллельных прямых проходит единственная прямая параллельная прямой . Проведем через точку В прямую параллельную .
По доказанной выше теореме все точки прямой находятся на расстоянии d от прямой , т.е. все эти точки принадлежат искомому множеству. В силу обратной теоремы любая точка искомого множества лежит на прямой . Значит, прямая является геометрическим местом всех точек, удовлетворяющих данному условию. Что и требовалось доказать.
Геометрическое место точек, удовлетворяющих данному условию – множество всех точек, удовлетворяющих какому-либо условию.
Советуем посмотреть:
Теорема о сумме углов треугольника
Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
Неравенство треугольника
Некоторые свойства прямоугольных треугольников
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Уголковый отражатель
Расстояние от точки до прямой
Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам
Построение треугольника по трем его сторонам
Соотношения между сторонами и углами треугольника
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 279,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 281,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 282,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 283,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 293,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 295,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 17,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 18,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 443,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 813,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
